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2016届高三理科数学试题(77)


2016 届高三理科数学试题(77)
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题
一项是符合题意.)

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有



1.设 A ? {x | y ? 2 ? x}, B ? {y | y ? ln(1 ? x)} ,则 A ? B ? ( A. (?1, ??) B. ( ??, 2] C. (?1, 2]

) D. ?

2 2.正项等比数列 ?an ? 中, a1 , a4029 是方程 x ? 10 x ? 16 ? 0 的两根,则 log 2 a2015 的值是

A.2

B.3

C .4

D.5 )

3.函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? A.

?
3

? ? ), ? ? (0, ? ) 满足 f ( x ) ? f ( x) ,则 ? 的值为(
C.

? 6

B.

? 3

5? 6

D.

2? 3

4. 曲线 y ?

1 若直线 l 与 x ,y 轴的交点分别为 A ,B , ( x ? 0) 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线为 l . x
) C .2 D. 5 ? 2 7

则 ?OAB (其中 O 为坐标原点)的面积为( A. 4 ? 2 2 B. 2 2

2 5. 设命题甲: 关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 4 ? 0 有解, 命题乙: 设函数 f ( x) ? loga ( x ? a ? 2)

在区间 (1,??) 上恒为正值,那么甲是乙的( A.充分不必要条件 C.充要条件

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. 已知 A, B, C 三点不在同一条直线上,O 是平面 ABC 内一定点,P 是 ?ABC 内的一动点, 若 OP ? OA ? ? ( AC ? A.重心

??? ? ??? ?

????

? 1 ??? CB ), ? ? [0, ??) ,则直线 AP 一定过 ?ABC 的( 2
B.垂心 C.外心 D.内心



? ( ? ? (0, 7 .已知函数 f ( x) ? ln x ? 2 sin

?
2

) )的导函数为 f ?( x ) ,若存在 x0 ? 1 使得


f ?( x0 ) ? f ( x0 ) 成立,则实数 ? 的取值范围为(
A. ?

?? ? ? , ? ?3 2?

B. ? 0,

? ?

??
? 3?

C. ?

?? ? ? , ? ?6 2?

D. ? 0,

? ?

??
? 6?

1

8.由 y ? f ( x) 的图象向左平移

?
3

个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2

倍得到 y ? 2sin(3 x ? ? ) 的图象,则 f ( x) 为( A. 2sin( x ?

1 6



3 2

1 ?) 6

B. 2sin(6 x ? ? )

1 6

C. 2sin( x ? ? )

3 2

1 3

D. 2sin(6 x ? ? )

1 3

? x ? y ? 1, ? 9. 已知实数变量 x, y 满足 ? x ? y ? 0, 且目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 8, 则实数 m ? 2mx ? y ? 2 ? 0, ?
的值为( A. ) B.

3 2

1 2

C.2 )

D.1

10.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 4 B.

4 3

C.2

D.

8 3

11.已知椭圆 C1 和双曲线 C2 焦点相同,且离心率互为倒数, F1 , F2 它 们的公共焦点, P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当

?F1 PF2 ? 60? 时,则椭圆 C1 的离心率为(
A.

) D.

3 3

B.

3 2

C.

2 2

1 2

12 .设函数 f ( x) 在 R 上存在导数 f ?( x) , ?x ? R ,有 f (? x) ? f ( x) ? x 2 ,在 (0,??) 上
2 f ?( x) ? x ,若 f (2 ? m) ? f (?m) ? m ? 2m ? 2 ? 0 ,则实数 m 的取值范围为(



A. [ ?1,1]

B. [1, +?)

C. [2, ??)

D. (??, ?2] ? [2, ??)

第 II 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. 已知双曲线 C1 : 程为 . .

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的离心率为 2 ,则双曲线 C1 的渐近线方 a 2 b2

→ → → → 14. ?ABC 中,|CB|cos?ACB=|BA|cos?CAB= 3,且AB· BC=0,则 AB 长为 15. 正实数 x, y 满足 2 x +y ? 3 ? 0 ,则

4y ? x ? 6 的最小值为 xy



16. 四棱锥 P ? ABCD 底面是一个棱长为 2 的菱形,且?DAB=60? ,各侧面和底面所成角均

2

为 60? ,则此棱锥内切球体积为



三、解答题(本大题共 8 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
2 17.已知正项等比数列 ?a n ?满足 a1 ,2a2 , a3 ? 6 成等差数列,且 a4 ? 9a1a5 .

(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log

?

3

an ?1 ? an ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn .

?

18.某校在 2 015 年 11 月份的高三期中考试后,随机地抽取了 50 名学生的数学成绩并进行了 分析,结果这 50 名同学的成绩全部介于 80 分到 140 分之间.现将结果按如下方式分为 6 组,第一组[80, 90) ,第二组 ?90,100? ,... 第六组 ?130,140? ,得到如右图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)试估计该校数学的平均成绩(同一组中的数据 用该区间的中点值作代表) ; (Ⅱ)这 50 名学生中成绩在 120 分(含 120 分)以上
0.01 0.008

y
0.03 0.024

频率/组距

0.016

x
O
80 90 100 110 120 130 140 分数

的同学中任意抽取 3 人,该 3 人在 130 分(含 130 分)以上的人数记为 X ,求 X 的分布列 和期望

19. 如 图 , 已 知 四 边 形 ABCD 和 BCEG 均 为 直 角 梯 形 , AD ∥ BC , CE ∥ BG , 且
?BCD ? ? BCE ? , 2

?

平面 ABCD ⊥平面 BCEG , BC ? CD ? CE ? 2 AD ? 2 BG ? 2 (Ⅰ)证明:AG // 平面 BDE; (Ⅱ)求平面 BDE 和平面 BAG 所成锐二面角的余弦值.

20.如图,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 错误!未找 a 2 b2
3 ,其左、右顶点分别为 2
A1

y l M O N D A2 x

到引用源。的离心率为

A1 ?? 2,0?, A2 ?2,0? .

3

过点 D?1,0? 的直线 l 与该椭圆相交于 M 、N 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 错误!未找到引用源。的方程; (Ⅱ)设直线 A1M 错误!未找到引用源。与 NA2 错误!未找到引用源。的斜率分别为 k1 , k2 错误!未找到引用源。.试问:是否存在实数 ? ,使得 k2 ? ? k1 错误!未找到引用源。?若 存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由. 21.已知函数 f ?x? ? ?x ?1? ? a?ln x ? x ? 1? (其中 a ? R ,且 a 为常数)
2

(Ⅰ)若对于任意的 x ? ?1,??? ,都有 f ?x ? ? 0 成立,求 a 的取值范围; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若方程 f ?x ? ? a ? 1 ? 0 在 x ? ?0,2? 上有且只有一个实根,求 a 的取 值范围.

请考生在第 (22) , (23) , (24) 三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分. 作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 ︵ 如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为BC的中点,E 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥AB; (Ⅱ)求证:AC· BC=2AD· CD.
A O E C B D

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? ? x ? 1 ? 3 cos ? ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? y ? 3 sin ? (其中 ? 为参数) ,点 M 是 ?
曲线 C1 上的动点,点 P 在曲线 C2 上,且满足 OP ? 2OM . (Ⅰ)求曲线 C2 的普通方程; (Ⅱ)以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线 ? ? 别交于 A 、 B 两点,求 AB .

??? ?

???? ?

?
3

与曲线 C1 、 C2 分

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设不等式 ? 2 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集为 M , a, b ? M .

1 1 1 (Ⅰ)证明: | a ? b |? ; 3 6 4
4

(Ⅱ)比较 | 1 ? 4ab | 与 2 | a ? b | 的大小.

5

参考答案
1.B 2.A 3.C 4.C 5.B 6.A 7.C 8.B 14. 6 15.9 9.D 10.D 16. 11.A 12.B 13. y ? ? 3x 解析: 11. A 在椭圆 C1 中 S?PF1F2 ? b1 tan 30 ,在双曲线 C2 中 S?PF1F2 ? b2 cot 30
2 2
2 2 2 2 所以 b12 tan30? =b2 ,则 a1 cot 30? ,即 b12 ? 3b2 ? c2 ? 3(c2 ? a2 )

? 6
?

?

2 2 所以 a1 +3a2 ? 4c2 ,由题知

3 1 ? 3e12 ? 4 ,则椭圆离心率 e1 ? 2 3 e1

12. B

令 g ( x) ? f ( x) ?

1 1 1 2 x ,? g (? x) ? g ( x) ? f (? x) ? x 2 ? f ( x) ? x 2 ? 0 2 2 2

∴函数 g ( x) 为奇函数, ∵ x ? (0 ,

? ?) 时, g / ( x) ? f / ( x) ? x ? 0 ,函数 g ( x) 在 x ? (0 , ? ?) 为减函数,

又由题可知, f (0) ? 0

,

g (0) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在 R 上为减函数,

1 1 g (2 ? m) ? g(? m) ? f (2 ? m) ? (2 ? m) 2 ? f (? m) ? m2 2 2 2 ? f (2 ? m) ? f (? m) ? m ? 2m ? 2 ? 0
所以 g (2 ? m) ? ? g (?m) ? g (m) 则, 2 ? m ? m .即 1 ? m

2 17.已知正项等比数列 ?a n ?满足 a1 ,2a2 , a3 ? 6 成等差数列,且 a4 ? 9a1a5 .

(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log

?

3

an ?1 ? an ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn .

?

【解析】 (Ⅰ)设正项等比数列 ?a n ?的公比为 q?q ? 0?
2 a4 由 a ? 9a1a5 ? 9a ? q ? 2 ? 9 ? q ? ?3 ,因为 q ? 0 ,所以 q ? 3 . a3 2 4 2 3 2







a1 ,2a2 , a3 ? 6











,





a1 ? ?a3 ? 6? ? 4a2 ? 0 ? a1 ? 9a1 ? 6 ?12a1 ? 0 ? a1 ? 3
所以数列 ?a n ?的通项公式为 an ? 3 .
n

6







(







)









bn ? ?2n ? 1?? 3n

,



Tn ? 3 ? 31 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? ? ? ? ? ?2n ?1?? 3n …………? 3Tn ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? 7 ? 34 ? ? ? ? ? ?2n ?1?? 3n ? ?2n ?1?? 3n?1 …………?
由 ?-?
n?1


n ?1

2Tn ? ?2n ?1?? 3

? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ?2n ? 1? ? 3
2 3 n 2

?

?

32 ? 3n?1 2 ? 2? ? 3 ? 2n ? 3n?1 1? 3

所以数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn ? n ? 3n?1 (方法二)因为 bn ? ?2n ? 1?? 3n ? ?3n ? ?n ?1??? 3n ? n ? 3n?1 ? ?n ?1?? 3n ,所以 Tn ? n ? 3n?1 18.某校在 2 015 年 11 月份的高三期中考试后,随机地抽取了 50 名学生的数学成绩并进行了 分析,结果这 50 名同学的成绩全部介于 80 分到 140 分之间.现将结果按如下方式分为 6 组, 第一组[80,90) ,第二组 ?90,100? ,... 第六组 ?130,140? ,得到如右图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)试估计该校数学的平均成绩(同一组中的数据 用该区间的中点值作代表) ; (Ⅱ)这 50 名学生中成绩在 120 分(含 120 分)以上 的同学中任意抽取 3 人,该 3 人在 130 分(含 130 分) 以上的人数记为 X ,求 X 的分布列和期望 【解析】 (Ⅰ)根据频率分布直方图,得: 成绩在[120,130)的频率为 1﹣(0.01× 10+0.024× 10+0.03× 10+0.016× 10+0.008× 10)=1﹣0.88=0.12;……………… …2 分 所以估计该校全体学生的数学平均成绩为 85× 0.1+95× 0.24+105× 0.3+115× 0.16+125× 0.12+135× 0.08=8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107, 所以该校的数学平均成绩为 107;……………… …4 分 (Ⅱ)根据频率分布直方图得, 这 50 人中成绩在 130 分以上(包括 130 分)的有 0.08× 50=4 人, 而在 ?120,140? 的学生共有 0.12? 50 ? 0.08? 50 ? 10, ……………… …5 分
7

y

频率/组距

0.03 0.024

0.016 0.01 0.008

x
O
80 90 100 110 120 130 140 分数

所以 X 的可能取值为 0、1、2、3,……………… …6 分 所以 P( X =0)= = = , P( X =1)= = = ,

P( X =2)= 所以 X 的分布列为

=

=



P( X =3)=

=

=

;…… …10 分

数学期望值为 EX =0× +1× +2×

+3×

=1.2.……………… …12 分

19. 如 图 , 已 知 四 边 形 ABCD 和 BCEG 均 为 直 角 梯 形 , AD ∥ BC , CE ∥ BG , 且
?BCD ? ? BCE ? ,平面 ABCD ⊥平面 BCEG , BC ? CD ? CE ? 2 AD ? 2 BG ? 2 2

?

(Ⅰ)证明:AG // 平面 BDE; (Ⅱ)求平面 BDE 和平面 BAG 所成锐二面角的余弦值. 【解析】由平面 ABCD ? 平面BCEG ,平面 ABCD ? 平面BCEG ? BC ,
C E ? B ,C C? E平面 BCEG,

? EC ? 平面ABCD

.………2 分

根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,可得
B(0, 2,0),D(2, 0,0),E (0, 0, 2),A(2,1,0) G(0, 2,1) ………….3 分

(Ⅰ)设平面 BDE 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,则? EB ? (0, 2, ?2), ED ? (2,0, ?2)
??? ? ?? ? EB ? m ? 0 ??? ? ?? ED ? m ? 0

??

??? ?

??? ?

即?
??

?y ? z ? 0 , ?x ? y ? z , ?x ? z ? 0

,1) ………………………………………………..5 分 ? 平面 BDE 的一个法向量为 m ? (1, 1 ,
? ? ?? ?? ???? ?? ???? ?A G? m ? 2 ? 1 ? 1 ? , ? 0 ? AG ? m , ? AG ? (? 2 , 1 , 1 )
? AG ? 平面BDE ,∴AG∥平面 BDE. ……………………………………………….7 分

(Ⅱ)设平面 BAG 的法向量为 n ? ?x, y, z ? ,平面 BDE 和平面 BAG 所成锐二面角为

? ……….8 分
因为 BA ? ?2,?1,0? , BG ? ?0,0,1? , 由 n ? BA ? 0, n ? BG ? 0 得 ?
8

?2 x ? y ? 0 , ……….10 ? z?0

分? 平面 BAG 的一个法向量为 n ? ?1,2,0? ,? cos? ?

m?n m?n

?

1? 2 15 . ? 5 3? 5

故平面 BDE 和平面 BAG 所成锐二面角的余弦值为

15 ……….12 分 5

20. 如图,已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左、右顶点分别为 2 a b 2
y l M A1 O N D A2 x

A1 ?? 2,0?, A2 ?2,0? .
过点 D?1,0? 的直线 l 与该椭圆相交于 M 、N 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 A1M 与 NA2 的斜率分别为 k1 , k2 .试问:是否存在 实数 ? ,使得 k2 ? ? k1 ?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由. 【解析】 (Ⅰ)依题意可知 a ? 2. ? e ?

3 ? c ? 3,? b ? a 2 ? c 2 ? 1. 2

所以椭圆的方程为:

x2 ? y 2 ? 1 ……………… …4 分 4

( Ⅱ ) ( 方 法 一 ) 设 直 线 的 方 程 为 y ? k1 ?x ? 2? , 直 线 NA2 的 方 程 为

y ? k2 ?x ? 2?.…………… …5 分
? y ? k1 ? x ? 2? ? ? 4k12 ? 1 x 2 ? 16k12 x ? 16k12 ? 4 ? 0. ……………… …7 分 2 ? y ? 1 ? ? 4

联立方程组 ? x 2

?

?

解得点 M 的坐标为 M ? ?

? 2 ? 8k12 4k1 ? , 2 ? 2 ? ? 4k1 ? 1 4k1 ? 1 ? ? 8k 2 ? 2 4k ?

2 2 同理,可解得点 N 的坐标为 N ? ? 4k 2 ? 1 ,? 4k 2 ? 1 ? ?. …… …9 分 2 ? 2 ?



M , D, N







线

,



4k1 4k ? 22 2 4k1 ? 1 4k ? 1 ? 2 2 , 2 2 ? 8k1 8k 2 ? 2 ?1 ?1 2 4k12 ? 1 4k 2 ?1







9

?4k1k2 ? 1??k2 ? 3k1 ? ? 0 .………… …11 分
已知 k1 , k 2 同号,所以 k2 ? 3k1 .故存在 ? ? 3 ,使得成立.……………… …12 分 (方法二)当直线 l 垂直于 x 轴时, M , N 点的坐标分别为 M ?1,

? ? ?

3? ? 3? ?, N ?1,? ?. 所以此 ? ? 2 ? 2 ? ? ?

时直线与的斜率分别为 k1 ?

3 3 , k2 ? . 有 k2 ? 3k1 .……………… …6 分 6 2

由此猜想:存在 ? ? 3 满足条件.下面证明猜想正确. 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线 l 的方程为 y ? k ?x ? 1? ,又设 M ?x1 , y1 ?, N ?x2 , y2 ? .

? y ? k ?x ? 1? ? ? 4k 2 ? 1 x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 ……………… …8 分 联立方程组 ? x 2 2 ? y ?1 ? ?4

?

?

? x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 4 , x x ? 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

? k1 ?

y1 y2 , k2 ? x1 ? 2 x2 ? 2

? k2 ? 3k1 ?

y2 3 y1 k ?x2 ? 1??x1 ? 2? ? 3k ?x1 ? 1??x2 ? 2? ? ? ?x1 ? 2??x2 ? 2? x2 ? 2 x1 ? 2

?k

? 2 x1 x2 ? 5?x1 ? x2 ? ? 8 ?x1 ? 2??x2 ? 2?
?2 4k 2 ? 4 8k 2 ? 5 ?8 k ? 8k 2 ? 8 ? 40k 2 ? 32k 2 ? 8 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 ? 2 ? ? 0 … …11 分 ?x1 ? 2??x2 ? 2? ?x1 ? 2??x2 ? 2? 4k ? 1

?k

? k2 ? 3k1. 由此可得猜想正确.故存在 ? ? 3 ,使得成立.……………… …12 分
21.已知函数 f ?x? ? ?x ?1? ? a?ln x ? x ? 1? (其中 a ? R ,且 a 为常数)
2

(Ⅰ)若对于任意的 x ? ?1,??? ,都有 f ?x ? ? 0 成立,求 a 的取值范围; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下若方程 f ?x ? ? a ? 1 ? 0 在 x ? ?0,2? 上有且只有一个实根,求 a 的 取值范围. 【解析】 (Ⅰ)由 f ??x ? ? 2?x ? 1? ? a?

? 1 ? ?x ? 1??2 x ? a ? 知……………………… …1 分 ? 1? ? x ?x ?

当 a ? 2 时,? f ??x ? ? 0 对于 x ? ?1,??? 恒成立,? f ?x ? 在 ?1,??? 上单调递增
10

? f ?x ? ? f ?1? ? 0 ,此时命题成立;………………………… …3 分
当 a ? 2 时,? f ?x ? 在 ?1,

? a? ?a ? ? 上单调递减,在 ? ,?? ? 上单调递增, ? 2? ?2 ?

? a? ? 当 x ? ?1, ? 时,有 f ?x? ? f ?1? ? 0 .这与题设矛盾,不合. ? 2?
故 a 的取值范围是 ?? ?,2?………………………… …5 分 (Ⅱ) 依题意 a ? ?? ?,2?,设 g ?x ? ? f ?x ? ? a ? 1 ,原题即为若 g ?x ? 在 ?0,2? 上有且只有 一个零点,求 a 的取值范围.显然函数 g ?x ? 与 f ?x ? 的单调性是一致的. ?当 a ? 0 时,因为函数 g ?x ? 在区间 ?0,1? 上递减, ?1,2? 上递增,所以 g ?x ? 在 ?0,2? 上的最小 值为 g ?1? ? a ? 1 ,

a ?1? ?1 ? 由于 g ? 2 ? ? ? 2 ? 1? ? 2 ? 1 ? 0 , 要使 g ?x ? 在 ?0,2? 上有且只有一个零点 , 需满足 ?e ? ?e ? e
g ?1? ? 0 或 g ?2? ? 0 ,解得 a ? ?1 或 a ? ?
? 当

2

2 ;………………………… …7 分 ln 2

a?2 时 , 因 为 函 数

g ?x ? 在

?0,2?

上 单 调 递 增 , 且

g e ?4 ?

? ?

1 4 ? ? 2 ? 0, g ?2? ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 , 所以此时 g ?x ? 在 ?0,2? 上有且只有一个零 e8 e 4

点;………………………… …9 分 ?当 0 ? a ? 2 时 ,因为函数 g ?x ? 在 ? 0, 调递增, 又因为 g ?1? ? a ? 1 ? 0 ,所以当 x ? ?
2a?2 a

? ?

a? ?a ? ? 上单调递增 ,在 ? ,1? 上单调递减,在 ?1,2? 上单 2? ?2 ?

?a ? ,2 时,总有 g ?x ? ? 0 , ?2 ? ?

?e

?

2a?2 ? ? ? 2 aa? 2 ? ? 2 aa? 2 ? ? 2 aa? 2 ? ? ? a ? ? ? ? ? 0, ? ? ? 1 ? a ? 2? g? e ? e e ? a ? 2 ? a ln e ? 2 a ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

所以 g ?x ? 在 ? 0,

? ?

a? ? a? ? 上必有零点,又因为 g ?x ? 在 ? 0, ? 上单调递增,从而当 0 ? a ? 2 时, g ?x ? 2? ? 2?

在 ?0,2? 上有且只有一个零点.………………………… …11 分

11

综上所述,当 0 ? a ? 2 或 a ? ? 且只有一个实根. ………………………… …12 分

2 或 a ? ?1 时,方程 f ?x ? ? a ? 1 ? 0 在 x ? ?0,2? 上有 ln 2

请考生在第 (22) , (23) , (24) 三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分. 作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 ︵ 如图所示, AC 为⊙O 的直径, D 为BC的中点, E 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥AB; (Ⅱ)求证:AC· BC=2AD· CD.
A O B D E C

【证明】 : (Ⅰ)连接 OE,因为 D 为的中点,E 为 BC 的中点, 所以 OED 三点共线.………………………… …2 分 因为 E 为 BC 的中点且 O 为 AC 的中点, 所以 OE∥AB,故 DE∥AB.………………………… …5 分 ( Ⅱ ) 因 为 D 为的 中点 , 所 以 ∠BAD =∠DAC , 又 ∠BAD = ∠DCB?∠DAC=∠DCB. 又因为 AD⊥DC,DE⊥CE?△DAC∽△ECD.………… …8 分 AC AD ? = ?AD· CD=AC· CE CD CE ? 2AD· CD=AC· 2CE ? 2AD· CD=AC· BC.……………………………10 分 (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

B D E A O C

? ? x ? 1 ? 3 cos ? ? 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ? y ? 3 sin ? (其中 ? 为参数) , 点M ?
是曲线 C1 上的动点,点 P 在曲线 C2 上,且满足 OP ? 2OM . (Ⅰ)求曲线 C2 的普通方程; (Ⅱ) 以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 射线 ? ? 分别交于 A 、 B 两点,求 AB .

??? ?

???? ?

?
3

与曲线 C1 、C2

12

【解析】 : (1)设 P ? x, y ? , M x ' , y ' ,? OP ? 2OM ,? ?

?

?

??? ?

???? ?

? x ? 2 x' , ? ………………… …2 分 ' ? ?y ? 2y ,

? 点 M 在曲线 C1 上,
' ? 2 ? x ? 1 ? 3 cos ? , ?? ? ? x ' ? 1? ? y '2 ? 3 ,………………………… …4 分 ' ? ? y ? 3 sin ? ,
2 曲线 C2 的普通方程为 ? x ? 2 ? ? y ? 12 ;………………………… …5 分 2

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 2 ? 0, 将? ?

?
3

代入得 ? ? 2 ,? A 的极坐标为 ? 2,
2

? ?

??

? ,………………………… …7 分 3?

曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 4? cos? ? 8 ? 0, 将? ?

?
3

代入得 ? ? 4 ,? B 的极坐标为 ? 4,

? ?

??

? ,………………………… …9 分 3?

? AB ? 4 ? 2 ? 2 .………………………… …10 分
(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设不等式 ? 2 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集为 M , a, b ? M .

1 1 1 (Ⅱ) 比较 | 1 ? 4ab | 与 2 | a ? b | 的大小. (Ⅰ)证明: | a ? b |? ; 3 6 4
x ? ?2 ? 3, ? 【解析】 : (I)记 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 2 |? ?? 2 x ? 1,?2 ? x ? 1,由 ? 2 ? ?2 x ? 1 ? 0 ? ? 3, x ? 1 ?
解得: ?

1 1 ? x ? ,即 M ? (? 1 , 1 ) 2 2 2 2

………………………… …3 分

所以, | 1 a ? 1 b |? 1 | a | ? 1 | b |? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ;………………………… …5 分 3 6 3 6 3 2 6 2 4 (II)由(I)得: a 2 ? 1 , b2 ? 1 ,………………………… …6 分 4 4 因为

| 1 ? 4ab |2 ?4 | a ? b |2 ? (1 ? 8ab ? 16a 2b2 ) ? 4(a 2 ? 2ab ? b2 ) ………………………… …8 分

? (4a 2 ? 1)(4b 2 ? 1) ? 0

,故 | 1 ? 4ab |2 ? 4 | a ? b |2 ,即

| 1 ? 4ab |? 2 | a ? b | ………………………… …10 分
13

14


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