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高中数学必修1人教A教案导学案2.2.1-2对数运算性质


2. 2.1 第二课时 对数的运算性质
【教学目标】 1.知识目标:掌握对数的运算性质,并能理解推导这些法则的依据和过程; 2.能力目标:能较熟练地运用法则解决问题; 【教学重难点】 重点、对数运算性质 难点:对数运算性质的证明方法. 【教学过程】 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 (二)情景导入、展示目标。 (

一) 、复习引入:
王新敞
奎屯 新疆

1.对数的定义

log a N ? b
王新敞
奎屯 新疆

其中 a ? (0,1) ? (1,??) 与 N ? (0,??)

王新敞
奎屯

新疆

2.指数式与对数式的互化

3.重要公式: ⑴负数与零没有对数; ⑵ log a 1 ? 0 , log a a ? 1 ⑶对数恒等式 a
log a N
王新敞
奎屯 新疆

?N

王新敞
奎屯

新疆

a m ? a n ? a m? n (m, n ? R)
3.指数运算法则 (a m ) n ? a mn (m, n ? R)
王新敞
奎屯 新疆

(ab) n ? a n ? b n (n ? R)
(二) 、新授内容: 积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

log a (MN) ? log a M ? log a N (1) M log a ? log a M ? log a N (2) N log a M n ? nlog a M(n ? R) (3)
证明:①设 log a M=p, log a N=q
p
王新敞
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由对数的定义可以得:M= a ,N= a ∴MN= a a = a
p q p?q

q
王新敞
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∴ log a MN=p+q,
王新敞
奎屯 新疆

即证得 log a MN= log a M + log a N

1

②设 log a M=p, log a N=q

王新敞
奎屯

新疆

由对数的定义可以得 M= a ,N= a

p

q
王新敞
奎屯 新疆



M ap ? ? a p ?q N aq

∴ log a

M ? p?q N
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

即证得 log a

M ? log a M ? log a N N

③设 log a M=P 由对数定义可以得 M= a , ∴Mn =a
np

p

∴ log a M n =np, 即证得 log a M n =n log a M

说明:上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的运 算性质进行恒等变形;然后再根 据对数定义将指数式化成对数式 ①简易语言表达: “积的对数 = 对数的和”??
王新敞
奎屯 新疆

②有时逆向运用公式:如 log10 5 ? log10 2 ? log10 10 ? 1 ③真数的取值范围必须是 (0,??) :

王新敞
奎屯

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log 2 (?3)(?5) ? log 2 (?3) ? log 2 (?5) 是不成立的
log10 (?10) 2 ? 2 log10 (?10) 是不成立的
④对公式容易错误记忆,要特别注意:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

log a ( MN ) ? log a M ? log a N
(三) 、合作探究,精讲点拨 例 1 计算

, log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N

王新敞
奎屯

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(1) log 5 25, (2) log 0.4 1, (3) log 2 ( 4 × 2 ) , 解析:用对数的运算性质进行计算. 解: (1) log 5 25= log 5 5 =2 (2) log 0.4 1=0
王新敞
奎屯 新疆

7

5

(4)lg 5 100

2

王新敞
奎屯

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(3) log 2 ( 4 ×25)= log 2 4 + log 2 2 = log 2 2
2?7

7

7

5

+ log 2 2

5

= 2×7+5=19

王新敞
奎屯

新疆

2 (4)lg 5 100 = log10 ?

1 5

2 2 lg10 ? 5 5
王新敞
奎屯 新疆

点评:本题主要考察了对数性质的应用,有助于学生掌握性质. 例 2 用 log a x , log a y , log a z 表示下列各式:
2

(1)log a

xy ; z

(2) log a

x2 y
王新敞
奎屯 新疆

3

z

解析:利用对数的性质化简. 解: (1) log a (2) log a

xy = log a (xy)- log a z= log a x+ log a y- log a z z
= log a ( x 2

x2 y
3

z
2

y ) ? log a 3 z

= log a x + log a

1 1 y ? log a 3 z =2 log a x+ log a y ? log a z 2 3

王新敞
奎屯

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点评:熟悉对数的运算性质. 变式练习、计算: (1)lg14-2lg

7 +lg7-lg18 3

(2)

lg 243 lg 9

(3)

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg 1.2

说明:此题可讲练结合. (1)解法一:lg14-2lg

7 +lg7-lg18 3
2

=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg( 3 ×2) =lg2+lg 7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0 ? 解法二:
王新敞
奎屯 新疆

lg14-2lg

7 7 2 +lg7-lg18=lg14-lg ( ) +lg7-lg18 ? 3 3
王新敞
奎屯 新疆

=lg

14 ? 7 ? lg 1 ? 0 7 2 ( ) ? 18 3

评述:此题体现了对数运算性质的灵活运用,运算性质的逆用常被学生所忽视.

(2)

lg 243 lg 35 5 lg 3 5 ? ? ? lg 9 lg 3 2 2 lg 3 2

王新敞
奎屯

新疆

1

1

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg(33 ) 2 ? lg 2 3 ? 3 lg(10) 2 (3) ? lg 1.2 3 ? 22 lg 10
3 (lg 3 ? 2 lg 2 ? 1) 3 2 ? ? lg 3 ? 2 lg 2 ? 1 2

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

评述:此例题体现对数运算性质的综合运用,应注意掌握变形技巧,如(3)题各部分变 形要化到最简形式,同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免 错用对数运算性质. (四) 、反思总结,当堂检测

3

1.求下列各式的值: (1) log 2 6- log 2 3
王新敞
奎屯 新疆

(2)lg5+lg2

王新敞
奎屯

新疆

2. 用 lgx,lgy,lgz表示下列各式: (1) lg(xyz) ; 【板书设计】 一、对数概念及其运算性质 二、例题 例1 变式 1 例2 变式 2 【作业布置】 导学案课后练习与提高 (2)lg

xy 2 ; z

2.2.1 对数的运算性质导学案

课前预习学案
一、预习目标 初步了解对数的运算性质,知道推导这些法则的依据和过程; 二、预习内容 1.对数的定义

log a N ? b
王新敞
奎屯 新疆

其中 a ? (0,1) ? (1,??) 与 N ? (0,??)

王新敞
奎屯

新疆

2.指数式与对数式的互化

4

3.重要公式: ⑴负数与零没有对数; ⑵ log a 1 ? , log a a ?
log a N
王新敞
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⑶ 对数恒等式 a

?

王新敞
奎屯

新疆

a m ? a n ? _____(m, n ? R)
3.指数运算法则 (a m ) n ? ______( , n ? R) m

(ab) n ? _______( ? R) n
三、提出疑惑

课内探究学案
一、 学习目标 1.掌握对数的运算性质,并能理解推导这些法则的依据和过程; 2.能较熟练地运用法则解决问题; 学习重点、对数运算性质 学习难点:对数运算性质的证明方法.
王新敞
奎屯 新疆

二、 学习过程 (一)合作探究 探究一:积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

log a (MN) ? log a M ? log a N (1) M log a ? log a M ? log a N (2) N log a M n ? nlog a M(n ? R) (3)
解析:利用对数的性质与对数式与指数式的关系证明. 点评:知道公式的推倒过程有利于学生掌握公式. 探究二 例 1 计算 (1) log 5 25, (2) log 0.4 1, (3) log 2 ( 4 × 2 ) , 解析:用对数的运算性质进行计算. 解:
7 5

(4)lg 5 100

5

点评:本题主要考察了对数性质的应用,有助于学生掌握性质. 例 2 用 log a x , log a y , log a z 表示下列各式:

王新敞
奎屯

新疆

(1)log a

xy ; z

(2) log a

x2 y
3

z

解析:利用对数的性质化简. 解:
王新敞
奎屯 新疆

点评:熟悉对数的运算性质. 变式练习:计算: (1)lg14-2lg

7 +lg7-lg18 3

(2)

lg 243 lg 9

(3)

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg 1.2

(二)反思总结 (三)当堂检测 1.求下列各式的值: (1) log 2 6- log 2 3
王新敞
奎屯 新疆

(2)lg5+ lg2

王新敞
奎屯

新疆

2. 用 lgx,lgy,lgz表示下列各式:

6

(1) lg(xyz) ;

(2)lg

xy 2 ; z

课后练习与提高
1.若 3a=2,则 log38-2log36 用 a 的代数式可表示为( ) (A)a-2 (B)3a-(1+a)2 (C)5a-2 (D)3a-a2

2、已知 lga,lgb 是方程 2x 2 -4x+1 = 0 的两个根,则(lg (A).4 (B).3 (C).2 ( ). (D).1

a 2 ) 的值是( ). b

3、下列各式中正确的个数是

① (A)0
4.已知 ,

② (B)1 (C)2
,那么



(D)3
______.

5、若 lg2 = a,lg3 = b,则 lg 54 =_______ ______. 6. 用 lgx,lgy,lgz表示下列各式: (1) lg

xy 3 z

; (2) lg

x y z
2

7


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