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43东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--空间角和距离A


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A

空间的角和距离 A 一、知识梳理
1.异面直线 a , b 所成的角: (1)定义:过空间上一点 P(注意取图形中的特殊点)作 a1 // a 、 b1 // b ,则 a1 与 b1 所成的锐角或直角就叫做异面直线 a , b 所成的角范围。 (2)范围: (0 ,

r />
?
2

]

(3)求法: 平移法: 向量法:两直线所在的向量的夹角,异面直线所成的角与夹角相等或互补。 2.直线与平面所成的角: (1)定义:若直线是平面的斜线,其求法是:找出直线 PA 在平面 ? 内的射影 AO , 则锐角 ?PAO 就是直线 PA 与平面 ? 所成的角。 a // ? 或 a ? ? , 若 则直线 a 与平 面 ? 所成的角为 0 ;若 a ? ? ,则直线 a 与平面 ? 所成的角为 (2)范围: [0 , ? ] 2 (3)求法: 定义法; 向量法: ①找出射影,求线线角; ②求出平面的法向量n, 直线的方向向量a, 设线面角为 θ ,

? ; 2

? ? ? ? n?a 则 sin? ?| cos ? n, a ?|?| ? ? |. | n |?| a |

a n

θ

3.二面角: (1) 、定义法:在棱上任取一点,过这点在两个面内分别引棱的垂线,这两条射 线所成的角就是二面角的平面角。 (注意二面角的五个条件) (2) 、三垂线定理及逆定理法(选学内容) :自二面角的一个面上的一点向另一 个面引垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线,和斜足与垂 足连线所夹的角即为二面角的平面角。 (3) 、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面,截二面角的两条射线所成 的角就是二面角的平面角。

1

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(4) 、投影法:利用 s 投影面=s 被投影面 cos ? 这个公式对于斜面三角形,任意多边形 都成立,是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 (5) 、异面直线距离法: 2 EF =m2+n2+d2-2mn cos ? (6) 、向量法: 设 n1 , n2 分别为平面 ? , ? 的法向量,二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? ,向 量 n1 , n2 的夹角为 ? ,则有 ? ? ? ? ? (图 1)或 ? ? ? (图 2)

n2

?ω n1

?

n1

α θ l
图1

α θ β l
图2

β
n2

构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面 角.具体情况要根据题中所成二面角的大小来确定,向量求出的二面角是一个重要的 参考值. 4.空间的距离 (A)点到平面的距离求法: (1)直接法:过点 P 作平面 ? 的垂线,垂足 A ,则 PA 是点 P 到平面 ? 的距离; (2)等体积法:利用三 棱锥的体积相等,求点到平面的距离。 (3)转移法: (4)向量法:点 M 到面的距离d = |MN|cosθ (就是斜线段 MN 在法向量n方向上的正投影. 由n ? MN = |n||MN|cosθ 得距离公式: d =
|n ?MN | |n |

(B)线面距离,面面距离可以转化为点到平面的距离求法 二、题型探究 [探究一] 线线角

2

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例 1:如图 1,在三棱锥 S—ABC 中, ?SAB ? ?SAC ? ?ACB ? 90? , AC ? 2 ,

BC ? 13 , SB ? 29 ,求异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值。

S

A C

B

图1 解法 1:用公式

图2

当直线 AB∩平面 ? ? A ,AB 与 ? 所成的角为 ? 1 ,l 是 ? 内的一条直线,l 与 AB 在

? 内 的 射 影 AB' 所 成 的 角 为 ? 2 , 则 异 面 直 线 l 与 AB 所 成 的 角 ? 满 足

cos? ? cos? 1 cos? 2 。以此为据求解, 由题意,知 SA? 平面 ABC, AC?BC ,由
三垂线定理,知 SC?BC ,所以 BC? 平面 SA C。因为 AC ? 2 ,BC ? 13,SB ? 29 ,由 勾股定理, 得 在 在 AB ? 17 ,SA ? 2 3,SC ? 4 。 Rt?SAC 中,cos?SCA ? AC ? 1 , Rt?ACB
SC 2

中, cos?CAB ? AC ? 2 。设 SC 与 AB 所成角为 ? ,则, cos? ? cos ?SCA ? cos ?CAB ? 17 17 AB 17 解法 2:平移 过点 C 作 CD//BA,过点 A 作 BC 的平行线交 CD 于 D,连结 SD,则 ?SCD 是异 面直线 SC 与 AB 所成的角,又四边形 ABCD 是平行四边形。由勾股定理,得:

DC ? AB ? 17 ,SA ? 2 3,SD ? 5 。
S

A

B C

D

3

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在 ?SCD 中,由余弦定理,得: cos?SCD ? SC 2 ? DC 2 ? SD 2
2 ? SC ? DC

?

17 17



点评:若不垂直,可经过如下几个步骤求解: (1)恰当选点,作两条异面直线的平行 线,构造平面角 ? ; (2)证明这个角 ? (或其补角)就是异面直线所成角; (3)解 三角形(常用余弦定理) ,求出所构造角 ? 的度数 [题型二] 线面角 (1) .直接法 : 平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。 通常是解 由斜线段,垂线段,斜线在平面内的射影所组成的直角三角形,垂线段是其中最重要 的元素,它可以起到联系各线段的作用。 例 1 ( 如图 1 ) 四面体 ABCS 中, SA,SB,SC 两两垂直, ∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点,求(1)BC 与平面 SAB 所成的角。 (2)SC 与平面 ABC 所成的角。 解:(1) ∵SC⊥SB,SC⊥SA,
C

H

S M A

B

图1

∴SC⊥平面 SAB 故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB 上的射影, ∴∠SBC 是直线 BC 与平面 SAB 所成的角为 60°。 (2) 连结 SM,CM,则 SM⊥AB, 又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面 SCM, ∴面 ABC⊥面 SCM 过 S 作 SH⊥CM 于 H, 则 SH⊥平面 ABC ∴CH 即为 SC 在面 ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。 sin ∠SCH=SH/SC ∴SC 与平面 ABC 所成的角的正弦值为√7/7 ( “垂线”是相对的,SC 是面 SAB 的垂线,又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据 面面垂直的性质定理,其思路是:先找出与已知平面垂直的平面,然后一面内找出或

4

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作出交线的垂线,则得面的垂线。 ) (2). 利用公式sinθ =h/ι 其中θ 是斜线与平面所成的角, h是 垂线段的长,ι 是斜线段的长,其中求出 垂线段的长(即斜线上的点到面的距离)既是关键又是难点,为此可用三棱锥的体积 自等来求垂线段的长。 例 2 ( 如图 2) 长方体 ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 , AB 与面 AB1C1D 求 所成的角。 解:设点 B 到 AB1C1D 的距离为 h, ∵VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1∴1/3 S△AB1C1· 1/3 S△BB1C1· h= AB,易得 h=12/5 设AB 与 面 A B1C1D 所成的角为θ
D A 3 2 B C

,则sinθ

=h/AB=4/5

4 D1 A1

H C1 B1

图2

∴AB 与面 AB1C1D 所成的角为 arcsin 4/5 (3). 利用公式 cosθ =cosθ 1· cosθ 2 (如图3) 若 OA为平面的一条斜线, O为斜足, OB为OA在面α 内的射影,OC为 面α 内的一条直线,其中θ 为OA与OC所成的 角, 图3θ 1为OA与OB所成的角,即线面角,θ B O cos C 2为OB与OC所成的角,那么 cosθ =cosθ 1· α θ 2 (同学们可自己证明) ,它揭示了斜线和平 面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角 (常称为最小 角定理) 例 3(如图 4) 已知直线 OA,OB,OC 两两所成的角为 60°, ,求直线 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值。 解:∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面 OBC 内的射影 A 在∠BOC 的平分线 OD 上,则 ∠AOD 即为 OA 与面 OBC 所成的角,可知
B O D C α

A

5

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∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD· cos∠DOC ∴cos60°=cos∠AOD· cos30° ∴ cos∠AOD= √3/3 ∴ OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值为√3/3。 图4 (4)向量法: ①找出射影,求线线角; ②求出平面的法向量 n ,直线的方向向量 a ,设线

?

?

a n

? ? ? ? n?a 面角为 θ ,则 sin? ?| cos ? n, a ?|?| ? ? |. | n |?| a |

θ

[题型探究三]:二面角: 例 4. (2009 重庆卷文) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)问 7 分, (Ⅱ)问 6 分)

? 如题 (18) 在五面体 ABCDEF 中,AB ∥ DC , BAD ? 图,
四 边 形 ABFE 为 平 行 四 边 形 , FA ? 平 面

?
2
z

,CD ? AD ? 2 ,

ABCD , FC ? 3, ED ? 7 .求:
二面角 F ? AD ? E 的平面角的正切值.
x B

F

E

G

A

解法一: 由己知, FA ? 平面 ABCD ,得 FA ? AD,又由

C

D y

,知 AD ? AB ,故 AD ? 平面 ABFE ? DA ? AE ,所以, ?FAE 为 2 二面角 F ? AD ? E 的平面角,记为 ? .

?BAD ?

?

在 Rt △ AED 中, AE ? 而 ?AFE ?

ED2 ? AD2 ? 7 ? 4 ? 3 ,由 ? ABCD 得, FE ? BA ,从 FE ? AE2 ? AF 2 ? 3 ?1 ? 2
, 故

?
2

在 Rt △ AEF 中 ,

tan ? ?
解法二:

FE ? 2 所以二面角 F ? AD ? E 的平面角的正切值为 2 . FA

如图以 A 点为坐标原点, AB, AD, AF 的方向为 x, y , z 的正方向建立空间直角坐标系 数,则 A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设 F (0,0, z0 ) 因四边形 ABFE 为平行 ( z0 ? 0) ,

??? ???? ??? ? ?

6

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四 边 形 , 则 可 设 E ( x0 ,0,1)

??? ? ??? ? ( x0 ? 0) , ED ? (?x0 2, ?1) . 由 | ED |? 7 得

??? ? 2 x0 ? 22 ? 1 ? 7 , 解 得 x 0 ? ? 2 . 即 E(? 2,0,1) . 故 AE ? (? 2,0,1) 由
???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? AD ? (0, 2,0) , AF ? (0,0,1) 因 AD ? AE ? 0 , AD ? AF ? 0 , 故 ?FAE 为 二 面 角
F ? AD ? E 的 平 面 角 , 又 ? EF ? ( 2,0,0) , | EF |? 2 , | AF |? 1 , 所 以

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? | EF | ? tan ?FAE ? ??? ? 2 | FA |
点评:线面距离往往转化成点面距离来处理,最后可能转化为空间几何体的体积 求得,体积法不用得到垂线。 [题型探究四]:空间距离 三、方法提升: 1.转化思想: ① 线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行,线 ? 线 ? 线 ? 面 ? 面 ? 面 ② 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形 2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平 行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后 再证 3.二面角的平面角的主要作法:①定义 ②三垂线定义 ③ 垂面法 四、反思感悟:

五、课时作业: 一、填空题 0 0 1.如图,直线 a、b 相交与点 O 且 a、b 成 60 ,过点 O 与 a、b 都成 60 角的直线有 ( C ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 2.江苏?理) ( 正三棱锥 P-ABC 高为 2, 侧棱与底面所成角为 45 , 则点 A 到侧面 PBC 的距离是( B ) A. 4 5 B. 6 5 C.6 D. 4 6
?

3. (全国Ⅰ?理)如图,正四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 2 AB ,

7

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则异面直线 A1 B与AD1 所成角的余弦值为( D )
1 A. 5
2 5 B.
3 5 C.

4 5 D.

4.已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线的长为 2 6 ,则侧面与底面所成的二面角 等于

? . 3
? 6

5. (四川?理)如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱长为 2 ,底面三角形的边长 为 1,则 BC1 与侧面 ACC1A1 所成的角是 . 6.在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1, E、F 分别为 BC 与 A1D1 的中点, (1) 求直线 A1C 与 DE 所成的角; (2) 求直线 AD 与平面 B1EDF 所成的角; (3) 求面 B1EDF 与 面 ABCD 所成的角。 (1)如图,在平面 ABCD 内,过 C 作 CP//DE 交直 线 AD 于 P,则 ?A1CP (或补角)为异面直线 A1C 与 DE 所成的角。在 Δ

A1CP 中,易得
5 13 a, A1 P ? a ,由余弦定理 2 2

A1C ? 3a, CP ? DE ?
得 cos?A1CP ?

15 。 15

故异面直线 A1C 与 DE 所成的角为 arccos

(2)? ?ADE ? ?ADF , ∴AD 在面 B1EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上。而 B1EDF 是菱形,∴DB1 为∠EDF 的平分线。故直线 AD 与面 B1EDF 所成的角为∠ADB1.在 RtΔ B1AD 中,

15 。 15

O

3 。 3 (3)连结 EF、B1D,交于点 O,显然 O 为 B1D 的中点,从 而 O 为正方体 ABCD—A1B1C1D1 的中心, OH⊥平面 ABCD, H 为正方形 ABCD 的中心。 作 则 再作 HM⊥DE, 垂足为 M , 连结 OM, OM⊥DE 三垂线定理) 故∠OMH 为二面角 B1-DE-A 则 ( , 的平面角。 2 3 5 在 RtΔ DOE 中 OE ? a, OD ? a, DE ? a, 2 2 2 OD ? OE 30 则由面积关系得 OM ? ? a。 DE 10 OH 30 在 RtΔ OHM 中 sin ?OMH ? 。 ? OM 6

AD ? a, AB1 ? 2a, B1 D ? 3a, 则 cos?ADB1 ?

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7.如图,在 Rt?AOB中,∠OAB = ,斜边 AB=4.Rt?AOC可以通过 Rt?AOB以直线 AO
6

π

为轴旋转得到,且二面角 B-AO-C 是直二面角.动点 D 的斜边 AB 上. (I)求证:平面 COD⊥平面 AOB; (II)当 D 为 AB 的中点时,求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小; (III)求 CD 与平面 AOB 所成角的最大值. A 解法一: (I)由题意, CO ? AO , BO ? AO ,

??BOC 是二面角 B ? AO ? C 是直二面角, 又? 二面角 B ? AO ? C 是直二面角, ? CO ? BO ,又? AO ? BO ? O ,

D

? CO ? 平面 AOB , E B O CO ? 平面 COD . 又 C ? 平面 COD ? 平面 AOB . (II)作 DE ? OB ,垂足为 E ,连结 CE (如图) ,则 DE ∥ AO , ??CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角. 1 OE ? BO ? 1 2 在 Rt△COE 中, CO ? BO ? 2 , , 1 D E ? A O? 3 2 2 ?CE ? CO ? OE ? 5 . 又 2 . ? 在 Rt△CDE 中 ,

t a nCDE ?

CE 5 15 ? ? DE 3 . 3 (III)由(I)知, CO ? 平面 AOB ,
tan CDO ? OC 2 ? OD OD .

??CDO 是 CD 与平面 AOB 所成的角,且 当 OD 最小时, ?CDO 最大,

OA? OB 2 3 ? 3 tan CDO ? AB 3 , 这时, OD ? AB ,垂足为 D , , 2 3 arctan ? CD 与平面 AOB 所成角的最大值为 3 . z 解法二: A (I)同解法一. ( II ) 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O ? xyz , 如 图 , 则 OD ?

O( 0 0 0 , A(0,2 3) , C (2, 0) , D(0, 3) , , ) , 0, 0, 1 , ??? ? ??? ? ?OA ? (0,2 3) , CD ? (?2, 3) , 0, 1 ,
O

D

x C
9

B y

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OA? CD 6 6 ? cos ? OA, ?? ??? ??? CD ? ? OA ?CD ? 2 3?2 2 ? 4 .

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(III)同解法一 【变式】 如右下图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、BC 上的点,且 EB= FB=1. (1) 求二面角 C—DE—C1 的正切值; (2) 求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值.

D1

C1 B1

A1

D F B

C

A

E

解: (I)以 A 为原点, AB, AD, AA 分别为 x 轴,y 轴, 1 z 轴的正向建立空间直角坐标系,则有 D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、 C1(4,3,2),故 DE ? (3,?3,0), EC1 ? (1,3,2), FD ? (?4,2,2) 1 设向量 n ? ( x, y, z) 与平面 C1DE 垂直,则有
n ? DE ? 3x ? 3 y ? 0 ? 1 ? ?? ?? x ? y ?? z x ? 3 y ? 2 z ? 0? 2 n ? EC1 ? ? ? n ? (? z z z ,? , z ) ? ( ?1,?1,2), 其中z ? 0 2 2 2

取n0 ? ( ?1,?1,2), 则n0 是一个与平面 1 DE垂直的向量 C , ?向量 AA ? (0,0,2)与平面CDE垂直, 1 ? n0 与 AA 所成的角?为二面角C ? DE ? C1的平面角 1 ? cos? ? ? t an? ? n0 ? AA 1 | n0 | ?| AA | 1 ? ? 1? 0 ? 1? 0 ? 2 ? 2 1?1? 4 ? 0?0?4 ? 6 3

2 2 (II)设 EC1 与 FD1 所成角为 β ,则

cos ? ?

EC1 ? FD1 | EC1 |? | FD1 |

?

1 ? (?4) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 1 ? 3 ? 2 ? (?4) ? 2 ? 2
2 2 2 2 2 2

?

21 14

8.如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点。 (Ⅰ) 求证: 1⊥面 A1BD; AB (Ⅱ) 求二面角 A-A1D -B 的大小; 分析:本小题主要考查直线与平面的位置关系, 二面角的大小,点到平面的距离等知识,考查空间想 象能力、逻辑思维能力和运算能力. 解答:解法一: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO .

?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC .

? 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 平面 ABC ⊥ 平面

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BCC1B1 ,
? AO ⊥ 平面 BCC1B1 .连结 B1O ,在正方

BB C C BC,CC1 的中点, 形 1 1 中, O,D 分别为 ? B1O ⊥ BD , ? AB1 ⊥ BD .

A

A1

ABB1 A1 中 , AB1 ⊥ A1B , 在 正方 形 ? AB1 ⊥平面 A1BD . AB1 与 A1B 交 于 点 G , 在 平 面 B A1BD 中, GF ⊥ A1D 于 F , 作 连结 AF , (Ⅰ) 由
(Ⅱ)设 得

F C O D

C1

B1

AB1 ⊥平面 A1BD . ? AF ⊥ A1D ,
?∠AFG 为二面角 A ? A1D ? B 的平面角.在 △AA1D 中,由等面积法可求得

AF ?

1 4 5 ? AG ? AB1 ? 2 2 5 ,又 , ? △A1BD 中,BD ? A1D ? 5,A1B ? 2 2, S△ A1BD ? 6 ,S△BCD ? 1 . (Ⅲ) BCC1B1 的距离为 3 . A 在正三棱柱中, 1 到平面
设点 C 到平面

? sin ∠AFG ?

AG 2 10 ? ? AF 4 5 4 5 .

A1BD 的距离为 d .

3S△ BCD 2 1 1 ?d ? ? S△ A1BD 2 V ? VC ? A1BD 3 S△ BCD ? 3 ? 3 S△ A1BD ?d 由 A1 ? BCD 得 , . 2 A1BD 的距离为 2 . ? 点 C 到平面 解法二: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO . ?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC .

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? 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 平面 ABC ⊥ 平 BCC1B1 , ? AD ⊥ 平面 BCC1B1 . B1C1 中点 O1 , 面 取 ? ??? ???? ??? ? ? OO1 , OA 的方向为 x,y,z 轴 以 O 为原点, OB , , , , 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 B(1 0 0 )

z

A

A1
F C D

O 2, 2, D(?11, , A (0, 3) , A(0, 3) , B1 (1, 0) , ,0) 0, 1 ???? ??? ? B ? AB1 ? (1 2, 3) ,? BD ? (?2,0) 1 , B1 , , ???? ???? ??? ? x BA1 ? (?1 2,3) . ? AB1 ?BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 , , ???? ???? ???? ??? ???? ???? ? AB1 ?BA1 ? ?1? 4 ? 3 ? 0 , ? AB1 ⊥ BD , AB1 ⊥ BA1 . ? AB1 ⊥平面 A1BD .

C1
y

A1 AD 的法向量为 n ? ( x,y,z ) . ???? ???? 2, AD ? (?11 ? 3) , AA1 ? (0,0) . , , ???? ?n?AD ? 0, ?? x ? y ? 3z ? 0, ? y ? 0, ? ? ? ?? ?? ???? ? ? ???? ???? ? x ? ? 3z. ? ? ? ? n ⊥ AD , n ⊥ AA1 , ?n?AA1 ? 0, ?2 y ? 0,
(Ⅱ)设平面

A AD 的一个法向量. 01) , 令 z ? 1 得 n ? (? 3, 为平面 1

???? AB1 ⊥平面 A1BD , ? AB1 为平面 A1BD 的法向量. 由(Ⅰ)知 ???? ???? n?AB1 ? 3? 3 6 AB1 ?? ?? ???? ? 4 2?2 2 n ? AB1 cos ? n , .
【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置,它能考查学生分 析问题、解决问题的能力,两种方法各有优缺点,在向量方法中注意动点的设法,在 方法二中注意用分析法寻找思路。 【 变 式 】 在 梯 形 ABCD 中 , AB=BC=1 , AD=2 ,

?CBA ? ?BAD ? 90? ,沿对角线 AC 将折起,使点 B 在平
面 ACD 内的射影 O 恰在 AC 上。 (1)求证:AB ? 平面 BCD(2)求异面直线 BC 与 AD 所 成的角。 解:(1)在梯形 ABCD 中, AC ? DC ?
2 2 2

2 ,AD=2, ? AC ? DC ? AD ,? AC ? DC 又 BO ? 平面 ACD,故 AB ? CD 又 AB ? BC ,且 BC ? CD ? C ? AB ? 平面 BCD (2)因为 BA=BC, BO ? AC , ? O 为 AC 中点,取 CD 中点 E,AB 中点 F,连结 OE、OF、EF,则 OE//AD, OF//BC,所以 AD 与 BC 所成的角为 ?EOF 或其补角. 作 FH//BO 交 AC 于 H,连结 HE, 则 FH ? 平面 ACD

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? 2 ? ?3 2 ? ? 2 ? 7 ? ? ? ? ? ? EF ? FH ? EH ? FH ? HC ? EC ? ? ? 4 ? ?? 4 ? ?? 2 ? ? 4 ? ? ? ? ? ?
2 2 2 2 2 2

2

2

2

1 ,EO=1 2 1 ? 由余弦定理知 cos ?EOF ? ? ,? ?EOF ? 120 2 ? 故异面直线 BC 与 AD 所成的角为 120
在三角形 EOF 中,又? FO ? 【点晴】折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别,本题使用空间向量的方 法也不失一种好方法。 9.在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA⊥面 ABCD,PA=AB=a,E 为 BC 中点. (1)求平面 PDE 与平面 PAB 所成二面角的大小; (2)求平面 PBA 与平面 PDC 所 成二面角的大小 解: (1)延长 AB、DE 交于点 F,则 PF 为平面 PDE 与平面 PAD 所成二面角的棱, ∵PA⊥平面 ABCD, ∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A ∴DA⊥平面 BPA 于 A, 过 A 作 AO⊥PF 于 O,连结 OD, 则∠AOD 即为平面 PDE 与平面 PAD 所成二面角的平面角。 得 tan?AOD ?

5 , 2

(2)解法 1(面积法)如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A ∴DA⊥平面 BPA 于 A, 同时 BC⊥平面 BPA 于 B, ∴△PBA 是△PCD 在平面 PBA 上的射影, 设 平 面 PBA 与 平 面 PDC 所 成 二 面 角 大 小 为 θ , 0 cosθ =S△PAB/S△PCD= /2 θ =45 ,即平面 BAP 与平面 PDC 所成的二面角的大小为 45°。 解法 2(补形化为定义法)如图将四棱锥 P-ABCD 补形 得正方体 ABCD-PQMN,则 PQ⊥PA、PD,于是∠APD 是两 面所成二面角的平面角。 在 Rt△PAD 中, PA=AD, 则∠APD=45°。即平面 BAP 与平面 PDC 所成二面角的 大小为 45°。 【点晴】求线面角、面面角关键在于准确作出角,同 样遵循一作二证三计算的步骤,但应用面积射影法求 二面角可避免找角,同学们注意经常使用。 10.如图,四面体 ABCD 中, O、E 分别是 BD、BC 的中 点,

A

M O D C

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.

B

E

(I)求证: AO ? 平面 BCD; (II)求异 面直线 AB 与 CD 所成角的大小; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离。 方法一: (I)证明:连结 OC

13

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? BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. ? BO ? DO, BC ? CD,?CO ? BD.
在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2,

? AO2 ? CO2 ? AC 2 ,

??AOC ? 90o , 即 AO ? OC.
? BD ? OC ? O, ? AO ? 平面 BCD
(II)解:取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点知

ME∥AB,OE∥DC ? 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角
在 ?OME 中,

EM ?

1 2 1 AB ? , OE ? DC ? 1, 2 2 2
? OM ? 1 AC ? 1, 2

? OM 是 直 角 ?A O C斜 边 AC 上 的 中 线 , 2 ? cos ?OEM ? , 4 (III)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .

1 1 ?VE ? ACD ? VA?CDE ,? h.S ?ACD ? . AO.S ?CDE . 3 3


?ACD





C ?

A2

? ,C

D?

1 2 7 ? S?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( )2 ? . 2 2 2 而
?h ? AO.S ?CDE ? S ?ACD 1? 3 2 ? 21 . 7 7 2

1 3 2 3 AO ? 1, S?CDE ? ? ?2 ? , 2 4 2

21 . ? 点 E 到平面 ACD 的距离为 7
方法二: (I)同方法一。 (II)解:以 O 为原点,如图建立空间 直角坐标系,则 B(1,0,0), D(?1,0,0),
z A

??? ? ??? ? 1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), BA ? (?1, 0,1), CD ? (?1, ? 3, 0). 2 2
D O

14

x

B

E

C

y

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??? ??? ? ? ??? ??? ? ? BA.CD 2 ? cos ? BA, CD ?? ??? ??? ? , ? ? 4 BA CD

? n ? ( x, y, z), 则 ? ???? ?n. AD ? ( x, y, z ).(?1, 0, ?1) ? 0, ? x ? z ? 0, ? ? ?? ? ? ???? ? 3 y ? z ? 0. ?n. AC ? ( x, y, z ).(0, 3, ?1) ? 0, ? ? ? 令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量。
??? ? 1 EC ? (? , 2 又 ??? ? ? EC.n h? ? ? n 3 , 0), 2 ? 点 E 到平面 ACD 的距离

(III)解:设平面 ACD 的法向量为

3 21 ? . 7 7

【点晴】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的 距离基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。 【变式】已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 1,M 是底面 BC 边上的中 点,N 是侧棱 CC1 上的点,且 CN=2C1N. (Ⅰ) 求二面角 B1-AM-N 的平面角的余弦值; (Ⅱ) 求点 B1 到平面 AMN 的距离。 解(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则

B1 (0,0,1),

1 2 3 1 ? , ,0 M(0, 2 ,0),C(0,1,0), N (0,1, 3 ) , A ( 2 2 ), ???? ? ???? ? ???? ? 1 1 2 3 AM ? ( , 0, 0) MB1 ? (0, ? ,1) MN ? (0, , ) 2 , 2 3 2 所以 , ???? ???? ? ? 3 1 MB1 ?AM ? ? 0 ? 0 ? ( ? ) ? 0 ?1 ? 0 2 2 因为 ???? ???? ? ? ???? ???? ? ? MB1 ? AM ,同法可得 MN ? AM 。 所以

???? ???? ? ? MB1, MN ﹥为二面角 B1 —AM—N 的平面角 故﹤ ???? ???? ? ? MB1 ? MN 5 . ???? ???? ? ? ? ???? ???? ? ? 5 MB1 ? MN MB1, MN ﹥= ∴ cos ﹤

5 B 故二面角 1 —AM—N 的平面角的余弦值为 5 。

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(Ⅱ)设 n=(x, y, z)为平面 AMN 的一个法向量,则由 n ? AM , n ? MN 得

???? ?

???? ?



? 3 ?x ? 0 x?0 ? ? 2 ? ?? 4 ? 1 2 3 ? y? z ?0 ?y ? ? 3 z n ? (0, ? ,1) ? ?2 3 ? 4 , 故可取 ???? ? MB ? n 2 5 cos a ? ????1 ? ? ???? ? 3 MB1 ? n MB
1

与 n 的夹角为 a,则



???? ? 5 2 5 MB1 ? cos a ? ? ?1 B1 到平面 AMN 的距离为 2 5 所以 。
11.如图,所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其 中 AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1. (Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到平面 AEC1F 的距离. 解法 1: (Ⅰ)过 E 作 EH//BC 交 CC1 于 H,则 CH=BE=1,EH//AD,且 EH=AD. ∵AF∥EC1,∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1. ∴DF=C1H=2. ? BF ? BD ? DF ? 2 6. (Ⅱ)延长 C1E 与 CB 交于 G,连 AG, 则平面 AEC1F 与平面 ABCD 相交于 AG. 过 C 作 CM⊥AG,垂足为 M,连 C1M, 由三垂线定理可知 AG⊥C1M.由于 AG⊥面 C1MC, 且 AG ? 面 AEC1F,所以平面 AEC1F⊥面 C1MC. 在 Rt△C1CM 中,作 CQ⊥MC1,垂足为 Q,则 CQ 的长即为 C 到面 AEC1F 的距离.
2 2



EB BG ? 可得, BG ? 1, 从而AG ? CC1 CG

AB 2 ? BG 2 ? 17. 4 17 ? 12 17 ,

由?GAB ? ?MCG知, CM ? 3 cos MCG ? 3 cosGAB ? 3 ? CM ? CC1 ? CQ ? ? MC1 3? 12 17 122 17 ? 4 33 . 11

32 ?

解法 2: (I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) ,B(2,4,0) , A(2,0,0) ,C(0,4,0) ,E(2,4,1) ,C1(0,4,3).设 F(0,0,z). ∵AEC1F 为平行四边形,

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?由AEC1 F为平行四边形 , ?由AF ? EC1得, (?2,0, z ) ? (?2,0,2), ? z ? 2. ? F (0,0,2). ? EF ? (?2,?4,2). 于是 | BF |? 2 6 , 即BF的长为2 6 .
显然n1不垂直于平面 ADF, 故可设n1 ? ( x, y,1) (II) n1 为面 AEC1F 的法向量, 设

? x ? 1, ?n1 ? AE ? 0, ?0 ? x ? 4 ? y ? 1 ? 0 ?4 y ? 1 ? 0, ? ? 即? ?? 1 由? 得? ? 2 ? x ? 0 ? y ? 2 ? 0 ?? 2 x ? 2 ? 0, ? y ? ? 4 . ?n1 ? AF ? 0, ? ? ? ???? ?? ? ? CC ? n1 4 33 ? ? cos ? ? ???? 1 ?? ? . 33 | CC1 | ? | n1 | 又CC1 ? (0,0,3),设CC1与n1
的夹角为 a,则 ∴C 到平面 AEC1F 的距离为 【点晴】本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识,空间距离也遵 循一作二证三计算的步骤,但体积法是一种很好的求空间距离的方法,同学们不妨一 试。 【文】正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 8,对角线 B1C ? 10 ,D 是 AC 的中 点。 (1)求点 B1 到直线 AC 的距离. (2)求直线 AB1 到平面 C1 BD 的距离. 解: (1)连结 BD, B1 D ,由三垂线 定理可得: B1 D ? AC , 所以 B1 D 就是 B1 点到直线 AC 的距离。 在 Rt?B1 BD 中

d ?| CC1 | cos? ? 3 ?

4 33 4 33 ? . 33 11

BB1 ? B1C 2 ? BC 2 ? 10 2 ? 8 2 ? 6, BD ? 4 3 .


? B1 D ?

BD 2 ? B1 B 2 ? 2 21

A1

(2)因为 AC 与平面 BD 1 交于AC的中点D, 设 B1C ? BC1 ? E ,则 AB1 //DE,所以 AB1 //平面 C1 BD , 所以 AB1 到平面 BD

C

C1
B1

C1 的距离等于A点到平面 BD C1
A

D B

C 的距离,等于C点到平面 BD 1 的距离,也就等于三棱 ?VC?BDC1 ? VC1 ?BDC 锥 C ? BDC1 的高, ,

C

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1 1 12 13 ? hS ?BDC1 ? S ?BDC CC1 ?h ? 3 3 13 ,即直线 AB1 到平面 BD C1 的距离是 , 12 13 z _ 13 .
【点晴】求空间距离注意三点: 1.常规遵循一作二证三计算的步骤; 2.多用转化的思想求线面和面面距离; 3.体积法是一种很好的求空间距离的方法. 12.如图,在四棱锥 P—ABC 右,底面 ABCD 为矩形,侧 P _ E _ D _ o _ A _
8 _

y _ C _

B _ 棱 PA⊥底面 ABCD,AB= 3 ,BC=1,PA=2, E 为 PD 的 中点 (Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE⊥ 面 PAC,并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离 解法一: (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A、B、C、D、P、E 的坐标分别为
王新敞
奎屯 新疆

x _

A(0,0,0),B( 3 ,0,0),C( 3 ,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E(0, 从而 AC =( 3 ,1,0) PB =( 3 ,0,-2). , 设 AC 与 PB 的夹角为 ? ,则 cos ? ? ∴AC 与 PB 所成角的余弦值为

1 ,2). 2

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

3 2 7

?

3 7 , 14

3 7 14

王新敞
奎屯

新疆

(Ⅱ)N 点在侧面 PAB 内, 故可设 N 点坐标为(x, 0, z),则 ME ? ( ? x ,

???

1 2

, 1 ? z)

? NE ? AP ? 0, ?(? x , 1 , 1 ? z ) ? (0 , 0 , 2) ? 0, ? ? 2 由 NE⊥面 PAC 可得 ? 即? ? NE ? AC ? 0, ? 1 ? ?(? x , , 1 ? z ) ? ( 3 , 1 , 0) ? 0,
? ? 2

化简得 ?

? ? z ? 1 ? 0, 3 , ?x ? ?? ? 1 6 ?? 3x ? 2 ? 0. ? z ? 1. ? ?

即 N 点的坐标为(

3 3 ,0,1) ,从而 N 点到 AB、AP 的距离分别为 1, 6 6
1 1 7 5 PB= ,AE= PD= , 2 2 2 2

王新敞
奎屯

新疆

解法二: (Ⅰ)设 AC∩BD=O,连 OE,则 OE//PB,∴∠EOA 即为 AC 与 PB 所成的角 或其补角, 在 Δ AOE 中,AO=1,OE=

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东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043A

7 5 ? ∴ cos EOA ? 4 4 ? 3 17 , 即 AC 与 PB 所成角的余弦值为 3 17 14 14 7 2? ?1 2 1?

(Ⅱ)在面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 F,则 ?ADF ? 连 PF,则在 RtΔ ADF 中 DF=

?

6

.

AD 2 3 3. ? , AF ? AD tan ADF ? cos ADF 3 3
王新敞
奎屯 新疆

设 N 为 PF 的中点,连 NE,则 NE//DF, ∵DF⊥AC,DF⊥PA,∴DF⊥面 PAC 从而 NE⊥面 PAC ∴N 点到 AB 的距离=

王新敞
奎屯

新疆

1 1 3 AP=1,N 点到 AP 的距离= AF= 2 2 6

王新敞
奎屯

新疆

【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置,它能考查学 生分析问题、 解决问题的能力, 两种方法各有优缺点, 在向量方法中注意动点的设法, 在方法二中注意用分析法寻找思路。 13. (2009 天津卷理) (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 五 面 体 ABCDEF 中 , FA ? 平 面 ABCD, AD//BC//FE,AB ? AD,M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE=

1 A 2
(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; (III)求二面角 A-CD-E 的余弦值 方法一: (Ⅰ)解:由题设知,BF//CE,所以∠CED(或其补角)为异面直线 BF 与 DE
[来源:学§科§网][来源:学科网 ZXXK]

// // // 所成的角。设 P 为 AD 的中点,连结 EP,PC。因为 FE ? AP,所以 FA ? EP,同理 AB ?

PC。又 FA⊥平面 ABCD,所以 EP⊥平面 ABCD。而 PC,AD 都在平面 ABCD 内,故 EP⊥ PC,EP⊥AD。由 AB⊥AD,可得 PC⊥AD 设 FA=a,则 EP=PC=PD=a,CD=DE =EC= 2 a , 故∠CED=60°。所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60 (II)证明:因为 DC ? DE且M为CE的中点,所以 DM ? CE.连结MP,则MP ? CE.

[来源:学*科*网]

又MP ? DM ? M,故CE ? 平面AMD.而CE ? 平面CDE,所以平面 AMD ? 平面CDE.

(III) 解:设Q为CD的中点,连结 ,EQ.因为CE ? DE,所以EQ ? CD.因为 PQ PC ? PD,所以PQ ? CD,故?EQP为二面角A ? CD ? E的平面角 由 ( I ) 可 得 , .
EP ? PQ,EQ ?

PQ 3 6 2 cos ? , a,PQ ? a. 于是在Rt?EPQ中, ?EQP ? 2 2 . EQ 3

19


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