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福建省厦门市2016届高三第二次(5月)质量检测数学(理)试题


厦门 2016 届高三质量检查 数学(理) 2016.5

满分 150 分,考试时间 90 分钟
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题所给出的四个备选项中,只有
一项是符合题目要求的。
2 1. 若集合 A= x x ? 4且x ? N ,B= x x ? 2 x ? 0 ,

/>?

? ?

?

则 A? B = A. ?2? B. ?3?

. C.

?2,3?

4? D. ?3,

2.“互联网+”时代,全民阅读的内涵已经多元化,倡导读书成为一种生活方式,某校为了解高中学 生的阅读情况, 拟采取分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为 60 的样本进行调查, 已知该校有高一学生 600 人,高二学生 400 人,高三学生 200 人,则应从高一学生抽取的人数 为 A. 10 3.已知命题 p : ?x ? ? 0, B. 20 . C.30 D. 40 .

? ?? ? ,sinx<x,则 ? 2? ? ?? ? ,sinx ? x ? 2? ? ?? ? ,sinx ? x 0 ? 2?

A. p 是真命题, ?p : ?x ? ? 0,

B. p 是真命题, ?p : ?x0 ? ? 0,

C. p 是假命题, ?p : ?x ? ? 0,

? ?? ? ,sinx ? x ? 2? ? ?? ? ,sinx ? x 0 ? 2?

D. p 是假命题, ?p : ?x0 ? ? 0,

4.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 A. -

. C.

1 2

B.0

1 2

D.1

·1·

5.



?ABC





AP ?

1 1 AB , BQ ? BC 3 3
.

,



AB ? a, AC ? b, 则PQ ?
A. a ?

1 3

1 b 3

B.

2 1 a? b 3 3

C.

2 2 a? b 3 3

D.

1 2 a? b 3 3

6.从 6 名女生中选 4 人参加 4 ? 100 米接力赛,要求甲、乙两人至少有一人参赛,如果甲、乙两人同 时参赛,他们的接力顺序就不能相邻,不同的排法种数为 A.144 7.将函数 f ?x ? ? cos? ?x ? 则 ? 的最小值是 A. B.192 C.228 D. 264 .

? ?

??

? ? 3? ? ??? ? 0? 的图像向右平移 个单位长度,所得的图像经过点 ? ,0 ? , 4 2? ? 4 ?
.

1 3

B. 1

C.

5 3

D. 2

8.《九章算术》中,将底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵” ,已知某“堑堵”的三视图如图所 示, 俯视图中虚线平分矩形的面积, 则该 “堑堵” 的侧面积为 A. 2 C. 4 ? 4 2 B. 4 ? 2 2 D. 6 ? 4 2 .

? x ? 4 y ? ?3 ? 9. 已知 x, y 满足 ?3 x ? 5 y ? 25 , 若不等式 ax ? y ? 1 恒成立, 则实 ? x ?1 ?
数 a 的取值范围是. A. ?

? 27 ? , ? ?? ?5 ?

? ?? B. ? , ?5 ?

?11

?

? ?? C. ? , ?5 ?

?3

?

? ?? D. ?2,

10. 直线 l:y ? kx 与曲线 C:y ? x 3 ? 4 x 2 ? 3x 顺次相交于 A,B,C 三点,若 AB ? BC ,则

k ?.
A. ? 5 B. ?

9 5

C. ?

1 2

D.

1 2

, 0),A,B 是椭圆 11.已知点 M (1

x2 ? y 2 ? 1 上的动点,且 MA ? MB ? 0 ,则 MA ? BA 的取值范围 4
·2·

是. A. ? , 1?

?2 ? ?3 ?

B. ?1 , 9?

C. ? , 9?

?2 ? ?3 ?

D. ?

? 6 ? , 3? ? 3 ?

12. 已知平面四点 A,B,C,D 满足 AB ? BC ? CD ? 2,AD ? 2 3, 设 ?ABD ,?BCD 的面积
2 ? 2 的取值范围是. 分别为 S 1, S 2 ,则 S1 S2

A. 8 3 ? 12 , 14

?

?

B. 8 3 ? 12 , 8 3

?

?

C. ?12, 14?

D. ?12, 28?

二、填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡相应位置。 13.若复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 2i, 则 z 在复平面内对应的点在第 14.若函数 f ( x) ? 象限. .

x?a ,x ? (?? ,b) ? (b ? 2, ? ?) 是奇函数,则 a ? b ? 2x2 ?1

2 x2 y 15.已知双曲线 C: ? 以 C 的一个顶点为圆心, a 为半径的圆被 C 截得劣 ? 1(a ? 0,b ? 0), 2 2

a

b

弧长为

2? a ,则双曲线 C 的离心率为 3

.

16.已知等边三角形 ABC 的边长为 4 3 , M,N 分别为 AB ,AC 的中点,沿 MN 将 ?ABC 折成直 二面角,则四棱锥 A ? MNCB 的外接球的表面积为 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,前 n 项和为 sn , s3 ? 14, a1 ? a5 ? 8a3 , 数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn , bn ? bn?1 ? log2 an . (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)求 T2 n .

·3·

18.(本小题满分 12 分)如图,等腰梯形 ABCD 的底角 A 等于 60 ,其外接圆圆心 O 在边 AD 上,直角 梯形 PDAQ 垂直于圆 O 所在平面, ?QAD ? ?PDA ? 90? , 且AD ? 2 AQ ? 4 (1)证明:平面 ABQ ? 平面PBD; (2)若二面角 D ? PB ? C的平面角等于 45?,求多面体 PQABCD 的体积。

?

19.(本小题满分 12 分)2015 年 7 月 31 日,国际奥委会在吉隆坡正式宣布 2022 年奥林匹克冬季运 动会(简称冬奥会)在北京和张家口两个城市举办,某中学为了普及冬奥会知识,举行了一次奥运 会知识竞赛,随机抽取 20 名学生的成绩(满分为 100 分)如下: 男生:93 91 90 86 女生:96 87 85 83 83 79 80 78 76 77 69 67 65 74 73 68

(1)根据两组数据完成男、女生成绩的茎叶图,并比较男、女生成绩的平均值及分散程度; (2)从成绩 80 分以上(含 80 分)的学生中抽取 4 人,要求 4 人中必须既有男生又有女生,用 X 表
·4·

示所选 4 人中男生与女生人数的差,求 X 的数学期望。

20.(本小题满分 12 分) 已 知 直 线 l1:mx? y ? 2m ? 2 ? 0,l2:x ? my ? 2m ? 2 ? 0,l1与y轴交于A点,l2与x轴 交 于 B 点, l1与l2交于D点,圆C是?ABD的外接圆。

C面积的最小值; (1)判断 ?ABD的形状并求圆
(2) 若 D, E是抛物线 x 2 ? 2 py与圆C的公共点,问:在抛物 线上是否存在点 P是使得 ?PDE 是 等腰三角形?若存在,求点 P 的个数;若不存在,请说明理由.

·5·

21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ax ln x ? be? x ,曲线y ? f ( x)在(1, f ( x))处的切线方程为

y? ( 1 ? e?1)x ?1 ? 2e?1 .
(1)求 a , b ; (2)求证: f ( x) ? ?1 ? 2e?2 ;

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如 图 ,

AD, CF分别是?ABC的中线和高线, PB, PC是?ABC外接圆O的切线



点E是PA与圆O的交点。
(1)求证: AC ? CD ? AF ? PC ; (2)求证: DC平分?ADE 。

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy中,曲线 C的方程为x ? 2x ? y ? 0, 以原点为极点,x 轴正半轴为极轴
2 2

建立极坐标系,直线 l的极坐标方程为 ? ? (? ? R) 。

?

4

(1)写出 C 的极坐标方程,并求 l与C的交点M , N的极坐标;
·6·

(2)设 P是椭圆

x2 ? y 2 ? 1上的动点,求 ?PMN面积的最大值。 3

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 3 | . (1)求不等式 f ( x) ? 2? | x ? 1 | 的解集; (2)已知 m, n ? R 且
?

1 1 ? ? 2mn , 求证 mf (n) ? nf (?m) ? 6 . m n

厦门市 2016 届高中毕业班质量检查 数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1-5:BCBDA 6-10:DDCAB 11-12: CA 12.解析:在△ ABD 中, BD ? AB ? AD ? 2 AB ? AD ? cos A ? 16 ? 8 3 cos A ,
2
2

2

2

在△ BCD 中, BD ? BC ? CD ? 2BC ? CD ? cos C ? 8 ? 8cos C ,
2 2

所以 3 cos A ? cos C ? 1, 所



1 1 2 AB AD sin A ? 12 ? 12 cos A, S 2 ? BC CD sin C ? 4 ? 4 cos C , 4 4 2 2 2 2 2 S1 ? S2 ? 12 ? 12 cos A ? 4 ? 4 cos C ? 16 ? 4 ? cos C ? 1? ? 4 cos 2 C ? ?8cos 2 C ? 8cos C ? 1 S12 ?
因为 2 3 ? 2 ? BD ? 4 ,所以 8 ? 8cos C ? BD ? 16 ? 8 3,16 ,
2
2 解得 ?1 ? cos C ? 3 ? 1,所以 S12 ? S2 ? ?8cos 2 C ? 8cos C ? 12 ? 8 3 ? 12,14? ? 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

?

?

?

13. 二

14. ?1

15.

2 10 5

16. 52?

A

16.解析: 由 ?M B C ?

?
3

, 取 BC 的中点 E , 则 E 是等腰梯形 MNCB 外接圆圆心。F

F N D O E

C

是△ AMN 外心,作 OE ? 平面 MNCB , OF ? 平面 AMN ,则 O 是四棱锥 A ? MNCB 的 M 外接球的球心,且 OF ? DE ? 3,AF ? 2 . 设四棱锥 A ? MNCB的外接球半径 R ,则 B R 2 ? AF 2 ? OF 2 ? 13 ,所以表面积是 52? . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17. 本小题考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式、基本性质及求数列前 n 项和,考查运
·7·

算求解能力,考查化归与转化思想.满分 12 分. 解法一: · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 (Ⅰ)? a1 ? a5 ? a3 ? 8a3 , an ? 0 , ·
2

? a3 ? 8 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 8 8 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 又 S3 ? a1 ? a2 ? 8 ? 14 ,? a1 ? a2 ? 2 ? ? 6 , · q q 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 解得 q ? 2 或 q ? ? (舍去), · 3 n?3 n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 所以 an ? a3 ? q ? 2 . ·
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 (Ⅱ)?bn ? bn?1 ? log2 an ? log2 2 ? n , ·
n

?T2n ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ?? (b2n?1 ? b2n ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ? 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? n .·
解法二:
2 ? ?a1q ? 8 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 (Ⅰ)由已知得 ? ,· 2 a (1 ? q ? q ) ? 14 ? ? 1 ? a ? 18 ? a1 ? 2 ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 解得 ? 或? ,· 2 (舍去) ? q ? 2 ?q ? ? 3 ? n?1 n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 所以 an ? a1 ? q ? 2 . ·

(Ⅱ)同解法一. 18. 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及二面角平面角等基础知 识,考 查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 12 分. 解法一: · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 (Ⅰ)证明:由题可知 AB ? BD ,· ? z ∵梯形 PQAD 垂直于圆 O 所在的平面, ?PDA ? 90 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ∴ PD ? 平面 ABCD , ∴ AB ? PD , · Q · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 又∵ BD ? PD ? D, ? AB ? 平面 PBD , · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ∵ AB ? 平面ABQ ,∴ 平面ABQ ? 平面PBD .· (Ⅱ)如图,过点 B 作射线 BZ ∥ DP, BA,BD,BZ 两两垂直. 以 B 为原点, BA,BD,BZ 所在直线分别为 x, y, z 轴建立坐标系,
A C B O D y

P

? ??? ? ? ? ?? x ? 3 y ? 0, ?n ? BC ? 0, ? 2 3 ? ? ? ??? · · · · · · · · · · 7分 即? 取 y ? 1 ,则 n ? ( 3, ? 1,? ) ,· h ? ?n ? BP ? 0, ? ?2 3 y ? hz ? 0, ??? ? 由(1)已证 BA ? 平面 PBD ,则平面 PBD 的一个法向量为 BA ? (2, 0, 0) , 8 分
·8·

x 设 PD ? h ,则 B(0,0,0), D(0, 2 3,0), P(0, 2 3, h),C(?1, 3,0) , ??? ? ??? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 从而 BC ? (?1, 3,0), BP ? (0, 2 3, h) , · ? 设面 PBC 的一个法向量为 n ? (x ,, y z) ,

? ??? ? ? ??? ? n ? BA ? cos ? n, BA ?? ? ??? ? ? n BA

2 3 2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 2 ,解得 h ? 6 , · 12 2 4? 2 h 多面体 PQABCD 是由三棱锥 P ? BCD 和四棱锥 B ? ADPQ 构成的组合体,

1 2? 6 4 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 , · VB ? ADPQ ? ? ? 4? 3 ? 2 2 ? 3 2 3 1 VP ? BCD ? ? 3 ? 6 ? 2 , 3 4 3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ∴多面体 PQABCD 的体积 V ? 3 2 ? 3
解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)如图,在平面 ABCD中过点O作AD的垂线OX, 过 O 作射线 OZ ∥ DP , OX , OD, OZ 两两垂直. 以 O 为原点, OX , OD, OZ 所在直线分别为 x,y,z 轴建立坐标系,
Q B

P
z

C

A

O

D

y

? ??? ? ? n ? BC ? 0, ? ? ?2 y ? 0, ? 3 ? ? ? ??? · · · · · · · · · · · · 7分 即? 取 x ? 1 则 n ? (1,, ? 0 ? ) ,· h 3 x ? 3 y ? hz ? 0, ? n ? BP ? 0. ? ? ? ??? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 平面 PBD 的法向量为 BA ? ( 3, ?1 , 0) , · ? ??? ? ? ??? ? n ? BA 3 2 ? cos ? n, BA ?? ? ??? ? ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 2 ,解得 h ? 6 , · 3 n BA 2 1? 2 Q h
下同解法一. B 解法三: (Ⅰ)同解法一. A (Ⅱ)取 BD 中点 E ,过 E 作 EF 垂直于 PB 交线段 PB 于点 F , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 连接 CE, CF , · 可证 CE ? 平面PBD ,∴ PB ? CE , · · · · · · · · · · · · · · · 6分 又∵ EF ? PB, EF ? CE ? E , ∴ PB ? 平面CEF , PB ? CF , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ∴ ?CFE 为二面角 D ? PB ? C 的平面角, · 即 ?CFE ? 45°, EF ? CE ? 1 ,

设 PD ? h ,则 B(? 3, ?1,0), D(0, 2,0), P(0, 2, h),C(? 3,1,0) , ??? ? ??? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 从而 BC ? (0,2,0), BP ? ( 3,3, h) , · ? 设面 PBC 的法向量为 n ? ( x,, y z) ,

x

P

F C E O D

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 由 Rt ?BEF ∽ Rt ?PBD ,可求得 PD ? 6 . · 以下同解法一. 19. 本小题主要考查茎叶图的画法和理解,古典概型,随机变量的数学期望等基础知识,考查运算 求解能力、数据处理能力、应用意识,考查必然与或然思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ)茎叶图如图所示.

·9·

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 男生的平均成绩为

x?

1 (3 ? 90 ? 3 ? 80 ? 70 ? 3 ? 60 ? 1 ? 3 ? 3 ? 6 ? 6 ? 5 ? 7 ? 9) ? 80 , 10
1 (90 ? 3 ? 80 ? 5 ? 70 ? 60 ? 6 ? 7 ? 5 ? 3 ? 9 ? 8 ? 7 ? 4 ? 3 ? 8) ? 80 , 10

女生的平均成绩为

y?

所以男、女生的平均成绩一样. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 由茎叶图可以看出,男生的成绩比较分散,女生的成绩比较集中. · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 (Ⅱ)成绩在 80 分以上(包括 80 分)的学生共有 10 人,其中男生 6 人,女生 4 人, X 的所有可能取值为 – 2,0,2, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分

P( X ? ?2) ? P( X ? 0) ? P( X ? 2) ?

1 3 C6 C4 12 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 ? 1 3 2 2 3 1 C6C4 ? C6 C4 ? C6 C4 97

2 2 C6 C4 45 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 ? ,· 1 3 2 2 3 1 C6C4 ? C6 C4 ? C6 C4 97

3 1 C6 C4 40 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? 1 3 2 2 3 1 C6C4 ? C6 C4 ? C6 C4 97 12 45 40 56 ? 0? ? 2? ? 所以 E ( X ) ? ?2 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 97 97 97 97

20.本小题考查对含参直线方程的理解,抛物线的基础知识,探究存在性问题,考查学生的数学思 维能力及逻辑运算能力,考查数形结合、函数方程、分类与整合的数学思想. 满分 12 分. 解: (Ⅰ)由于 l1 ? l2 ,所以 ?ABD 是直角三角形, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 A(0,2m+2),B(2-2m,0) ,D(2,2), · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分
2 则 ?ABD 外接圆圆心直径是 AB, AB ? 8(m ? 1) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 2

要使 ?ABD 外接圆 C 面积最小,则 AB
2

2 min

? 8 ,当且仅当 m=0 时成立,· · · · ·4 分

所以外接圆 C 面积的最小值为 2? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 (Ⅱ)由 D(2,2)点在抛物线 x ? 2 py 上,则 x ? 2 y , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 圆 C 过原点,则抛物线与圆的公共点是 D(2,2),E(0,0), · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分
2

假设存在点 P ( x0 , y0 ) 满足条件,则 x0 ? 2 y0 ,
2

(1) 当 DE 是底时,DE 中点 Q(1,1) ,DE 中垂线方程:y=-x+2,代入抛物线 x ? 2 y
2

得: x ? 2 x ? 4 ? 0 , ? ? 20 ? 0 ,所以存在两个满足条件的 P 点.
2

8分

(2)当 PE 是底时,PE 中点 M ( 即 x0 (

x0 y0 , ) ,则 DM⊥PE, 2 2

x0 y ? 2) ? y0 ( 0 ? 2) ? 0, x03 ? 4 x0 ? 16 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 2 2 3 2 设 f ( x) ? x ? 4 x ?16, f ?( x) ? 3x ? 4 ,

·10·

则 f ( x ) 在 (??, ? 因为 f (?

2 3 2 3 2 3 2 3 ),( , ??) 递增,在 (? , ) 递减, 3 3 3 3

2 3 ) ? 0, f (0) ? ?16 ? 0 , f (3) ? ?1 ? 0, f (4) ? 32 ? 0 , 3 所以 f ( x ) 在(3,4)有唯一零点,存在一个满足条件的 P 点. · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 x y (3)当 PD 是底时,PD 中点 N ( 0 ? 1, 0 ? 1) ,则 EN⊥PD, 2 2 ???? ??? ? ??? ? ??? ? x y EN ? ( 0 ? 1, 0 ? 1) , DP ? ( x0 ? 2, y0 ? 2) , EN ? DP ? 0 , 2 2 x0 ? 2 y ?2 )( x0 ? 2) ? ( 0 )( y0 ? 2) ? 0 , 即( 2 2 x0 2 ? 4 x0 2 ? 4 x0 2 ? 4 )?( )( ) ? 0 ,则 x02 ? 4 ? 0 或 x02 ? 8 ? 0 , 所以 ( 2 4 2 只有 1 解 x0 ? ?2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分
综上所述:以上零点不重复,共有 4 个满足条件的 P 点. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分
y

y

y

D
D
E O x

D
E O x

E O

x

说明: 若只画出以上三图,说明 DE 作为底或腰的等腰三角形有 4 个,最多给 2 分,若不完整给 1 分; 若只有结果 4 个等腰三角形,给 1 分. 21. 本小题主要考查学生利用导数研究函数的单调性、解决与不等式有关的参数范围和证明问题;考 查运算求解能力、推理论证能力,创新意识;考查函数与方程、转化与化归思想,分类与整合思 想.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)依题意 f ? x ? 定义域为 ? 0, ??? , f ' ? x ? ? a ?1 ? ln x ? ? be , · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分
?x

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 f ?1? ? ?e?1, f ' ?1? ? 1 ? e?1 ,解得 a ? 1 , b ? ?1 . · (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? x ln x ? e , f ' ? x ? ? e
?x ?x

? ln x ?1,

1 ex ? x ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 x xe x x x 设 h ? x ? ? e ? x ,则 h ' ? x ? ? e ?1 ? 0 ,所以 h ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增,
设 g ? x? ? e
?x

? ln x ?1,则 g ' ? x ? ? ?e? x ?

所以 h ? x ? ? 0 , g ' ? x ? ? 0 ,所以 g ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增, · · · · · · · · · · · · · · 5分 又因为 g e

? ??e
?1

? e?1

? 0 , g ? e?2 ? ? e? e ? 1 ? 0 ,即 g ? e ?1 ? ? g ? e ?2 ? ? 0 ,
?2

?2 ?1 所以 g ? x ? 恰有一个零点 x0 ? e , e ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

?

?

·11·

即 g ? x0 ? ? e

? x0

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 ? ln x0 ?1 ? 0 ,即 ?ex0 ? ln x0 ? 1, ·

当 x ? ? 0, x0 ? 时, g ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减, 所以 f ? x ? ? f ? x0 ? ? x0 ln x0 ? e
? x0

当 x ? ? x0 , ??? 时, g ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 ? x0 ln x0 ? ln x0 ?1 , ·
?2 ?1 设 ? ? x ? ? x ln x ? ln x ?1 ,因为 x ? e , e ,

?

?

1 ? 1 ? 2 ? e ? 0 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 x ?2 ?2 ?2 ?1 所以 ? ? x ? 在 ? e , e ? 上单调递增,所以 ? ? x0 ? ? ? ? e ? ? ?1 ? 2e ,
所以 ? ' ? x ? ? 1 ? ln x ? 所以 f ? x ? ? f ? x0 ? ? ? ? x0 ? ? ?1 ? 2e?2 ,
?2

综上可知, f ? x ? ? ?1 ? 2e . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 解法二: (Ⅰ)同解法一;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? x ln x ? e? x , f ' ? x ? ? e? x ? ln x ? 1,

1 ex ? x ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 x xe x 设 h ? x ? ? ex ? x ,则 h ' ? x ? ? ex ?1 ? 0 ,所以 h ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增,
设 g ? x ? ? e? x ? ln x ? 1,则 g ' ? x ? ? ?e
?x

?

所以 h ? x ? ? 0 ,所以 g ' ? x ? ? 0 ,所以 g ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增, · · · · · · · 5分 又因为 g e

? ??e
?1

? e?1

? 0 , g ? e?2 ? ? e? e ? 1 ? 0 ,即 g ? e ?1 ? ? g ? e ?2 ? ? 0 ,
?2

?2 ?1 所以 g ? x ? 恰有一个零点 x0 ? e , e ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

?

?

即 g ? x0 ? ? e

? x0

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 ? ln x0 ?1 ? 0 ,即 ?ex0 ? ln x0 ? 1, ·

且当 x ? ? 0, x0 ? 时, g ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减, 当 x ? ? x0 , ??? 时, g ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增, 所以 f ? x ? ? f ? x0 ? ? x0 ln x0 ? e 设 ? ? x ? ? x ln x ? ln x ?1 ,
? x0

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? x0 ln x0 ? ln x0 ?1 , ·

1 , x 1 1 1 x ?1 设 u ? x ? ? 1 ? ln x ? , 则 u ' ? x ? ? ? 2 ? 2 , x x x x 所以当 x ? ? 0,1? 时, u ' ? x ? ? 0 , u ? x ? 单调递减,
?2 ?1 因为 x ? e , e ,所以 ? ' ? x ? ? 1 ? ln x ?

?

?

当 x ? ?1, ?? ? 时, u ' ? x ? ? 0 , u ? x ? 单调递增, 所以 u ? x ? ? u ?1? ? 2 ? 0 ,即 ? ' ? x ? ? 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分
?2 ?2 ?1 ? ?1 ? 2e ?2 , 所以 ? ? x ? 在 e , e 上单调递增,则 ? ? x0 ? ? ? e

?

?

? ?

所以 f ? x ? ? f ? x0 ? ? ? ? x0 ? ? ?1 ? 2e ,即 f ? x ? ? ?1 ? 2e . · · · · · · · · · · · 12 分
?2 ?2

22. 本小题考查相似三角形、圆心与半径、切割线、角平分线等基础知识,考查推理论 证能力、运算求解能力,考查数形结合思想. 满分 10 分.
·12·

解:(Ⅰ) 由 PC 为圆 O 切线,知 ?CAF ? ?DCP , 1 分 ∵ PB , PC 是圆 O 的切线, D 为 BC 中点, ∴ O , D , P 三点共线,且 OP ? BC , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ∴ ?AFC ? ?CDP ? 90? , △AFC ∽△CDP , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分

AF CD ? ,即 AC ? CD ? AF ? CP .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 AC CP (Ⅱ) ∵ CF ? AB , D 为 BC 中点, 1 ∴ FD ? BC ? DC ? DB , ?DFB ? ?DBF , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 2 AF FD FA CA ? ? ∴ ,于是 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 AC CP FD CP 又∵ ?AFD ? 180? ? ?DFB ? 180? ? ?ABC ? ?ACP , ∴ △AFD ∽△ACP , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 延长 AD 交圆 O 于点 G ,连结 GE , BG , EC , 由 △AFD ∽△ACP ,知 ?DAF ? ?PAC , ∴ BG ? EC , ?CBG ? ?BCE , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 又 D 为 BC 中点, DB ? DC ,∴ △BDG ≌△CDE , · · · · · · · · · · · · · 9分 ∴ ?BDG ? ?CDE , ?ADC ? ?BDG ? ?CDE , ∴ DC 平分 ? ADE . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分
∴ 23.本小题考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的相互转化,考查化归与转化思想,数形结合 思想. 满分 10 分. 解:(Ⅰ)因为 x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,所以 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? , · · · · 2分 直线 l 的直角坐标方程为 y ? x ,

?y ? x ? x ? 0 或 ? x ? 1 ,· ,解得 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? 2 2 ?y ? 0 ?y ? 1 ?x ? 2x ? y ? 0 ? 所以点 M , N 的极坐标分别为 (0,0), ( 2 , ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 4
联立方程组 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)易得 | MN |? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 因为 P 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1上的点,设 P 点坐标为 ( 3 cos? , sin ? ) , · · · 7分 3

则 P 到直线 y ? x 的距离 d ?

3 cos? ? sin ? 2

,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

所以 S ?PMN

1 1 ? MN d ? ? 2 ? 2 2

3 cos? ? sin ? 2

2 cos(? ? ? 2

?
6

) ? 1,

当 ? ? k? ?

?
6

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

, k ? Z 时, S?PMN 取得最大值 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

24. 本小题考查绝对值不等式的解法和基本不等式的应用,考查运算求解能力和命题的等价转化能 力,考查函数思想、数形结合思想、分类与整合思想. 满分 10 分.
·13·

解:(Ⅰ)依题意得 x ? 3 ? x ? 1 ? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 当 x ? 3 时, x ? 3 ? ( x ? 1) ? 2 ,? ? 4 ? 2 ,满足题意, · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 当 ? 1 ? x ? 3 时, 3 ? x ? ( x ? 1) ? 2 ,即 x ? 0 ? 0 ? x ? 3 ,· · · · · · · · · · · · · 3分 当 x ? ?1 时, 3 ? x ? ( x ? 1) ? 2 ,? 4 ? 2 ,无解, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 综上所述,不等式的解集为 x x ? 0? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)因为 m, n ? ? 0, ??? ,所以 则 2mn ?

?

1 1 1 1 2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 ? ?2 ? ? m n m n mn

2 ,即 mn ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 mn 所以 mf ? n? ? nf ? ?m? ? m n ? 3 ? n ?m ? 3 ? mn ? 3n ? mn ? 3m
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 ? (mn ? 3n) ? (mn ? 3m) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? 3 m ? n ? 6 mn ? 6 . ·

·14·


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