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3.1 导数概念


微积分(Calculus ) 第三章 导数与微分 §3.1 导数概念 他以几乎神一般的思维力,最先说明了行星的运动 和图像,彗星的轨道和大海的潮汐. ——牛顿墓志铭 (微积分)是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的, 但不是由他们发明的. ——恩格斯 引发导数概念的问题主要有: 1) 已知直线运动的路程函数 s(t),求物体运动的速度 v; 2) 求曲线的切线; 3) 求函数的最大、最小值. 第三章 导数与微分 3.1 3.2 3.3 导数概念 求导法则 基本求导公式 3.4 3.5 3.6 高阶导数 函数的微分 导数和微分在经济学中的简单应用 §3.1 导数概念 一. 两个经典问题 二. 导数定义 三. 用定义求函数导数举例 四. 导数的几何意义 五. 函数的可导性与连续性的关系 教学要求: 1. 理解导数的概念; 2. 理解导数的几何意义; 3. 理解函数的可导性与连续性之间的关系; 4. 掌握用导数定义求导数. 难点:函数的可导性与连续性之间的关系 一.两个经典问题 1.切线问题 y y ? f ( x) N T 设曲线方程 y ? f ( x ), 求 M ( x0 , y0 )处切线的斜率 . 割线的极限位置——切线 o C M ? ? x0 x0 ? ?x x ?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? . 割线 MN 的斜率为 tan ? ? ?x ?x 当N ? M时, MN ? MT , ?x ? 0, ?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) k ? lim tan ? ? lim ? lim . ?x ? 0 ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x 2.速度问题 设质点作变速直线运动 , 它的规律为s ? s( t ), 求在t0时刻的速度 . 在时间[t0 , t0 ? ?t ]内的平均速度为 : ? s s ( t0 ? ? t ) ? s ( t0 ) v? ? . ?t ?t 当 ?t ? 0时, 平均速度即为t0 时刻的速度 . ?s s ( t 0 ? ?t ) ? s ( t 0 ) v ( t0 ) ? lim ? lim . ?t ? 0 ?t ?t ? 0 ?t 二.导数定义 1. f ( x )在x ? x0处的导数 (变化率) 定义: 设y ? f ( x )在点x0的某个邻域内有定义 ,若 ?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) lim ? lim ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x 存在, 则称y ? f ( x )在x0处可导或导数存在或具 有导数. 且称此极限值为y ? f ( x )在x0处的导数.记为 y ? | x ? x0 dy df 或f ?( x0 )或 或 . dx x ? x0 dx x ? x0 若这样的极限不存在 , 则称 y ? f ( x )在x0处不导数. 若为无穷大 , 则记为 f ?( x0 ) ? ?.此时导数不存在! 1. f ( x )在x ? x0处的导数 (变化率) 由此可见: 速度是路程函数的导数, 即 v( t ) ? s?( t ). 小 知 识 牛顿 (I. Newton, 1642—1727), 伟大的英国数学家、物理学家、 天文学家和自然哲学家. 他给出了求一个变量对另一个变量 的变化率的普遍方法, 而且证明了求面积的问题可以作为求 变化率的反问题而得到解决, 这就是现在所称的微积分基本 定理. 虽然他的先驱

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