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河北省唐山一中2013—2014学年高三数学12月份调研考试 理


唐山一中 2013—2014 学年高三年级 12 月份调研考试 数学试题(理科)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2.答题前请仔细阅读答题卡(纸)上的“注意事项” ,按照“注意事项”的规定答题。 3.选择题答案涂在答题卡上,非选择题答案写在答题卡上相应位置,在试卷和草稿纸上作答无效。 第

Ⅰ卷 选择题(共 60 分) 一.选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符 合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。 1.不等式 2ax ? 1 解集为 Q, p ? x x ? 0 ,若 Q ? CR P ? ? x 0 ? x ? A.

?

?

? ?

1? ? ,则 a 等于( 4?



1 4

B.

1 2

C.4

D. 2

2.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 8a 2 ? a5 ? 0 ,则 A. ? 8 B. 5 C. 8 D. 15

S4 ?( S2



3. 已知直线 l ⊥平面 ? ,直线 m? 平面 ? ,则“ ? ∥ ? ”是“l ⊥m”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件
x



B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
x

4.已知命题 p:? x∈(0, ? ? ) >2 ,命题 q:? x∈( ? ? ,0) x ? 2 ? x ,则下列命题为 ,3 , 真命题的是( A . p∧q ) B .(¬p)∧q
2

C.(¬p)∧(¬q)
2

D.p∧(¬q) )

5. 直线 x-2y-3=0 与圆 C: (x-2) +(y+3) =9 交于 E、F 两点,则△ECF 的面积为( A.

3 2

B. 2 5

C.

3 5 5

D.

3 4
4? ) 等于( 3
)

6.已知向量 a ? (sin(? ? A. ?

?
6

),1), b ? (4, 4cos ? ? 3) ,若 a ? b ,则 sin(? ?
C.

3 4

B. ?

1 4

3 4

D.

1 4

7. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,以 | F1 F2 | 为直径的圆与双 a 2 b2

1

曲线渐近线的一个交点为 (3, 4) ,则此双曲线的方程为(

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x2 y 2 A. ? ?1 9 16

x2 y 2 B. ? ?1 3 4

x2 y 2 C. ? ?1 16 9

x2 y 2 D. ? ?1 4 3

8. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,侧视图是有一直角边为 2 的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为

9.函数 y ? 3sin(2 x ?

?
3

) 的图像为 C ,如下结论中错误的是( 11 ? 对称 12



A.图像 C 关于直线 x ? B.图像 C 关于点 (

2? , 0) 对称 3 ? 7? C.函数 f ( x) 在区间 (? , ) 内是增函数 12 12 5? D.由 y ? 3 cos 2 x 得图像向右平移 个单位长度可以得到图像 C 12
10. 已知函数 f ( x) ( x ? R) 是偶函数,且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,当 x ? [0 , 2] 时, f ( x) ? 1 ? x ,则方程

f ( x) ?
A.8

1 在区间 [?10 ,10] 上的解的个数是 ( 1? | x | B.9 C.10

) D.11

11. △ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 OA ? 2OB ? OC A. ? 1 12.定义在(0, ( ) A. 3 f ( ) ? B.1 C. ? 2
/

? 0 ,则

的值为(



D. 2

)上的函数 f ( x), f ( x) 是它的导函数,且恒有

f ( x) ? f / ( x) tan x 成立,则

?

4

C.

2f( )? f( ) 6 4

?

2f( ) 3

?

B. f (1) ? 2 f ( ) sin1 D.

?

?

3f ( ) ? f ( ) 6 3

?

6

?

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡上相应位置。

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2

13.抛物线 y

2

? 2 px 过点 M ? 2, 2 ? ,则点 M 到抛物线焦点的距离为

.

?x ? 1 ??? ??? ? ? ? 14.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,点 A(2,1), B(x,y), O 为坐标原点,则 OA ? OB 最大值 ?x ? y ? 2 ?
时为 . 15.已知 A、B、C 是球 O 的球面上三点,∠BAC=90°,AB=2,BC=4,球 O 的表面积为 48? , 则异面直线 AB 与 OC 所成角余弦值为 .

16.已知函数 f ? x ? 对于一切实数 x,y 均有 f ? x ? y ? ? f ? y ? ? x ? x ? 2 y ? 1? 成立, 且 f ?1? ? 0, 则当x ? ? 0, 围是 ,

? ?

1? ?,不等式f ? x ? ? 2<1o g a x 恒成立时,实数 a 的取值范 2?

三.解答题:大本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 。 17. (本小题满分 10 分)已知等差数列 {a n } 中,公差 d ? 0 ,其前 n 项和为 S n ,且满足:

a 2 ? a3 ? 45 , a1 ? a4 ? 14 .
(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)令 bn

?

(n ? 25)bn ?1 2S n (n ? N *) ,求 f (n) 的最小值。 , f ( n) ? bn 2n ? 1
2b ? c cosC ? a cos A

18. (本小题满分 12 分)已知 a,b,c 分别是 ?ABC 的三个内角 A,B,C 的对边, (1)求 A 的大小; (2)当 a

? 3 时,求 b 2

? c 2 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分)在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,△ABC 是正三角形,AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,又 PA=AB=4,∠CDA=120°。 (1)求证:BD⊥PC; (2)设 E 为 PC 的中点,点 F 在线段 AB 上,若直线 EF∥平面 PAD,求 AF 的长; (3)求二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值.

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20. (本小题满分 12 分)某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为 x 亿元,其中用 于风景区改造为 y 亿元。该市决定制定生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件: ①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加; ②每年改造生态环境总费用至少 a 亿元,至多 b 亿元;③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的 15%,但不得 高于每年改造生态环境总费用的 25%. 若 a ? 1, b ? 4 ,请你分析能否采用函数模型 y=

1 ( x3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境改造投资方案。 100

21. (本小题满分 12 分)如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴为 AB,过点 B 的直线 l 与 x a2 b2

轴垂直,椭圆的离心率 e ?

3 ,F 为椭圆的左焦点,且 AF ? BF ? 1 2

(1) 求此椭圆的标准方程; (2) 设 P 此椭圆上异于 A,B 的任意一点, PH ? x 轴,H 为垂足,延长 HP 到点 Q,使得 HP=PQ,连接 AQ 并 延长交直线 l 于点 M , N 为 MB 的中点,判定直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 位置关系。

22. (本小题满分 12 分)已知

f ( x) ? x ? e (a ? 0) .

x a

(1)曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线恰与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,求 a 的值; (2)若 x∈[a,2a]求 f(x)的最大值; (3)若 f(x1)=f(x2)=0(x1<x2) ,求证: .

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4

河北武邑中学 2013—2014 学年高三年级第三次调研考试 数学试题(理科)答案 一、D B A D B B A C C B D D

5 二、13. 2

11 14. 2

3 15. 6

?3 4 ? ,1 ? 16. ? ? ? 4 ?

17 解: (Ⅰ)∵ 数列 ?a n ?是等差数列, ∴

a2 ? a3 ? a1 ? a4 ? 14 .又 a2 a3 ? 45 ,



?a 2 ? 5 ?a 2 ? 9 ,或 ? . ? ?a 3 ? 9 ?a 3 ? 5

∵ 公差 d ? 0 ,∴ ∴ ∴ (2)∵ ∴

a 2 ? 5 , a3 ? 9 .

d ? a3 ? a 2 ? 4 , a1 ? a2 ? d ? 1 . a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 4n ? 3 .

S n ? na1 ?

1 n(n ? 1)d ? n ? 2n(n ? 1) ? 2n 2 ? n , 2

bn ? 2n

f ( n) ?

2(n ? 25)( n ? 1) 25 25 ? n? ? 26 ? 2 n ? 26 ? 36 2n n n

当且仅当 n ?

25 ,即 n ? 5 时, f (n) 取得最小值 36. n

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18 解: (I)△ABC 中,∵

,由正弦定理,得:



即 2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA,故 2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,?(4 分)

cos A ?

1 ? ,A? 2 3 a b c ? ? ?2 sin A sin B sin C

(2)由正弦定理得

b ? 2 sin B, c ? 2 sin C ,
b 2 ? c 2 ? 4 sin 2 B ? 4 sin 2 C ? 2(1 ? cos 2 B ? 1 ? cos 2C ) ? 2[2 ? cos 2 B ? cos 2(120 0 ? B)] ? 2[2 ? cos 2 B ? cos(240 0 ? 2 B)]

1 3 ? 2(2 ? cos 2 B ? sin B) 2 2
? 4 ? 2 sin(2 B ? 30 0 )

0 0 ? B ? 120 0 ? 30 0 ? 2B ? 30 0 ? 210 0

?

1 ? sin(2 B ? 30 0 ) ? 1 2

3 ? b2 ? c2 ? 6
19 证明: (1)∵△ABC 是正三角形,M 是 AC 中点, ∴BM⊥AC,即 BD⊥AC. 又∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BD. 又 PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC. ∴BD⊥PC. 解:(2)取 DC 中点 G,连接 FG,则 EG∥平面 PAD, 又直线 EF∥平面 PAD, 所以平面 EFG∥平面 PAD, FG∥平面 AD ∵M 为 AC 中点, DM⊥AC, ∴AD=CD. ∵∠ADC=120°, AB=4, ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°,AD=CD=

4 3 , 3

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∠DGF=60°,DG

2 3 , 得 AF=1 3

解:(3)分别以 AB,AD,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图的空间直角坐标系, ∴B(4,0,0) ,C , 为平面 PAC 的法向量. , 设平面 PBC 的一个法向量为 , . ,P(0,0,4) .



,即



令 z=3,得 x=3,

,则平面 PBC 的一个法向量为



设二面角 A﹣PC﹣B 的大小为 θ ,则



所以二面角 A﹣PC﹣B 余弦值为



20 解:∵ y ' ?

1 (3x 2 ? 4) ? 0 , 100 1 ∴函数 y= ( x3 ? 4 x ? 16) 是增函数,满足条件①。 100 y 1 16 设 g ( x) ? ? ( x2 ? 4 ? ) , x 100 x
则 g '( x) ?

1 16 ( x ? 2)( x 2 ? 2 x ? 4) (2 x ? 2 ) ? , 100 x 50 x 2

令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 2 。 当 x ? 2 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 (??, 2) 上是减函数; 当 x ? 2 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 (2, ??) 上是增函数,

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又 a ? 1 , b ? 4 ,即 x ? [1,2] , g ( x) 在 [1,2] 上是减函数,在 [1,4] 上是增函数, ∴当 x ? 2 时, g ( x) 有最小值=16%>15%, 当 x ? 4 时, g ( x) =24%<25%,

x ? 1时, g ( x) =25% ? 25%.
∴能采用函数模型 y=

1 ( x3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境改造投资方案。 100

21 解: (1)可知, A(?a,0) , A(?a,0) , F (?c,0) ,

AF ? BF ? (a ? c)( a ? c) ? b 2 ? 1 ,

e2 ?
2

c2 a2 ? b2 a2 ?1 3 ? ? ? , 4 a2 a2 a2

得a ? 4

x2 ? y2 ? 1 椭圆方程为 4
(2)设 P( x0 , y 0 ), 则 Q( x0 ,2 y 0 )( x0 ? 2, x0 ? ?2) 由 A(?2,0) 得 k AQ ?

2 y0 , x0 ? 2 2 y0 ( x ? 2) , x0 ? 2

所以直线 AQ 的方程为 y ?

由 B(2,0) 得直线 l 的方程为 x ? 2

? M (2,

8 y0 4 y0 ), N (2, ) x0 ? 2 x0 ? 2

由 k NQ

4 y0 ? 2 y0 x0 ? 2 2x y ? ? 20 0 , 2 ? x0 x0 ? 4
2 2

又因为 x0 ? 4 y 0 ? 4 所以 x0 ? 4 ? ?4 y 0
2 2

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k NQ ? ?

x0 2 y0 x0 (x ?x0 ) 2 y0
2

所以直线 NQ 的方程为 y ? 2 y 0 ? ?
2

化简整理得到 x0 x ? 2 y 0 y ? x0 ? 4 y 0 ? 4 , 所以点 O 直线 NQ 的距离 d ?

4
2 x ? 4 y0 2 0

? 2 =圆 O 的半径,

直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 相切。 22(1)解:由 得: 所以 1 ? ,则 , ,

1 1 ? ?2, 得 a ? 。 a 3


(2)解:令 f (x)=0,得
′ ′

,即 x=alna.

由 f (x)>0,得 x<alna,由 f (x)<0,得:x>alna. ∴f(x)在(﹣∞,alna]上为增函数,在[alna,+∞)上为减函数. ∴当 a>alna,即 a<e 时,f(x)max=f(a)=a﹣e. 2 当 a≤alna≤2a,即 e≤a≤e 时,f(x)max=f(alna)=alna﹣a. 当 2a<alna,即 a>e 时,
2



(3)证明:由(2)知 f(x)max=f(alna)=alna﹣a. ∵f(x1)=f(x2)=0,∴f(x)max=f(alna)=alna﹣a>0. ∴lna>1,得:a>e,∴f(a)=a﹣e>0,且 f(alna)>0. 得 x2﹣x1>alna﹣a,又 , ,





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