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《高考导航》2016届新课标数学(理)一轮复习课件 专题讲座四 探索性问题


专题讲座四

探索性问题

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探索性问题

专题讲座四

探索性问题

探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目 的条件或结论不完备,要求考生自己去探索,结合已知条 件,进行观察、分析、比较和概括.它对考生的数学思想、 数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高 的要求.这类问题不仅考查考生的探索能力,而且给考生 提供了创新思维的空间,所以备受高考的青睐,是高考重 点考查的内容.探索性问题一般可以分为:条件探索性问 题、结论探索性问题、存在探索性问题等.
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探索性问题

条件探索性问题
此类问题的基本特征是: 针对一个结论, 条件未知需探求, 或条件增删需确定,或条件正误需判定,解决此类问题的 基本策略是:执果索因,先寻找结论成立的必要条件,再 通过检验或认证找到结论成立的充分条件,在“执果索 因”的过程中,常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的 可逆与否,误将必要条件当作充分条件,应引起注意.
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探索性问题

(2015· 广东六校联考)已知 Sn 为数列{an}的前 n 项 和,且有 a1=1,Sn+1=an+1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项 an; n (2)若 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn; 4an
n

(3) 是 否 存 在 最 小 正 整 数 m , 使 得 不 等 式 ∑ =

k 1

k+2 <m 对任意正整数 n 恒成立,若存在, Sk·(Tk+k+1) 求出 m 的值;若不存在,说明理由.
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探索性问题

[解] (1)当 n=1 时,a2=S1+1=a1+1=2; 当 n≥2 时,Sn+1=an+1,Sn-1+1=an,相减得 an+1=2an. 又 a2=2a1,所以{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, 所以 an=2n 1.


(2)由(1)知 an=2

n-1

n n n ,所以 bn= = = . 4an 4×2n-1 2n+1

n 1 2 3 所以 Tn= 2+ 3+ 4+?+ n+1, 2 2 2 2 n -1 n 1 1 2 T = + +?+ n+1 + n+2. 2 n 23 24 2 2 n 1 1 1 1 1 两式相减得 Tn= 2+ 3+ 4+?+ n+1- n+2 2 2 2 2 2 2
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探索性问题

1 1 (1- n) 22 2 n+ 2 n 1 n+2 = - n+2= - n+2 ,所以 Tn=1- n+1 . 1 2 2 2 2 1- 2 k+2 (3) = Sk·(Tk+k+1) 1 (2 -1)· (1- k+1) 2 1 - k+1 ), 2 -1
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k+2 = k + 2 (2k-1)· (1- k+1 +k+1) 2


k

1

2k 1 1 = = 2( k + (2k-1)· (2k 1-1) 2 -1

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探索性问题

n k+2 1 1 所以 ∑ Sk · = ∑ 2( - + ) = 2(1 - k=1 (Tk+k+1) k=1 2k-1 2k 1-1

n

1 )<2. + 2n 1-1 k+ 2 若不等式∑ <m 对任意正整数 n 恒成 k=1 Sk·(Tk+k+1) 立,则 m≥2, 所以存在最小正整数 m=2,使不等式 k+2 ∑ <m 对任意正整数 n 恒成立. k=1 Sk·(Tk+k+1)
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n

n

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探索性问题

[规律方法]

对于数列问题,一般要先求出数列的通项,

不是等差数列和等比数列的要转化为等差数列或等比数 列.遇到 Sn 要注意利用 Sn 与 an 的关系将其转化为 an,再 研究其具体性质.遇到(-1)n 型的问题要注意分 n 为奇数 与偶数两种情况进行讨论,本题易忘掉对 n 的奇偶性的讨 论而致误.

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探索性问题

结论探索性问题
此类问题的基本特征是:有条件而无结论或结论的正确与 否需要确定.解决此类问题的策略是:先探索结论而后去 论证结论,在探索过程中常可先从特殊情形入手,通过观 察、分析、归纳、判断来作一番猜测,得出结论,再就一 般情形去认证结论.

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探索性问题

如图所示,在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,A1A⊥平面 ABC,AB=2BC,AC=AA1= 3BC.

(1)求证:A1C⊥平面 AB1C1; (2)若 D 是棱 CC1 的中点,在棱 AB 上是否存在一点 E,使 得 DE∥平面 AB1C1?若存在,请确定点 E 的位置;若不 存在,请说明理由.
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探索性问题

[解]

(1)证明:∵AB=2BC,AC= 3BC,

π ∴△ABC 为直角三角形且∠ACB= , 2 ∴BC⊥AC,又 AA1⊥平面 ABC, ∴BC⊥AA1,又 AA1∩AC=A, ∴BC⊥平面 ACC1A1, ∴BC⊥A1C,B1C1⊥A1C. ∵AC=AA1, ∴侧面 ACC1A1 为正方形, ∴AC1⊥A1C. 又 B1C1∩AC1=C1, ∴A1C⊥平面 AB1C1.
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探索性问题

(2) 存在点 E,且 E 为 AB 的中点. 下面给出证明: 如图,取 BB1 的中点 F,连接 DF, 则 DF∥B1C1. 连接 EF,∵E 为 AB 的中点, ∴EF∥AB1. ∵B1C1 与 AB1 是相交直线, ∴平面 DEF∥平面 AB1C1. 又 DE?平面 DEF, ∴DE∥平面 AB1C1.

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探索性问题

[规律方法] 对于结论探索性问题,需要先得出一个结论, 再进行证明.注意含有两个变量的问题,变量归一是常用 的解题思想,一般把其中的一个变量转化为另一个变量, 根据题目条件,确定变量的值,遇到数列中的比较大小问 题可以采用构造函数,根据函数的单调性进行证明,这是 解决复杂问题常用的方法.

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探索性问题

存在探索性问题
此类问题的基本特征是:要判断在某些确定条件下的某一 数 学 对 象 ( 数 值 、 图 形 等 ) 是 否 存 在 或 某 一 结 论是否 成 立.“是否存在”的问题的命题形式有两种情况:如果存 在,找出一个来;如果不存在,需要说明理由.这类问题 常用“肯定顺推”的方法.

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探索性问题

(2015· 江南十校联考)在圆 C1:x2+y2=1 上任取一 → 点 P, 过 P 作 y 轴的垂线段 PD, D 为垂足, 动点 M 满足MD → =2MP.当点 P 在圆 C1 上运动时,点 M 的轨迹为曲线 C2. (1)求曲线 C2 的方程; → (2)是否存在过点 A(2,0)的直线 l 交曲线 C2 于点 B,使OT = 5 → → (OA+OB),且点 T 在圆 C1 上?若存在,求出直线 l 5

的方程;若不存在,请说明理由.
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探索性问题

x → → [解] (1)设 M(x,y),∵MD=2MP,∴P( ,y). 2 又 P 在圆 C1 上, x2 2 x2 2 ∴( ) +y =1,即 C2 的方程是 +y =1. 2 4 (2)当直线 l 的斜率不存在时,点 B 与点 A 重合,此时点 T 4 5 的坐标为( ,0),显然点 T 不在圆 C1 上,不合题意, 5 ∴直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=k(x-2), y=k(x-2) ? ? 2 2 2 2 2 由?x ,得 (1 + 4 k ) x - 16 k x + 16 k -4=0, 2 ? ? 4 +y =1
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探索性问题

8k2-2 8k2-2 -4k 4k 解得 xB= 2,∴yB=- 2,即 B( 2, 2). 1+4k 1+4k 1+4k 1+4k
2 2 - 4 k -4k 16 k 16 k 5 → → → ∴OA+OB=( ∴OT= ( 2, 2), 2, 2). 5 1+4k 1+4k 1+4k 1+4k

-4k 2 1 16k2 2 ∵T 在圆 C1 上,∴ [( ) +( ) ]=1, 5 1+4k2 1+4k2 1 5 2 化简得, 176k -24k -5=0, 解得 k = 或 k =- (舍去), 4 44
4 2 2

1 ∴k=± . 2 1 ∴存在满足题意的直线 l,其方程为 y=± (x-2). 2
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探索性问题

[规律方法]

解决此类问题的一般方法是:假设题中的数

学对象存在或结论成立或暂且认可其中的一部分结论,然 后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定 假设,否则,给出肯定结论,其中反证法在解题中起着重 要的作用.

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