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云南师大附中2016届高考适应性月考卷(八)理数-答案


云南师大附中 2016 届高考适应性月考卷(八) 理科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1 B 2 B 3 B 4 D 5 C 6 A 7 A 8 B 9 D 10 C 11 D 12 D

1) ,故选 B. 1.由题意得 A = {x |

?1 < x < 2} , B = {x | x≥2或x < 1} ,∴A ∩ B = (?1, 2.由题意得 m2 ? 1 = 0且m + 1 ≠ 0 ,∴m = 1, 故复数 m + i 的共轭复数是 1 ? i ,故选 B. 3.由向量的加法知,以 OA,OB 为邻边的四边形为矩形,故向量 OA 与 OB 的夹角为直角, 故选 B. 4.当 a = 0,b = ?1 时,A,B,C 选项均不符,故选 D. 1) 或 (?1,? 1) ,故选 C. 5.依题设知圆 C 的半径为 2 ,圆心在直线 y = x 上,圆心为 (1, 6.设正四面体的外接球、内切球半径分别为 R,r,则
4 4 体积是 πR3 = 27 i πr 3 = 27 ,故选 A. 3 3 1 1 1 π 7.该几何体为半圆锥和正三棱柱的组合体,故体积为 × π × 12 × 2 + × 2 × 3 × 2 = + 2 3 , 3 2 2 3
4 R = 3 .由题意 πr 3 = 1 ,则外接球的 3 r

故选 A.
?e x , 0≤x≤1, 如图 1 所示,当 1≤x≤e 时, 8.由题意得 f ( x) = ? ?ln x + e, 1 < x≤e, f ( x)≥e ,故 f ( x) 值不小于常数 e 的概率是 e ?1 1 = 1 ? ,故选 B. e e

图1

9 . 令 f ( x) = x i e x ( x > 0) , 则 f ′( x) = ( x + 1)e x > 0 , ∴f ( x) 在 (0,+ ∞) 上 为 增 函 数 , 则 a > b ? aea > beb ,故选 D.

理科数学参考答案·第 1 页(共 10 页)

10.在边 AC 上取点 D 使 ∠A = ∠ABD ,则 cos ∠DBC = cos( B ? A) = (5 ? x) 2 = 9 + x 2 ? 2 × 3x ×

7 .设 AD = DB = x ,则 9

7 ? x = 3 .在等腰三角形 BCD 中, DC 边上的高为 2 2 , 9

∴S△ABC =

1 × 5 × 2 2 = 5 2 ,故选 C. 2

11.∵y = 4 + x 2 ,∴y 2 ? x 2 = 4( y > 0) ,∴函数 f ( x) = 4 + x 2 的图象表示焦点在 y 轴上的双

曲线的上支,由于双曲线的渐近线为 y = ± x ,所以函数 f ( x) 的图象上不同的两点连线的 斜率范围为 (?1, 1) ,故 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ∈ [0, 1) ,故选 D. | x1 ? x2 |

12.∵an +1 + an = 4n + 3 ,∴an + 2 + an +1 = 4n + 7 ,两式相减得 an + 2 ? an = 4 ,故数列 {an } 的通项
?2n ? 2 + a1,n为奇数, an + 2n 2≥0 可化为 2n ? 2 + a1 + 2n 2≥0 , 当 n 为奇数时, 公式为 an = ? n a + ? , 2 3 n为偶数. ? 1

1? 5 ? ∴a1≥ ? 2 ; ∴a1≥ ? 2n ? 2n + 2 = ?2 ? n + ? + , 当 n = 1 时,?2n 2 ? 2n + 2 有最大值 ?2 , 2? 2 ?
2

2

1? 5 ? 当 n 为偶数时, an + 2n 2≥0 可化为 2n + 3 ? a1 + 2n 2≥0 , ∴a1≤2n2 + 2n + 3 = 2 ? n + ? + , 2? 2 ?
当 n = 2 时, 2n 2 + 2n + 3 有最小值 15,∴a1≤15 ,∴ ? 2≤a1≤15 ,∴a3 = a1 + 4 ∈ [2, 19] , 故选 D.

2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

题号 答案
【解析】

13 32

14 2 5 5

15
?1 ? ? 3 ,3? ? ?

16
4 5

13.令 x = 1 ,则展开式中各项系数和为 25 = 32 . 14.∵sin α = 4 3 α α 4 α 2 5 ,且 α 为锐角,∴cos α = = 2cos 2 ? 1 , cos 2 = ,∴cos = . 5 5 2 2 5 2 5

理科数学参考答案·第 2 页(共 10 页)

15.如图 2,可行域为三角形,

y y?0 = 可看作可行域内的 x x?0

y 3? y 3x ? y x = = 点与原点连线的斜率,则 ∈ [0,2] , x x + y 1+ y x y? ? ? ?1 + ? + 4 4 x? ?1 ? ? = ?1 + ∈ ? ,3? . y y ?3 ? 1+ 1+ x x

图2

? y 2 = 4 x1, y ? y2 4 ? ∴k AB = 1 , = 16 .设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,∴? 1 2 x1 ? x2 y1 + y2 ? ? y2 = 4 x2,

∴l AB : y ? y1 =

4 4 4 , kMB = . ( x ? x1 ) .∵点 M 在抛物线上,∴kMA = y1 + y2 y1 ? 4 y2 ? 4 4 4 i = ?1 , ∴y1 y2 ? 4( y1 + y2 ) + 32 = 0 , y1 ? 4 y2 ? 4

∵MA i MB = 0 , ∴MA ⊥ MB , ∴kMA i kMB =

∴l AB : y = =

y12 yy 4 4 4 4 x? x1 + y1 = x? + y1 = x+ 1 2 y1 + y2 y1 + y2 y1 + y2 y1 + y2 y1 + y2 y1 + y2

4( y1 + y2 ) ? 32 4 4 = ( x ? 8) + 4 ,∴直线 AB 恒过点 N (8,4) ,则点 M 到直 x+ y1 + y2 y1 + y2 y1 + y2

线 AB 的距离的最大值为 | MN |= (8 ? 4)2 + (4 + 4)2 = 4 5 .
三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当 n≥2 时,
a1 + 3a2 + 32 a3 + … + 3n ?1 an = n ,① a1 + 3a2 + 32 a3 + … + 3n ? 2 an ?1 = n ? 1 ,②

由①?②得: 3n ?1 an = 1 , ∴an =
1 . 3
n ?1

………………………………………………………………………(4 分)

当 n = 1 时, a1 = 1 也满足上式,

∴an =

1 ( n ∈ N* ) . 3
n ?1

……………………………………………………………(6 分)
理科数学参考答案·第 3 页(共 10 页)

(Ⅱ)由(Ⅰ)及 3bn =
bn = n3n ?1 , an

3 得, 3bn = 3n ,∴ bn = n , an

………………………(7 分)



∴Sn = 1 i 30 + 2 i 31 + 3 i 32 + … + n i 3n ?1 ,
3Sn = 1 i 31 + 2 i 32 + 3 i 33 + … + n i 3n .

………………………………………(8 分)

以上两式相减得:
?2 Sn = 1 + 3 + 32 + … + 3n ?1 ? n i 3n

=

1 ? 3n ? n i 3n , 1? 3

…………………………………………………………………(11 分)

∴Sn =

n n 1 n 1 i3 ? i3 + . 2 4 4

………………………………………………………(12 分)

18. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)由题意,该校根据性别采取分层抽样的方法抽取的 100 人中,有 60 人为男生,
40 人为女生,据此 2 × 2 列联表中的数据补充如下.

运动时间 性别 男生 女生 合计 由表中数据得 K 2 的观测值 k =

运动达人
36 14 50

非运动达人
24 26 50

合计
60 40 100

100 × (36 × 26 ? 24 × 14) 2 = 6 > 5.024 , 50 × 50 × 60 × 40

所以在犯错误概率不超过 0.025 的前提下,可以认为性别与“是否为‘运动达人’ ”有关. ………………………………………………………………………………(6 分) (Ⅱ)由题意可知,该校每个男生是运动达人的概率为
X 可取的值为 0,1,2,3,
0?2? 所以 P( X = 0) = C3 ? ? ?5? 3? 0

36 3 ? 3? = ,故 X ~ B ? 3, ? , 60 5 ? 5?

8 ? 3? ?2? , P( X = 1) = C1 3? ? ? = ? 5 125 ? ? ?5?

0

3 ?1

36 ? 3? , ? ? = 5 125 ? ?

1

理科数学参考答案·第 4 页(共 10 页)

2?2? P( X = 2) = C3 ? ? ?5?

3? 2

54 ? 3? ?2? , P( X = 3) = C3 3? ? ? = ? ? 5 ? 125 ?5?

2

3? 3

27 ? 3? . ? ? = ? 5 ? 125

3

X 的分布列为:
X P 0 8 125 1 36 125 2 54 125 3 27 125

3 9 3 2 18 ∴E ( X ) = 3 × = , D( X ) = 3 × × = . 5 5 5 5 25 19. (本小题满分 12 分)

…………………………………(12 分)

(Ⅰ)证明:如图 3,连接 BD 交 AC 于点 O,连接 OE, ∵点 O,E 分别为 BD,PD 的中点,∴OE∥PB . 又 PB ? 平面AEC , OE ? 平面AEC ,∴PB∥平面AEC . ………………………………………………(4 分)
图3

1 1 1 (Ⅱ)解: V三棱锥P ? AEC = V三棱锥P ? ACD ? V三棱锥E ? ACD = V三棱锥P ? ACD = × i S△ACD i PA 2 2 3 = 1 1 1 π × × × 2 × 2 × sin i PA = 1 ,∴PA = 2 3 . 2 3 2 3 π , 3

………………………………(7 分)

∵底面四边形为菱形, AB = 2,∠ABC =

∴OA = OC = 1, OB = OD = 3 , OB⊥OC . 如图 3,以 O 为原点建立空间直角坐标系, PA∥z轴 , 则 O(0,0,0),A(0,? 1,0),B( 3,0,0),C (0,, 1 0),P(0,? 1,2 3) . 设平面 PBC 的法向量为 n = ( x, y, z ) , ∵BC = (? 3,, 1 0),PC = (0,2,? 2 3) ,
? ? BC i n = ? 3x + y = 0, ∴? ∴n = (1, 3, 1) . ? ? PC i n = 2 y ? 2 3z = 0,
∵PA⊥平面ABCD , OB ? 平面ABCD ,∴OB⊥PA .
理科数学参考答案·第 5 页(共 10 页)

又∵OB⊥AC , AC ∩ PA = A ,AC, PA ? 平面PAC ,
∴OB⊥平面PAC ,

∴平面 PAC 的法向量为 OB = ( 3,0,0) , ∴cos? n ,OB? = n i OB 3 5 = = , 5 | n || OB | 3× 5

由图可知二面角 A?PC?B 的平面角是锐角, ∴二面角 A?PC?B 的余弦值为 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意知, F1 (?1,0) , F2 (1,0) , a 2 = b 2 + 1 .
? 2 5? ∵点 P ? ? 2, 5 ? ? 在椭圆上, ? ?

5 . 5

……………………………………………(12 分)

?2 5? ?2 5? 2 ∴由椭圆的定义,得 | PF1 | + | PF2 |= 2a = (2 + 1) + ? ? 5 ? ? + (2 ? 1) + ? ? 5 ? ? =2 5, ? ? ? ?
2

2

2

∴a = 5 , b = 2 , 故椭圆 C 的方程为
x2 y 2 + =1. 5 4

…………………………………………………(4 分)

(Ⅱ)如图 4 所示,设 E ( x0,y0 ) , F ( x0 , yF ) ,且 x0 ≠ 0 , y0 ≠ 0 . 由题意,得圆 O: x 2 + y 2 = 5 . ∵点 E 在椭圆 C 上,点 F 在圆 O 上,
4 2 ? 2 2 2 ? 4 x0 = 4 ? x0 , + 5 y0 = 20, ? y0 ? ∴? 2 即? 5 2 ? ? y 2 = 5 ? x2 . ? x0 + yF = 5, 0 ? F

∵B1 (0,? 2) , B2 (0,2) , ∴lEB1 : y = y0 + 2 y ?2 x ? 2 , lEB2 : y = 0 x+2, x0 x0

图4

? 2 x0 ? ? ?2 x0 ? ,0 ? ,直线 EB2 与 x 轴的交点 H ? ,0 ? , ∴直线 EB1 与 x 轴的交点 G ? ? y0 + 2 ? ? y0 ? 2 ?

理科数学参考答案·第 6 页(共 10 页)

∴k1 = k FG =

y ( y + 2) y ( y ? 2) ? yF ? yF , k2 = k FH = , = F 0 = F 0 ?2 x0 2 x0 x0 y0 x0 y0 ? x0 ? x0 y0 + 2 y0 ? 2

4 2? 2 ? (5 ? x0 ) ? ? x0 ? y ( y + 2) yF ( y0 ? 2) y ( y ? 4) ? 5 ? = ?1 , ∴k1k2 = F 0 i = = 4 2? x0 y0 x0 y0 x y 2? x0 ? 4 ? x0 ? 5 ? ?
2 F 2 0 2 2 0 0

故 k1k2 为定值 ?1 . 21. (本小题满分 12 分)

……………………………………………………………(12 分)

解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0,+ ∞) , f ′( x) = ln x + 1 + a , ? f ′(1) = a + 1 = 3, ∴? ? f (1) = a + b = 1, ?a = 2, ∴? ?b = ?1, ∴f ( x) = x ln x + 2 x ? 1 . (Ⅱ) k > ………………………………………………………(4 分)

f ( x + 1) ( x + 1) ln( x + 1) + 2 x + 1 , 可化为 k > x x

令 g ( x) =

( x + 1) ln( x + 1) + 2 x + 1 f ( x + 1) , ?x ∈ (0, + ∞) ,使得 k > , x x

则 k > g ( x) min , g ′( x) = x ? 1 ? ln( x + 1) ,x ∈ (0,+ ∞) . x2 1 x = >0, x +1 x +1

令 h( x) = x ? 1 ? ln( x + 1) ,则 h′( x) = 1 ? ∴h( x) 在 (0,+ ∞) 上为增函数.

又 h(2) = 1 ? ln 3 < 0,h(3) = 2 ? ln 4 > 0 , 故存在唯一的 x0 ∈ (2,3) 使得 h( x0 ) = 0 ,即 x0 ? 1 = ln( x0 + 1) . 当 x ∈ (0,x0 ) 时, h( x) < 0 , ∴g ′( x) < 0 ,∴g ( x) 在 (0,x0 ) 上为减函数;
理科数学参考答案·第 7 页(共 10 页)

当 x ∈ ( x0,+ ∞) 时, h( x) > 0 , ∴g ′( x) > 0 ,∴g ( x) 在 ( x0,+ ∞) 上为增函数.

∴g ( x)min = g ( x0 ) = ∴k > x0 + 2 .

( x0 + 1) ln( x0 + 1) + 2 x0 + 1 ( x0 + 1)( x0 ? 1) + 2 x0 + 1 = = x0 + 2 , x0 x0

∵x0 ∈ (2,3), ∴x0 + 2 ∈ (4,5) . ∵k ∈ Z, ∴k 的最小值为 5. …………………………………………………(12 分)

(评分说明:其他解法酌情给分. )
22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】

证明: (Ⅰ)如图 5,连接 CO 与⊙O 交于点 G,连接 GD. ∵CG 是⊙O 的直径,

∴∠CDG = 90° ,∴∠CGD + ∠GCD = 90° . ∵∠CAD = ∠BCD = ∠CGD , ∴∠BCD + ∠GCD = 90° ,即 CG ⊥ BC ,
∴BC 是⊙O 的切线.
图5

…………………………………………………………(5 分)

(Ⅱ)如图 5,过点 D 作 AC 的平行线交 BF 于 H. ∵DH∥AC ,∴△ABF∽△DBH , △ECF ∽△EDH , ∴
AB AF CF CE , . = = BD DH DH DE

∵E 是 CD 的中点,∴CE = DE ,∴CF = DH . ∵BC 与⊙O 切于点 C,BDA 为⊙O 的割线, ∴由切割线定理,得 BC 2 = AB i BD , ∴
AB 2 AB 2 AB AF = = = . BC 2 AB i BD BD CF

………………………………………………(10 分)

(评分说明: (Ⅰ)问用弦切角定理的逆定理直接证明不给满分. )
理科数学参考答案·第 8 页(共 10 页)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】 ? x = a cos ? , ( ? 为参数),且 a > b > 0 , 解: (Ⅰ)∵曲线 C1 的参数方程为 ? ? y = b sin ? ,

∴曲线 C1 的普通方程为 而其极坐标方程为

x2 y 2 + =1, a 2 b2 +

ρ 2 cos 2 θ
a2

ρ 2 sin 2 θ
b2

= 1.

∵将射线 l: θ = 0 代入曲线 C1 :

ρ 2 cos 2 θ
a2

+

ρ 2 sin 2 θ
b2

= 1,

得 ρ = a ,即点 P 的极坐标为 (a, 0) ; 将射线 l: θ = 0 代入曲线 C2 : ρ = 2cos θ , 得 ρ = 2 ,即点 Q 的极坐标为 (2,0) . 又∵| PQ |= 1 ,即 | PQ |=| a ? 2 |= 1 ,∴a = 1 或 a = 3 . ∵将射线 l: θ =
π ρ 2 cos 2 θ ρ 2 sin 2 θ 代入曲线 C1 : + = 1, a2 b2 2

? π? 得 ρ = b ,即点 P 的极坐标为 ? b, ? , ? 2?

又∵| OP |= 3 ,∴b = 3 .

∵a > b > 0 ,∴a = 3 ,
∴曲线 C1 的普通方程为
x2 y 2 + =1. 9 3

……………………………………………(5 分)

? ? x = ?t , (Ⅱ)∵直线 l ′ 的参数方程为 ? (t 为参数, t ≠ 0 ), ? ? y = 3t ,

∴直线 l ′ 的普通方程为 y = ? 3 x( x ≠ 0) ,
π 而其极坐标方程为 θ = ? ( ρ ∈ R, ρ ≠ 0) , 3

∴将直线 l ′ : θ = ?

π 代入曲线 C2 : ρ = 2cos θ , 3

得 ρ = 1 ,即 | OR |= 1 .

理科数学参考答案·第 9 页(共 10 页)

∵将射线 l: θ =

π ρ 2 cos 2 θ ρ 2 sin 2 θ 代入曲线 C1 : + = 1, 3 9 3

得ρ =

3 10 3 10 ,即 | OP |= , 5 5 1 1 3 10 2 π 3 30 | OP || OR | sin ∠POR = × × 1 × sin = . 2 2 5 3 20

∴设 △OPR 的面积为 S, S =

………………………………………………………………………………(10 分) (评分说明:其他解法酌情给分. ) (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】 24.
1 1 ? ?3x + 2 ,x > 2 , ? 3 1 1 ? (Ⅰ)解:由题意,得 f ( x) = ? x + ,? ≤x≤ , 2 2 2 ? 1 1 ? ??3x ? 2 ,x < ? 2 , ? 1? ? 所以 f ( x) 在 ? ?∞,? ? 上是减函数, 2? ? ? 1 1? ?1 ? 在 ? ? , ? 上是增函数,在 ? ,+ ∞ ? 上是增函数, ?2 ? ? 2 2? ? 1? ∴对于任意 x ∈ R 都有 f ( x)≥f ? ? ? = 1 . ? 2?

又∵不等式 f ( x)≥2a 2 ? a 恒成立,即 2a 2 ? a≤1 ,
1 ∴ ? ≤a≤1 . 2

……………………………………………………………………(5 分)

? 1? (Ⅱ)证明:∵m + n = f ? ? ? = 1 , ? 2?
∴(mp 2 + nq 2 ) ? (mp + nq )2 = m(1 ? m) p 2 + n(1 ? n)q 2 ? 2mnpq = mn( p 2 ? 2 pq + q 2 ) = mn( p ? q )2 .

∵m,n,p,q 为正实数,∴mn( p ? q) 2≥0 ,
∴(mp + nq )2 ≤mp 2 + nq 2 .

………………………………………………………(10 分)

理科数学参考答案·第 10 页(共 10 页)


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