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1.2.1《常见函数的导数》课件


常见函数的导数

一、复习引入
1.导数的几何意义: 曲线在某点处的切线的斜率; 导数的物理意义: 物体在某一时刻的瞬时度。

(瞬时速度或瞬时加速度)

2、如何求切线的斜率?
y

y=f(x)

Q

割 线
T

>
切线

o

P

x

k PQ

f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ?x

( ?x ? 0时,k PQ无限趋近于点 处切线的斜率 当 P )

3、导数:函数在某点处的瞬时变化率 设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义, x0∈(a,b),若△x无限趋近于零时,比值

?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? ?x ?x
无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0 处可导,并称该常数A为函数f(x)在x=x 0处 的导数,记作f/(x0).

4、由定义求导数(三步法) 步骤:

(1) 求增量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x);
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) (2) 算比值 ? ; ?x ?x ?y (3)当?x ? 0, ? 常数 ?x

二、知识新授
几种常见函数的导数: 公式一: C ? = 0 (C为常数)

(kx+b)/=k

(1)( ?2 x ? 3)? ?-2 ( 4) x? ? 1 ( 2)( ?2 x)? ? -2 (5)( x ? 5)? ? 1 (3)3? ? 0 (6)( ?4)? ? 0
通过以上运算我们能得到什么结论?

公式二: ( x ) ? ?x

? '

? ?1

(?是常数)
2

(1) x? ? 1
(2)( x )? ? 2 x
2

(3)(3x )? ? 6 x 1 1 (4)( )? ? ? 2 x x

通过以上运算我们能得到什么结论?

三、知识应用
例1:求下列函数的导数:

? x ? ? 3x
3 '

3?1

? 3x
' ?2

2

? 1 ? ? 2? ?x ?

'

? ?x

? ? ?2x
?3

?2?1

? ?2x

2 ?? 3 x

? ?

? ?' 1 x ? ? x ?? x 2 ? ? 1 1 1 ?2 ? x ? 2 x 2
'
1 2

1 ?1 2

公式三:

(sin x)? ? cos x

公式四:

(cos x)? ? ? sin x

例2: 求下列函数的导数:

(1) y ? x (2) y ? x
4

?3

解:

(1) y? ? ( x )? ? 4 x
4
?3

4 ?1

? 4x

3
?4

(2) y? ? ( x )? ? ?3x

?3?1

? ?3x

解:

1 ?1 ?1?1 (3) ? ( )? ? ( x )? ? ?1x x 1 ?2 ? ?x ? ? 2 x

1 (3) y ? x

(4) y ? x
解:

(4) ? y ? x ? x
1 2 1 ?1 2

1 2

1 1 ? y? ? ( x )? ? x ? 2 2 x

(5) y ? sin 45
解:

0

(6)u ? cos v
2 (5) y? ? (sin 45 )? ? ( )? ? 0 2
o

(6)u? ? (cos v)? ? ? sin v

例3: (1)已知y ? x , 求f ?(2).
3

解:? y ? ? ( x 3 )? ? 3 x 3 ? 1 ? 3 x 2

?(2) ? 3 ? (2) 2 ? 12 ?f

? ? ( x ? 2 ) ? ? ? 2 x ? 2 ? 1 ? ?2 x ? 3 解:? y
?3

1 (2)已知y ? 2 , 求f ?(3). x

1 2 ? f ?(3) ? ?2 ? (3) ? ?2 ? ? ? 27 27

公式五:对数函数的导数

公式六:指数函数的导数
x x

1 (1) (log a x)? ? (a ? 0, a ? 1). x ln a 1 (2) (ln x)? ? . x
(1) (a )? ? a ln a(a ? 0, a ? 1).
(2) (e )? ? e .
x x

四、例题讲解

? 1 , 1:求过曲线y=cosx上点P( ) 3 2
的切线的直线方程.
? ?
解: f ( x) ? cos x,? f ( x)? ? ? sin x, ? 3 ? f ?( ) ? ? sin ? ? . 3 3 2 ? 1

3 故曲线在点P( , )处的切线斜率为? , 3 2 2 1 3 ? ? 所求的直线方程为y ? ? ? ( x ? ), 2 2 3 3? 即 3x ? 2 y ? 1 ? ? 0. 3

2:若直线y=4x+b是函数y=x2图象
的切线,求b以及切点坐标.
解 : 设切点P( x0 , y0 ) f ?( x) ? ( x )? ? 2 x
2

2 x0 ? 4, x0 ? 2,? y0 ? 2 ? 4
2

即切点坐标(2,4), 由题意得此点也在直线y ? 4 x ? b上 ? 4 ? 4 ? 2 ? b, b ? ?4

切线相关问题的处理方法
? ? ? ? 设出切点坐标(如果没有交待切点坐标) 求出切点处的导数得切线的斜率 切点在切线上,代入切线方程 切点在曲线上,代入曲线方程
可能顺序有变化,但一定跟以上四点相关

拓展研究
若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.
解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0), 则有: y0=3x0+1 ①, y0=ax03 ②, 3ax02=3. ③ 由①,②得3x0+1=ax03, 由③得ax02=1, 代入上式可得: 3x0+1=x0, x0=-1/2. 所以a?(-1/2)2=1,a=4.

四、课堂小结:

C? ? 0(C为常数)

x ? ?x (?为常数) (sin x)? ? cos x
(cos x)? ? ? sin x

?

? ?1

公式五:对数函数的导数

公式六:指数函数的导数
x x

1 (1) (log a x)? ? (a ? 0, a ? 1). x ln a 1 (2) (ln x)? ? . x
(1) (a )? ? a ln a(a ? 0, a ? 1).
(2) (e )? ? e .
x x


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