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2012届高三数学一轮总复习《名师一号》单元检测(人教A):第五章 平面向量


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2012 届高三数学一轮总复习 《名师一号》 单元检测 (人教 A) : 第五章 平面向量

时间:120 分钟 分值:150 分 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.称 d(a,b)=|a-b|为两个向量 a、b 间的“距离”.若向量 a、b 满足:①|b|=1;② a≠b;③对任意的 t∈R,恒有 d(a,tb)≥d(a,b),则( A.a⊥b C.b⊥(a-b) B.a⊥(a-b) D.(a+b)⊥(a-b) )

解析:依题意得|a-tb|≥|a-b|,即(a-tb)2≥(a-b)2,亦即 t2-2ta· b+(2a· b-1)≥0 对任 意的 t∈R 都成立,因此有 Δ=(-2a· 2-4(2a· b) b-1)≤0,即(a· b-1)2≤0,故 a· b-1=0,即 a· 2=b· b-b (a-b)=0,故 b⊥(a-b),选 C. 答案:C → → → → 2. 在△OAB 中, =a, =b, 是 AB 边上的高, OA OB OD 若AD=λAB, 则实数 λ 等于( a· ?a-b? A. |a-b| a· ?a-b? C. |a-b|2 a· ?b-a? B. |a-b| a· ?b-a? D. |a-b|2 )

→ → → → → → → → → → → AB OD· -OA· AB AB AD· AB ?OD-OA?· 解析:依题意得OD· =0,λ= AB = = 2 → → → ?b-a? AB2 ?OB-OA?2 → → → -OA· -OA? -a· ?OB ?b-a? a· ?a-b? = = = ,选 C. ?b-a?2 |a-b|2 |a-b|2 答案:C x1+y1 3.已知平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a· b=-6,则 的值 x2+y2 为( ) 2 A. 3 5 C. 6 2 B.- 3 5 D.- 6

解析:记向量 a 与 b 的夹角为 θ.注意到 a· b=|a||b|cosθ=-|a||b|,即 6cosθ=-6,∴cosθ
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x1+y1 2 2 2 =-1,θ=π,向量 a,b 反向且共线,∴a=- b,即(x1,y1)=- (x2,y2),∴ =- , 3 3 3 x2+y2 选 B. 答案:B 4. 已知向量 a、 满足|a|=1, b |b|=2, |2a+b|=2, 则向量 b 在向量 a 方向上的投影是( 1 A.- 2 1 C. 2 B.-1 D.1 )

解析:依题意得(2a+b)2=4,4a2+b2+4a· b=4,4+4+4a· b=4,a· b=-1,向量 b 在向量 a· b a 方向上的投影等于 =-1,选 B. |a| 答案:B → 1 → → → → → → 5.△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,AO= (AB+AC)且|OA|=|AB|,则BA· 为 BC 2 ( ) A.1 C.-1 B. 3 D.- 3

→ 1 → → → → 1→ 解析:由AO= (AB+AC),知 O 是 BC 的中点.又|OA|=|AB|=1= |BC|,∴△ABC 是 2 2 → → → → π π 1 直角三角形,且 B= ,∴BA· =|BA|· |· =1×2× =1.故选 A. BC |BC cos 3 3 2 答案:A → 7 6.(理)已知两点 M(-1,-6),N(3,0),点 P(- ,y)分有向线段MN的比为 λ,则 λ,y 3 的值为( ) 1 B. ,-8 4 1 D.4, 8

1 A.- ,8 4 1 C.- ,-8 4

7 ?-3=-1+3λ, ? 1+λ 解析:依题意得? -6+0 ?y= 1+λ , ? 答案:C

?y=-8, ? 解得? 1 ?λ=-4. ?

→ → 1 (文)若点 P 分有向线段AB所成的比为- ,则点 B 分有向线段PA所成的比是( 3 3 A.- 2
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)

1 B.- 2

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1 C. 2

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D.3

→ → → |AP| 1 解析: 由已知条件可得点 P 在线段 AB 的反向延长线上, 且 = , 因此向量PB与BA方 3 → |PB| → → |PB| 3 3 向相反且 = ,故点 B 分有向线段PA所成的比是- ,故选 A. 2 → 2 |BA| 答案:A → 7. 已知 A, C 是平面上不共线的三点, 为平面 ABC 内任一点, B, O 动点 P 满足等式OP → → → 1 = [(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC](λ∈R 且 λ≠0),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的 3 ( ) A.内心 C.外心 解析: B.垂心 D.重心

依题意,设△ABC 的三边 AB、BC、CA 的中点分别为 H、M、N,AM、CH、BN 的交 → 1 → → → 点为 G.OP= [(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC] 3 → → → → → → → 1 1 = [(1-λ)(OB+BA)+(1-λ)OB+(1+2λ)OC]= [2(1-λ)(OC+CB)+(1-λ)BA+(1+ 3 3 → → → → → ?1-λ? → → → ?1-λ? → 1 → 2λ)OC]= [3OC+2(1-λ)CB+(1-λ)BA], 所以OP-OC= (2CB+BC+CA)= (CB 3 3 3 → 2?1-λ? → → 2?1-λ? → +CA)= CH,即CP= CH,所以点 P 的轨迹一定通过△ABC 的重心,选择 D. 3 3 答案:D 8.平面向量的集合 A 到 A 的映射 f 由 f(x)=x-2(x· 确定,其中 a 为常向量.若映射 a)a f 满足 f(x)· f(y)=x· 对任意的 x,y∈A 恒成立,则 a 的坐标不可能是( y A.(0,0) C.? 2 2? ?2,2? B.? 2 2? ?4,4? )

1 3 D.?- , ? ? 2 2?

解析:由题意知,f(x)· f(y)=[x-2(x· [y-2(y· a)a]· a)a]=x· y-4(x· (y· a)· a)+4(x· (y· a2= a)· a)· x· y,即 4(x· (y· (a2-1)=0 对任意的 x,y∈A 恒成立,则 x· a)· a)· a=0,或 y· a=0,或 a2-1=0
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即|a|=1,结合各选项知,选 B. 答案:B

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2 9.在△ABC 中,∠C=120° ,tanA+tanB= 3,则 tanAtanB 的值为( 3 1 A. 4 1 C. 2 1 B. 3 5 D. 3

)

tanA+tanB 2 3 解析:tan(A+B)= =tan(180° -C)=tan60° 3,将 tanA+tanB= = 代入, 3 1-tanAtanB 1 得 tanAtanB= ,故选 B. 3 答案:B 10.在△ABC 中,a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 所对边的长,若 bsinA=asinC, 则△ABC 的形状是( A.钝角三角形 C.等腰三角形 ) B.直角三角形 D.等腰直角三角形

b sinC c 解析:由题设及正弦定理得 = = ,化简得 b=c,故△ABC 为等腰三角形,故选 a sinA a C. 答案:C π 11.已知向量 a=(cosθ,sinθ),b=(cosφ,sinφ),若 θ-φ= ,则向量 a 与向量 a+b 3 的夹角是( π A. 3 5π C. 6 ) π B. 6 2π D. 3

→ → 解析:以原点 O 为起点分别表示向量 a=OA,b=OB,易知相应的终点 A,B 位于以原 → → π 点 O 为圆心的单位圆上,以|OA|,|OB|为邻边作平行四边形 OACB,则∠AOB= ,OA=OB 3 → π π =1,即平行四边形 OACB 是菱形,则∠COA= ,而OC=a+b,故 a,a+b 的夹角等于 , 6 6 选 B. 答案:B 12.在△ABC 中,下列结论正确的的个数是( )

①A>B?cosA<cosB;②A>B?sinA>sinB;③A>B?cos2A<cos2B. A.0
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B.1

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C.2

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D.3

解析:在△ABC 中,因为 0<A<π,0<B<π,y=cosx 在[0,π]上是减函数,因此 A>B? cosA<cosB,①正确;因为 sinA>0,sinB>0,故由正弦定理可得 A>B?a>b?sinA>sinB,② 正确;cos2A<cos2B?1-2sin2A<1-2sin2B?sinA>sinB?A>B,③正确.因此选择 D. 答案:D 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 20 分. 共 请把正确答案填在题中横线上. ) 13.设向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,a⊥b,|a|=1,|b|=2,则|c|=________. 解析:∵-c=a+b,∴|c|2=(a+b)2=a2+b2+2a· b=1+4+0=5,所以|c|= 5. 答案: 5 14. 已知向量 a=(1,2), b=(-3,2), a· 则 b=________, ka+b 与 b 平行, k=________. 若 则 解析:由已知得 a· b=1×(-3)+2×2=1;ka+b=(k-3,2k+2),当 ka+b 与 b 平行时, 有-3(2k+2)=2(k-3),由此解得 k=0. 答案:1 0

15.已知 A、B 是定直线 l 同侧的两个定点,且到 l 的距离分别为 a、b,点 P 是直线 l → → 上的一个动点,则|PA+3PB|的最小值是______. 解析:

以直线 l 为 x 轴,点 B 在 l 上的射影 O 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则 → → → B(0,b),A(n,a)(n>0),设 P(x,0),则PA+3PB=(n-x,a)+3(-x,b)=(n-4x,a+3b),|PA → +3PB|2=(n-4x)2+(a+3b)2, → → 当 n-4x=0 时,|PA+3PB|min=a+3b. 答案:a+3b 2- 3 16. △ABC 中, AB 为最大边, sinA· 边 且 sinB= , cosA· 则 cosB 的最大值是______. 4 2- 3 解析: 依题意得 cos(A-B)=cosA· cosB+sinA· sinB, 即有 cos(A-B)=cosA· cosB+ , 4 2- 3 cosA· cosB=cos(A-B)- .由于 AB 边是最大边,因此内角 C 最大,cos(A-B)的最大值 4
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2- 3 2+ 3 是 1(当且仅当 A=B 时取得等号),cosA· cosB 的最大值是 1- = . 4 4 2+ 3 答案: 4 三、 解答题: (本大题共 6 小题, 70 分. 共 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分 10 分)已知向量 a=(cosx,2),b=(sinx,-3). (1)当 a∥b 时,求 3cos2x-sin2x 的值; π (2)求函数 f(x)=(a-b)· 在 x∈[- ,0]上的值域. a 2 解析:(1)∵a∥b,∴-3cosx=2sinx, 3 ∴tanx=- . 2 3cos2x-2sinxcosx 3cos2x-sin2x= sin2x+cos2x = 3-2tanx 24 = . tan2x+1 13

(2)f(x)=(a-b)· a=cos2x-sinxcosx+10 = = cos2x+1 1 - sin2x+10 2 2 π 21 2 ? cos?2x+4?+ . ? 2 2

π ∵x∈?-2,0?. ? ? 3π π π ∴- ≤2x+ ≤ , 4 4 4 π 1 2 2 ∴- ≤ cos?2x+4?≤ , ? ? 2 2 2 ∴10≤ π 21 21+ 2 2 ? cos?2x+4?+ ≤ , ? 2 2 2

21+ 2? ? 即 f(x)的值域为?10, ?. 2 ? ? → → → → 18.(本小题满分 12 分)已知△ABC 的面积为 3,且满足 0≤AB· ≤6,设AB和AC的夹 AC 角为 θ. (1)求 θ 的取值范围; π (2)求函数 f(θ)=2sin2?4+θ?- 3cos2θ 的最大值与最小值. ? ? 解析:(1)设△ABC 中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 1 则由 bcsinθ=3,0≤bccosθ≤6,可得 0≤cotθ≤1, 2
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π π ∴θ∈[ , ]. 4 2 π (2)f(θ)=2sin2?4+θ?- 3cos2θ ? ? π =1-cos?2+2θ?- 3cos2θ ? ?

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=(1+sin2θ)- 3cos2θ=sin2θ- 3cos2θ+1 π =2sin?2θ-3?+1. ? ? π π π π 2π ∵θ∈?4,2?,2θ- ∈?6, 3 ?, ? ? ? 3 ? π ∴2≤2sin?2θ-3?+1≤3. ? ? 5π π 即当 θ= 时,f(θ)max=3;当 θ= 时,f(θ)min=2. 12 4 19.(本小题满分 12 分)已知向量 a=(sinx,2 3cosx),b=(2sinx,sinx),设 f(x)=a· b-1. π (1)若 x∈?0,2?,求 f(x)的值域; ? ? (2)若函数 y=f(x)的图象按向量 m=(t,0)作长度最短的平移后, 其图象关于原点对称, 求 向量 m 的坐标. 解析:(1)f(x)=a· b-1=2sin2x+2 3sinxcosx-1 π = 3sin2x-cos2x=2sin?2x-6?. ? ? π π 5π π x∈?0,2??2x- ∈?-6, 6 ? ? ? ? 6 ? π 1 ?sin?2x-6?∈?-2,1??f(x)的值域 y∈[-1,2]. ? ? ? ? (2)由(1)可设平移后的函数解析式为 π y=2sin?2?x+φ?-6?, ? ? π 即 y=2sin?2x+?2φ-6??, ? ? ?? ∵其图象关于原点对称, π π kπ ∴2φ- =kπ,k∈Z.即 φ= + ,k∈Z. 6 12 2 π 令 k=0 得所求的 φ= . 12 π 因此所求的 m=(- ,0). 12 π 20. (本小题满分 12 分)已知向量 a=(sin(ωx+φ), b=(1, 2), cos(ωx+φ))?ω>0,0<φ<4?, ? ?
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7 且过点 M?1,2?. ? ? (1)求函数 f(x)的表达式;

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函数 f(x)=(a+b)· (a-b), y=f(x)图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为 1,

(2)当-1≤x≤1 时,求函数 f(x)的单调区间. 解析:(1)f(x)=(a+b)· (a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2 =sin2(ωx+φ)+4-1-cos2(ωx+φ)=-cos(2ωx+2φ)+3, 2π π 由题意得周期 T= =4,故 ω= , 2ω 4 7 π 7 又图象过点 M?1,2?,所以 =3-cos?2+2φ?, ? ? ? ? 2 1 π π 即 sin2φ= ,而 0<φ< ,所以 2φ= , 2 4 6 π π ∴f(x)=3-cos?2x+6?. ? ? π π π 2π (2)当-1≤x≤1 时,- ≤ x+ ≤ , 3 2 6 3 1 π π π ∴当- ≤ x+ ≤0 时,即 x∈?-1,-3?时,f(x)是减函数. ? ? 3 2 6 1 π π 2π 当 0≤ x+ ≤ 时,即 x∈?-3,1?时,f(x)是增函数. ? ? 2 6 3 1 1 ∴函数 f(x)的单调递减区间是?-1,-3?,单调递增区间是?-3,1?. ? ? ? ? 21.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2, -1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)· =0,求 t 的值. OC → → → → → → 解析:(1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4). → → → → 所以|AB+AC|=2 10,|AB-AC|=4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2,2 10. → → → (2)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t). → → → 由(AB-tOC)· =0, OC 得(3+2t,5+t)· (-2,-1)=0, 11 从而 5t=-11,所以 t=- . 5

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→ → → 22.(本小题满分 12 分)已知 O 为坐标原点,向量OA=(sinα,1),OB=(cosα,0),OC= → (-sinα,2),点 P 是直线 AB 上的一点,且点 B 分有向线段AP的比为 1. → → π π (1)记函数 f(α)=PB· ,α∈?-8,2?,讨论函数 f(α)的单调性,并求其值域; CA ? ? → → (2)若 O、P、C 三点共线,求|OA+OB|的值. 解析:依题意可知,A(sinα,1),B(cosα,0),C(-sinα,2),设点 P 的坐标为(x,y), sinα+x 1+y 则 cosα= , 0= , 所以 x=2cosα-sinα, y=-1, 所以点 P 的坐标为(2cosα-sinα, 1+1 1+1 -1). → → (1)∵PB=(sinα-cosα,1),CA=(2sinα,-1), → → π ∴f(α)=PB· =2sin2α-2sinαcosα-1=-(sin2α+cos2α)=- 2sin?2α+4?. CA ? ? 5π π π π π π 5π 由 2α+ ∈?0, 4 ?可知,当 2α+ ∈?2, 4 ?即 α∈?8,2?时,函数 f(α)单调递增,当 2α ? ? ? ? 4 ? 4 ? π π π π + ∈?0,2?即 α∈?-8,8?时,函数 f(α)单调递减, ? ? ? 4 ? π 2 又 sin?2α+4?∈?- ,1?, ? ? ? 2 ? 所以函数 f(α)的值域为[- 2,1). 4 (2)由 O、P、C 三点共线可知,-1×(-sinα)=2×(2cosα-sinα),∴tanα= , 3 2sinαcosα 2tanα 24 ∴sin2α= 2 = = , sin α+cos2α 1+tan2α 25 → → 74 ∴|OA+OB|= ?sinα+cosα?2+1= sin2α+2= . 5

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