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高三数学第一轮复习测试及详细解答(6)——期中考试


高三数学第一轮复习单元测试
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数 y ? sin x ? cos x , x ? [0,
4 2

10.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象与直线 y ? 1 的交点中距离最近

的两点间的距离为 那么 ? 等于 ( B.2 C.1 D. )

? , 3

?
6

A.6

] 的最小值为
7 C. 8
D.1





1 2

3 A. 4
2

13 B. 16

11.已知数列 ?1 , a1 , a2 , ?4 成等差数列, ?1 , b1 , b2 , b3 , ?4 成等比数列,则

a2 ? a1 的值是 b2





2.已知集合 M ? {x | x ? 1} ,集合 N ? {x | a | x |? 1},若 N ? M ,那么由 a 的值所组成的集合的子集个数 ( A.1 B.2
2



A.

1 2

B. ?

1 2

C.

1 1 或? 2 2
x

D.

1 4
( )

C.3
2

D.4 )

12.已知 x1 是方程 x lg x ? 2006 的根, x2 是方程 x·10 =2006 的根,则 x1·x2 等于 A.2003 B.2004 C.2005 D.2006

3.设 m>0,则直线 2 (x+y)+1+m=0 与圆 x +y =m 的位置关系为 ( A.相切 4.若函数 f ( x) ? A. 2 B.相交 C.相切或相离

D.相交或相切 ( D. ?6 ) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在相应的横线上)

1 3 x ? f '(?1) x 2 ? x ? 5 ,则 f '(1) 的值为 3 B. ?2 C. 6

5.在 Rt ?ABC 中, AB ? AC ? 1,如果一个椭圆通过 A 、 B 两点,它的一个焦点为 C ,另一个焦点 F 在 AB 上, 则这个椭圆的离心率为 A. 6 ? 3 B. 2 ? 1 ( )

?6 x ? 5 y ? 60 ?5 x ? 3 y ? 40 ? 13.设 x、y 满足约束条件 ? ,则 z=4x+3y 的最大值为_________. x ? 0, y ? 0 ? ? x, y ? N ?
14. (2 x ?

6? 3 C. 2

6 D. 3 ? 2
2

x ) 4 的展开式中 x 3 的系数是________.

6.设奇函数 f ( x) 在 [?1,1] 上是增函数,且 f (?1) ? ?1 ,若函数 f ( x) ? t ? 2at ? 1 对所有的 x ?[?1,1] 都成立, 当 a ?[?1,1] 时,则 t 的取值范围是 A. ?2 ? t ? 2 B. ? ( C. t ? 2 或 t ? ?2 或 t ? 0 ) D. t ?

15.已知函数 f ( x ) ? ?

?? x ? 1(?1 ? x ? 0) ,则 f ( x) ? f (? x) ? ?1 的解集为________. ?? x ? 1(0 ? x ? 1)

16.与圆 x +y -4x=0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________.

2

2

1 1 ?t ? 2 2

1 1 或t ? ? 或t ? 0 2 2
三、解答题(本大题共 6 小题,满分 74 分) 17.本小题满分 12 分) ( 已知 ?ABC 中, 、 、 是三个内角 A 、 、 的对边, 关于 x 的不等式 x cos C ? 4 x sin C ? 6 ? 0 B C a b c
2

7.已知 A(0,7) 、B(0,-7) 、C(12,2) ,以 C 为一个焦点作过 A、B 的椭圆,椭圆的 另一个焦点 F 的轨迹方程是 ( )

x =1(y≤-1) 48 x2 2 C.y - =-1 48
A.y -
2

2

x =1 48 y2 2 D.x - =1 48
B.y -
2

2

的解集是空集. (1)求角 C 的最大值; ( ) (2)若 c ?

7 3 , ?ABC 的面积 S ? 3 ,求当角 C 取最大值时 a ? b 的值. 2 2

8.设 x 、 y ? R ,且 x ? y ? 2 x ? 0 ,则
2 2

A. x ? y ? 6 x ? 8 ? 0
2 2

B. x ? y ? 6 x ? 8 ? 0
2 2

C. x ? y ? 4 x ? 3 ? 0
2 2

D. x ? y ? 4 x ? 3 ? 0
2 2

9.已知向量 OB = (2,0),向量 OC =(2,2),向量 CA =( 2 cos ? , 2 sin ? ),则向量 OA 与 向量 OB 的夹角的取值范围是 A.[0, ( C.[
-1-



? ] 4

B.[

? 5 , ?] 4 12

5 ? ?, ] 2 12

D.[

? 5 , ?] 12 12

(本小题满分 12 分)数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 S n 满足 Sn 2 ? an ( Sn ? ) . (1)求 an ; (2)设,求数列 {bn } 的前项和 Tn .

1 2

21.已知函数 f(x)=x(x-a)(x-b)(0<a<b) . (1)设曲线 y=f(x)在点 O(0,0)处的切线为 m,在点 B(b,0)处的切线为 n,试求 m∥n 的充要条件; (2)若 f(x)在 x=s 及 x=t 处取得极值,其中 s<t。求证:0<s<a<t<b. 19. (本小题满分 12 分)
1? x (a>0,a≠1). x ?1 (1)判断 f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明;

已知 f(x)=loga

(2)当 x∈(r,a-2)时,f(x)的值域为(1,+∞) ,求 a 与 r 的值; (3)若 f(x)≥loga2x,求 x 的取值范围.

x2 y 2 22.点 A 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 短轴位于 x 轴下方的顶点,过 A 作斜率为 1 的直线交椭圆于 P 点, B 点 a b
在 y 轴上且 BP ∥ x 轴,且 AB ? AP ? 9 . 20.(本小题满分 12 分)设 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意 a、b∈[-1,1] , (1)若 B(0,1) ,求椭圆的方程; (2)若 B(0, t ) ,求 t 的取值范围.

f (a) ? f (b) >0. a?b (1)若 a>b,比较 f(a)与 f(b)的大小; 1 1 (2)解不等式 f(x- )<f(x- ) ; 2 4 2 (3)记 P={x|y=f(x-c)},Q={x|y=f(x-c )},且 P∩Q= ? ,求 c 的取值范围.
当 a+b≠0 时,都有

-2-

答案 CDCCA CABDB AD 36 24

1 1 {x | ?1 ? x ? ? 或 ? x ? 1} 2 2

y =8x(x>0)或 y=0(x<0)

2

? x ? 1, 当 0<a<1 时, ? ), ? x ? 1 ? 2 x(x-1

17.解 (1) C 的最大值为 60? 。 20.解:设-1≤x1<x2≤1,则 x1-x2≠0,∴ ( 2 ) 当 C = 60? 时 , S?ABC ?

1 ab s iCn? 2

3 ab ? 4

3 , ∴ ab ? 6 , 由 余 弦 定 理 得 3 2

f ( x1 ) ? f (? x 2 ) >0. x1 ? (? x 2 )

∵x1-x2<0,∴f(x1)+f(-x2)<0.∴f(x1)<-f(-x2). 又 f(x)是奇函数,∴f(-x2)=-f(x2).∴f(x1)<f(x2).∴f(x)是增函数. (1)∵a>b,∴f(a)>f(b).

c 2 ? a 2 ? b2 ? 2

c o s a b

? ( ?a2 ) b 2 C ?

? ,∴ (ac bb2 s c 2 C 3ab ? a b 2 a o ? ? ? )

121 11 ,∴ a ? b ? 。 4 2

?1, n ? 1 ? ,n ? 2。 18.解 (1)∴ an ? ? 1 ? ? (2n ? 1)(2n ? 3) ?
(2) bn ? ∴ Tn ?

Sn 1 1 1 1 = ? ( ? ), 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 ? ?? 1 ? x ? 2 ? 1, ? 1 1 1 ? (2)由 f(x- )<f(x- ) ,得 ?? 1 ? x ? ? 1, 2 4 4 ? 1 1 ? ?x ? 2 ? x ? 4 , ?
∴不等式的解集为{x|-

∴-

1 5 ≤x≤ . 2 4

1 1 1 1 1 1 1 1 n 。 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2 n ? 1
x2 ? 1 x ?1 (x ? 1 )(x1 ? 1 ) x x ? x1 ? x 2 ? 1 -loga 1 =loga 2 =loga 1 2 . x2 ? 1 x1 ? 1 (x 2 ? 1 )(x1 ? 1 ) x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1

19.解: (1)任取 1<x1<x2,则

f(x2)-f(x1)=loga

1 5 ≤x≤ }. 2 4 (3)由-1≤x-c≤1,得-1+c≤x≤1+c,∴P={x|-1+c≤x≤1+c}. 2 2 2 2 2 由-1≤x-c ≤1,得-1+c ≤x≤1+c ,∴Q={x|-1+c ≤x≤1+c }. 2 2 ∵P∩Q= ? ,∴1+c<-1+c 或-1+c>1+c , 解得 c>2 或 c<-1.
21. f ( x) =3x -2(a+b)x+ab 1) 解 ( 切线 m 的斜率 k 1 = f (0) =ab, 切线 n 的斜率 k 2 = f (b) =b(b-a), 直线 m∥n ? k 1 = k 2 ,
'
2

又∵x2>x1>1,∴x1-x2<x2-x1.
x x ? x1 ? x 2 ? 1 ∴0< 1 2 <1. x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1

∴0<x1x2-x2+x1-1<x1x2-x1+x2-1.

'

'

∴ ab=b(b-a) 即 b=2a 是 m∥n 的充要条件。 ∴f(x)在(1,+∞)上是减函数; ∴f(x)在(1,+∞)上是增函数. (2) 由题意, t 是方程 f ( x) =3x -2(a+b)x+ab=0 的两根, s, 又∵ f (0) =ab>0, f (a) =a(a-b)<0, f (b) =b(b-a)>0, ∴ f ( x) 在区间(0,a),(a,b)上各有一个实根,又 s<t, ∴
' '
2

当 a>1 时,f(x2)-f(x1)<0, 当 0<a<1 时,f(x2)-f(x1)>0, (2)由

'

'

'

x ?1 x ?1 2 >0 得 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞).∵ =1+ ≠1,∴f(x)≠0. x ?1 x ?1 x ?1

0<s<a<t<b.

当 a>1 时,∵x>1 ? f(x)>0,x<-1 ? f(x)∈(0,1) , ∴要使 f(x)的值域是(1,+∞) ,只有 x>1. -1 又∵f(x)在(1,+∞)上是减函数,∴f (x)在(1,+∞)上也是减函数. ∴f(x)>1 ? 1<x<f (1)=
-1

22.解 (1)椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1。 12 4
①,将 P(3, t ) 代入椭圆方程得

a ?1 . a ?1

(2)由 AB ? AP =9,得 t ? b ? 3(t ? 0, b ? 0)

?r ? 1, ? ?r ? 1 ? ∴? a ?1 ∴ ? 3 . ? ?a ? 2 ? a ? 1 . ?a ? 2 ? (负号不符合) ? 当 0<a<1 时,∵x>1 ? f(x)<0,x<1 ? f(x)>0,

9 t2 9b 2 ? 2 ? 1 ,即 a 2 ? 2 2 ,∵ a2 b b ?t

a2 ? b2 ,∴

9b 2 9 9 6t ? b 2 ,即 2 2 ? 1 ②,由①得 b ? 3 ? t ,代入③得 ? 1 ? 0 ,∴ ? 0 ,解得 2 2 b ?t b ?t 9 ? 6t 6t ? 9

∴要使值域是(1,+∞) ,只有 x<-1.又∵f(x)在(-∞,-1)上是增函数,
a ?1 ∴f(x)>1 ? -1>x>f (1)= . a ?1
-1

a ?1 ? , ?r ? ∴? a ? 1 无解. ?a ? 2 ? ?1, ?

0?t ?

3 。 2

综上,得 a=2+ 3 ,r=1. (3)由 f(x)≥loga2x 得
?x ? 1 3 ? 17 3 ? 17 3 ? 17 当 a>1 时, ? <x< 且 x>1.∴1<x< . ? x ? 1 ? 2 x(x ? 1 ) 4 4 4 ?
-3-


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