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必修2 第3讲 直线和方程 教师版


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决胜高考 决胜竞赛

第3讲
【考点梳理】

直线与方程

1.直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ? , 那么

? 就叫做直线的倾斜角 当直线和 x 轴平行或重合时,
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我们规定直线的倾斜角为 0 可见,直线倾斜角的取值范围是 0 ? ? ? 180 .
?
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?

?

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2.直线的斜率:倾斜角 ? 不是 90 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用 k 表示,即
?

k ? tan ? (? ? 90? ) .
倾斜角是 90 的直线没有斜率;倾斜角不是 90 的直线都有斜率,其取值范围是 (??, ??) . 3.直线方程的五种形式 点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,斜截式: y ? kx ? b , 两点式:
? ?

y ? y1 x ? x1 x y ,截距式: ? ? 1 , ? a b y 2 ? y1 x2 ? x1

一般式: Ax ? By ? C ? 0 (其中 A, B 不同时为 0) . 4.两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1 , l2 ,其斜率分别为 k1 , k2 ,有 l1 ∥ l2 ? k1 ? k2 . 5.两条直线垂直 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于 ?1 ;反之,如果它们的斜率之积 等于 ?1 ,那么它们互相垂直.即 l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 . 另外,要特别注意斜率不存在时的特殊情况. 6.两条直线的交点坐标 将两条直线的方程联立,得方程组 ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0.

若方程组有惟唯一解,则两条直线相交,此解即是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点, 此时两条直线平行 7.点到直线距离公式:
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学案

点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? 8.两平行线间的距离公式

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2



已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

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C1 ? C 2
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l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

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A2 ? B 2

学案

【典型例题】
例 1 经过 A(?2, 0) , B(?5,3) 两点的直线的斜率是____________,倾斜角是_______. 解:经过 A(?2, 0) , B(?5,3) 两点的直线的斜率 k ?

3?0 ? ?1 ,故倾斜角为135? . ?5 ? (?2)

归纳小结:本题考查过已知两点的斜率和倾斜角.解题关键是准确应用过两点的斜率计算公式

k?

y2 ? y1 ,并理解斜率和倾斜角之间的内在关系, k ? tan ? . x2 ? x1
例 2 若直线 l : y ? kx ? 3 与直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角的取值范 )

围是( A. ?

?? ? ? , ? ?6 3 ?

B. ?

?? ? ? , ? ?6 2?

C. ?

?? ? ? , ? ?3 2?

D. ?

?? ? ? , ?6 2? ?

解:直线 l : y ? kx ? 3 恒过定点 C(0, ? 3) . 直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 与 x 轴和 y 轴的交点设为 A, B , 则 A, B 两点的坐标分别为 (3, 0) , (0, 2) .

直线 CA 的斜率为 kCA ?

? 0 ? (? 3) 3 ,对应的倾斜角为 , ? 6 3?0 3

直线 CB 与 x 轴垂直,对应的倾斜角为

? .故 B 为正确选项. 2

归纳小结:本题考查直线的倾斜角与斜率,认识到直线 l : y ? kx ? 3 是过定点 C(0, ? 3) 的直线系是 问题解决的关键. 通过特殊位置的研究,得到问题的答案,充分体现了数形结合的思想方法,同时对计算 能力和三角函数的基础知识也有一定要求. 例 3 已知过点 A(?2, m) 和点 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为(
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2

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A. 0 B. ?8 C. 2

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D. 10

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解:过点 A(?2, m) 和点 B(m, 4) 的直线的斜率为 k AB ?

4?m 4?m . ? m ? (?2) m ? 2

直线 2 x ? y ? 1 ? 0 可变形为 y ? ?2 x ? 1 ,故其斜率为 ?2 . ∵过点 A(?2, m) 和点 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行, ∴

4?m ? ?2 . 解得 m?2

m ? ?8 . 故 B 为正确选项.

归纳小结:两条直线平行,是两条直线位置关系中的特殊情况,也是高考考查的重点.本题要先由两 点坐标表示出对应直线的斜率,再由两条直线平行,斜率相等,建立关于 m 的方程,通过解方程得到问题 的答案. 本题的解题过程,充分体现了解析几何的本质:用代数方法研究图形的几何性质. 要认真体会 数形结合思想及方程思想. 例 4(2009 安徽卷)直线 l 过点 (?1, 2) 且与直线 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 垂直,则 l 的方程是( A. 3x ? 2 y ? 1 ? 0 B. 3x ? 2 y ? 7 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 )

解:直线 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 的斜率为 所以,所求直线的斜率为 ?

2 . 因为所求直线与直线 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 垂直, 3

3 . 2 3 ? x ? (?1))? , 2

线过点 ? ?1, 2? ,由点斜式得直线方程为 y ? 2 ? ? 即 3x ? 2 y ? 1 ? 0 .

归纳小结:两条直线垂直是两条直线位置关系中的特殊情况,也是高考的考察重点内容.当两条直线 垂直且斜率存在时,其对应的斜率乘积等于 ?1 .本题先由直线的互相垂直关系,求出所求直线的斜率,再 由点斜式求出了直线方程.注意体会方程思想,同时,要注意,直线方程的确定要根据具体情况,选择合 适的形式. 例 5(2007 年天津卷) a ? 2 ”是“直线 ax ? 2 y ? 0 平行于直线 x ? y ? 1 ”的( “ A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:①当 a ? 2 时,直线 ax ? 2 y ? 0 为 2 x ? 2 y ? 0 ,斜率为 ?1 , 直线 x ? y ? 1 的斜率亦为 ?1 .即当 a ? 2 时,两条直线的斜率相等,故两条直线平行. “ a ? 2 ”是“直线 ax ? 2 y ? 0 平行于直线 x ? y ? 1 ”的充分条件. 直线 x ? y ? 1 的斜率为 ?1 , ②当直线 ax ? 2 y ? 0 平行于直线 x ? y ? 1 时,
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a ? ?1 , a ? 2 . 2

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ax ? 2 y ? 0 斜率必存在且等于-1.即, ?

所以, a ? 2 ”是“直线 ax ? 2 y ? 0 平行于直线 x ? y ? 1 ”的必要条件. “ 归纳小结:本题主要考查了两条直线的位置关系及充要条件的判定,关键是把握好充要条件判定的方 法及两条直线平行的条件. 例 6(2009 全国卷Ⅰ)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 与 l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为

2 2 ,则 m 的倾斜角可以是(
① 15
?

) ④ 60
?

② 30

?

③ 45

?

⑤ 75

?

其中正确答案的序号是 解析:如下图

. (写出所有正确答案的序号)

30 ?

正确答案①或⑤ 归纳小结:本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离等知识,具有一定的综合性, 突出考查数形结合的思想方法,分类讨论的思想方法,特别要注意平面几何知识的应用. 例 7 已知点 A(1,3), B(3,1), C (?1,0) ,求△ ABC 的面积. 解:设 AB 边上的高为 h ,则 S ?ABC ?

1 AB ? h . 2

AB ? (3 ? 1) 2 ? (1 ? 3) 2 ? 2 2 ,
AB 边上的高为 h 就是点 C 到 AB 的距离.

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AB 边所在的直线方程为
即 x ? y ?4 ? 0. 点 C (?1, 0) 到 x ? y ? 4 ? 0 的距离

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y ? 3 x ?1 ? , 1? 3 3 ?1

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h?

?1 ? 0 ? 4 1 ?1
2 2

?

1 5 5 因此, S?ABC ? ? 2 2 ? ?5. 2 2 2

归纳小结:本题考查两点间的距离、直线方程及点到直线的距离等知识,有一定的综合性.解题关键 是确定一边长及对应的高.由两点间的距离公式,我们不难求出边长,由已知点的坐标,两点式易得直线 方程,再用点到直线的距离公式,求出点到直线的距离,问题可解.要注意体会,数形结合既是思想,也 是方法. 例 8 已知直线 l 经过直线 2 x ? y ? 5 ? 0 与 x ? 2 y ? 0 的交点.若点 A(5, 0) 到 l 的距离为 3,求 l 的方 程.

解法一:由 ?

?2 x ? y ? 5 ? 0, 得交点 P(2,1) . ? x ? 2 y ? 0,

若直线 l 的斜率不存在,则 l 的方程为 x ? 2 ,显然满足题意. 若直线 l 的斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为

y ? kx ? (1 ? 2k ) .

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由点到直线的距离公式得 d ? 解得 k ?

5k ? 1 ? 2k k 2 ?1

? 3.

4 .所以,直线 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 . 3

∴ l 的方程为 x ? 2 或 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 . 解法二:经过两已知直线交点的直线系方程为

(2 x ? y ? 5) ? ? ( x ? 2 y) ? 0 ,即 (2 ? ? ) x ? (1 ? 2? ) y ? 5 ? 0 .


10 ? 5? ? 5 (2 ? ? ) 2 ? (1 ? 2? ) 2

? 3,
1 . 2

2 即 2? ? 5? ? 2 ? 0 ,∴ ? ? 2 或 ? ?

∴ l 的方程为 x ? 2 或 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 . 本专题学习中需要注意的问题 1.求直线方程的主要方法是待定系数法.在使用待定系数法求直线方程时,要注意方程形式的选择. 2.在两条直线的位置关系中,讨论最多的还是平行与垂直,它们是两条直线的特殊位置关系.另外, 解题时,要认真画出图形,注意数形结合意识的培养,不断优化解题思路和过程. 3.判断两条直线平行或垂直,以及用待定系数法求直线方程时,要注意考虑直线斜率不存在的特殊情 况,以保证思维的严谨和结论的完整. 4.用点到直线的距离公式求点到直线的距离,要把直线方程转化为一般形式以确定相应系数;求平行 线间的距离时,要把 x 、 y 项的系数化成相等的系数,再用公式.

例 9 直线 l 过点 P (-1,3) ,倾斜角的正弦是

4 ,求直线 l 的方程. 5

分析:根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切,注意有两解. 解:因为倾斜角 ? 的范围是: 0 ? ? ? ? 又由题意: sin ? ? 所以: tan ? ? ?

4 , 5

4 , 3 4 ?x ? 1? 3

直线过点 P (-1,3) ,由直线的点斜式方程得到: y ? 3 ? ? 即: 4 x ? 3 y ? 13 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 .

说明:此题是直接考查直线的点斜式方程,在计算中,要注意当不能判断倾斜角 ? 的正切时,要保留 斜率的两个值,从而满足条件的解有两个. 例 10 求经过两点 A (2, m )和 B ( n ,3)的直线方程. 分析:本题有两种解法,一是利用直线的两点式;二是利用直线的点斜式.在解答中如果选用点斜式,
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只涉及到 n 与 2 的分类;如果选用两点式,还要涉及 m 与 3 的分类. 解:法一:利用直线的两点式方程 ∵直线过两点 A (2, m )和 B ( n ,3) (1) m ? 3 时, A 的坐标是 A(2, , 当 点 3) 与点 B ( n , 的纵坐标相等, 3) 则直线 AB 的方程是 y ? 3 ; (2) n ? 2 时, B 的坐标是 B(2, ,与点 A(2,m ) 当 点 3) 的横坐标相等, 则直线 AB 的方程是 x ? 2 ; (3)当 m ? 3 , n ? 2 时,由直线的两点式方程

y ? y1 x ? x1 得: ? y2 ? y1 x2 ? x1

y?m x?2 ? 3? m n ? 2
法二:利用直线的点斜式方程 (1)当 n ? 2 时,点 A, B 的横坐标相同,直线 AB 垂直与 x 轴,则直线 AB 的 x ? 2 ; (2)当 n ? 2 时,过点 A, B 的直线的斜率是 k ? 又∵过点 A (2, m ) ∴由直线的点斜式方程 y ? y1 ? k ?x ? x1 ? 得过点 A, B 的直线的方程是:

3? m , n?2

y?m ?

3? m ?x ? 2? n?2

说明:本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件,并体会分类讨论的思想方法. 例 11 把直线方程 Ax ? By ? c ? 0? ABC ? 0? 化成斜截式______,化成截距式______. 分析:因为 ABC ? 0 ,即 A ? 0 , B ? 0 , C ? 0 ,按斜截式、截距式的形式要求变形即可. 解:斜截式为 y ? ?

A C x Y x ? ,截距式为 + =1 C C B B ? ? A B

说明:此题考查的是直线方程的两种特殊形式:斜截式和截距式. 例 12 直线 x cos? ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角的取值范围是_____________. 分析:将直线的方程化为斜截式,得出直线的斜率,再由斜率和倾斜角的关系,得出关于 ? 的一个三 角不等式即可. cos? 2 cos ? x? 解:已知直线的方程为 y ? ? ,其斜率 k ? ? . 3 3 3 由k ?

cos? 3

?

1 3

,得 tan ? ?

1 3



即?

3 3 ? tan ? ? . 3 3

由 ? ? ?0 , ? ?,得 ? ? ?0 ,

? ?

??

5? ? ?[ 6 , ? ) . 6?
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? ? ?? 说明:解题易得出错误的结果 ? ? ?? , ? ,其原因是没有注意到倾斜角的取值范围. ? 6 6?
例 13 直线 l 经过点 (3 , 2) ,且在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程. 分析:借助点斜式求解,或利用截距式求解. 解法一:由于直线 l 在两轴上有截距,因此直线不与 x 、 y 轴垂直,斜率存在,且 k ? 0 . 设直线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 3) ,

2 . k 2 2 由题设可得 ?3k ? 2 ? 3 ? ,解得 k ? ?1 或 k ? . k 3 2 所以, l 的方程为 y ? 2 ? ?( x ? 3) 或 y ? 2 ? ( x ? 3) . 3 故直线 l 的方程为 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? 3 y ? 0 . 解法二:由题设,设直线 l 在 x 、 y 轴的截距均为 a . 若 a ? 0 ,则 l 过点 (0 , 0) ,又过点 (3 , 2) ,
令 x ? 0 ,则 y ? ?3k ? 2 ,令 y ? 0 ,则 x ? 3 ?

2 x ,即 l : 2 x ? 3 y ? 0 . 3 x y 若 a ? 0 ,则设 l 为 ? ? 1. a a 3 2 由 l 过点 (3 , 2) ,知 ? ? 1 ,故 a ? 5 . a a ∴ l 的方程 x ? y ? 5 ? 0 . 综上可知,直线 l 的方程为 2 x ? 3 y ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0 .
∴ l 的方程为 y ? 说明:对本例,常见有以下两种误解: 误解一:如下图,由于直线 l 的截距相等,故直线 l 的斜率的值为 ? 1 .若 k ? 1 ,则直线方程为 y ? 2 ? x ? 3 ;若 k ? ?1 ,则直线方程为 y ? 2 ? ?( x ? 3) .故直线方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0 .

误解二:由题意,直线在两轴上的截距相等,则可设直线方程为

x y ? ? 1 .由直线过点 (3 , 2) ,得 a a

3 2 ? ? 1 ,即 a ? 5 ,也即方程为 x ? y ? 5 ? 0 . a a
在上述两种误解中,误解一忽视了截距的意义,截距不是距离,它可正可负,也可以为 0.显见,当 k ? 1 时, 直线 x ? y ? 1 ? 0 的两轴上的截距分别为 1 和-1,它们不相等.另外,这种解法还漏掉了直线在两轴上的截 距均为 0 的这种特殊情形.误解二中,没有注意到截距式方程的适用范围,同样也产生了漏解.

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?
3
, ?B ?

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?
4
,求:

例 14 已知在第一象限的 ?ABC 中, A(1 , 1) 、 B(5, 1) , ?A ?

(1) AB 边的方程;(2) AC 和 BC 所在直线的方程. 分析:(1)当直线与 x 轴平行时或垂直时,不能用两点式求直线的方程.(2)由图可知 AC 、 BC 的斜率, 根据点斜式方程即可得出结果. 解:(1)如图, AB 的方程为 y ? 1 (1 ? x ? 5) .

(2)由 AB ∥ x 轴,且 ?ABC 在第一象限知

AC 的斜率 k AC ? tan

?

? 3 , BC 的斜率 k BC ? tan(? ? ) ? ?1 . 3 4

?

所以, AC 边所在直线的方程为 y ? 1 ? 3( x ? 1) ,即 3x ? y ? 1 ? 3 ? 0 .
BC 边所在直线的方程为 y ? 1 ? ?1( x ? 5) ,即 x ? y ? 6 ? 0 .

说明:(1) AB 边是一条线段,要注意变量 x 的取值范围.(2)解题中,要注意画出图形,便于直观地得 到所求直线所具备的条件. 例 15 若 ?ABC 的顶点 A(3, 4) , B(6, 0) , C (?5, ? 2) ,求 ?A 的平分线 AT 所在的直线的方程.

分析:两个条件确定一条直线.要求 AT 的方程,已知点 A 的坐标,只要再找出 AT 的斜率或点 T 的坐 标就可以了. 在三角形中,?A 的平分线有下列性质: ?CAT ? ?TAB ; AT 上任一点到两边 AB 、 AC (1) (2) 的距离相等;(3)

CT TB

?

CA AB

.用其中任何一个性质,都可以确定第二个条件.

解法一:∵ AC ? (3 ? 5) 2 ? (4 ? 2) 2 ? 10 ,

AB ? (3 ? 6) 2 ? 42 ? 5 ,
∴ T 分 BC 所成的比为 ? ?

CT AC ? ? 2. TB AB

设 T 的坐标为 ( x , y) ,则:

? 5 ? 2? 6 7 ? 2 ? 2? 0 2 ? ,y? ?? , 1? 2 3 1? 2 3 7 2 即T ( , ? ) . 3 3 x?
2 7 x? 3? 3 ,即 7 x ? y ? 17 ? 0 . 由两点式得 AT 的方程为 2 7 4? 3? 3 3 y?
解法二:直线 AC 到 AT 的角等于 AT 到 AB 的角,
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k AC ?

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4 ? (?2) 3 4?0 4 ? , k AB ? ?? . 3 ? (?5) 4 3?6 3

设 AT 的斜率为 k ( k ? ? 或 k ?

4 3

4 ),则有 3

3 3 ? ?k 4 ? 4 . 3 3 1 ? k 1 ? (? )k 4 4 k?
解得 k ? 7 或 k ? ? (舍去) . ∴直线 AT 的方程为 y ? 4 ? 7( x ? 3) ,即 7 x ? y ? 17 ? 0 . 解法三:设直线 AT 上动点 P ( x, y ) ,则 P 点到 AC 、 AB 的距离相等,即:

1 7

4 x ? 3 y ? 24 5

?

3x ? 4 y ? 7 5



∴ x ? 7 y ? 3 ? 0 或 7 x ? y ? 17 ? 0 结合图形分析,知 x ? 7 y ? 3 ? 0 是 ?ABC 的角 A 的外角平分线,舍去. 所以所求的方程为 7 x ? y ? 17 ? 0 . 说明:(1)确定不同条件下的直线方程是高考的重要内容,其方法主要是待定系数法(如解法一、解法 二)和轨迹法(如解法三) .要熟练掌握直线方程各种形式间的相互转化.点斜式是直线方程最重要的一种 形式,要加强这方面的训练. (2)解法三涉及到后面将要学到的知识.这里先把它列出来,作为方法积累. 例 16 求过点 P(?5, ? 4) 且分别满足下列条件的直线方程: (1)与两坐标轴围成的三角形面积为 5; (2)与 x 轴和 y 轴分别交于 A 、 B 两点,且 AP∶BP ? 3 5 . ∶ 分析:对于(1),既可借助于截距式求解,也可以利用点斜式来求解;对于(2),利用截距式求解较为简 便.

x y ? ? 1. a b ?5 ?4 由直线过点 P(?5, ? 4) ,得 ? ? 1 ,即 4a ? 5b ? ?ab . a b 1 又 a ? b ? 5 ,故 ab ? 10 . 2
解法一:设所求的直线方程为 联立方程组 ?

?4a ? 5b ? ?ab, ? ab ? 10,

5 ? ?a ? 5 ?a ? ? 解得 ? . 2 或? ?b ? ?2 ?b ? 4 ?

故所求直线方程为

x y x y ? ? 1和 ? ? 1 ,即: 5 4 5 ?2 ? 2 8 x ? 5 y ? 20 ? 0 和 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 .

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4 ? 5k , 0 ) , ( 0 , 5k ? 4 ) . k

解法二:设所求直线方程为 y ? 4 ? k ( x ? 5) ,它与两坐轴的交点为 (

由已知,得

1 4 ? 5k 5k ? 4 ? ? 5 ,即 (5k ? 4)2 ? 10 k . 2 k

当 k ? 0 时,上述方程可变成 25k 2 ? 50k ? 16 ? 0 ,

8 2 ,或 k ? . 5 5 由此便得欲求方程为 8 x ? 5 y ? 20 ? 0 和 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 .
解得 k ?

AP 3 ?? . PB 5 设点 A 、 B 的坐标分别为 ( a , 0 ) , ( 0 , b ) .
(2)解:由 P 是 AB 的分点,得 ? ? 当 P 是 AB 的内分点时, ? ?

3 . 5

32 . 3 再由截距式可得所求直线方程为 4 x ? 3 y ? 32 ? 0 .
由定比分点公式得 a ? ?8 , b ? ?

3 5 8 由定比分点公式求得 a ? ?2 , b ? . 3 仿上可得欲求直线方程为 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 . 故所求的直线方程为 4 x ? 3 y ? 32 ? 0 ,或 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 .
当点 P 是 AB 的外分点时, ? ? ? . 说明: 对于(1), 应注意对题意的理解, 否则, 就较易得到 4a ? 5b ? ? ab , ab ? 10 , 且 从而遗漏了 ab ? ?10 的情形;对于(2),应当区分内分点与外分点两种不同的情形.必要时,可画出草图直观地加以分析,防止 漏解. 求直线的方程时,除应注意恰当地选择方程的形式外,还应注意到不同形式的方程的限制条件.如点斜式 的限定条件是直线必须存在斜率;截距式的限定条件为两轴上的截距都存在且不为 0;两点式的限定条件是 直线不与 x 轴垂直,也不与 y 轴垂直.除此以外,还应注意直线方程形式之间的相互转化.

Q 例 17 已知两直线 a1 x ? b1 y ? 1 ? 0 和 a2 x ? b2 y ? 1 ? 0 的交点为 P( 2, 3 ) , 求过两点 Q( a1 , b1 ) 、 ( a 2 , b2 )
的直线方程. 分析:利用点斜式或直线与方程的概念进行解答. 解法一:∵ P( 2, 3 ) 在已知直线上,

?2a1 ? 3b1 ? 1 ? 0 ∴? ?2a2 ? 3b2 ? 1 ? 0
∴ 2(a1 ? a2 ) ? 3(b1 ? b2 ) ? 0 ,即

b1 ? b2 2 ?? . a1 ? a2 3

故所求直线方程为 y ? b1 ? ? ( x ? a1 ) .
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2 3

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∴ 2 x ? 3 y ? (2a1 ? 3b1 ) ? 0 ,即 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 . 解法二:∵点 P 在已知直线上,

?2a1 ? 3b1 ? 1 ? 0 ∴? ?2a2 ? 3b2 ? 1 ? 0
可见 Q1 ( a1 , b1 ) 、 Q2 ( a2 , b2 ) 都满足方程 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 , ∴过 Q1 、 Q2 两点的直线方程为 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 . 说明:解法二充分体现了“点在直线上,则点的坐标满足直线方程;反之,若点的坐标满足方程,则 直线一定过这个点” .此解法独特,简化了计算量,能培养学生的思维能力. 例 18 过点 P ( 1, 4 ) 引一条直线,使它在两条坐标轴上的截距为正值,且它们的和最小,求这条直线方 程. 分析:利用直线方程的点斜式,通过两截距之和最小求出直线的斜率,从而求出直线方程.或借助直 线方程的截距式,通过两截距之和最小,求出直线在两轴上的截距,从而求出直线的方程. 解法一:设所求的直线方程为 y ? 4 ? k ( x ? 1) . 显见,上述直线在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 1? 由于 1 ?

4 、4? k . k

4 ? 0 ,且 4 ? k ? 0 可得 k ? 0 . k

直线在两坐标轴上的截距之和为:

4 4 4 S ? (1 ? ) ? (4 ? k ) ? 5 ? (?k ) ? (? ) ? 5 ? 4 ? 9 ,当且仅当 ?k ? ? ,即 k ? ?2 时, S 最小值为 9. k k k 故所求直线方程为 y ? 4 ? ?2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 6 ? 0 .
解法二:设欲求的直线方程为 据题设有

x y ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ). a b

1 4 ? ?1, a b 1 a

① ②

令S ?a?b.

b 4a ? ? 5 ? 4 ? 9. a b b 4a 1 4 当且仅当 ? 时,即 2a ? b ,且 ? ? 1 ,也即 a ? 3 , b ? 6 时,取等号. a b a b x y 故所求的直线方程为 ? ? 1 ,即 2 x ? y ? 6 ? 0 . 3 6 4 说明:在解法一中,应注意到 k ? 0 这个隐含条件.否则,由 S ? 5 ? (k ? ) ,将很有可能得出错误的 k 4 4 结果.如 S ? 5 ? (k ? ) ? 5 ? 4 ? 1, S ? 5 ? (k ? ) ? 5 ? 4 ? 1等等. k k
①×②,有 S ? (a ? b)( ? ) ? 5 ? 在解法二中,应注意运算过程中的合理性,即讲究算理,不然,将会使运算过程不胜其繁.如采取下述方 法:由①,用 a 来表示 b ,再代入②中,把 S 化归成 a 的函数.从解题思维方法上说无可厚非,但这种方法 将使运算难度陡然增加.不如保持本质、顺其自然好.
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4 b

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例 19 已知 3a ? 2b ? 5 ,其中 a 、 b 是实常数,求证:直线 ax ? by ? 10 ? 0 必过一定点. 分析与解:观察条件与直线方程的相似之处,可把条件变形为 6a ? 4b ? 10 ? 0 ,可知 x ? 6 , y ? 4 即 为方程 ax ? by ? 10 ? 0 的一组解,所以直线 ax ? by ? 10 ? 0 过定点(6,4) . 说明:此问题属于直线系过定点问题,此类问题的彻底解决宜待学完两直线位置之后较好,当然现在 也可以研究,并且也有一般方法.

例 20 直线 l 过点 M (2,1) ,且分别交 x 轴、 y 轴的正半轴于点 A 、 B .点 O 是坐标原点, (1)求 当 ?ABO 面积最小时直线 l 的方程; (2)当 MA MB 最小时,求直线 l 的方程. 解: (1)如图,设 OA ? a , OB ? b , ?ABO 的面积为 S ,则

S?

1 ab 2
B

y

并且直线 l 的截距式方程是

x y + =1 a b
由直线通过点(2,1) ,得

M A

2 1 + =1 a b
所以:

O

x

1 a b = = 1 b ?1 2 1? b

因 为 A 点 和 B 点 在 x 轴 、 y 轴 的 正 半 轴 上 , 所 以 上 式 右 端 的 分 母 b ?1 ? 0 . 由 此 得: S ?

a b b2 ?1 ? 1 1 ?b ? ?b ? ? b ?1? 2 1? b b ?1 b ?1

1 ?2 b ?1 ? 2?2 ? 4 ? b ?1 ? 1 ,即 b ? 2 时,面积 S 取最小值 4, b ?1 x y 这时 a ? 4 ,直线的方程是: + =1 4 2
当且仅当 b ?1 ? 即: x ? 2 y ? 4 ? 0 (2)设 ?BAO ? ? ,则 MA =

1 2 , MB = ,如图, cos ? sin ?
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所以

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1 2 4 = sin 2? sin ? cos ?

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MA MB =

当 ? =45°时 MA MB 有最小值 4,此时 k ? 1 ,直线 l 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 . 说明:此题与不等式、三角联系紧密,解法很多,有利于培养学生发散思维,综合能力和灵活处理问 题能力.动画素材中有关于此题的几何画板演示. 例 21 一根铁棒在 20°时,长 10.4025 米,在 40°时,长 10.4050 米,已知长度 l 和温度 t 的关系可 以用直线方程来表示,试求出这个方程,并且根据这个方程,求这跟铁棒在 25°时的长度. 解 : 这 条 直 线 经 过 两 点 ( 20 , 10.4025 ) 和 ( 20 , 10.4050 ) 根 据 直 线 的 两 点 式 方 程 , 得 : ,

l ? 10.4025 t ? 20 = 10.4050 ? 10.4025 40 ? 20
即 当 t =25°时

l =0.0025 ?

t +10.4000 20 25 l =0.0025 ? +10.4000=0.0031+10.4000=10.4031 20

即当 t =25°时,铁棒长为 10.4031 米. 说明:直线方程在实际中应用非常广泛. 例 22 一根铁棒在 20°时,长 10.4025 米,在 40°时,长 10.4050 米,已知长度 l 和温度 t 的关系可 以用直线方程来表示,试求出这个方程,并且根据这个方程,求这跟铁棒在 25°时的长度. 解 : 这 条 直 线 经 过 两 点 ( 20 , 10.4025 ) 和 ( 20 , 10.4050 ) 根 据 直 线 的 两 点 式 方 程 , 得 : ,

l ? 10.4025 t ? 20 = 10.4050 ? 10.4025 40 ? 20
即 当 t =25°时

l =0.0025 ?

t +10.4000 20 25 l =0.0025 ? +10.4000=0.0031+10.4000=10.4031 20

即当 t =25°时,铁棒长为 10.4031 米. 说明:直线方程在实际中应用非常广泛.

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