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三角恒等变换高考题赏析


Pn-角恒等变换高考题赏析
刘 艳
纵观2015年高考数学大纲卷与课标 卷、文科与理科卷,三角函数都是重要的考 查内容,只要基础扎实,这一部分的得分率 还是较高的. 从命题特点和知识类型来看,无论是大 纲卷还是课标卷,都集中考查了主干知识与 重点方法.利用三角公式进行三角恒等变 换,也是考查的重点内容之一,主要考查的 公式有:诱导公式、同角关系、两角和与差的

三角函数、二倍角公式、辅助角公式、正余弦 定理.对于这部分题目笔者有些许思考,记 录如下,希望给同学们一些启发. 1.(2015年北京理科卷)在AABC中,a
一4,b一5,f一6,!i11]sin 2A一


tan(a+f1)一下/,则tan卢的值为——.
原题利用已知角表示出所求角,利用两 角和与差的正切达成目标.

2—1.若口为锐角,且sin(a一詈)一号,
求COS口的值.

筒精

a一(a一詈)+詈,确定a一詈的

范围和余弦值,利用两角和与差得到结

果掣.
簿柝

2—2.求值:sin(一十75。)+COS(口+45。)一

幅cos(口+15。).
令口+45。一口,则口+75。一口+

原题中利用了二倍角公式,正余弦定理 实现角化边,达成目标. 1—1.AABC中,a一4,b一5,sin
sin

30。,口+15。一口一30。,展开后非常简洁地得到 结果0.避免用到15。,75。的三角函数值.

2A—

类似的如四川理科卷的第12题:sin
+sin 75。一


15。

2C,则边f一



筒析

考查对条件sin

2A—sin

2C的

3.(2015年湖南理科卷)设AABC的内
角A,B,C的对边分别为口,6,f,a—btan A,

准确理解,在三角形中,该条件可推导出2A 一2C或者2A+2C=丌,从而有两解3或4.

且B为钝角.

1—2.AABC中,口一4,f一6,求堕里奖的
取值范围.

筒析磐祟一可2sin

(1)证明:B—A一要;
(2)求sinA+sin C的取值范围.

Acos

A一一2a.

原题中利用三角恒等变形,正弦定理, 函数性质达成目标.
3—1.(2008年全国I卷)AABC的内角 A,B,C所对的边长分别为盘,b,C,且acOs B
—bcos A一了3
c.

生专嘉蔓一可1(6+弩),而2<b<lO,利用
对勾函数性质可得取值范围是『-吾万,÷).
2.(2015年江苏卷)已知tan口一一2,
'●
New University Entrance Examination

万方数据

(1)…,](ttaannAB的值; (2)求tan(A—B)的最大值. 筒析 本题第一问中首先确定角A,B

由正弦定理得sin B=旦sin 故6:4ccosA.② 由①,②解得6=4.

C,

的三角函数值之间的定量关系,第二问在第 一问的基础上求组合角的取值范围. 首先利用正弦定理得sin Acos
sin Bcos

擗瀛

数形结合,原条件可以推导

出tan A=3tan C.过B作BH上AC,设BH
B—

—h,可得CH一3AH,AH一寺6,CH一{6,
由口2--C2—2b及勾股定理得b一4. 解法三以形助数,令人眼前一亮,对学 生的要求较高.

A一导sin C一导sin(A+B),利用两

角和的正弦展开后整理得到墨笔一4, D
tan

tan(A——B、==

r而nAtanB一1+4

tan

A———tan B

3tan B

tan2B’

3-3.AABC中,c一1,黜一百3,则
AABC面积的最大值是多少? 简析 过点A做BC的垂线AD,可以

接着利用基本不等式确定最大值. 3—2:(2009年全国I卷)在AABC中,
内角A,B,C的对边长分别为a,b,C,已知a2 一c2—2b,且sin ACOS C一3cos Asin C,求b.

得到器一号,可以令CD=3k,BD=2k(k>
o),s一+Bc?h,其中高h一 ̄/1--4k2.S=

筒析

此题事实上比较简单,但考生

反应不知从何人手.对已知条件(1)n2一C2— 26,左侧是二次的右侧是一次的,学生总感 觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)
sin Acos C一3cos Asin

号嘣?麻一百5?2k?1
望盟三二盟型:旦(当且仅当志:年时取等2
号).





C,过多地关注两角

、。“”。~

1”…。

和与差的正弦公式,导致找不到突破口而 失分. 解法一
=3cos Asin

在AABC中因为sin

Acos C

或者利用基本不等式,接着刚才的面CD 一万3,则S△^Bc=号s△AB。.而点D在以AB
为直径的圆上运动,当高为半径时AABD NN矗t;k,最大值为虿1×1×虿1一百1,从而

有:a.生掣一3生掣.。,化简 硐:a。—瓦万一一3—瓦i_‘。,化间
=2b所以4b=b2.解得6—4或6一O(舍). 解法二 由余弦定理得:
a2一f2一b2—2bccos A.

C,则由正弦定理及余弦定理

并整理得:2(a2一c2)一b2.又由已知a2一c2

AABC面积最大值是詈.
上述几道三角综合题均是由两角三角 函数值之间的定量关系人手,推导出相关量

又a2一c2—2b,be:0.

所以6—2ccos

A+2.



的最值或范围.这提醒同学们在抓好三角函 数各个考点的复习之后,必须进行综合训 练,将主要题型、数学方法等加以综合,提升 解题能力.

又sin ACOS C一3cos Asin C, 所以sin ACOS C+COS Asin C=4cos
Asin C, sin(A+C)一4cos Asin C, 即sin B一4cos Asin C,

New University Entrance

Examination

11

万方数据


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