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14年高考题(双曲线与抛物线)


2. 【2014 高考广东卷理第 4 题】若实数 k 满足 0 ? k ? 9 ,则曲线

x2 y2 ? ? 1 与曲线 25 9 ? k

x2 y2 ? ? 1 的( 25 ? k 9
A.离心率相等 焦距相等

) B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.

已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他们的一个公共点,且 ?F1PF2 ? 和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( A. ) C.3 D.2

?
3

,则椭圆

4 3 3

B.

2 3 3

4. 【2014 高考湖南卷第 15 题】如图 4,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为
2 原点 O 为 AD 的中点, 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 经过 C , F 两点, 则 a, b ? a ? b ? ,

b ? _____ . a

6. 【2014 辽宁高考理第 10 题】已知点 A(?2,3) 在抛物线 C: y ? 2 px 的准线上,过点 A
2

的直线与 C 在第一象限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( A.



1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 3
2 2

8. 【2014 全国 1 高考理第 4 题】已知 F 为双曲线 C : x ? my ? 3m(m ? 0) 的一个焦点, 则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( A. ) D. 3m
2
[来源:学科网]

3

B. 3

C.

3m

9. 【2014 全国 1 高考理第 10 题】已知抛物线 C: y ? 8x 的焦点为 F,准线为 l ,P 是 l 上 一点,Q 是直线 PF 与 C 得一个焦点,若 PF ? 4FQ ,则 QF ? ( )

A.

7 2

B.

3

C.

5 2

D.

2

10. 【2014 全国 2 高考理第 10 题】设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则 △OAB 的面积为( A. )

3 3 4

B.

9 3 8

C.

63 32

D. 9

4
y2 ? x 2 ? 1 具有相同渐 4

12. 【2014 高考北京版理第 11 题】设双曲线 C 经过点(2,2) ,且与 近线,则 C 的方程为 ;渐近线方程为 .

13. 【2014 江西高考理第 9 题】在平面直角坐标 系中, A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点, 若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 相切,则圆 C 面积的最小值为( A. ? )

4 5

B. ?

3 4

C. (6 ? 2 5)?

D. ?

5 4

14. 【2014 山东高考理第 10 题】 已知 a ? b ? 0 , 椭圆 C1 的方程为

x2 y2 ? ? 1, 双曲线 C2 a2 b2


的方程为

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 , C1 与 C2 的离心率之积为 ,则 C2 的渐近线方程为( 2 a b 2
B. 2 x ? y ? 0 C. x ? 2 y ? 0
2

A. x ? 2 y ? 0

D. 2 x ? y ? 0

15. 【2014 四川高考理第 10 题】已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点,点 A , B 在该抛物线上 且位于 x 轴的两侧,OA ? OB ? 2 (其中 O 为坐标原点) ,则 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最 小值是( A. 2 ) B. 3 C.

17 2 8

D. 10

16. 【2014 浙江高考理第 16 题】设直线 x ? 3 y ? m ? 0(m ? 0) 与双曲线

x2 y2 ? ?1 a2 b2

( a ? b ? 0 )两条渐近线分别交于点 A, B ,若点 P ( m,0) 满足 PA ? PB ,则该双曲线的离 心率是__________

17. 【2014 重庆高考理第 8 题】设 F1,F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右 a 2 b2
9 ab, 则该双曲线的离心 4

焦点, 双曲线上存在一点 P 使得 | PF1 | ? | PF2 |? 3b, | PF1 | ? | PF2 |? 率为( A. ) B.

4 3

5 3

C.

9 4

D.3

x2 y 2 18. 【2014 天津高考理第 5 题】已知双曲线 2 - 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线平行 a b
于直线 l : y = 2 x + 10 ,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为 ( (A) )

x2 y 2 =1 5 20

(B)

x2 y 2 =1 20 5

(C)

3x 2 3 y 2 =1 25 100

(D)

3x 2 3 y 2 =1 100 25
20. 【2014 大纲高考理第 9 题】已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F 1 、 F2 ,点 A 在 C 上, 若F 1 ?( 1A ? 2 F 2 A ,则 cos ?AF2 F )

A.

1 4

B.

1 3

C.

2 4

D.

2 3
2

21. 【2014 高考安徽卷第 19 题】如图,已知两条抛物线 E1 : y ? 2 p1 x? p1 ? 0? 和

E2 : y 2 ? 2 p2 x? p2 ? 0?,过原点 O 的两条直线 l1 和 l 2 ,l1 与 E1 , E2 分别交于 A1 , A2 两点,l 2
与 E1 , E2 分别交于 B1 , B2 两点. (1)证明: A1B1 // A2 B2 ; (2)过原点 O 作直线 l(异于 l1 ,l 2 ) 与 E1 , E2 分别交于 C1 , C 2 两点.记 ?A1B1C1 与 ?A2 B2C2 的 面积分别为 S 1 与 S 2 ,求

S1 的值. S2

23. 【2014 高考大纲理第 21 题】 已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 为 F,直线 y ? 4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点 为 Q,且 | QF |?

5 | PQ | . 4

(I)求 C 的方程; (II)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l ? 与 C 相较于 M,N 两点, 且 A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 24. 【2014 高考福建理第 19 题】已知双曲线 E : 别为 l1 : y ? 2 x, l2 : y ? ?2 x . (1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图, O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1 , l2 于 A, B 两点( A, B 分别在第一, 四象限) ,且 ?OAB 的面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公 共点的双曲线 E ?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由.

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线分 a 2 b2

30.【2014 高考江西理第 20 题】 如图, 已知双曲线 Cn

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的右焦点 F ,点 A, B a2

分别在 C 的两条渐近线上, AF ? x 轴, AB ? OB, BF ∥OA ( O 为坐标原点). (1)求双曲线 C 的方程; (2)过 C 上一点 P( x0, y0 )( y0 ? 0) 的直线 l : 线x?

x0 x ? y0 y ? 1 与直线 AF 相交于点 M ,与直 a2

3 MF 相交于点 N ,证明点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值. 2 NF

34. 【2014 高考山东卷第 21 题】已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , A 为 C 上
2

异于原点的任意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B ,交 x 轴的正半轴于点 D ,且有

| FA |?| FD | .当点 A 的横坐标为 3 时, ?ADF 为正三角形.
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l1 // l ,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E , (ⅰ)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ⅱ) ?ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
科网 [来源:学


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