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惠州市2011-2012学年第一学期高二期末考试文科试题答案


惠州市 2011-2012 学年第一学期高二期末考试 文科数学试题解答
一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D C C C D A A C B 1. 【解析】f(x)在 x=-3 时取极值,故 x=-3 是 f′(x)=3x2+2ax+3=0

的解,代入得 a=5. 2 2. 【解析】基本事件总数为 3 种,甲被选中的种数为 2 种,故 P= 3 3. 【解析】设椭圆的另一焦点为 F,则由椭圆的定义知|BA|+|BF|=2 3, 且|CF|+|AC|=2 3,所以△ABC 的周长=|BA|+|BF|+|CF|+|AC|=4 3. 4. 【解析】因为 p 且 q 为假,p、q 至少有一个为假,故选 C. 5. 【解析】由椭圆的方程知,a2=13,b2=9,焦点在 x 轴上, ∴c= a2-b2= 13-9=2,∴抛物线的焦点为(-2,0),∴抛物线的标准方程是 y2=-8x. m m 6. 【解析】函数 f(x)=x2+mx+1 的对称轴为 x=- ,于是- =1,m=-2. 2 2 7. 【解析】在区间[-1,1]上随机取一个数 x,即 x ? [ ? 1,1] 时,要使 cos 需使 ?

?x
2

的值介于 0 到
2 3

1 2

之间,

?
2

?

?x
2

??

?
3



?
3

?

?x
2

?

?
2
1

∴ ?1 ? x ? ?

2 3


2

2 3

? x ? 1 ,区间长度为



由几何概型知 cos

?x
2

的值介于 0 到

8. 【解析】由题意得 c=

3 ? 1 .故选 A. 2 3 2 p2 p c 2 2 3 3+ = ,p=4,所以 e= = = .故选 C. 16 2 a 3 3

之间的概率为

9. 【解析】这类问题,通常由开始一步一步运行,根据判断条件,要么几步后就会输出结果, 要么就会出现规律,如周期性,等差或等比数列型. 程序运行如下: x ? 1, x ? 2, x ? 4, x ? 5, x ? 6, x ? 8, x ? 9, x ? 10, x ? 12, 输出 12. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分,把答案填写在答题卷中指定的横线上。 10. 1 e 11.m=3. 12. 2 9

第 1 页 共 7 页

10. 【解析】k 的最大值即过原点与曲线 y=ln x 相切的直线的斜率.设切点 P(x0,y0), 1 1 1 y0 1 ln x0 ∴y0=ln x0.∵y′= ,∴在 x0 处的切线斜率为 .∴ = ,即 = . x x0 x0 x0 x0 x0 1 1 1 ∴x0=e.∴ = .∴k 的最大值为 . x0 e e 11. 【解析】由题意可知,直线 y=0.7x+0.35 过点( x , y ),又 x =4.5, 代入方程得 y =3.5,故 m=3. 12. 【解析】以 2 颗骰子的点数作为 P 点的坐标有 36 个,其中落在圆 x2+y2=16 内的点有 8 2 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共 8 个.于是所求概率为 P= = . 36 9 三、解答题:本大题共 3 小题,共 40 分,解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。 13. (本小题满分 12 分)
2 2 解: f ?( x ) ? ? 3 x ? 3 a ? ? 3 ( x ? a )

……2分

2 若 a ≤0,则 f ?( x ) ? ? 3 ( x ? a ) ? 0 ,此时函数 f ( x ) 单调递减,

所以当 x =0时, f ( x ) 取得最大值, f ( x ) max = f ( 0 ) =0
2 若 a >0,令 f ?( x ) ? ? 3 ( x ? a ) ? 0 ,解得 x ? ? a ,

……5分

? x ? ?0,1? ,则只考虑 x ?
x
f ?( x ) f ( x)

a 的情况,如表所示:

0

…… + 递增

a

…… - 递减 ……7分

0
2a a

(1)若 0 ?

a ? 1 即 0< a <1 时,根据函数的增减性得,当 x ?

a 时, f ( x ) 有最大值,

f ( x ) max = f ( a ) = 2a a ;

……9 分

(2)若

a ≥ 1 , 即 a ≥ 1 时 , 根 据 函 数 的 增 减 性 得 当 x =1 时 , f ( x ) 有 最 大 值 。

f ( x ) max = f (1) =3 a -1……………………11 分

第 2 页 共 7 页

综合以上可知:当 a ≤0 时, x =0, f ( x ) 有最大值 0; 当 0< a <1 时, x = a , f ( x ) 有最大值 2a a ; 当 a ≥1 时, x =1, f ( x ) 有最大值 3 a -1。 14. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设直方图从左到右前 3 个小矩形的面积分别为 P,2P,3P.由直方图可知, 最后两个小矩形的面积之和为(0.0875+0.0375)× 2=0.25. …………2 分 因为直方图中各小矩形的面积之和为 1,所以 P+2P+3P=0.75,即 P=0.125. 所以 3P+0.0875× 2=0.55. …………4 分 由此估计,该乡镇居民月均用电量在 39.5~43.5 内的居民所占百分比约是 55%. ……7 分 (Ⅱ)显然直方图的面积平分线位于正中间一个矩形内,且该矩形在面积平分线左侧部分的 面积为 0.5-P-2P=0.5-0.375=0.125,…………9 分 设样本数据的中位数为 39.5+x. 为正中间一个矩形的面积为 3P=0.375,
2 3

……12 分

所以 x︰2=0.125︰0.375,即 x=

≈0.67. …………11 分

从而39.5+x≈40.17,

…………13分

由此估计,该乡镇居民月均用电量的中位数约是 40.17(kw/h). …………14 分

15. (本小题满分 14 分) 解: (1)设焦距为 2c ,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3 c ? 2 3 ,故 c ? 2 , 所以椭圆 C 的焦距为 4; ………………………… 4 分

第 3 页 共 7 页

(2)设 A ( x1 , y 2 ), B ( x 2 , y 2 ) ,由题意知 y1 ? 0, y 2 ? 0 直线 l 的方程为 y ?
3 ( x ? 2)

? y ? 3 ( x ? 2) ? 2 2 2 2 4 联立 ? x 2 y 2 得 (3 a ? b ) y ? 4 3b y ? 3b ? 0 , ? 2 ? 2 ?1 b ?a

解得 y1 ?

? 3b (2 ? 2 a )
2

3a ? b
2

2

, y2 ?

? 3b (2 ? 2 a )
2

3a ? b
2

2

, …………………………… 8 分

2 2 ???? ? ???? ? 3b (2 ? 2 a ) ? 3b (2 ? 2 a ) ? 2? 因为 AF2 ? 2 F2 B ,所以 ? y1 ? 2 y 2 即 …… 12 分 2 2 2 2 3a ? b 3a ? b

得 a ? 3 ,又 c ? 2 ,故 b ?

5

故椭圆 C 的方程为

x

2

9

?

y

2

5

? 1.

…… 14 分

第 4 页 共 7 页

第二部分 期末考试(共 50 分)
四、期末考试部分包括一道选择题(满分 5 分) ,一道填空题(满分 5 分)和三道解答题(满 分 40 分) ,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.C 17. 2 3

16. 【解析】对于 A:当 x=-1 时,x2-2x-3=0,故 A 为真命题; 对于 B:当 x=6 时,符合题目要求,为真命 题; 对于 C 假命题;对于 D:x= 3时,x2=3,故 D 为真命题.综上可知:应选 C. 17. 【解析】假设在扇形中∠AOC=∠BOC′=15° ,则∠COC′=60° . 60° 2 当射线落在∠COC′内时符合题意,故所求概率为 P= = . 90° 3 18. (本题满分 12 分) 解:(1)由茎叶图可知,甲班身高集中于 160~179 之 间,而乙班身高集中于 170~180 之间, 因此乙班平均身高高于甲班. - 158+162+163+168+168+170+171+179+179+182 (2) x = =170,………… 4 分 10 甲班的样本方差为 1 × [(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+(168-170)2+(168-170)2+ 10

(170-170)2+(171-170)2+(17 9-170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57.2. …8 分 (3)设“身高为 176 cm 的同学被抽中”的事件为 A, 从乙班 10 名同学中抽取两名身高不低于 173 cm 的同学有:{181,173},{181,176}, {181,178},{181,179},{179,173},{179,176},{179,178},{178,173},{178,176},{176,173} 4 2 共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件,∴P(A)= = .………… 12 分 10 5 19. (本小题满分 14 分)
? 3? 解:(1) B ? ? 1, 0 ? , E(2, 3 ),D ? 0, ?, ? 3 ? ? ?

……………… 4 分

椭圆方程为

3 4

x ? 3y ? 1
2 2

……………… 7 分

第 5 页 共 7 页

(2) PQ ? PD ? ( PA ? 2) ? PD ? ( PA ? PD ) ? 2 ………………10 分
4 3 3 4 3 3

PA ? PD ?

? PB ? PD ?

? DB =2

………………13 分

故 P 在 DB 延长线与椭圆交点处,Q 在 PA 延长线与圆的交点处,得到最大值为 2 ? 2 3 . …………… 14 分 20.(本小题满分 14 分) 解: (1)由 f ( ? x ) ? ( ? x ) ? b sin( ? x ) ? 2 ? f ( x ) ,得 b ? 0 . ………………2 分
2

(2) g ( x ) ? f ( x ) ? 2 ( x ? 1) ? a ln x ? x ? 2 x ? a ln x
2

所以 g ?( x ) ? 2 x ? 2 ? 依题意, 2 x ? 2 ? 或2x ? 2 ?
2

a x

( x ? 0 ) ………………4 分

a x

?0

a x

? 0 在(0,1)上恒成立………………6 分
2

即 2 x ? 2 x ? a ? 0 或 2 x ? 2 x ? a ? 0 在(0,1)上恒成立 由 a ? ?2 x ? 2 x ? ?2( x ?
2

1 2 1

) ?
2

1 2 1

在(0,1)上恒成立,可知 a ? 0 .

在(0,1)上恒成立, 2 2 可知 a ? ? 4 ,所以 a ? 0 或 a ? ? 4 . ………………8 分 1 2 1 2 2 2 (3) h ( x ) ? ln( 1 ? x ) ? x ? 1 ? k ,令 y ? ln( 1 ? x ) ? x ? 1 . 2 2 2x ( x ? 1) x ( x ? 1) ?x?? 所以 y ? ? ………………10 分 2 2 1? x x ?1 令 y ? ? 0 ,则 x1 ? ? 1, x 2 ? 0 , x 3 ? 1 ,列表如下:

由 a ? ?2 x ? 2 x ? ?2( x ?
2

) ?
2

x
y?

(-∞, -1)

-1

(-1,0)

0

(0,1)

1

(1, +∞)

+
单调递增

0
极大值 1 ln 2 ? 2


单调递减

0
极小值 1

+
单调递增

0
极大值 1 ln 2 ? 2


单调递减

h(x)

第 6 页 共 7 页

所以当 k ? ln 2 ?

1 2

时,函数无零点;
1

当 k ? 1 或 k ? ln 2 ?

时,函数有两个零点; 2 当 k ? 1 时,函数有三个零点。 1 当 1 ? k ? ln 2 ? 时,函数有四个零点。………………14 分 2

第 7 页 共 7 页


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