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2013届高考数学知识点复习测试题20


第2讲

古典概型与几何概型

★ 知 识 梳理 ★ 1. 基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件 A )称 为一个基本事件
王新敞
奎屯 新疆

特别提醒:基本事件有如下两个特点: ○任何两个基本事件都是互斥的; 1 ○任何事件都可以表示成基本事件的和。 2 2.所有基本事件的全体,叫做样本空间,用Ω 表示,例如“抛一枚 硬币”为一次实验,则Ω ={正面,反面}。 3.等可能性事件(古典概型):如果一次试验中可能出现的结果有 n 个, 而且所有结果出现的可能性都相等,那么每个基本事件的概率都是
1 n ,这种事件叫等可能性事件

王新敞
奎屯

新疆

特别提醒:古典概型的两个共同特点: ○有限性,即试中有可能出现的基本事件只有有限个,即样本空间Ω 1 中的元素个数是有限的; ○等可能性,即每个基本事件出现的可能性相等。 2 4.古典概型的概率公式:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个, 而且所有结果都是等可能的, 如果事件 A 包含 m 个结果, 那么事件 A 的 概率
P( A) ? m n

王新敞
奎屯

新疆

5.几何概型:如果第个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度

(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称 几何概型。 特别提醒:几何概型的特点: ○试验的结果是无限不可数的; 1 ○每个结果出现的可能性相等。 2

6 . 几 何 概 型 的 概 率 公 式 :
构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) =

P ( A )

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点:理解古典概型,几何概型的概念, 2.难点:掌握古典概型,几何概型的概率公式; 3.重难点:. (1) “非等可能”与“等可能”混同 问题 1: 掷两枚骰子,求事件 A 为出现的点数之和等于 3 的概率。 错解: 掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2, 4, 3, ??, 12}, 有利于事件 A 的结果只有 3,故 分析:公式
P( A) ?
P( A) ? 1 11 。

有利于事件A的基本事件数 基本事件的总数

仅当所述的试验结果是等可能性时才成立, 而取数值 2 和 3 不是等可 能的,2 只有这样情况(1,1)才出,而 3 有两种情况(1,2)(2, , 1)可出现,其它的情况可类推。

正确答案 掷两枚骰子可能出现的情况: (1,1)(1,2) , ,?, (1, 6)(2,1)(2,2) , , ,?, (2,6) ,?, (6,1)(6,2) , ,?, (6, 6) ,结果总数为 6×6=36。 在这些结果中,事件 A 的含有两种结果(1,2)(2,1) , 。
? P( A) ? 2 1 ? 36 18 。

(2) “可辩认”与“不可辨认”混同 问题 2: 将 n 个球等可能地放入到 N 个编号的盒子中去(每个盒子容 纳球的个数不限) ,求事件 A=“某指定的 n 个盒子中恰好各有一球的 概率” 。 错解:将 n 个球等可能地放入到 N 个编号的盒子中,所有可能的结 果数为 Nn,而事件 A 含有 n!种结果。
? P( A) ? n! . NN

分析:这种解法不全面,如果球是编号的(即可辨认的) ,则答案是 对的;若球是不可辩认的,则答案完全错了。因为球是不可辩认的, 故只考虑盒子中球的个数,不考虑放的是哪几个球。我们在此用符号 “□”表示一个盒子, “○”表示球,先将盒子按号码排列起来 1 2 3 4 5?N 这样的 N 个盒子由 N+1 个 “|” 构成, 然后把 n 个球任意放入 N 个 盒子中,比如:|○|○○|?|○○○|,在这样的放法中,符号“|”和 “○”共占有:N+1+n 个位置,在这 N+1+n 个位置中,开始和末了

的位置上必须是“|” ,其余的 N+n-1 个位置上“|”和“O”可以任意 次序排列。则 N-1 个“1”和 n 个“○”在中间的 N+n-1 个位置上的 可以区别的所有可能结果数是 C N ? n?1 ,将 n 个不可辨认的球放入指定 的 n 个盒子,使每盒恰有一球的放法只有 1 种,故事件 A 含 1 个结 果,从而
P( A) ? 1 C
n N ? n ?1

n

?

n!( N ? 1)! . ( N ? n ? 1)!

正解:分两种情况: (1)当球是可辩认的,则
P( A) ? n! ; Nn

n!( N ? 1)! (2)当球是不可辨认的,则 P( A) ? ( N ? n ? 1)! 。

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点一:古典概型 题型 1. 等可能事件的概率计算 [例 1] 某人有 5 把钥匙,但忘记了开房门的是哪一把,于是,他逐把 不重复地试开,问: (1)恰好第三次打开房门所的概率是多少? (2)三次内打开的概率是多少? (3)如果 5 把内有 2 把房门钥匙,那么三次内打开的概率是多少? [解题思路]:我们知道最多开 5 次门,且其中有且仅有一次可以打开
1 门,故每一次可以打开门的概率是相同的都是 5



解析: 5 把钥匙,逐把试开有 A5 种结果,由于该人忘记了开房间的 是哪一把,因此这些结果是等可能的。 (1)第三次打开房门的 结果有 A4 种,故第三次打开房门锁的概率
A P(A)= A =
4 4 5 5
4

5

1 5

3 A44 3 5 4 (2)三次内打开房门的结果有 3A4 种,因此所求概率 P(A)= A5 = 5

(3)方法 1 因 5 把内有 2 把房门钥匙, 故三次内打不开的结果有 A3 ? A2
3 5 3 2

2

种,从而三次内打开的结果有 A5 ? A3 A2 种,从而三次内打开的结果有
5 3 2 A5 ? A3 A2 9 5 3 2 5 A5 ? A3 A2 A5 种,所求概率 P(A)= = 10 .

方法 2

三 次内打 开 的 结果 包括: 三 次 内恰 有一次 打 开 的结 果 种;三次内恰有两次打开的结果 A3 A3 种.因此,三次内打
2 3

1 1 1 3 C2 ? A3 ? A2 ? A3

1 1 1 3 3 C2 A3 A2 A3 ? A32 A3 9 ? 1 1 1 3 2 3 5 A5 10 开的结果有 C2 A3 A2 A3 ? A3 A3 ) ( 种, 所求概率 P(A)=

[例 2] 有 10 件产品,其中有 2 件次品,每次抽取 1 件检验,抽检后 不放回,共抽 2 次。求下列事件的概率。 (1)两次抽到的都是正品; (2)抽到的恰有一件为次品; (3)第 1 次抽到正品,第 2 次抽到次品。 [解题思路]:请注意题(3)的两种解法,一种是将试验(抽取 2 件 产品)看作是组合(无序的) ,一种是将试验看作为排列(有序的) , 值得注意的是两种解法的样本空间不同,事件 C 不属于样本空间Ω ,

(C ? Ω )因此不能用 card(Ω )进行计算。 解析:记Ω ={从 10 件产品中任抽 2 件}则 n=card(Ω )=C 10 (1)记 A={从 10 件产品中抽 2 件,都是正品},则 m=card(A)=C 8 ∴
P( A) ?
2 C8 28 ? 2 C10 45
2 2

(2)记 B={从 10 件产品中抽 2 件,一件为正品,一件为次品},则 m=card(B)= C 2 C8 ∴
P( B ) ?
1 1

1 1 C 2 C8 8 ? 2 45 C10

(3)初看本题与题(2)是相同的,其实不然,题(2)包含于两种 可能, “第一次正品、第二次次品”或“第一次次品,第二次正品” , 而目前求的是其中之一“第一次正品,第二次次品”的概率。 (法一)由于事件 B 中包含“第一次正品,第 2 次次品”和“第一 次次品第 2 次正品”两种等可能的情况,∴所求事件的概率
1 1 1 C2 C8 4 P? 2 2 ? 45 。 C10

(法二)记Ω ’={从 10 件产品中,任取一件, (放入甲袋中) ,再从剩 下 9 件产品中任取一件, (放入乙袋中)} 记 C={第一次取出的是正品, 第二次取出的是次品}={甲袋中为正品, 乙袋中为次品} ∴card(Ω ’)= A10 ,card(C)= C8 C 2 ∴
P (C ) ?
1 1 C8 C 2 4 ? 2 45 A10
2 1 1

【名师指引】样本空间的选取会影响到解答的过程。因此解等可能概

型时, 建议遵循以下步骤①判断该问题是等可能概型②确定样本空间 (即试验的方法,试验的结果将影响样本空间) ;③用排列组合问题 的解法确定 card(Ω ) 与 card(A),则 【新题导练】 1. (改编题)一个口袋里装有 2 只白球,3 只黑球,从中摸出 2 个球 (1)共有多少种结果? (2)摸出 2 个黑球有多少种结果? (3)求摸出 2 个黑球的概率? (4)求摸出一只黑球一只白球的概率? (5)求摸出至少一只黑球的概率?
2 解(1)共有 n= C5 ? 10 种结果(card(Ω )=10) 2 (2)都摸出黑球 m ? C3 ? 3 种结果

P( A) ?

card ( A) card (?)

P ( A) ?

(3)记 A={两次都摸黑球},

C 32 3 ? 2 C 5 10

1 1 C 2 C3 6 3 P( B) ? ? ? 2 10 5 C5 (4)记 B={一次摸黑球,一次摸白球},

(5)记 C={至少一只黑球}
P(C ) ? 1 ? P(C ) ? 1 ?

则 C ={两只都是白球},

2 C2 9 ? 2 C5 10

2.某商业银行为储户提供的密码有 0,1,2,…,9 中的 6 个数字组 成. (1)某人随意按下 6 个数字, 按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少? (2)某人忘记了自己储蓄卡的第 6 位数字,随意按下一个数字进行试

验,按对自己的密码的概率是多少? 解 (1)储蓄卡上的数字是可以重复的,每一个 6 位密码上的每一个
1 6 数字都有 0, 2, 1, ?, 这 10 种, 9 正确的结果有 1 种, 其概率为 10 ,

随意按下 6 个数字相当于随意按下10 个,随意按下 6 个数字相当于
1 6 随意按下 10 个密码之一,其概率是 10 .
6

6

(2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前 5 个正确的前提下,随意 按下一个数字,等可能性的结果为 0,1,2,?,9 这 10 种,正确的
1 结果有 1 种,其概率为 10 .

考点二: 几何概型 题型 1: 几何概型的概率 [例 3] (广东省北江中学 2009 届高三月考)将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,则以第一次向上点数为横坐标 x,第二次向上 的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 x2+y2=27 的内部的概率________. [解题思路]:用几何概型求解,转化为圆内找出圆内满足条件的整点 个数。 解析:基本事件总数为 36,点(x,y) ,在圆 x2+y2=27 的内部记为
17 事件 D,则 D 包含 17 个事件,所以 P(D)= 36 。

[例 4] 两人相约 6 时到 7 时在某地见面, 先到者等候另一人 10 分钟, 如果另一人还没到,这时方可离去,试求这两人能会面的概率?

[解题思路]:此题涉及了两个变量,应设未知数,根据条件列出不等 式,转化为坐标平面内的平面区域,用几何概型求解。渗透了转化, 数形结合等重要的数学思想方法 解析:设 x 、 y 分别表示两人到达的时刻
?0 ? x ? 60 ? ?0 ? y ? 60 ?| x ? y |? 10 则?
y C B

?0 ? x ? 60 ?0 ? y ? 60 ? ? ? x ? y ? 10 ? 即 ? x ? y ? ?10 其平面区域为

10 0 10 A x

设“两人能见面”为事件 A,则

P( A) ?

d的面积 602 ? 502 11 ? ? D的面积 60 36

【名师指引】用几何概型解题,主要运用转化,数形结合等重要的数 学思想方法 【新题导练】 3. (广州市海珠区 2009 届高三上学期综合测试二(数学理))在区域
? ?0 ? x ? ? ? ? ? ? N ? ??x, y ? ?0 ? y ? 2 ? ? ?0 ? x ? ? ? M ? ?? x, y ? ? ? ? ? y ? sin x ? ? ?0 ? y ? 2 ? 内随机撒一把黄豆,落在区域 ? ? ?

内的概率是
1 答案: ? ,作图。

.

2 2 4. (改编 2008 海南、宁夏文 20)一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 ,其中

a ? [0,3] , b ?[0, 2] ,求此方程有实根的概率。
b _

y _=x

解析:试验的全部结果所构成的区域为
{(a, b) | 0 ? a ? 3,0 ? b ? 2} ,

_2

0 _

3 _

a _

构成事件 A 的区域为 {(a, b) | 0 ? a ? 3,0 ? b ? 2, a ? b} ,
1 3 ? 2 ? ? 22 2 2 P( A) ? ? 3? 2 3。 故所求的概率为

★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1. (广东省佛山市 2008 年高三教学质量检测一)如图,矩形长为 6, 宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( A. 7.68 B. 16.32 C. 17.32 ).

D. 8.68

答案:B 提示:利用几何概型公式。 2. (广东省三水中学高三月考)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M, 并且以线段 AM 为边的正方形,则这正方形的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间的概率为( )
俯视图

1 A.4

1 B.3

4 C. 27

12 D. 45

答案:A 提示:考查几何概型。 3.在平面区域中任取一点,记事件“该点落在其内部一个区域 d 内” 为事件 A,则事件 A 发生的概率为
P( A) ? d的面积 D的面积 。在边长为

2 的正方 。

形 ABCD 内任取一点,使得 ?APB ? 90 的概率为
?

8?? 8

4. (江苏省滨海县 08 届高三第三次联考数学试卷)下图的矩形,长 为 5,宽为 2,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆, 数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗,则我们可以估计出阴影 部分的面积为 .

138 23 ?5? 2 ? 5 。 .解:解利用几何概型 300

5.将一枚骰子先后抛掷 2 次,计算: (1)一共有多少种不同的结果. (2)其中向上的数之积是 12 的结果有多少种? (3)向上数之积是 12 的概率是多少? 解 (1)将骰子向桌面先后抛掷两次,一共有 36 种不同的结果. (2)向上的数之积是 12,记(I,j)为“第一次掷出结果为 I,第二次掷 出结果为 j”则相乘为 12 的结果有(2,6)(3,4)(4,3)(6,2) , , , 4 种情况. (3)由于骰子是均匀的,将它向桌面先后抛掷 2 次的所有 36 种结果是

等可能的,其中“向上的数之积是 12”这一事件记为 A.Card(A)=4. 所以所求概率 P(A)= 6.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共设有 10 个不同的题目,其中选 择题 6 个,判断题 4 个,甲、乙二人依次各抽一题,计算: (1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少? (2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?
P ( A) ?
1 1 C6 ? C 4 4 ? 2 A10 15 ;

解: (1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率 (2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率
P( B) ?
1 1 1 1 A62 ? C6 ? C4 ? C4 ? C6 13 ? 2 A10 15

王新敞
奎屯

新疆

综合拔高训练 7.从男女生共 36 人的班中,选出 2 名代表,每人当选的机会均等。
1 如果选得同性代表的概率是 2 ,求该班中男女生相差几名?

解:设男生有 x 名,则女生有(36- x )人,选出的 2 名代表是同性 的概率为
2 2 C x ? C36? x 1 x( x ? 1) (36 ? x)(35 ? x) 1 ? ,即 ? ? 2 2 36 ? 35 36 ? 35 2 , 解 得 C36 P=

x ? 15或x21 ,所以男女生相差 6 人。

8. (2008 江苏省姜堰中学阶段性考试) 将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (1)两数之和为 6 的概率; (2)两数之积是 6 的倍数的概率;

(3)以第一次向上的点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐 标 y 的点(x, y)在直线 x-y=3 的下方区域的概率 解:
5 (1)两数之和为 6 的概率为 36

(2)此问题中含有 36 个等可能基本事件,记“向上的两数之积 是 6 的倍数”为事件 A,则由下面的列表可知,事件 A 中含有其中
15 5 的 15 个等可能基本事件,所以 P(A)= 36 = 12 ,
5 答:两数之积是 6 的倍数的概率为 12

(3)此问题中含有 36 个等可能基本事件,记“点(x,y)在直 线 x-y=3 的下方区域”为事件 B,则由下列的列表可知,事件
3 1 B 中含有其中 3 个基本等可能基本事件:∴P(B)= 36 = 12 ,答:点(x, y)
1 在直线 x-y=3 的下方区域的概率为 12

9. (广东北江中学 2008 月考)设函数

f ( x) ? ax ?

x ( x ? 1), 若a x ?1 是从 1,

2,3 三个数中任取一个数,b 是从 2,3,4,5 四个数中任取一个数, 求 f ( x) ? b 恒成立的概率。

解: x ? 1, a ? 0,
f ( x) ? ax ? x ?1?1 x ?1

? ax ?

1 ?1 x ? 1 ??????????2 分
1 ?1? a x ?1

? a( x ? 1) ?

? 2 a ? 1 ? a ? ( a ? 1) 2 , ??????????4 分

? f ( x) min ? ( a ? 1) 2 ,
2 于是 f ( x) ? b恒成立就转化为( a ? 1) ? b 成立。????????6 分

设事件 A: f ( x) ? b 恒成立” “ ,则 基本事件总数为 12 个,即 (1,2)(1,3)(1,3)(1,5) , , , ; (2,2)(2,3)(2,4)(2,5) , , , ; (3,2)(3,3)(3,4)(3,5) , , , ;??????????8 分 事件 A 包含事件: (1,2)(1,3) , ; (2,2)(2,3)(2,4)(2,5) , , , ; (3,2)(3,3)(3,4)(3,5)共 10 个????????10 分 , , , 由古典概型得
P( A) ? 10 5 ? . 12 6 ????????12 分

10. (广东深圳外国语学校 2008 高三月考)已知三个正数 a, b, c 满足
a ?b?c.
9? ?1 2 ? , , ??? ? (1)若 a, b, c 是从 ?10 10 10 ? 中任取的三个数, a, b, c 能构成三角形三 求

边长的概率;

(2)若 a, b, c 是从 (0 , 1) 中任取的三个数, a, b, c 能构成三角形三边长的 求 概率. 分析:在(1)中 a, b, c 的取值是有限可数的,可用列举法解决;(2)中 a, b, c 的取值是无穷的,得用几何概型的方法求解. 解:(1)若 a, b, c 能构成三角形,则 ①若 ②若 同理
c? c?

a ? b ? c, c ?

4 10 .

4 3 2 b ? ,a ? 10 时, 10 10 .共 1 种; 5 4 3 2 b ? ,a ? , 10 时。 10 10 10 .共 2 种; 6 10 时,有 3+1=4 种;

c?

c?

7 10 时,有 4+2=6 种; 8 10 时,有 5+3+1=9 种; 9 10 时,有 6+4+2=12 种.

c?

c?

于是共有 1+2+4+6+9+12=34 种.
9? ?1 2 ? , , ??? ? 下面求从 ?10 10 10 ? 中任取的三个数 a, b, c ( a ? b ? c )的种数:

①若 种;

a?

1 2 3 9 3 4 9 b? b ? , c ? , ???, c ? , ???, 10 , 10 ,则 10 10 10 ,有 6 10 10 ,有 7 种; 4 5 9 8 9 c ? , ???, b ? ,c ? 10 , 10 10 ,有 5 种;??; 10 10 ,有 1 种.

b?

故共有 7+6+5+4+3+2+1=28 种. 同理,
a? 2 3 a? 10 时,有 6+5+4+3+2+1=21 种; 10 时,有 5+4+3+2+1=15

种;

a?

4 5 6 a? a? 10 时, 4+3+2+1=10 种; 10 时, 3+2+1=6 种; 10 时, 有 有 a? 7 10 时,有 1 种.

有 2+1=3 种;

这时共有 28+21+15+10+6+3+1=84 种.
34 17 ? ∴ a, b, c 能构成三角形的概率为 48 24 .

(2) a、b、c 能 构 成 三 角 形 的 充 要 条 件 是
?0 ? a ? b ? c ? 1 ? ?a ? b ? c ?0 ? c ? 1 ?

.

在坐标系 aOb 内画出满足以上条件的区域(如右图阴影部分),由几何 概型的计算方法可知, 只求阴影部分的面积与图中正方形的面积比即 可.
1 1 1 ? P? 2 ? . 2 ,于是所要求的概率为 1 2



S阴影


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