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2009年高考试题——全国卷I(数学文)word版


2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(必修+选修Ⅰ 文科数学(必修+选修Ⅰ)
本试卷分第Ⅰ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第错误!未找到引用源。卷 1 选择题)和第Ⅱ 非选择题)两部分. 卷 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 至 2 页,第错误!未找到引用源。卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 卷

第 Ⅰ卷
注意事项: 注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、 .答题前, 并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 号填写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 .每小题选出答案后, B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号, 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.

.........

3.第Ⅰ卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 . 小题, 在每小题给出的四个选项中, 符合题目要求的. 符合题目要求的. 参考公式: 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果事件 A,B 相互独立,那么

S = 4πR 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P ( A B ) = P ( A) P ( B )
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么

V=

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
Pn (k ) = Cnk P k (1 ? P ) n ? k (k = 0,2, ,n) 1, L
一、选择题 (1) sin 585 °的值为 (A) ?

4 3 πR 3 其中 R 表示球的半径

2 2

(B)

2 2

(C) ?

3 2

(D)

3 2

(2)设集合 A={4,5,7,9} ,B={3,4,7,8,9} ,全集 U =A U B,则集合 Cu(A I B)中的 元素共有 (A) 3 个 (B) 4 个 (C)5 个 (D)6 个

(3)不等式

x +1 ?1 的解集为 x ?1

(A) x 0 ? x?1} U x x? 1}

{

{

(B) { x 0 ? x?1}

-1-

(C)

{x ?1? x?0}
(B) ?

(D) x x? 0}

{

(4)已知 tan a =4,cot β = (A)

7 11

7 11

1 ,则 tan(a+ β )= 3 7 7 (C) (D) ? 13 13

(5)设双曲线 心率等于 (A) 3

x2 y2 - =1 ( a>0,b>0 ) 的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切,则该双曲线的离 a2 b2

(B)2

(C) 5

(D) 6

1 (6)已知函数 f ( x ) 的反函数为 g ( x)= +2lgx ( x>0 ) ,则 f (1)+g(1)=
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4 (7)甲组有 5 名男同学、3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学,若从甲、乙两组中 各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种 (8)设非零向量 a、b、c 满足 a = b = c ,a+b=c ,则 a,b = (A)150° (B)120° (C)60° (D)30°

(9)已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的 中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为

(A)

3 4

(B)

5 4

(C)

7 4

(D)

3 4

(10) 如果函数 y = 3cos(2 x + φ ) 的图像关于点 ( (A)

π
6

(B)

π
4

(C)

π
3

(D)

π

4π , 0) 中心对称,那么 φ 的最小值为 3

2

(11)已知二面角 α ? l ? β 为 600 ,动点 P、Q 分别在面 α , β 内,P 到 β 的距离为 3 ,Q 到

α 的距离为 2 3 ,则 P、Q 两点之间距离的最小值为
(A) 2 (B)2 (C) 2 3 (D)4

x2 + y 2 = 1 的右焦点为 F,右准线 l ,点 A ∈ l ,线段 AF 交 C 于点 B。若 (12)已知椭圆 C : 2 uuu r uuu r uuur FA = 3FB ,则 AF =
(A)

2

(B) 2

(C)

3

(D) 3
-2-

2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学( 选修Ⅰ 文科数学(必修 + 选修Ⅰ)
第 Ⅱ卷
注意事项: 注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、 .答题前, 清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在 . 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, .

试题卷上作答无效. ........
3.第Ⅱ卷共 10 小题,共 90 分. . 小题, 小题, 把答案填在题中横线上. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 填空题:

(注意:在试题卷上作答无效) 注意: .........
(13) ( x ? y )10 的展开式中, x y 的系数与 x3 y 7 的系数之和等于_____________.
7 3

(14)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 。若 S9 = 72 ,则 a2 + a4 + a9 = _______________. (15)已知 OA 为球 O 的半径, OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M , 过 若圆 M 的面积为 3π ,则球 O 的表面积等于__________________. (16)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y + 1 = 0与l2 : x ? y + 3 = 0 所截得的线段的长为 2 2 ,则

m 的倾斜角可以是
① 15
o

② 30

o

③ 45

o

④ 60

o

⑤ 75

o

其中正确答案的序号是

。 (写出所有正确答案的序号)

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答题: 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 10 分)(注意 在试题卷上作答无效) 注意:在试题卷上作答无效 注意 ......... 设等差数列{ an }的前 n 项和为 sn ,公比是正数的等比数列{ b n }的前 n 项和为 Tn , 已知 a1 = 1, b1 = 3, a3 + b3 = 17, T3 ? S3 = 12, 求{a n },{bn } 的通项公式。 (18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) 注意:在试题卷上作答无效) 在 ?ABC 中 , 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c. 已 知 a ? c = 2b , 且
2 2

sin B = 4 cos A sin C ,求 b.

-3-

(19)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) 注意:在试题卷上作答无效) 如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD ⊥ 底面 ABCD , AD =

2,

DC = SD = 2 ,点 M 在侧棱 SC 上,∠ABM=60 。

o

( Ι ) 证明: M 是侧棱 SC 的中点; ( ΙΙ ) 求二面角 S ? AM ? B 的大小。

(20)(本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意: ......... 甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束。假设 在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立。已知前 2 局 中,甲、乙各胜 1 局。 (Ⅰ)求再赛 2 局结束这次比赛的概率; (Ⅱ)求甲获得这次比赛胜利的概率。 (21) (本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意: ......... 已知函数 f ( x) = x 4 ? 3 x 2 + 6 . (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设点 P 在曲线 y = f ( x) 上,若该曲线在点 P 处的切线 l 通过坐标原点,求 l 的方 程 (22)(本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意: ......... 如图,已知抛物线 E : y 2 = x 点。 (Ⅰ)求 r 的取值范围 (Ⅱ)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标。 与圆 M : ( x ? 4) 2 + y 2 = r 2 ( r > 0) 相交于 A、B、C、D 四个

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

-4-

2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题(必修+选修Ⅰ)参考答案
一、选择题 1 A 2 A 3 D 4 B 5 C 6 C 7 D 8 B 9 D 10 A 11 C 12 A

ww.w.k.s.5.u.c.o.m 二、填空题 (13) ?240 (14) 24 三、解答题 (17)解:

(15) 16π

(16)①⑤

设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q 由 a3 + b3 = 17 得 1 + 2d + 3q 2 = 17 由 T3 ? S3 = 12 得 q 2 + q ? d = 4 由①②及 q > 0 解得 故所求的通项公式为 (18)解: 由余弦定理得 ① ②

q = 2, d = 2

an = 2n ? 1, bn = 3 × 2n ?1 。

a 2 ? c 2 = b 2 ? 2bc cos A
又 所以

a 2 ? c 2 = 2b, b ≠ 0


b = 2c cos A + 2 b sin B 由正弦定理得 = c sin C sin B 又由已知得 = 4 cos A sin C 所以 b = 4c cos A
故由①②解得



b=4
19.解法一: (1)作 ME // CD 交于点 E,则 ME // AB, ME ⊥ 平面SAD 连接 AE ,则四边形 ABME 为直角梯形 作 MF ⊥ AB, 垂足为 F,则 AFME 为矩形

-5-

设ME = x, 则SE = x, AE = ED 2 + AD 2 = MF = AE =

(2 ? x)

2

+2

(2 ? x)

2

+ 2, FB = 2 ? x

由 MF = FB ? tan 60°,得 解得: x = 1 即 ME = 1, 从而ME =

(2 - x)

2

+ 2 = 3 (2 ? x)

1 DC 2

所以 M 为侧棱 SC 的中点 (II) MB =

BC 2 + MC 2 = 2, 又∠ABM = 60°,AB = 2, 所以?ABM 为等边三角形

又由(I)知 M 为 SC 中点

SM = 2, SA = 6, AM = 2, 故SA2 = SM 2 + AM 2 , ∠SMA = 90°
取 AM 中点 G,连接 BG,取 SA 中点 H,连接 GH,则 BG ⊥ AM , GH ⊥ AM 由此知为 ∠BGH 二面角 S-AM-B 的平面角 连接 BH,在 ?BGH 中,

BG =

3 1 2 22 AM = 3, GH = SM = , BH = AB 2 + AH 2 = 2 2 2 2 BG 2 + GH 2 ? BH 2 6 =? 2 ? BG ? GH 3

所以 cos ∠BGH =

二面角 S-AM-B 的大小为 arccos ? ?

? ? ?

6? ? ? 3 ?

解法二: 以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系 D-xyz 设A

(

2, 0, 0 , 则B
uuuu r

)

(

2, 2, 0 , S ( 0, 0, 2 )

)

(I)设 SM = λ MC (λ > 0) ,则

uuur

2 ? uuur ? 2 ?2 ? ? 2λ M ? 0, , , ? , MB = ? 2, ? 1+ λ 1+ λ ? ? 1+ λ 1+ λ ? ? uuu r uuur uuu r 又 AB = (0, 2, 0), MB, AB = 60°
故 MB, AB = MB ? AB cos 60°

uuur uuu r

uuur uuu r



4 = 1+ λ

( )
2

2

? 2 ? ? ?2 ? +? ? +? ? ? 1+ λ ? ? 1+ λ ?
2

2

-6-

解得 λ = 1,即SM = MC

uuur

uuuu r

所以 M 为侧棱 SC 的中点。 (II)由M ( 0,1,1) , A

(

? 2 1 1? 2, 0, 0 , 得AM 的中点G ? ? 2 ,, ? ? 2 2? ?

)

uuu ? 3 3 1 ? uuur r uuuu r 又GB = ? , , ? ? , MS = ( 0, ?1,1) , AM = ? 2,1,1 ? 2 2 2? ? ? uuu uuuu r r uuur uuuu r GB ? AM = 0, MS ? AM = 0

(

)

所以 GB ⊥ AM , MS ⊥ AM

uuu r

uuuu uuur r

uuuu r

因此 < GB, MS > 等于三角形 S-AM-B 的平面角

uuu uuur r

uuu uuur r uuu uuur r GB ? MS 6 cos < GB, MS >= uuu uuur = ? r 3 GB ? MS
20.解: 记 Ai 表示事件:第 i 局甲获胜, i = 3, 4,5

B j 表示事件:第 j 局乙获胜, j=3,4
(I)记 A 表示事件:再赛 2 局结束比赛

A = A3 ? A4 + B3 ? B4
由于各局比赛结果相互独立,故

P ( A) = P ( A3 ? A4 + B3 ? B4 ) = P ( A3 ? A4 ) + P ( B3 ? B4 )
= P ( A3 ) P ( A4 ) + P ( B3 ) P ( B4 ) = 0.6 × 0.6 + 0.4 × 0.4 = 0.52
(II)记 B 表示事件:甲获得这次比赛的胜利 因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先 胜 2 局,从而

B = A3 ? A4 + B3 ? A4 ? A5 + A3 ? B4 ? A5
由于各局比赛结果相互独立,故

P ( B ) = P ( A3 ? A4 ) + P ( B3 ? A4 ? A5 ) + P ( A3 ? B4 ? A5 )
= P ( A3 ) P ( A4 ) + P ( B3 ) P ( A4 ) P ( A3 ) + P ( A3 ) P ( B4 ) P ( A5 ) = 0.6 × 0.6 + 0.4 × 0.6 × 0.6 + 0.6 × 0.4 × 0.6 = 0.648
-7-

(21)解: (1) f '( x ) = 4 x ? 6 x = 4 x ( x +
3

6 6 )( x ? ) 2 2

当 x ∈ (?∞, ?

6 6 ) 和 x ∈ (0, ) 时, f '( x) < 0 ; 2 2

当 x ∈ (?

6 6 , 0) 和 x ∈ ( , +∞) 时, f '( x) > 0 2 2 6 6 ) 和 (0, ) 是减函数, 2 2

因此, f ( x ) 在区间 ( ?∞, ?

f ( x) 在区间 (?

6 6 , 0) 和 ( , +∞) 是增函数。 2 2

(Ⅱ)设点 P 的坐标为 ( x0 , f ( x0 )) ,由 l 过原点知, l 的方程为

y = f '( x0 ) x
因此 即 整理得 解得

f ( x0 ) = x0 f '( x0 ) ,
4 2 3 x0 ? 3 x0 + 6 ? x0 (4 x0 ? 6 x0 ) = 0 2 2 ( x0 + 1)( x0 ? 2) = 0

x0 = ? 2



x0 = 2


因此切线 l 的方程为 22.解:

y = ?2 2 x

y = 2 2x 。

(I)将 y 2 = x 代入 ( x ? 4) 2 + y 2 = r 2 ,并化简得

x 2 ? 7 x + 16 ? r 2 = 0
E 与 M 有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根 x1 、 x2

?? = (?7)2 ? 4(16 ? r 2 ) > 0 ? 由此得 ? x1 + x2 = 7 > 0 ? 2 ? x1 x2 = 16 ? r > 0
解得 又

15 < r 2 < 16 4 r>0

-8-

所以 r 的取值范围是 (

15 , 4) 2

(Ⅱ)不妨设 E 与 M 的四个交点的坐标为:

A( x1 , x1 ) 、 B( x1 , ? x1 ) 、 C ( x2 , ? x2 ) 、 D( x2 , x2 )
则直线 AC 、 BD 的方程分别为

y ? x1 =

? x2 ? x1 ? ( x ? x1 ), y + x1 = x2 ? x1

x2 + x3 ? ( x ? x1 ) x2 ? x1

解得点 P 的坐标为 ( x1 x2 , 0) 设t =

x1 x2 , 由 t = 16 ? r 2 及(1)知 0 < t <

7 2

由于四边形 ABCD 为等腰梯形,因而其面积

1 S ? ? (2 x1 + 2 x2 )? | x2 ? x1 | 2


S 2 = ( x1 + x2 + 2 x1 x2 ) ? [( x1 + x2 )2 ? 4 x1 x2
2

将 x1 + x2 = 7 , x1 x2 = t 代入上式,并令 f (t ) = S ,得

7 f (t ) = (7 + 2t ) 2 ? (7 ? 2t ) = ?8t 3 ? 28t 2 + 98t + 343(0 < t < ) 2
求导数, f '(t ) = ?24t 2 ? 56t + 98 = ?2(2t + 7)(6t ? 7)

7 7 , t = ? (舍去) 6 2 7 7 7 7 当 0 < t < 时, f '(t ) > 0 ; t = 时, f '(t ) = 0 ; < t < 时, f '(t ) < 0 6 6 6 2 7 故且仅当 t = 时, f (t ) 有最大值,即四边形 ABCD 的面积最大,故所求的点 P P 的坐 6 7 标为 ( , 0) 6
令 f '(t ) = 0 ,解得 t =

-9-



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