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2015届高考数学二轮复习


考情解读

第 1 讲 集合与常用逻辑用语 1.集合是高考必考知识点,经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算,近几年

有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定,考查充要条件的判断.

1.集合的概念、关系 (1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性,求解含参数的集

合问题时要根据互异性进行检验. (2)集合与集合之间的关系:A? B,B? C? A? C,空集是任何集合的子集,含有 n 个元素的集合的子集数为 2 ,真 子集数为 2 -1,非空真子集数为 2 -2. 2.集合的基本运算 (1)交集:A∩B={x|x∈A,且 x∈B}.(2)并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}.(3)补集:?UA={x|x∈U,且 x?A}. 重要结论:A∩B=A?A? B;A∪B=A?B? A. 3.四种命题及其关系 四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命 题同真同假,遇到复杂问题正面解决困难的,采用转化为反面情况处理. 4.充分条件与必要条件 若 p? q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q,则 p,q 互为充要条件. 5.简单的逻辑联结词 (1)命题 p∨q,只要 p,q 有一真,即为真;命题 p∧q,只有 p,q 均为真,才为真;綈 p 和 p 为真假对立的命题. (2)命题 p∨q 的否定是(綈 p)∧(綈 q);命题 p∧q 的否定是(綈 p)∨(綈 q). 6.全称量词与存在量词 “? x∈M,p(x)”的否定为“? x0∈M,綈 p(x0)”;“? x0∈M,p(x0)”的否定为“? x∈M,綈 p(x)”.
n n n

热点一 例1

集合的关系及运算 (1)(2014?四川)已知集合 A={x|x -x-2≤0},集合 B 为整数集,则 A∩B 等于( B.{-2,-1,0,1} C.{0,1} D.{-1,0}
2

)

A.{-1,0,1,2}

(2)(2013?广东)设整数 n≥4,集合 X={1,2,3,?,n},令集合 S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件 x<y<z, y<z<x,z<x<y 恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,则下列选项正确的是( A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S 思维启迪 答案 解析 选 A. (2)因为(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,不妨令 x=2,y=3,z=4,w=1,则(y,z,w)=(3,4,1)∈S,(x,y,
-1-

)

B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S

明确集合的意义,理解集合中元素的性质特征.

(1)A (2)B (1)因为 A={x|x -x-2≤0}={x|-1≤x≤2},又因为集合 B 为整数集,所以集合 A∩B={-1,0,1,2},故
2

w)=(2,3,1)∈S,故(y,z,w)?S,(x,y,w)?S 的说法均错误,可以排除选项 A、C、D,故选 B. 思维升华 结果. (2)对集合的新定义问题,要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征,将问题转化为熟悉的知识进行求解, 也可利用特殊值法进行验证. (1)已知集合 M={1,2,3},N={x∈Z|1<x<4},则( A.M? N B.N=M C.M∩N={2,3} D.M∪N=(1,4) ) ) (1)对于集合问题,抓住元素的特征是求解的关键,要注意集合中元素的三个特征的应用,要注意检验

(2)(2013?山东)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( A.1 答案 解析 B.3 C.5 D.9

(1)C (2)C (1)集合 N 是要求在(1,4)范围内取整数,所以 N={x∈Z|1<x<4}={2,3},所以 M∩N={2,3}.

(2)x-y∈{-2,-1,0,1,2}. 热点二 例2 四种命题与充要条件 (1)(2014?天津)设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( B.必要不充分条件 C.充要条件 )
2

)

A.充分不必要条件

D.既不充分又不必要条件

(2)(2014?江西)下列叙述中正确的是(
2

A.若 a,b,c∈R,则“ax +bx+c≥0”的充分条件是“b -4ac≤0” B.若 a,b,c∈R,则“ab ≥cb ”的充要条件是“a>c” C.命题“对任意 x∈R,有 x ≥0”的否定是“存在 x∈R,有 x ≥0” D.l 是一条直线,α ,β 是两个不同的平面,若 l⊥α ,l⊥β ,则 α ∥β 思维启迪 答案 解析 要明确四种命题的真假关系;充要条件的判断,要准确理解充分条件、必要条件的含义.
2 2 2 2

(1)C (2)D (1)当 b<0 时,显然有 a>b?a|a|>b|b|;当 b=0 时,显然有 a>b?a|a|>b|b|;

当 b>0 时,a>b 有|a|>|b|,所以 a>b?a|a|>b|b|.综上可知 a>b?a|a|>b|b|,故选 C. (2)由于“若 b -4ac≤0,则 ax +bx+c≥0”是假命题,所以“ax +bx+c≥0”的充分条件不是“b -4ac≤0”, A 错; 因为 ab >cb ,且 b >0,所以 a>c.而 a>c 时,若 b =0,则 ab >cb 不成立,由此知“ab >cb ”是“a>c”的充分不 必要条件, B 错; “对任意 x∈R, 有 x ≥0”的否定是“存在 x∈R, 有 x <0”, C 错; 由 l⊥α , l⊥β , 可得 α ∥β , 理由:垂直于同一条直线的两个平面平行,D 正确. 思维升华 (1)四种命题中, 原命题与逆否命题等价, 逆命题与否命题等价; (2)充要条件的判断常用“以小推大”
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

的技巧,即小范围推得大范围,判断一个命题为假可以借助反例. 错误!未找到引用源。 (1)命题“若 a,b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是________. (2)设 a∈R,则“a=1”是“直线 ax-y+1=0 与直线 x-ay-1=0 平行”的( A.充分不必要条件 答案 B.必要不充分条件 C.充要条件 )

D.既不充分也不必要条件

(1)若 a+b 不是偶数,则 a,b 不都是偶数 (2)C
-2-

解析

(1)判断词“都是”的否定是“不都是”.
2

(2)若直线 ax-y+1=0 与直线 x-ay-1=0 平行,则 a?(-a)=(-1)?1? a =1,且 a? (-1)≠1?1? a≠-1,故有 a=1,即“a=1”是“直线 ax-y+1=0 与直线 x-ay-1=0 平行”的充要条件. 热点三 例3 逻辑联结词、量词 (1)已知命题 p:? x∈R,x-2>lg x,命题 q:? x∈R,sin x<x,则( ) D. 命题 p∨(非 q)是假命题 )

A.命题 p∨q 是假命题

B.命题 p∧q 是真命题 C.命题 p∧(非 q)是真命题

(2)(2013?四川)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p:? x∈A,2x∈B,则( A.非 p:? x∈A,2x∈B 思维启迪 B.非 p:? x?A,2x?B C.非 p:? x?A,2x∈B

D.非 p:? x∈A,2x?B

(1)先判断命题 p、q 的真假,再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假;(2)含量词的命题的否定既

要否定量词,还要否定判断词. 答案 解析 (1)C (2)D (1)对于命题 p,取 x=10,则有 10-2>lg 10,即 8>1,故命题 p 为真命题;对于命题 q,取 x=- π ,则 2

π sin x=sin(- )=-1,此时 sin x>x,故命题 q 为假命题,因此命题 p∨q 是真命题,命题 p∧q 是假命题,命 2 题 p∧(綈 q)是真命题,命题 p∨(綈 q)是真命题,故选 C. (2)命题 p:? x∈A,2x∈B 是一个全称命题,其命题的否定綈 p 应为? x∈A,2x?B,选 D. 思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念: 命题的否定只否定命题的结论, 真假与原命题相对立; (2)

判断命题的真假要先明确命题的构成.由命题的真假求某个参数的取值范围,还可以考虑从集合的角度来思考, 将问题转化为集合间的运算. (1)已知命题 p:在△ABC 中,“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要条件;命题 q:“a>b”是 “ac >bc ”的充分不必要条件,则下列选项中正确的是( A.p 真 q 假 B.p 假 q 真
2 2 2

) D.“p∧q”为真
2

C.“p∧q”为假

(2)已知命题 p:“? x∈[1,2],x -a≥0”,命题 q:“? x0∈R, x0 +2ax0+2-a=0”.若命题“(綈 p)∧q” 是真命题,则实数 a 的取值范围是( A.a≤-2 或 a=1 答案 解析 (1)C (2)C (1)△ABC 中,C>B?c>b?2Rsin C>2Rsin B(R 为△ABC 外接圆半径),所以 C>B?sin C>sin B. ) C.a>1 D.-2≤a≤1

B.a≤2 或 1≤a≤2

故“C>B”是“sin C>sin B”的充要条件,命题 p 是假命题. 若 c=0,当 a>b 时,则 ac =0=bc ,故 a>b ac >bc ,若 ac >bc ,则必有 c≠0,则 c >0,则有 a>b,所以 ac >bc ? a>b,故“a>b”是“ac >bc ”的必要不充分 条件,故命题 q 也是假命题,故选 C. (2)命题 p 为真时 a≤1;“? x0∈R, x0 +2ax0+2-a=0”为真,即方程 x +2ax+2-a=0 有实根,故 Δ =4a -
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

4(2-a)≥0,解得 a≥1 或 a≤-2.(綈 p)∧q 为真命题,即綈 p 真且 q 真,即 a>1.

-3-

1.解答有关集合问题,首先正确理解集合的意义,准确地化简集合是关键;其次关注元素的互异性,空集是任何 集合的子集等问题,关于不等式的解集、抽象集合问题,要借助数轴和 Venn 图加以解决. 2.判断充要条件的方法,一是结合充要条件的定义;二是根据充要条件与集合之间的对应关系,把命题对应的元 素用集合表示出来,根据集合之间的包含关系进行判断,在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等 价转化方法. 3.含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的,这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确, 再根据逻辑联结词的含义进行判断. 4.一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系,但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假 的.

真题感悟 1.(2013?广东)设集合 M={x|x +2x=0,x∈R},N={x|x -2x=0,x∈R},则 M∪N 等于( A.{0} 答案 解析 D ∵M={x|x=0 或 x=-2}={0,-2},N={0,2},∴M∪N={-2,0,2}.
x 2 2

)

B.{0,2}

C.{-2,0}

D.{-2,0,2}

2.(2014?重庆)已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2 >0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件. 则下列命题为真命题的是( A.p∧q 答案 解析 D 因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意 x∈R,y=2 >0 恒成立,故 p 为真命题;因为当 x>1 时,x>2
x

) C.非 p∧q D.p∧非 q

B.非 p∧非 q

不一定成立,反之当 x>2 时,一定有 x>1 成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故 q 为假命题,则 p∧q、 綈 p 为假命题,綈 q 为真命题,綈 p∧綈 q、綈 p∧q 为假命题,p∧綈 q 为真命题,故选 D. 押题精练 1.若全集 U=R,集合 M={x|-x -x+2<0},N={x|x-1<0},则下图中阴影部分表示的集合是(
2

)

错误!未找到引用源。 A.(-∞,1] 答案 解析 B M={x|x<-2 或 x>1},N={x|x<1}.图中阴影部分表示的集合为 M∩(?RN)={x|x<-2 或 x>1}∩{x|x≥1} B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-2,1)

={x|x>1}. 1 2 2.若命题 p:函数 y=x -2x 的单调递增区间是[1,+∞),命题 q:函数 y=x- 的单调递增区间是[1,+∞), x 则( 答案 D )A.p∧q 是真命题 B.p∨q 是假命题 C.非 p 是真命题 D.非 q 是真命题

-4-

解析

1 2 因为函数 y=x -2x 的单调递增区间是[1, +∞), 所以 p 是真命题; 因为函数 y=x- 的单调递增区间是(- x

∞,0)和(0,+∞),所以 q 是假命题.所以 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,綈 p 为假命题,綈 q 为真命题,故 选 D.
?log2x,x>0, ? 3.函数 f(x)=? x ? ?-2 +a,x≤0

有且只有一个零点的充分不必要条件是(

)

A.a<0 答案 解析
x

B.0<a< A

1 2

1 C. <a<1 2

D.a≤0 或 a>1

因为函数 f(x)过点(1,0),所以函数 f(x)有且只有一个零点?函数 y=-2 +a(x≤0)没有零点?函数 y=

x

2 (x≤0)与直线 y=a 无公共点.由数形结合,可得 a≤0 或 a>1. 1 x 所以函数 f(x)有且只有一个零点的充分必要条件是 a≤0 或 a>1,应排除 D;当 0<a< 时,函数 y=-2 +a(x≤0) 2 1 有一个零点,即函数 f(x)有两个零点,此时 0<a< 是函数 f(x)有且只有一个零点的既不充分也不必要条件,应排 2 除 B;同理,可排除 C,应选 A.

(推荐时间:40 分钟) 一、选择题 1.(2014?陕西)设集合 M={x|x≥0,x∈R},N={x|x <1,x∈R},则 M∩N 等于( A.[0,1] 答案 解析 B N={x|-1<x<1},M∩N=[0,1).故选 B. ) B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1)
2

)

2.已知集合 A={1,2,3,4,5},B={5,6,7},C={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈B},则 C 中所含元素的个数为( A.5 答案 解析 D B.6 C.12 D.13

若 x=5∈A, y=1∈A, 则 x+y=5+1=6∈B, 即点(5,1)∈C; 同理, (5,2)∈C, (4,1)∈C, (4,2)∈C, (4,3)∈C,

(3,2)∈C,(3,3)∈C,(3,4)∈C,(2,3)∈C,(2,4)∈C,(2,5)∈C,(1,4)∈C,(1,5)∈C.所以 C 中所含元素的个 数为 13,应选 D. 3.设全集 U 为整数集,集合 A={x∈N|y= 7x-x -6},B={x∈Z|-1<x≤3},则图中阴影部分表示的集合的真 子集的个数为( )
2

A.3

B.4

C.7

D.8
-5-

答案 解析

C 因为 A={x∈N|y= 7x-x -6}={x∈N|7x-x -6≥0}={x∈N|1≤x≤6},由题意,知题图中阴影部分表
2 2

示的集合为 A∩B={1,2,3},所以其真子集有:?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共 7 个. 4.“(m-1)(a-1)>0”是“logam>0”的( A.充分不必要条件 答案 解析 B
? ?m>1, (m-1)(a-1)>0 等价于? ?a>1 ? ? ?m<1, 或? ?a<1. ? ? ?m>1, logam>0 等价于? ?a>1 ? ? ?0<m<1, 或? ?0<a<1, ?

) C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

B.必要不充分条件

所以前者是后者的必

要不充分条件,故选 B. 5.已知命题 p:? x∈(0, π ),使得 cos x≤x,则该命题的否定是( 2 π B.? x∈(0, ),使得 cos x≥x 2 π D.? x∈(0, ),使得 cos x≤x 2 )

π A.? x∈(0, ),使得 cos x>x 2 π C.? x∈(0, ),使得 cos x>x 2 答案 解析 C

原命题是一个特称命题,其否定是一个全称命题.而“cos x≤x”的否定是“cos x>x”,故选 C. ) D.既不充分也不必要条件

1 6.在△ABC 中,“A=60°”是“cos A= ”的( 2 A.充分而不必要条件 答案 解析 C

B.必要而不充分条件 C.充分必要条件

1 1 在 A=60°时,有 cos A= ,因为角 A 是△ABC 的内角,所以,当 cos A= 时,也只有 A=60°,因此,是 2 2

充分必要条件. 7.(2013?湖北)已知全集为 R,集合 A=?x
? ?

1 2

x

≤1?,B={x|x -6x+8≤0},则 A∩?RB 等于(
2

? ?

)

A.{x|x≤0} 答案 解析 C

B.{x|2≤x≤4}

C.{x|0≤x<2 或 x>4}

D.{x|0<x≤2 或 x≥4}

∵A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},∴A∩?RB={x|x≥0}∩{x|x>4 或 x<2}={x|0≤x<2 或 x>4}.
2

8. 已知集合 A={(x, y)|x+y-1=0, x, y∈R}, B={(x, y)|y=x +1, x, y∈R}, 则集合 A∩B 的元素个数是( A.0 答案 解析 C 集合 A 表示直线 l:x+y-1=0 上的点的集合,集合 B 表示抛物线 C:y=x +1 上的点的集合.
2

)

B.1

C.2

D.3

?x+y-1=0, ? 由? 2 ?y=x +1 ?

消去 y 得 x +x=0,由于 Δ >0,所以直线 l 与抛物线 C 有两个交点.即 A∩B 有两个元素.故

2

选 C.

-6-

π π 9.设命题 p:函数 y=sin 2x 的最小正周期为 ;命题 q:函数 y=cos x 的图象关于直线 x= 对称.则下列判 2 2 断正确的是( 答案 解析 C p 是假命题,q 是假命题,因此只有 C 正确.
2 2

)A.p 为真

B.非 q 为假

C.p∧q 为假

D.p∨q 为真

10.已知 p:? x∈R,mx +2≤0,q:? x∈R,x -2mx+1>0,若 p∨q 为假命题,则实数 m 的取值范围是( A.[1,+∞) 答案 解析 A B.(-∞,-1] C.(-∞,-2] D.[-1,1]

)

∵p∨q 为假命题,∴p 和 q 都是假命题.由 p:? x∈R,mx +2≤0 为假命题,得非 p:? x∈R,mx +2>0
2 2

2

2

为真命题,∴m≥0.①由 q:? x∈R,x -2mx+1>0 为假命题,得非 q:? x∈R,x -2mx+1≤0 为真命题, ∴Δ =(-2m) -4≥0? m ≥1? m≤-1 或 m≥1.②由①和②得 m≥1.故选 A. 二、填空题 11.已知集合 P={x|x(x-1)≥0},Q={x|y=ln(x-1)},则 P∩Q=__________. 答案 解析 (1,+∞) 由 x(x-1)≥0 可得 x≤0 或 x≥1,则 P=(-∞,0]∪[1,+∞);又由 x-1>0 可得 x>1,则 Q=(1,+∞),
2 2

所以 P∩Q=(1,+∞). 12.“m>n>0”是“方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的________条件. 答案 解析 充要 1 1 x y 2 2 m>n>0? > >0?mx +ny = + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,故填充要. n m 1 1 m n
2 2 2 2 2

13.由命题“? x∈R,x +2x+m≤0”是假命题,求得实数 m 的取值范围是(a,+∞),则实数 a 的值是________. 答案 解析 1 根据题意可得:? x∈R,x +2x+m>0 是真命题,则 Δ <0,即 2 -4m<0,m>1,故 a=1.
2 2

14.给出下列四个命题: ①命题“若 α =β ,则 cos α =cos β ”的逆否命题; ②“? x0∈R,使得 x0 -x0>0”的否定是:“? x∈R,均有 x -x<0”;
2

2

③命题“x =4”是“x=-2”的充分不必要条件; ④p:a∈{a,b,c},q:{a}? {a,b,c},p 且 q 为真命题. 其中真命题的序号是________.(填写所有真命题的序号) 答案 解析 ①④ 对①,因命题“若 α =β ,则 cos α =cos β ”为真命题,所以其逆否命题亦为真命题,①正确;
2
2

2

对②,命题“? x0∈R,使得 x0 -x0>0”的否定应是:“? x∈R,均有 x -x≤0”,故②错; 对③,因由“x =4”得 x=±2,所以“x =4”是“x=-2”的必要不充分条件,故③错; 对④,p,q 均为真命题,由真值表判定 p 且 q 为真命题,故④正确. 15.已知集合 M 为点集,记性质 P 为“对? (x,y)∈M,k∈(0,1),均有(kx,ky)∈M”.给出下列集合:①{(x,
-72 2

y)|x ≥y},②{(x,y)|2x +y <1},③{(x,y)|x +y +x+2y=0},④{(x,y)|x +y -x y=0},其中具有性质 P 的点集序号是________. 答案 解析 ②④ 1 1 1 2 2 对于①:取 k= ,点(1,1)∈{(x,y)|x ≥y},但( , )?{(x,y)|x ≥y},故①是不具有性质 P 的点集. 2 2 2
2 2 2 2

2

2

2

2

2

3

3

2

对于②:? (x,y)∈{(x,y)|2x +y <1},则点(x,y)在椭圆 2x +y =1 内部,所以对 0<k<1,点(kx,ky)也在椭 圆 2x +y =1 的内部,即(kx,ky)∈{(x,y)|2x +y <1},故②是具有性质 P 的点集. 1 2 5 1 1 1 1 2 对于③:(x+ ) +(y+1) = ,点( ,- )在此圆上,但点( ,- )不在此圆上,故③是不具有性质 P 的点集. 2 4 2 2 4 4 对于④:? (x,y)∈{(x,y)|x +y -x y=0},对于 k∈(0,1),因为(kx) +(ky) -(kx) ?(ky)=0? x +y -x y =0,所以(kx,ky)∈{(x,y)|x +y -x y=0},故④是具有性质 P 的点集.综上,具有性质 P 的点集是②④.
3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 2 2 2

-8-


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