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2014年北京市朝阳区高三二模数学(理)试题Word版带答案


北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试(理工类)2014.5
第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项.
2 1.已知集合 A ? ?x ? R|2x ? 3≥0? ,集合 B ? x ? R|x ? 3x ? 2 ? 0? ,则 A ? B ?



?

) .

? 3? A. ? x | x≥ ? 2? ?

? 3 ? B. ? x | ≤x ? 2? 2 ? ?

C. ?x |1 ? x ? 2?

? 3 ? D. ? x | ? x ? 2? 2 ? ?

解析:

? 3? A ? ? x ? R|2x ? 3≥0? = ? x ? R|x≥ ? , B ? x ? R|x 2 ? 3x ? 2 ? 0? ? ?x ? R|1<x ? 2? 2? ?

?

考点:集合与常用逻辑用语-----集合的运算 难度系数:3 答案:B 2.如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式一定成立的是( A. log3 a ? log3 b
1 1 B. ( )a ? ( )b 4 4

) .
1 1 ? a b

C.

D. a 2 ? b2

解析:A 以 3 为底,函数单调递增,错误;B 单调递减,错误;C 正确。 考点:函数与导数-----基本初等函数与应用-------对数与对数函数 难度系数:3 答案:C 3.执行如右图所示的程序框图,若输出的结果为 2 ,则输入的正整数 a 的可能取值的集合是( A. ?1,2,3,4,5? B. ?1,2,3,4,5,6? C. ?2,3,4,5? D. ?2,3,4,5,6? 解析:先验证 a=1,不成立;a=6 时,不成立;所以答案 C. 考点:算数与框图-----算法和程序框图 难度系数:3 答案:C
π 4.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? ) 的部分图像如右图所示,则 ? ? ( 2

) .

) .

A. ?

π 6

B.

π 6

C. ?

π 3

D.

π 3

1 / 12

解析: , 把 ? T ? ? ? ? ? ? ?T ? ? ,? ? 2 (0 ) , 4 3 12 4 3 答案 D。

带入解析式, ? 2? ?, sin(2 ? ? ? ) ? 0 ?? ? k? ? , k ? Z ?? ? 3 3 3

考点:三角函数------三角函数-------三角函数的图像与性质 难度系数:3 答案:D 5.已知命题 p : 复数 z ? 中为真命题的是( A. (?p) ? (?q) 解析:
z?

1? i 在复平面内所对应的点位于第四象限;命题 q : ?x ? 0 , x ? cos x ,则下列命题 i

) . B. (?p) ? q

1 ? i (1 ? i)i ? ?1? i i i ?i q 都为真命题,所以答案 D。

D. p ? q ,所以对应的点在第四象限成立,q : ?x ? 0 , x ? cos x 数形结合成立,p, C. p ? (?q)

考点:集合与常用逻辑用语------常用逻辑用语-------简单的逻辑联结词 难度系数:3 答案:D 6.若双曲线 x2 ? 围是( A. (1, 2]

y2 则双曲线离心率的取值范 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 至多有一个交点, b2 ) .
B. [2, ??) C. (1, 3] D. [ 3, ??)
b ? 3, e ?

解析:双曲线的一条渐近方程是 y=bx;当直线与圆相切时, b ? 3 ,所以 离心率大于 1,所以答案 A. 考点:解析几何-----圆锥曲线------双曲线 难度系数:3 答案:A

,双曲线的 c ? 2 a

7.某工厂分别生产甲、乙两种产品 1 箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示. 煤(吨) 电(千度) 纯利润(万元)

1 箱甲产品 1 箱乙产品
A. 60 万元

3

1 1
C. 90 万元 D. 100 万元

2 1
) .

1
B. 80 万元

若生产甲、 乙两种产品可使用的煤不超过 120 吨, 电不超过 60 千度, 则可获得的最大纯利润和是 ( 解析:设李锐函数为 Z,设甲产品 X,乙产品 Y,根据题意有 3x ? y ? 120 所以答案 C。 ? ? x ? y ? 60 ? Z ? 2x ? y ? ?x ? 0 ? ?y ? 0 考点:不等式------线性规划------线性规划 难度系数:3 答案:C

8.如图放置的边长为 1 的正 △ PMN 沿边长为 3 的正方形 ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动.当 △ PMN 沿 正方形各边滚动一周后,回到初始位置时,点 P 的轨迹长度是( ) .
D C

2 / 12

M A(P) N B

A.

8π 3

B.

16π 3

C. 4 π

D. 5π

解析:P 点在 AD 边上运动时,点 P 相当与以一为半径的圆,当点 P 从 A 到 D 点旋转的角为 4? ,所以

3
P 回到初始位置时,点 P 的轨迹长度是
16π ,答案为 B。 3

考点:解析几何-------圆锥曲线------圆锥曲线综合 难度系数:5 答案:B 第二部分(非选择题共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.已知平面向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60 ? ,则 2a ? b ? __________. 解析:

2a ? b ? 4a2 ? 4a ? b ? b2 ? 4 ? 4 ? 4 ? 12 ? 2a ? b ? 2 3

2

考点:平面向量-------数量积及其应用-------数量积的定义 难度系数:3 答案: 2 3 10. (1 ? 2x)5 的展开式中 x 3 项的系数为___________. (用数字表示) 解析:展开式中 x 3 项的系数 C 3 (?2 x)3 ? ?80 5 考点:统计与概率------排列组合与二项式定理-------二项式定理与性质 难度系数: 答案:-80 11.如图, AB 为圆 O 的直径, AB ? 2 ,过圆 O 上一点 M 作圆 O 的切线,交 AB 的延长线于点 C ,过点 M 作 MD ? AB 于点 D ,若 D 是 OB 中点.则 AC ? BC ? ___________. 解析: ?MOD ? 600 ? CM ? 3 ? CM 2 ? AC ? BC ? 3 考点:解析几何------几何选讲-----圆 难度系数:3 答案:3

D A O B C

M

12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示,则其体积是________;表面积是_________.

3 / 12

解析:该集合体相当于两个正四棱锥品在一起,所以 变面积

1 8 2 ,四棱锥的斜高 3 ,所以 V ? ? 4? 2 ? 2 ? 3 3

1 S ? ? 2? 3 ? 4? 2 ? 8 3 2

考点: 立体几何------空间几何体------空间几何体的表面积与体积 难度系数:3 答案:

8 2 8 3 ; 3

13.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? 2an ? 4 (n ? N* ) ,则 a n =_________;数列 ?log2 an ? 的前 n 项 和为_____________.
? Sn ? 2an ? 4 ? an ? 2an ? 2an ?1 (n ? 1), an ? 2an ?1 , n ? 1; a1 ? 4 ,所以数列数以 2 为公比的等比数 解析: ? ? Sn ?1 ? 2an ?1 ? 4 (2 ? n ?1) n n(n ? 3) 列 an ? 2n?1 , Sn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? log 2 a3 ? ?? log 2 an ? log 2 ( a1a2 a3 ? an ) ? log 2 (2 2 ) ? 2 考点: 数列---数列的递推关系 难度系数:3

答案:B 14.若存在正实数 M ,对于任意 x ? (1 , ? ?) ,都有 f ( x) ≤M ,则称函数 f ( x) 在 (1 , +?) 上是有界函数.下 列函数
1 x ln x ;② f ( x) ? 2 ;③ f ( x) ? ;④ f ( x) ? x sin x , x ?1 x ?1 x 其中“在 (1 , +?) 上是有界函数”的序号为__________.



f ( x) ?

解 析 : ① 是

y?

1 向 右 平 移 一 个 单 位 , 所 以 函 数 在 (1 , +?) 上 不 是 有 界 函 数 ; x

4 / 12







f ( x)



(1 , +?)















x 1 1 1 f ( x) ? 2 ? ? ? x ?1 x ? 1 1 2 2 x x x
ln x ' 1 ? ln x 1 , f ( x) ? , x ? (0, e), f ( x)单调递增;x ? (e, ??), ( f x)单调递减; ?x=e,函数有最大值,f(e)= 2 x x e ' 所以 f ( x) 在 (1 , +?) 上是有界函数; ' ,函数不是一致单调, f ( x) ?

f ( x) ? sin x ? x cos x, f ( x) ? 0, ? x ? tan x

x ? ??, f ( x) ? ??,所以 f ( x) 在 (1 , +?) 上不是有界函数。
考点: 函数与导数------基本初等函数与应用------函数综合 难度系数:5 答案:B 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 在 △ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且 A ? (I)求边 a 的边长; (II) 求 cos 2 B 的值. 考点: 三角函数----------解三角形-----------正弦定理;三角函数----------解三角形---------余弦定理 难度系数:3
2π 15 3 , b ? 3 , △ ABC 的面积为 . 3 4

16.(本题满分 13 分) 某市规定, 高中学生三年在校期间参加不少于 80 小时的社区服务才合格. 教育部门在全市随机抽取 200 学生参加社区服务的数据,按时间段 ?75 , 80? , ?80 , 85? , ?85 , 90? , ?90 , 95? , ?95 , 100? (单位: 小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示.

(I)求抽取的 200 位学生中,参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数,并估计从全市高中学生中
5 / 12

任意选取一人,其参加社区服务时间不少于 90 小时的概率; (II) 从全市高中学生 (人数很多) 中任意选取 3 位学生, 记 ξ 为 3 位学生中参加社区服务时间不少于 90 小时的人数.试求随机变量 ? 的分布列和数学期望 Eξ . 知识点:概率与统计--------统计------用样本估计总体;概率与统计------------概率-----------随机变量的期望和方 差 难度系数:3 17.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAD ? 底面 ABCD , E , F 分别为 PA , BD 中 点, PA ? PD ? AD ? 2 . (I)求证: EF // 平面 PBC ; (II)求二面角 E ? DF ? A的余弦值; (III)在棱 PC 上是否存在一点 G , 使 GF ? 平面 EDF ? 若 存在,指出点 G 的位置;若不存在,说明理由. 知识点:立体几何----------点线面位置关系的判定------垂直;立体 几何=====空间向量---------空间的角 难度系数:3

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e2 x ?1 ? ax ? 1, a ? R . (I)若曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线与直线 x ? ey ? 1 ? 0 垂直,求 a 的值; (II)求函数 f ( x) 的单调区间;
1 成立,求实数 a 的取值范围. (III)设 a ? 2e3 ,当 x ? [0,1] 时,都有 f ( x)…

知识点:函数与导数-------导数---------导数的概念和几何意义;函数与导数-------导数-------利用导数球最值和 极值 难度系数:4

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 (I)求椭圆 C 的标准方程;
1 ,右焦点到到右顶点的距离为 1 . 2

uur uu u r uur uu u r (II)是否存在与椭圆 C 交于 A , B 两点的直线 l : y ? kx ? m(k ? R) ,使得 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立?

若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,请说明理由.

6 / 12

知识点:解析几何--------圆锥曲线----------圆锥曲线综合 难度系数:4

20.(本小题满分 13 分)
n?r r 已知 x1 , x2 是函数 f ( x) ? x2 ? mx ? t 的两个零点,其中常数 m, t ? Z ,设 Tn ? ? x1 x2 ( n ? N* ) . r ?0 n

(I)用 m, t 表示 T1 , T2 ; (II)求证: T5 ? ?mT4 ? tT3 ; (III)求证:对任意的 n ? N* , Tn ? Z . 知识点:数列--------数列综合;推理与证明、数系的扩充与复数--------推理与证明------数学归纳法 难度系数:5

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试(理工类)
2014.5 一、选择题(满分 40 分) 1 2 题号 B C 答案 二、填空题(满分 30 分) 9 10 题号 答案 3 C 11 4 D 12 5 D 6 A 7 C 13 8 B 14

2 3

?80

3

8 2 3

8 3

2 n ?1

n( n ? 3) 2

②③

三、解答题(满分 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 S ?ABC ? 所以 c ? 5 .
2 2 2 由 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 得, a ? 3 ? 5 ? 2 ? 3 ? 5 ? cos

1 bc sin A 得, S?ABC ? 1 ? 3 ? c sin ?? ? 15 3 . 2 2 3 4
?? ? 49 , 3

所以 a ? 7 .……………7 分

7 3 ? a b ? (Ⅱ)由 得, 3 sin B , sin A sin B 2
所以 sin B ?

3 3 . 14
7 / 12

2 所以 cos 2 B ? 1 ? 2sin B ?

71 .……………13 分 98

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)根据题意, 参加社区服务时间在时间段 ?90,95? 小时的学生人数为 200 ? 0.060 ? 5 ? 60 (人) , 所以抽取的 200 位学生中,参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数为 80 人. 所以从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于 90 小时的 概率估计为 P ? 60 ? 20 ? 80 ? 2 . ……………5 分 参加社区服务时间在时间段 ?95,100? 小时的学生人数为 200 ? 0.020 ? 5 ? 20 (人) .

200

200

5

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,从全市高中生中任意选取 1 人,其参加社区服务时间不少于 90 小时的概率为 . 由已知得,随机变量 ? 的可能取值为 0,1, 2,3 .
0 0 3 所以 P (? ? 0) ? C3 ( ) ? ( ) ?

2 5

2 5

3 5

27 ; 125

3 54 1 2 1 P(? ? 1) ? C3 ( ) ? ( )2 ? ; 5 5 125 2 3 36 P (? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? ( )1 ? ; 5 5 125 3 8 3 2 3 P (? ? 3) ? C3 ( ) ? ( )0 ? . 5 5 125
随机变量 ? 的分布列为

?
P
因为 ? ~ B(3, ) ,所以 E? ? 3 ? 17. (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)如图,连结 AC . 因为底面 ABCD 是正方形, 所以 AC 与 BD 互相平分. 又因为 F 是 BD 中点, 所以 F 是 AC 中点.

0

1

2

3

27 125

54 125

36 125

8 125

2 5

2 6 ? .……………13 分 5 5

P E A D F B C

F 是 AC 中点, 在△ PAC 中,E 是 PA 中点,
所以 EF ∥ PC . 又因为 EF ? 平面 PBC , PC ? 平面 PBC ,

8 / 12

所以 EF ∥平面 PBC .……………4 分 (Ⅱ)取 AD 中点 O .在△ PAD 中,因为 PA ? PD , 所以 PO ? AD . 因为面 PAD ? 底面 ABCD , 且面 PAD ? 面 ABCD =AD , 所以 PO ? 面 ABCD . 因为 OF ? 平面 ABCD 所以 PO ? OF . 又因为 F 是 AC 中点, 所以 OF ? AD . 如图,以 O 为原点, OA, OF , OP 分别 空间直角坐标系. 因为 PA ? PD ? AD ? 2 , 所以 OP ? 3 , 则 O0 ) , ( , A(1, 0, 0) , B(1, 2, 0) , C (?1, 2, 0) , D(?1, 0, 0) ,

z P E A x O D F B
为 x, y , z 轴 建 立

C y

1 3 P(0,0, 3) , E ( , 0, ) , F (0,1, 0) . 2 2

???? 3 3 ) , DF ? (1,1,0) . 2 2 ??? ? 因为 OP ? 面 ABCD ,所以 OP ? (0,0, 3) 是平面 FAD 的一个法向量.
于是 AB ? (0, 2,0) , DE ? ( ,0,

??? ?

??? ?

设平面 EFD 的一个法向量是 n = ( x0 , y0 , z0 ) .

???? ? x0 ? y0 ? 0, ? ? ?n ? DF ? 0, ? y0 ? ? x0 , ? 因为 ? ???? 所以 ? 3 即? 3 z0 ? 0, ? ? ? z0 ? ? 3 x0 . ? x0 ? ? n ? DE ? 0, 2 ?2
令 x0 ? 1 则 n = (1, ?1, ? 3) .

??? ? OP ? n ??? ? ?3 15 所以 cos ? OP, n ? ? ??? . ? ? ? 5 3? 5 OP ? n
由图可知,二面角 E-DF-A 为锐角,所以二面角 E-DF-A 的余弦值为 (Ⅲ)假设在棱 PC 上存在一点 G ,使 GF ? 面 EDF .设 G( x1 , y1 , z1 ) , 则 FG = ( x1, y1 ?1, z1 ) .由(Ⅱ)可知平面 EDF 的一个法向量是 n = (1, ?1, ? 3) . 因为 GF ? 面 EDF ,所以 FG = ?n . 于是, x1 ? ?, y1 ?1 ? ??, z1 ? ? 3? ,即 x1 ? ?, y1 ? 1 ? ?, z1 ? ? 3? .
9 / 12

15 .…10 分 5

??? ?

??? ?

又因为点 G 在棱 PC 上,所以 GC 与 PC 共线. 因为 PC ? (?1, 2, ? 3) , CG ? ( x1 +1, y1 ? 2, z1 ) , 所以

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

x1 ? 1 y1 ? 2 z = = 1 . ?1 2 ? 3

所以

1 ? ? ?? ? 1 ? 3? ,无解. = = ?1 2 ? 3

故在棱 PC 上不存在一点 G ,使 GF ? 面 EDF 成立.……………14 分 18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)由已知得 f ?( x) ? 2e2 x?1 ? a . 因为曲线 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线与直线 x ? ey ? 1 ? 0 垂直, 所以 f ?(0) ? e .所以 f ?(0) ? 2e ? a ? e . 所以 a ? e .……………3 分

(Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域是 ? ??, ??? , f ?( x) ? 2e2 x?1 ? a . (2)当 a ? 0 时,

(1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 成立,所以 f ( x ) 的单调增区间为 ? ??, ??? .

1 a 1 1 a 1 ln ? ,所以 f ( x) 的单调增区间是 ( ln ? , ?? ) ; 2 2 2 2 2 2 1 a 1 1 a 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln ? ,所以 f ( x ) 的单调减区间是 ( ??, ln ? ) . 2 2 2 2 2 2 综上所述,当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 ? ??, ??? ;
令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

a 1 ? , ?? ) , 2 2 1 a 1 f ( x) 的单调减区间是 ( ??, ln ? ) .……………8 分 2 2 2 (Ⅲ)当 x ? 0 时, f (0) ? e ? 1 ? 1 成立, a ? R . “当 x ? (0,1] 时, f ( x) ? e2 x?1 ? ax ? 1 ? 1恒成立”
当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间是 ( ln 等价于“当 x ? (0,1] 时, a ? 设 g ( x) ?

1 2

e 2 x ?1 恒成立. ” x

e 2 x ?1 ,只要“当 x ? (0,1] 时, a ? g ( x)min 成立. ” x (2 x ? 1)e2 x ?1 . g ?( x) ? x2 1 1 令 g ?( x) ? 0 得, x ? 且 x ? 0 ,又因为 x ? (0,1] ,所以函数 g ( x) 在 (0, ) 上为减函数; 2 2 1 1 令 g ?( x) ? 0 得, x ? ,又因为 x ? (0,1] ,所以函数 g ( x) 在 ( ,1] 上为增函数. 2 2 1 1 2 所以函数 g ( x) 在 x ? 处取得最小值,且 g ( ) ? 2e . 2 2 2 3 a 所以 a ? 2e .又因为 ? 2e ,
所以实数 a 的取值范围 (??, 2e
2

] .……………13 分
10 / 12

(Ⅲ)另解: (1)当 a ? 0 时,由(Ⅱ)可知, f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增,所以 f ( x) ? f (0) ? e ?1 . 所以当 a ? 0 时,有 f ( x) ? 1 成立. (2)当 0 ? a ? 2e 时,可得

1 a 1 ln ? ? 0 . 2 2 2

1 a 1 ? , ?? ) , 2 2 2 所以 f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增,又 f ( x) ? f (0) ? e ? 1 ,所以总有 f ( x) ≥ 1 成立. 1 a 1 (3)当 2e ? a ? 2e3 时,可得 0 ? ln ? ? 1 . 2 2 2 1 a 1 1 a 1 由(Ⅱ)可知,函数 f ( x ) 在 [0, ln ? ) 上为减函数,在 ( ln ? ,1] 为增函数, 2 2 2 2 2 2 1 a 1 所以函数 f ( x ) 在 x ? ln ? 处取最小值, 2 2 2 a ln 1 a 1 a a a a a 且 f ( ln ? ) ? e 2 ? ln ? ? 1 ? a ? ln ? 1 . 2 2 2 2 2 2 2 2 a a 当 x ? [0, 1] 时,要使 f ( x) ≥ 1 成立,只需 a ? ln ? 1 ? 1 , 2 2 解得 a ? 2e 2 .所以 2e ? a ? 2e2 .
由(Ⅱ)可知当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间是 ( ln 综上所述,实数 a 的取值范围 (??, 2e 19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 依题意 e ?
2

].

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? ,半焦距为 c . a 2 b2

解得 c ? 1 , a ? 2 . 2 2 2 所以 b ? a ? c ? 3 .

c 1 ? ,由右焦点到右顶点的距离为1 ,得 a ? c ? 1 . a 2

x2 y 2 ? ? 1 .……………4 分 4 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (Ⅱ)解:存在直线 l ,使得 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立.理由如下:
所以椭圆 C 的标准方程是

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 . ? 1, ? ? 3 ?4 ? ? (8km)2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 0 ,化简得 3 ? 4k 2 ? m2 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则
4m 2 ? 12 8km x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 若 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ?2 即 OA ? 2OB ? OA ? 2OB ,等价于 OA ? OB ? 0 .所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 ,
(1 ? k 2 ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 ,
11 / 12

4m2 ? 12 8km ? km ? ? m2 ? 0 , 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 化简得, 7m2 ? 12 ? 12k 2 . 7 2 7 2 m ? 1 代入 3 ? 4k 2 ? m2 中, 3 ? 4( m 2 ? 1) ? m 2 , 将k ? 12 12 3 2 解得, m ? . 4 12 2 又由 7m2 ? 12 ? 12k 2 ? 12 , m ? , 7 12 2 2 2 21 或 m ? ? 21 . 从而 m ? ,m ? 7 7 7 2 2 21] ? [ 21, ??) .……………14 分 所以实数 m 的取值范围是 (??, ? 7 7 (1 ? k 2 ) ?
20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 x1 ? x2 ? ?m , x1 x2 ? t . 因为 Tn ?

? x1n?r x2r ,所以 T1 ? ? x11?r x2r ? x1 ? x2 ? ?m .
r ?0 r ?0

n

1

r 2 T2 ? ? x12?r x2 ? x12 ? x1 x2 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? x1 x2 ? m2 ? t .…………3 分 r ?0

2

(Ⅱ)由 Tk ?
5

?x
r ?0

k

k ?r r 1 2

x ,得
4

r r 5 5 T5 ? ? x15?r x2 ? x1 ? x14?r x2 ? x2 ? x1T4 ? x2 . r ?0 r ?0

即 T5 ? x1T4 ? x ,同理, T4 ? x1T3 ? x2 .
5 2 4

所以 x2T4 ? x1x2T3 ? x2 .
5

所以 T5 ? x1T4 ? ( x2T4 ? x1 x2T3 ) ? ( x1 ? x2 )T4 ? x1x2T3 ? ?mT4 ? tT3 .……………8 分 (Ⅲ)用数学归纳法证明. (1)当 n ? 1, 2 时,由(Ⅰ)问知 Tk 是整数,结论成立. (2)假设当 n ? k ? 1, n ? k ( k ? 2 )时结论成立,即 Tk ?1 , Tk 都是整数.
k ?r r k ?1? r r r k ?1 x2 ? x1 ? x1k ?r x2 ? x2 由 Tk ? ? x1 x2 ,得 Tk ?1 ? ? x1 . r ?0 r ?0 r ?0 k k ?1 k

即 Tk ?1 ? x1Tk ? x
k

k ?1 2 .
k ?1

所以 Tk ? x1Tk ?1 ? x2 , x2Tk ? x1 x2Tk ?1 ? x2 . 所以 Tk ?1 ? x1Tk ? ( x2Tk ? x1 x2Tk ?1 ) ? ( x1 ? x2 )Tk ? x1 x2Tk ?1 . 即 Tk ?1 ? ?mTk ? tTk ?1 . 由 Tk ?1 , Tk 都是整数,且 m , t ? Z ,所以 Tk ?1 也是整数. 即 n ? k ? 1 时,结论也成立. 由(1) (2)可知,对于一切 n ? N? ,

?x
r ?0

n

n?r r 1 2

x 的值都是整数.………13 分

12 / 12


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