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新人教A版必修5高中数学1.1.1正弦定理学案(二)


高中数学 1.1.1 正弦定理学案 新人教 A 版必修 5 学习目标 1. 掌握正弦定理内容;2. 掌握正弦定理证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题. 学习重难点 重点:掌握正弦定理内容 难点:运用 正弦定理解斜三角形 一、知识链接 试验:固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动. 思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的 数量关系? 显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而 . 能否用一个等式把这 种关系精确地表示出来? 二、试一试 ※ 学习探究 探究 1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边 的等式关系. 如图,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义, a b c 有 ? sin A , ? sin B ,又 sin C ? 1 ? , c c c a b c 从而在直角三角形 ABC 中, . ? ? sin A sin B sin C 探究 2:那么对于任 意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的定义,有 a b c b a b c CD= a sin B ? b sin A ,则 ,同理可得 , 从而 . ? ? ? ? sin A sin B sin C sin B sin A sin B sin C 类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请你试试导. 新课探究:正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即 a b c . ? ? sin A sin B sin C 试试: (1)在 ?ABC 中,一定成立的等式是( ) . A.a sin A ? b sin B B. a cos A ? b cos B C. a sin B ? b sin A D. a cos B ? b cos A (2)已知△ABC 中,a=4,b=8,∠A=30°,则∠B 等于 . [理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即 存在正数 1 k 使 a ? k sin A , a b c (2) 等价于 ? ? sin A sin B sin C (3)正弦定理的基本作用为: , c ? k sin C ; c b a c , , . ? ? sin C sin B sin A sin C ①已知三角形的任 意两角及其一边可以求其他边, 如 a? b sin A ; b? sin B . ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值, a 如 sin A ? sin B ; sin C ? . b (4)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作解三角形. ※ 模仿练习 例 1. 在 ?ABC 中,已知 A ? 45 , B ? 60 , a ? 42 cm,解三角形. 变式:在 ?ABC 中,已知 B ? 45 , C ? 60 , a ? 12 cm,解三角形. 例 2. 在 ?ABC中,c ? 6, A ? 45 , a ? 2, 求b和B, C . 变式:在 ?ABC中,b ? 3, B ? 60 , c ? 1, 求a和A, C . 三、总结提升 ※ 学习小结 a b c ; a : b : c ? sin A : si


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