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高中数学 第七章7.4 基本不等式(共73张PPT)


数学

R A(文)

§7.4 基本不等式
第七章 不等式

基础知识·自主学习
要点梳理
a+b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0 . (2)等号成立的条件: 当且仅当 a=b 时 取等号. 2.几个重要的不等式
2 2

难点正本 疑点清源

1. 在应用基本不等式求最值 时,要把握不等式成立的 三个条件,就是“一正 —— 各 项 均 为 正 ; 二 定 ——积或和为定值;三相 等——等号能否取得”, 若忽略了某个条件,就会 出现错误.

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(1)a +b ≥ 2ab (a,b∈R). b a (2)a+b≥ 2 (a,b 同号). ?a+b? ? ?2 (3)ab≤? (a,b∈R). 2 ? ? ? a2+b2 ?a+b?2 ? ? (4) ≥? ? (a,b∈R). 2 ? 2 ?
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
3.算术平均数与几何平均数 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均
难点正本 疑点清源

2.运用公式解题时,既要掌 握公式的正用,也要注意 公式的逆用,例如 a2 + b2≥2ab 逆 用 就 是 a2+b2 a+b ab≤ ; ≥ ab 2 2 (a , b>0) 逆 用 就 是 ?a+b? ?2 ab≤? b>0)等. 还 ? 2 ? (a, ? ? 要注意“添、拆项”技巧和 公式等号成立的条件等.

a+b 数为 2 , 几何平均数为 ab ,
基本不等式可叙述为: 两个正数

的算术平均数不小于它们的几何
平均数


基础知识

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练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当
难点正本 疑点清源

3.对使用基本不等式时 等号取不到的情况, 可考虑使用函数 y=x m + x (m>0)的单调性.

x=y 时,x+y 有最 小 值是 2 p .(简
记:积定和最小) (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且

p2 仅当 x=y 时,xy 有最 大 值是 4 .
(简记:和定积最大)
题型分类 思想方法

基础知识

练出高分

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2

答案
81
-2

解析

3
4 5

8
C

A

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

利用基本不等式证明简单不等式
思维启迪 解析 探究提高

已知 x>0,y>0,z>0. ?y z ??x z ??x y? 求证:?x+x??y+y?? z +z ?≥8. ? ?? ?? ?

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

利用基本不等式证明简单不等式
思维启迪 解析 探究提高

已知 x>0,y>0,z>0. ?y z ??x z ??x y? 求证:?x+x??y+y?? z +z ?≥8. ? ?? ?? ?

由题意,先局部运用基本不等 式,再利用不等式的性质即可 得证.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

利用基本不等式证明简单不等式
思维启迪 解析 探究提高

已知 x>0,y>0,z>0. ?y z ??x z ??x y? 求证:?x+x??y+y?? z +z ?≥8. ? ?? ?? ?

证明 ∵x>0,y>0,z>0,

y z 2 yz x z 2 xz ∴x+x≥ x >0,y+y≥ y >0, x y 2 xy z+z≥ z >0,
?y z ??x z ??x y? ∴?x+x??y+y??z +z ? ? ?? ?? ?

8 yz· xz· xy ≥ =8. xyz
当且仅当 x=y=z 时等号成立.
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题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

利用基本不等式证明简单不等式
思维启迪 解析 探究提高

已知 x>0,y>0,z>0. ?y z ??x z ??x y? 求证:?x+x??y+y?? z +z ?≥8. ? ?? ?? ?

利用基本不等式证明不等式是综 合法证明不等式的一种情况,证 明思路是从已证不等式和问题的 已知条件出发,借助不等式的性 质和有关定理,经过逐步的逻辑 推理最后转化为需证问题.

基础知识

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题型分类·深度剖析
变式训练 1 已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1. 1 1 1 求证:a+b+ c≥9.
证明 ∵a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1,

1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴a+b+c= a + b + c b c a c a b =3+a+a+b+b+c+c
?b a? ? c a? ?c b? =3+?a+b?+?a+c?+?b+c ? ? ? ? ? ? ?

≥3+2+2+2=9,
1 当且仅当 a=b=c= 时,取等号. 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 利用基本不等式求最值
思维启迪 解析 答案

【例 2】 (1)已知 x>0,y>0,且 2x+y 1 1 =1,则x+y 的最小值为________; 2x (2)当 x>0 时,则 f(x)= 2 的最大 x +1 值为________.

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型二 利用基本不等式求最值
思维启迪 解析 答案 【例 2】 (1)已知 x>0,y>0,且 2x+y 1 1 =1,则x+y 的最小值为________; 利用基本不等式求最值可以先对 2x (2)当 x>0 时,则 f(x)= 2 的最大 式子进行必要的变换.如第(1)问 x +1 1 1 把 x + y 中的“1”代换为“2x+ 值为________.

y”,展开后利用基本不等式;第 (2)问把函数式中分子分母同除 “x”,再利用基本不等式.

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题型分类·深度剖析
题型二 利用基本不等式求最值
思维启迪 解析 答案 【例 2】 (1)已知 x>0,y>0,且 2x+y 1 1 (1)∵x>0,y>0,且 2x+y=1, =1,则x+y 的最小值为________; 1 1 2x+y 2x+y 2x (2)当 x>0 时,则 f(x)= 2 的最大 ∴x+y= x + y x +1

值为________.

y 2x y =3+x+ y ≥3+2 2.当且仅当 x 2x = 时,取等号. y 2x 2 (2)∵x>0,∴f(x)= 2 = 1 x +1 x+x 2 ≤2=1, 1 当且仅当 x=x,即 x=1 时取等号.
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

题型分类·深度剖析
题型二 利用基本不等式求最值
思维启迪 解析 答案 【例 2】 (1)已知 x>0,y>0,且 2x+y 1 1 (1)∵x>0,y>0,且 2x+y=1, 3+2 2 =1,则x+y 的最小值为________; 1 1 2x+y 2x+y 2x (2)当 x>0 时,则 f(x)= 2 的最大 ∴x+ y= x + y x +1

1 值为________.

y 2x y =3+x+ y ≥3+2 2.当且仅当x 2x = y 时,取等号. 2x 2 (2)∵x>0,∴f(x)= 2 = 1 x +1 x+x 2 ≤ =1, 2 1 当且仅当 x=x,即 x=1 时取等号.
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

题型分类·深度剖析
变式训练 2 (1)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是 ( B ) A.3
解析

B.4

9 C. 2

11 D. 2

依题意,得(x+1)(2y+1)=9,

∴(x+1)+(2y+1)≥2 ?x+1??2y+1?=6, 即 x+2y≥4.
?x+1=2y+1, ? 当且仅当? ?x+2y+2xy=8, ? ?x=2, ? 即? ?y=1 ?

时等号成立.

∴x+2y 的最小值是 4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析

变式训练 2

16 16 (2)已知 a>b>0,则 a + 的最小值是________. b?a-b?
2

解析

?b+a-b? a2 ?2 ∵a>b>0,∴b(a-b)≤? ? ? =4, 2 ? ?

当且仅当 a=2b 时等号成立. 16 16 64 2 2 2 ∴a + ≥a + a2 =a + a2 b?a-b? 4 64 ≥2 a2· 2 =16,当且仅当 a=2 2时等号成立. a 16 ∴当 a=2 2,b= 2时,a2+ 取得最小值 16. b?a-b?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 基本不等式的实际应用
某单位建造一间地面面积
思 维 启 迪 解 析

【例 3】

为 12 m2 的背面靠墙的矩形小房, 由于地理位置的限制,房子侧面的 长度 x 不得超过 5 m.房屋正面的 造价为 400 元/m2, 房屋侧面的造价 为 150 元/m2,屋顶和地面的造价 费用合计为 5 800 元,如果墙高为 3 m,且不计房屋背面的费用.当侧 面的长度为多少时,总造价最低?

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 基本不等式的实际应用
某单位建造一间地面面积
思 维 启 迪 解 析

【例 3】

为 12 m2 的背面靠墙的矩形小房, 由于地理位置的限制,房子侧面的 长度 x 不得超过 5 m.房屋正面的 造价为 400 元/m , 房屋侧面的造价
2

用长度 x 表示出造价,利用基本不 等式求最值即可.还应注意定义域 0<x≤5;函数取最小值时的 x 是否在 定义域内,若不在定义域内,不能用基

为 150 元/m2,屋顶和地面的造价

费用合计为 5 800 元,如果墙高为 本不等式求最值,可以考虑单调性. 3 m,且不计房屋背面的费用.当侧 面的长度为多少时,总造价最低?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 基本不等式的实际应用
某单位建造一间地面面积
思 维 启 迪 解 析

【例 3】

为 12 m2 的背面靠墙的矩形小房, 12 解 由题意可得,造价 y=3(2x×150+ x ×400)+5 800 由于地理位置的限制,房子侧面的 ? 16? ? =900?x 不得超过800 (0<x≤5), 长度 x+ x +5 5 m.房屋正面的
? ?

? 16? 房屋侧面的造价 造价为 400 元/m2, 则 y=900?x+ x ?+5 800 ? 2 ? 为 150 元/m ,屋顶和地面的造价 16 ≥900×2 x× x +5 800=13 000(元), 费用合计为 5 800 元,如果墙高为 3 m,且不计房屋背面的费用.当侧 16 当且仅当 x= x ,即 x=4 时取等号. 面的长度为多少时,总造价最低? 故当侧面的长度为 4 米时,总造价最低.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 (2011· 北京)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备 x 费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓储时间为 天,且每件产 8 品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓 储费用之和最小,每批应生产产品 A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 ( B )

解析 设每件产品的平均费用为 y 元,由题意得
800 x y= x +8≥2 800 x x ·=20. 8

800 x 当且仅当 x =8(x>0),即 x=80 时“=”成立,故选 B.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 8.忽视最值取得的条件致误
? 1 ?? 1? y=?a+a??b+b?的最 ? ?? ?

典例:(12 分)已知 a、b 均为正实数,且 a+b=1,求 小值.

易 错 分 析

审 题 视 角

规 范 解 答

解 后 反 思

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 8.忽视最值取得的条件致误
? 1 ?? 1? y=?a+a??b+b?的最 ? ?? ?

典例:(12 分)已知 a、b 均为正实数,且 a+b=1,求 小值.

易 错 分 析

审 题 视 角

规 范 解 答

解 后 反 思

在求最值时两次使用基本不等式,其中的等号不能同时成立,导致 最小值不能取到.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 8.忽视最值取得的条件致误
? 1 ?? 1? y=?a+a??b+b?的最 ? ?? ?

典例:(12 分)已知 a、b 均为正实数,且 a+b=1,求 小值.

易 错 分 析

审 题 视 角

规 范 解 答

解 后 反 思

(1)求函数最值问题,可以考虑利用基本不等式,但是利用基本不等 式,必须保证“正、定、等”,而且还要符合已知条件.(2)可以考 虑利用函数的单调性,但要注意变量的取值范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 8.忽视最值取得的条件致误
? 1 ?? 1? y=?a+a??b+b?的最 ? ?? ?

典例:(12 分)已知 a、b 均为正实数,且 a+b=1,求 小值.

审 题 视 角 ? 1?? 1? 解 方法一 y=?a+a??b+b? ? ?? ? ? 1 ? ?b a? ? 1? =?ab+ab?+?a+b?≥?ab+ab?+2 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ?2 ? 1 ? ? ? ?2 =? ab+ ? =?4 ab+ ab-3 ab? ab? ? ? ?
? ≥?2 ? ?

易 错 分 析

规 范 解 答

解 后 反 思

a+b?2 ? 3?2 25 1 ? 4 ab· -3× 2 ? =?4-2? = 4 . 10分 ab ? ? ? ? 1?? 1? 1 25 ?a+ ??b+ ?取最小值,最小值为 . 12分 当且仅当 a=b= 时,y= a?? b? 2 4 ? 思想方法 题型分类 练出高分 基础知识

题型分类·深度剖析
易错警示 8.忽视最值取得的条件致误
? 1 ?? 1? y=?a+a??b+b?的最 ? ?? ?

典例:(12 分)已知 a、b 均为正实数,且 a+b=1,求 小值.

审 题 视 角 规 范 解 答 ? 1?? 1? 1 a b ?a+ ??b+ ?=ab+ + + 方法二 y= a?? b? ab b a ? 2 2 2 1 a +b 1 ?a+b? -2ab 2 =ab+ab+ ab =ab+ab+ =ab+ab-2. ab ?a+b? ? 1? ? ?2 1 令 t=ab≤? ? =4,即 t∈?0,4?. ? ? ? 2 ? ? 1? 2 又 f(t)= t +t 在?0,4?上是单调递减的, ? ? 1 33 1 ∴当 t=4时,f(t)min= 4 ,此时,a=b=2.
1 25 ∴当 a=b=2时,y 有最小值 4 .

易 错 分 析

解 后 反 思

6分

10分

12分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 8.忽视最值取得的条件致误
? 1 ?? 1? y=?a+a??b+b?的最 ? ?? ?

典例:(12 分)已知 a、b 均为正实数,且 a+b=1,求 小值.

易 错 分 析

审 题 视 角

规 范 解 答

解 后 反 思

(1)这类题目考生总感到比较容易下手.但是解这类题目却又常常出错. (2)利用基本不等式求最值, 一定要注意应用条件: 即一正、 二定、 三相等. 否 则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错.(3)本题出错的原因前面已 分析,关键是忽略了等号成立的条件.

基础知识

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思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将 “积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于 比较数(式)的大小或证明不等式, 解决问题的关键 是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本

方 法 与 技 巧

不等式的切入点.

2.恒等变形:为了利用基本不等式,有时对给定的 代数式要进行适当变形.比如: 1 1 (1)当 x>2 时,x+ =(x-2)+ +2≥2+2=4. x-2 x-2 8 1 (2)0<x< ,x(8-3x)= (3x)(8-3x) 3 3 1?3x+8-3x?2 16 ? ≤ ? ? =3. 3? 2 ? ?
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

思想方法·感悟提高

1.使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其

失 误 与 防 范

前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本 不等式求最值,这三个条件缺一不可.
2.在运用重要不等式时,要特别注意“拆”“拼” “凑”等技巧,使其满足重要不等式中 “正”“定”“等”的条件.

3.连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满 足任何一次的字母取值存在且一致.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2011· 陕西)设 0<a<b,则下列不等式中正确的是 a+b a+b A.a<b< ab< B.a< ab< <b 2 2 a+b a+b C.a< ab<b< D. ab<a< <b 2 2

(

)

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2011· 陕西)设 0<a<b,则下列不等式中正确的是 a+b a+b A.a<b< ab< B.a< ab< <b 2 2 a+b a+b C.a< ab<b< D. ab<a< <b 2 2

( B )

解 析
a+b ∵0<a<b,∴a< <b,A、C 错误; 2
ab-a= a( b- a)>0,即 ab>a,D 错误,故选 B.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.(2012· 福建)下列不等式一定成立的是 ( ) ? 1? 1 2 ?x + ?>lg x(x>0) A.lg B. x+ sin ≥2(x≠kπ, k∈Z) 4? sin x ? 1 2 C.x +1≥2|x|(x∈R) D. 2 >1(x∈R) x +1

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.(2012· 福建)下列不等式一定成立的是 ( C ) ? 1? 1 2 ?x + ?>lg x(x>0) A.lg B. x+ sin ≥2(x≠kπ, k∈Z) 4? sin x ? 1 2 C.x +1≥2|x|(x∈R) D. 2 >1(x∈R) x +1

解 析
1 1 当 x>0 时,x + ≥2· =x, x· 4 2 ? 1? 2 所以 lg?x +4?≥lg x(x>0),故选项 A 不正确; ? ?
2

而当 x≠kπ,k∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项 B 不正确;

由基本不等式可知,选项 C 正确; 1 当 x=0 时,有 2 =1,故选项 D 不正确. x +1
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
x y

6

7

8

9

1 1 3.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 a =b =3,a+b=2 3,则x+y 的最 大值为 A.2 3 B. 2 C.1 1 D. 2 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
x y

6

7

8

9

1 1 3.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 a =b =3,a+b=2 3,则x+y 的最 大值为 A.2 3 B. 2 C.1 1 D. 2 ( C )

解 析
由 ax=by=3,得:x=loga3,y=logb3,由 a>1,b>1 知 x>0, ?a+b? 1 1 ?2 y>0,x+y =log3a+log3b=log3ab≤log3? ? 2 ? =1,当且仅 ? ? 1 1 当 a=b= 3时“=”成立,则x+ y的最大值为 1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为 1 1 3 2 A. B. C. D. 3 2 4 3

(

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为 1 1 3 2 A. B. C. D. 3 2 4 3

( B )

解 析
∵0<x<1,∴1-x>0.
?x+1-x? ?2 3 ∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3? = . ? 2 ? 4 ? ?

1 当 x=1-x,即 x=2时取等号.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x y + 5.已知 x,y∈R ,且满足 + =1,则 xy 的最大值为________. 3 4

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x y + 3 5.已知 x,y∈R ,且满足 + =1,则 xy 的最大值为________. 3 4

解 析
x y xy ∵x>0,y>0 且 1= + ≥2 , 3 4 12 x y ∴xy≤3.当且仅当 = 时取等号. 3 4

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.(2011· 湖南)设 x,y∈R,且 为________.

? ? 1? ?1 2 2 ? xy≠0,则?x +y2?· 2+4y ?的最小值 ? ? ?x ?

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.(2011· 湖南)设 x,y∈R,且

? ? 1? ?1 2 2 ? xy≠0,则?x +y2?· 2+4y ?的最小值 ? ? ?x ?

9 为________. 解 析
? ? 1 ?? 1 1 2 2 ?x + 2?? 2+4y ?=5+ 2 2+4x2y2 y ??x xy ? ?

≥5+2

1 4x2 2 2 2· y =9, xy
2 2

1 当且仅当 x y =2时“=”成立.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.某公司一年需购买某种货物 200 吨,平均分成若干次进行购买, 每次购买的运费为 2 万元,一年的总存储费用数值(单位:万元) 恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运费与总存储费用之 和最小,则每次购买该种货物的吨数是_____.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.某公司一年需购买某种货物 200 吨,平均分成若干次进行购买, 每次购买的运费为 2 万元,一年的总存储费用数值(单位:万元) 恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运费与总存储费用之

20 和最小,则每次购买该种货物的吨数是_____.
200 设每次购买该种货物 x 吨,则需要购买 x 次, 200 400 则一年的总运费为 x ×2= x ,一年的总存储费用为 x,所 400 400 以一年的总运费与总存储费用为 x +x≥2 x=40,当 x · 400 且仅当 x =x,即 x=20 时等号成立,故要使一年的总运费 与总存储费用之和最小,每次应购买该种货物 20 吨.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: ? 1?? 1? 1 1 1 (1)a+b+ab≥8;(2)?1+a??1+b?≥9. ? ?? ?

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: ? 1?? 1? 1 1 1 (1)a+b+ab≥8;(2)?1+a??1+b?≥9. ? ?? ?

解 析
?1 1? 1 1 1 1 1 a+b 证明 (1)a+b+ab=a+b+ ab =2?a+b?, ? ? ∵a+b=1,a>0,b>0, 1 1 a+b a+b a b ∴a+b= a + b =2+b+a≥2+2=4, 1 1 1 1 ∴a+b+ab≥8(当且仅当 a=b=2时等号成立).

(2)方法一

∵a>0,b>0,a+b=1,

a+b 1 b ∴1+a=1+ a =2+a,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: ? 1?? 1? 1 1 1 (1)a+b+ab≥8;(2)?1+a??1+b?≥9. ? ?? ? 1 a 解 析 同理,1+b=2+b, ? ?b a? 1?? 1? ? b?? a? ∴?1+a??1+b?=?2+a??2+b?=5+2?a+b?≥5+4=9. ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 1?? 1? 1 ?1+ ??1+ ?≥9(当且仅当 a=b= 时等号成立). ∴ a?? b? 2 ? ? 1?? 1? 1 1 1 ?1+ ??1+ ?=1+ + + . 方法二 a?? b? a b ab ? 1 1 1 由(1)知,a+b+ab≥8, ? 1?? 1? 1 1 1 ?1+ ??1+ ?=1+ + + ≥9. 故 a?? b? a b ab ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)为处理含有某种杂质的污水,要制造一个 底宽为 2 m 的无盖长方体沉淀箱(如图所示),污 水从 A 孔流入, 经沉淀后从 B 孔流出, 设箱的底 长为 a m,高度为 b m.已知流出的水中该杂质 的质量分别与 a, 的乘积成反比, b 现有制箱材料 60 m2.问: a, 当 b 各为多少米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A, B 孔的面积忽略不计)?

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)为处理含有某种杂质的污水,要制造一个 底宽为 2 m 的无盖长方体沉淀箱(如图所示),污 水从 A 孔流入, 经沉淀后从 B 孔流出, 设箱的底 长为 a m,高度为 b m.已知流出的水中该杂质 的质量分别与 a, 的乘积成反比, b 现有制箱材料 60 m2.问: a, 当 b 各为多少米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A, B 孔的面积忽略不计)?

解 析

解 方法一 设 y 为流出的水中该杂质的质量分数,

k 则 y=ab,其中 k>0 为比例系数,依题意,求使 y 值最小的 a,b 的值.
根据题设,有 4b+2ab+2a=60 (a>0,b>0), 30-a 解得 b= (0<a<30). 2+a
基础知识 题型分类 思想方法


练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)为处理含有某种杂质的污水,要制造一个 底宽为 2 m 的无盖长方体沉淀箱(如图所示),污 水从 A 孔流入, 经沉淀后从 B 孔流出, 设箱的底 长为 a m,高度为 b m.已知流出的水中该杂质 的质量分别与 a, 的乘积成反比, b 现有制箱材料 60 m2.问: a, 当 b 各为多少米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A, B 孔的面积忽略不计)?

解 析
k k k k 于是 y=ab= = = ? 64 64 ? 30a-a2 ? -a+32- 34-?a+2+a+2? ? a+2 2+a ? ? k k ≥ =18, 64 34-2 ?a+2?· a+2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)为处理含有某种杂质的污水,要制造一个 底宽为 2 m 的无盖长方体沉淀箱(如图所示),污 水从 A 孔流入, 经沉淀后从 B 孔流出, 设箱的底 长为 a m,高度为 b m.已知流出的水中该杂质 的质量分别与 a, 的乘积成反比, b 现有制箱材料 60 m2.问: a, 当 b 各为多少米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A, B 孔的面积忽略不计)? 64 解 析 当且仅当 a+2= 时等号成立,y 取得最小值. a+2 这时 a=6 或 a=-10(舍),将其代入①式,得 b=3. 故当 a 为 6 m,b 为 3 m 时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.

方法二 依题意,求使 ab 值最大的 a,b 的值.
由题设,知 4b+2ab+2a=60 (a>0,b>0), 即 a+2b+ab=30 (a>0,b>0).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)为处理含有某种杂质的污水,要制造一个 底宽为 2 m 的无盖长方体沉淀箱(如图所示),污 水从 A 孔流入, 经沉淀后从 B 孔流出, 设箱的底 长为 a m,高度为 b m.已知流出的水中该杂质 的质量分别与 a, 的乘积成反比, b 现有制箱材料 60 m2.问: a, 当 b 各为多少米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A, B 孔的面积忽略不计)?

解 析

因为 a+2b≥2 2ab,所以 2 2· ab+ab≤30,

当且仅当 a=2b 时,上式取等号. 由 a>0,b>0,解得 0<ab≤18, 即当 a=2b 时,ab 取得最大值,其最大值为 18. 所以 2b2=18,解得 b=3,进而求得 a=6. 故当 a 为 6 m,b 为 3 m 时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量 分数最小.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.不等式 a2+b2≥2|ab|成立时,实数 a,b 一定是 A.正数 B.非负数 C.实数

(

)

D.不存在

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.不等式 a2+b2≥2|ab|成立时,实数 a,b 一定是 A.正数 B.非负数 C.实数

( C ) D.不存在

解 析
原不等式可变形为 a2 +b2 -2|ab|=|a|2 +|b|2 -2|ab|= (|a|-|b|)2≥0,对任意实数都成立.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升

7 3 4 6 5 a+b 1 1 2.如果 0<a<b<1,P= log 1 ,Q= ( log 1 a+ log 1 b),M= log 1 (a 2 2 2 2 2 2 2

+b),那么 P,Q,M 的大小顺序是 A.P>Q>M B.Q>P>M C.Q>M>P

(

)

D. M>Q>P

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升

7 3 4 6 5 a+b 1 1 2.如果 0<a<b<1,P= log 1 ,Q= ( log 1 a+ log 1 b),M= log 1 (a 2 2 2 2 2 2 2

+b),那么 P,Q,M 的大小顺序是 A.P>Q>M B.Q>P>M C.Q>M>P

( B ) D. M>Q>P

解 析
a+b 1 log 1 因为 P= ,Q= ( log 1 a+ log 1 b), 2 2 2 2 a+b2 1 M= log 1 (a+b),所以只需比较 , ab, a+b的大小,显 2 2
2

a+b a+b ?a+b?2 a+b 然 > ab.又因为 < a+b(因为 a+b> , 也就是 2 2 4 4 a+b <1),所以 a+b> > ab,而对数函数当底数大于 0 且小于 1 2 时为减函数,故 Q>P>M.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.函数 y=loga(x+3)-1 (a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 1 2 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 m,n 均大于 0,则m+n的最小 值为 A.2 ( B.4 C.8 D.16 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.函数 y=loga(x+3)-1 (a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 1 2 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 m,n 均大于 0,则m+n的最小 值为 A.2 ( C ) B.4 C.8 D.16

解 析
点 A(-2,-1),所以 2m+n=1.
? 1 2? 1 2 n 4m ? + ?=4+ + 所以m+n=(2m+n) m n m n ≥8,当且仅当 n= ? ? 1 1 2m,即 m= ,n= 时等号成立. 4 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

18 4.若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是________. 解 析
由 x>0,y>0,2x+y+6=xy,得
xy≥2 2xy+6(当且仅当 2x=y 时,取“=”), 即( xy)2-2 2 xy-6≥0, ∴( xy-3 2)· xy+ 2)≥0. ( 又∵ xy>0,∴ xy≥3 2,即 xy≥18.

∴xy 的最小值为 18.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3


专项能力提升
4 5 6 7

m n 5.已知 m、n、s、t∈R ,m+n=2, s + t =9,其中 m、n 是常数, 4 且 s+t 的最小值是 ,满足条件的点(m,n)是圆(x-2)2+(y-2)2 9 =4 中一弦的中点,则此弦所在的直线方程为______________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3


专项能力提升
4 5 6 7

m n 5.已知 m、n、s、t∈R ,m+n=2, s + t =9,其中 m、n 是常数, 4 且 s+t 的最小值是 ,满足条件的点(m,n)是圆(x-2)2+(y-2)2 9 x+y-2=0 =4 中一弦的中点,则此弦所在的直线方程为______________.

解 析
?m n? tm sn ? + ?=m+n+ + 因(s+t) s t s t ? ?

≥m+n+2 mn,所以 m+n+2 mn=4,
从而 mn=1,得 m=n=1,即点(1,1),

而已知圆的圆心为(2,2),所求弦的斜率为-1,

从而此弦的方程为 x+y-2=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.定义“*”是一种运算,对于任意的 x,y,都满足 x*y=axy+ b(x+y),其中 a,b 为正实数,已知 1*2=4,则 ab 取最大值时 a 的值为 .

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.定义“*”是一种运算,对于任意的 x,y,都满足 x*y=axy+ b(x+y),其中 a,b 为正实数,已知 1*2=4,则 ab 取最大值时 a 的值为

1

.

解 析
∵1*2=4,∴2a+3b=4,
∵2a+3b≥2 6ab,
2 ∴ab≤3.

当且仅当 2a=3b,即 a=1 时等号成立,

2 所以当 a=1 时,ab 取最大值 . 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分

B组

专项能力提升

5 1 7 2 3 4 6 7. 分)甲、 (13 乙两地相距 s 千米, 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地,

水速为常量 p(单位:千米/小时),船在静水中的最大速度为 q 千 米/小时(q>p).已知船每小时的燃料费用(单位:元)与船在静水 中的速度 v(单位:千米/小时)的平方成正比,比例系数为 k. (1)把全程燃料费用 y(单位:元)表示为船在静水中的速度 v 的函 数,并求出这个函数的定义域; (2)为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少?

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升

5 7 3 4 6 7. 分)甲、 (13 乙两地相距 s 千米, 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地,

水速为常量 p(单位:千米/小时),船在静水中的最大速度为 q 千 米/小时(q>p).已知船每小时的燃料费用(单位:元)与船在静水 中的速度 v(单位:千米/小时)的平方成正比,比例系数为 k. (1)把全程燃料费用 y(单位:元)表示为船在静水中的速度 v 的函 数,并求出这个函数的定义域; (2)为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少?

s 解 (1)由题意,知船每小时的燃料费用是 kv ,全程航行时间为 , v-p s 于是全程燃料费用 y=kv2· (p<v≤q). v-p s 2 (2)由(1),知 y=kv · v-p v2-p2+p2 p2 =ks· =ks[v+p+ ] v-p v-p
2

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升

5 7 3 4 6 7. 分)甲、 (13 乙两地相距 s 千米, 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地,

水速为常量 p(单位:千米/小时),船在静水中的最大速度为 q 千 米/小时(q>p).已知船每小时的燃料费用(单位:元)与船在静水 中的速度 v(单位:千米/小时)的平方成正比,比例系数为 k. (1)把全程燃料费用 y(单位:元)表示为船在静水中的速度 v 的函 数,并求出这个函数的定义域; (2)为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少? p2 解 析 =ks[v-p+ +2p] v-p 2 p p2 ≥ks[2 ?v-p?· +2p]=4ksp(当且仅当 v-p= , v-p v-p 即 v=2p 时等号成立).
①当 2p∈(p,q],即 2p≤q 时,ymin=4ksp,此时船的前进速 度为 2p-p=p;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升

5 7 3 4 6 7. 分)甲、 (13 乙两地相距 s 千米, 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地,

水速为常量 p(单位:千米/小时),船在静水中的最大速度为 q 千 米/小时(q>p).已知船每小时的燃料费用(单位:元)与船在静水 中的速度 v(单位:千米/小时)的平方成正比,比例系数为 k. (1)把全程燃料费用 y(单位:元)表示为船在静水中的速度 v 的函 数,并求出这个函数的定义域; (2)为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少? s 2 解 析 ②当 2p?(p,q], 2p>q 时, 即 函数 y=kv · 在(p, v-p 2 q q]内单调递减,所以 ymin=ks· ,此时船的前进速度为 q-p. q-p

故为了使全程燃料费用最小, 2p≤q 时, 当 船的实际前进速度应为 p 千米/小时;当 2p> q 时,船的实际前进速度应为(q-p)千米/小时.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分



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