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2014年福建数学(理)


2014 年福建高考数学试题(理)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数 z ? (3 ? 2i)i 的共轭复数 z 等于(
A. ? 2 ? 3i B. ? 2? i 3 C. 2? i 3


D. 2? i 3

>2.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是(
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 四面体 D. 三棱柱



3.等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,若 a1 ? 2, S3 ? 12 ,则 a6 ? (
A.8 B. 1 0 C. 1 2 D. 1 4

)

4.若函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的图像如右图所示,则下列函数图像正确的是 学科网( )

5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 S 得值等于(
A.18 B. 2 0 C. 2 1 D. 4 0



6.直线 l : y ? kx ? 1 与圆 O : x2 ? y 2 ? 1 相交于 A, B 两点,则 " k ? 1" 是“ ?ABC 的面
1 积为 ”的( 2


B. 必要而不充分条件
1

A. 充分而不必要条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分又不必要条件

?x 2 ? 1, x ? 0 7.已知函数 f ?x ? ? ? 则下列结论正确的是( ?cos x, x ? 0
A. f ?x ? 是偶函数 B. f ?x ? 是增函数

) D. f ?x ? 的值域为

C. f ?x ? 是周期函数

??1,???
8.在下列向量组中,可以把向量 a ? ?3,2?表示出来的是( A. e1 ? (0,0), e2 ? (1,2) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10) B . e1 ? (?1,2), e2 ? (5,?2) D. e1 ? (2,?3), e2 ? (?2,3)
2



9.设 P, Q 分别为 x 2 ? ? y ? 6? ? 2 和椭圆 距离是( A. 5 2 ) B. 46 ? 2 C. 7 ? 2

x2 ? y 2 ? 1 上的点,则 P, Q 两点间的最大 10

D. 6 2

10.学科网用 a 代表红球, b 代表蓝球, c 代表黑球,由加法原理及乘法原理, 从 1 个红球和 1 个篮球中取出若干个球的所有取法可由 ?1 ? a ??1 ? b? 的展开式
1 ? a ? b ? ab 表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“ a ”表示取出一个红

球,面“ ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推,下列各式中,其展开式 可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的 篮球都取出或都不取出的所有取法的是 A. 1 ? a ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 1 ? b5 ?1 ? c? B. 1 ? a5 1 ? b ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ?1 ? c?
5 5

?

??

?

?

?? ?

?

5

C. ?1 ? a? 1 ? b ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 1 ? c5 D. 1 ? a5 ?1 ? b? 1 ? c ? c2 ? c3 ? c4 ? c5
5

?

??

? ?

?

?

二、填空题
?x ? y ? 1 ? 0 ? 11、若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 8 ? 0 则 z ? 3x ? y 的最小值为________ ?x ? 0 ?

12、在 ?ABC 中, A ? 60?, AC ? 2, BC ? 3 ,则 ?ABC 等于_________
2

13、要制作一个容器为 4 m 3 ,高为 1m 的无盖长方形容器,已知该容器的底面造 价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是 _______(单位:元) 14.如图,在边长为 e ( e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则他

落到阴影部分的概率为______. 15.若集合 {a, b, c, d} ? {1,2,3,4}, 且下列四个关系: ① a ? 1 ;② b ? 1 ;③ c ? 2 ;④ d ? 4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有 序数组 (a, b, c, d ) 的个数是_________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) ? .

1 2

(1)若 0 ? ? ?

?
2

,且 sin ? ?

2 ,求 f (? ) 的值; 2

(2)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间. 17.(本小题满分 12 分) 在平行四边形 ABCD 中, AB ? BD ? CD ? 1 , AB ? BCD, CD ? BD .将

?ABD 沿 BD 折起,使得平面 ABD ? 平面 BCD ,如图.
(1)求证: CD ? CD ; (2)若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值.

3

18.(本小题满分 13 分) 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励,规 定:每位顾客从 一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值 之和为该顾 客所获的奖励额. (1) 若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元, 求 ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2)商场对奖励总额的预算是 60000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面 值 10 元和 50 元的两种球组成,或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客 得到的奖励 总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋 中的 4 个球 的面值给出一个合适的设计,并说明理由.

19.(本小题满分 13 分)

4

已知双曲线 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线分别为 a 2 b2

l1 : y ? 2 x, l2 : y ? ?2 x .
(1)学科网求双曲线 E 的离心率; (2)如图, O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1 , l2 于 A, B 两点( A, B 分别 在第一, 四象限),且 ?OAB 的面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线 l 有且 只有一个公 共点的双曲线 E ?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理 由。

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ?x ? ? e x ? ax ( a 为常数) 的图像与 y 轴交于点 A ,曲线 y ? f ?x ? 在点 A 处 的切线斜率为-1. (I)求 a 的值及函数 f ?x ? 的极值; (II)证明:当 x ? 0 时, x 2 ? e x ; (III)证明:对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,使得当 x ? ?x0, ? ?? ,恒有
x 2 ? cex .

21. 本题设有 (1) , (2) , (3) 三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答, 满分 14 分.

5

如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目 对应题 号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中. (1)(本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换

? 2 1? 已知矩阵 A 的逆矩阵 A?1 ? ? ? 1 2? ?. ? ?
(I)求矩阵 A ; (II)求矩阵 A ?1 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. (2)(本小题满分 7 分)选修 4—4:极坐标与参数方程

? x ? a ? 2t 已知直线 l 的参数方程为 ? ,( t 为参数),圆 C 的参数方程为 ? y ? ?4t s ?x ? 4 c o ? ,( ? 为常数). ? ? ? y ? 4s i n
(I)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (II)学科网若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. (3)(本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选将 已知定义在 R 上的函数 f ?x? ? x ?1 ? x ? 2 的最小值为 a . (I)求 a 的值;
q, r 为正实数,且 p ? q ? r ? a ,求证: p 2 ? q 2 ? r 2 ? 3 . (II)若 p,

6

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