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必修2红对勾第三章 单元评估题(二)


第三章

单元评估题(二)

时限:120分钟 满分:150分
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.直线 x=-1 的倾斜角和斜率分别是( A.45° ,1 C.90° ,不存在 答案:C x y 2.直线 l1:y=kx+b 和直线 l2:k+b=1(k≠0,b≠0)在同一坐 标系中,两直线的图形应为( ) )

/>
B.135° ,-1 D.180° ,不存在

解析:此题应从 l1 的位置判断 k、b 的正负,从而判定 l2 的位置. 答案:D

3.已知直线 ax+by+1=0 与直线 4x+3y+5=0 平行,且在 y 1 轴上的截距为 ,则 a+b 的值为( 3 A.7 C.1 ) B.-1 D.-7

a 1 解析:由题意可知 b≠0,方程可化为 y=-bx-b. 4 a ? - =- , ? b 3 则? 1 1 ? - ? b=3. 答案:D 4.过点 A(4,a)和 B(5,b)的直线与直线 y=x+m 平行,则|AB| 的值为( A.6 C.2 答案:B 5.从 P 点发出的光线 l 经过直线 x-y-2=0 反射,若反射光线 恰好通过点 Q(5,1),且点 P 的坐标为(3,-2),则光线 l 所在的直线 方程是( ) B.y=1 D.x+2y+1=0 ) B. 2 D.不能确定

解得 b=-3,a=-4,所以 a+b=-7.

A.x=3 C.x-2y-7=0 答案:A

6.若 A(-6,0)、B(0,8),点 P 在 AB 上,且 AP∶AB=3∶5,则 点 P 到直线 15x+20y-16=0 的距离为( A. 49 100 44 B. 25 )

6 C. 25 答案:B

12 D. 25

7.已知点 P(a,b)是第二象限内的点,那么它到 x-y=0 的距离 是( A. C. ) 2 (a - b ) 2 2 (b - a ) 2 B.b-a D. a2+b2

解析:∵点 P(a,b)是第二象限内的点, ∴a<0, b>0.∴a-b<0.点 P 到直线 x-y=0 的距离为 d= 2 (b-a). 2 答案:C 8.直线 ax+y+m=0 与直线 x+by+2=0 平行,则( A.ab=1,bm≠2 B.a=0,b=0,m≠2 C.a=1,b=-1,m≠2 D.a=1,b=1,m≠2 答案:A 9.已知集合 A={(x,y)|x+a2y+6=0},集合 B={(x,y)|(a-2)x +3ay+2a=0},若 A∩B=?,则 a 的值是( A.3 C.-1 B.0 D.0 或-1 ) ) |a-b| = 2

解析:A∩B=?,即直线 l1:x+a2y+6=0 与 l2:(a-2)x+3ay +2a=0 平行,

令 1×3a=a2(a-2),解得 a=0 或 a=-1 或 a=3. a=0 时,l1:x+6=0,l2:x=0,l1∥l2. a=-1 时,l1:x+y+6=0,l2:-3x-3y-2=0. l1∥l2. a=3 时,l1:x+9y+6=0,l2:x+9y+6=0,l1 与 l2 重合,不 合题意. ∴a=0 或 a=-1. 答案:D 10.已知点 P(a,b)与点 Q(b+1,a-1)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程是( ) B.y=x+2 D.y=x-1

A.y=x-2 C.y=x+3

解析:任取 a、b 进行赋值,如 a=1,b=3,则点 Q 坐标为(4,0), 5 3 求出其中点坐标为( , ),它应该在直线 l 上.对各选项逐个检验可 2 2 a+b+1 a+b-1 排除选项 ABC.或得出点 P、Q 中点为( , ),它应该 2 2 是直线 l 上的点.故其满足方程 y=x-1. 答案:D 11.已知直线 l1:x+2y-6=0,l2:x-y-3=0 则 l1、l2、x 轴、 y 轴围成的四边形的面积为( A.8 15 C. 2 答案:C ) B.6 D.3

图1 12.如图 1,已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点, 则光线所经过的路程是( A.2 10 C.3 3 ) B.6 D.2 5

解析: 直线 AB 的方程为 x+y-4=0, 点 P 关于直线 AB 的对称 点 P1 坐标为(4,2),点 P 关于 y 轴的对称点 P2(-2,0),则|P1P2|= ?4+2?2+22=2 10,即为光线所经过的路程. 答案:A 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.直线 y=-x+b 与 5x+3y-31=0 的交点在第一象限,则 b 的取值范围是________. 解析:解直线的方程组成的方程组,求出交点坐标,然后根据交 点在第一象限列出不等式即可.

? ?y=-x+b 由? ?5x+3y-31=0 ?

3b ?x=31- 2 ?? 5b-31 y = ? 2

.

∵交点在第一象限, 3b >0 ?31- 2 ,即? 5b-31 ? 2 >0 31 31 <b < 5 3

?x>0 ∴? ?y>0

?

31 31 <b< . 5 3

答案:

14.直线 l 过两点 A(0,2)和 B( 3,3m2+12m+15)(m∈R), 则直线 l 倾斜角 α 的范围是________. 解析:由 A,B 的横坐标不等知 α≠90° , 3m2+12m+15-2 则 tanα=kAB= 3-0 = 3(m+2)2+ 3 , 3 3 3 ≥ , 3 3

∵m∈R,∴ 3(m+2)2+ 即 tanα≥

3 ,所以 30° ≤α<90° . 3

答案:30° ≤α<90° 15.已知直线 l1 和 l2 的斜率是方程 3x2-2x-1=0 的两根,若直 线 l 过点(2,3),斜率为两根之一,且不过第四象限,则直线 l 的方程 为________________. 答案:x-y+1=0

16.给出下列五个命题: ①过点(-1,2)的直线方程一定可以表示为 y-2=k(x+1)的形式 (k∈R); ②过点(-1,2)且在 x 轴、 y 轴截距相等的直线方程是 x+y-1=0; ③过点 M(-1,2)且与直线 l:Ax+By+C=0(AB≠0)垂直的直线 方程是 B(x+1)+A(y-2)=0; ④设点 M(-1,2)不在直线 l:Ax+By+C=0(AB≠0)上,则过点 M 且与 l 平行的直线方程是 A(x+1)+B(y-2)=0; ⑤点 P(-1,2)到直线 ax+y+a2+a=0 的距离不小于 2. 以上命题中,正确的序号是________. 答案:④⑤ 三、解答题(共 70 分) 17. (本小题 10 分)已知直线 l 的斜率为 6 且被两坐标轴所截得的 线段长为 37,求直线 l 的方程. 解:设直线方程为 y=6x+b, b 令 x=0,得 y=b;令 y=0,得 x=- . 6 b ∴直线与 x 轴、y 轴的交点分别为(- ,0)、(0,b),这两点间距 6 离为 b ?- -0?2+?0-b?2= 6 由题意,得 37 2 37 b= |b|. 36 6

37 |b|= 37,∴b=± 6. 6

∴所求直线方程为 y=6x± 6,即 6x-y± 6=0. 18. (本小题 12 分)将直线 l 绕它上面一点 P 按逆时针方向旋转角 α(0° <α<90° )后, 所得直线方程是 6x+y-60=0.若再向同方向旋转 90°

-α 后,所得直线方程是 x+y=0,求 l 的方程. 解:由题意,得直线 l 与直线 x+y=0 垂直,且 P 点既在 6x+y -60=0 上,又在 x+y=0 上,所以 P(12,-12),故其方程为 y+12 =x-12,即 x-y-24=0. 19.(本小题 12 分)求经过点 A(-1,-2)且到原点距离为 1 的直 线方程. 解:(1)当过点 A 的直线斜率不存在即垂直于 x 轴时,它到原点 的距离为 1,所以满足题设条件,其方程为 x=-1. (2)当过点 A 的直线不与 x 轴垂直时, 设所求的直线方程为 y+2=k(x+1), 即 kx-y+k-2=0. 因为原点到此直线的距离等于 1, 所以 |k-2| 3 =1,解之,得 k= . 2 4 k +1

3 故所求的直线方程为 y+2= (x+1), 4 即 3x-4y-5=0. 故所求的直线方程为 x=-1 或 3x-4y-5=0. 20.(本小题 12 分)已知直线 l1:2x+ay+4=0 与直线 l2 平行, 1 且 l2 过点(2,-2),并与坐标轴围成的三角形面积为a,求 a 的值. 解:由 l2 与 l1:2x+ay+4=0 平行,可设 l2 的方程为 2x+ay+k =0(k≠4). k k 令 x=0,得 y=-a;令 y=0,得 x=- . 2 1 k k 1 由 · |-a|· |- |=a,得 k2=4, 2 2

所以 k=± 2 且 a>0. 又 2x+ay+k=0 过点(2,-2), 所以有 4-2a+k=0,从而 a=1 或 a=3.

图2 21.(本小题 12 分)甲、乙两人要对 C 处进行考察,甲在 A 处, 乙在 B 处,基地在 O 处,此时∠AOB=90° ,测得|AC|=5 km,|BC| = 13 km,|AO|=|BO|=2 km,如图 2 所示,试问甲、乙两人应以 什么方向走,才能使两人的行程之和最小?

图3 解:以 O 为原点,OB 为 x 轴,建立直角坐标系(如图 3 所示), 设 C(x,y),则有 A(0,2),B(2,0), 由|AC|=5,有 x2+?y-2?2=5,① |BC|= 13,有 ?x-2?2+y2= 13.②

? ? ?x=0, ?x=5, ? 由①②解得 或? ?y=-3 ? ? ?y=2.

由 x、y 的实际意义知 x>0,y>0,∴C(5,2). 而 A(0,2),∴AC∥x 轴,即 AC∥OB. 由 B(2,0)、C(5,2),知 kBC= 2-0 2 = . 5-2 3

2 故甲应以与 OB 平行的方向行走,乙应沿斜率为 的直线向上方 3 行走,才能使他们的行程和最小. 22.(本小题 12 分)四边形 OABC 的四个顶点坐标分别为 O(0,0)、 1 A(6,2)、 B(4,6)、 C(2,6), 直线 y=kx( <k<3)分四边形 OABC 为两部分, 3 S表 示靠近 x 轴一侧的那一部分的面积. (1)求 S=f(k)的函数表达式; (2)当 k 为何值时,直线 y=kx 将四边形 OABC 分为面积相等的 两部分? 3 解:(1)因为 kOB= ,所以需分两种情况: 2 1 3 ① <k< 时,直线 y=kx 与直线 AB:2x+y=14 相交. 3 2
? ?y=kx 14 14k 由? 得交点 P1( , ), k+2 k+2 ?2x+y=14 ?

又点 P1 到直线 OA:x-3y=0 的距离为 d= 14?3k-1? , 10?k+2?

14?3k-1? 1 ∴S= |OA|· d= . 2 k+2

3 6 ②当 ≤k<3 时,直线 y=kx 与直线 BC:y=6 交于 P2(k,6).∴ 2 6?3-k? 1 S△OP2C= |P2C|· 6= k . 2 又 S△OAB+S△OBC=S 四边形 OABC=20. ∴S=20- 18-6k 18 = 26 - k k.

k-1? 1 3 ? <k< ?, ?14?k3+ 2 2 3 故 S=f(k)=? 18 3 ?26- k ?2≤k<3?. (2)若直线 y=kx 平分四边形 OABC 的面积, 由(1)知,只需 14?3k-1? 17 =10,解得 k= . 16 k+2


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