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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 3.1 变化率与导数、导数的运算


§ 3.1 导数的概念及运算

1.函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 f?x2?-f?x1? 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 ,若 Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变 x2-x1 Δy 化率可表示为 . Δx 2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 lim →
Δx 0

f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim 为函数 y=f(x)在 x=x0 处 Δx Δx→0 Δx
Δx 0

的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x0,即 f′(x0)= lim → (2)几何意义

f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim . → Δx Δx 0 Δx

函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点(x0, f(x0))处的切线的斜率. 相 应地,切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 3.函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)= lim →
Δx 0

f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数,导函数有时也记作 y′. Δx

4.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c (c 为常数) f(x)=xα (α∈Q*) f(x)=sin x 导函数 f′(x)=__0__ f′(x)=αxα
-1

f′(x)=cos_x

-1-

f(x)=cos x f(x)=ax (a>0) f(x)=ex f(x)=logax (a>0,且 a≠1) f(x)=ln x 5.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (g(x)≠0). ?g?x??′= [g?x?]2

f′(x)=-sin_x f′(x)=axln_a f′(x)=ex 1 f′(x)= xln a f′(x)= 1 x

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( × ) (2)求 f′(x0)时,可先求 f(x0)再求 f′(x0).( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5)若 f(x)=a3+2ax-x2,则 f′(x)=3a2+2x.( × ) (6)函数 y= x3的导数是 y′= 3x2.( × )

1 1.设函数 f(x)= ax3+bx(a≠0),若 f(3)=3f′(x0),则 x0 等于( 3 A.± 1 C.± 3 答案 C 解析 由已知得 f′(x)=ax2+b. B. 2 D.2

)

2 又 f(3)=3f′(x0),则有 9a+3b=3ax2 0+3b,所以 x0=3,则 x0=± 3,故选 C.

2. 如图所示为函数 y=f(x), y=g(x)的导函数的图象, 那么 y=f(x), y=g(x)的图象可能是(

)

-2-

答案 D 解析 由 y=f′(x)的图象知 y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减, 说明函数 y=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故可排除 A,C. 又由图象知 y=f′(x)与 y=g′(x)的图象在 x=x0 处相交, 说明 y=f(x)与 y=g(x)的图象在 x=x0 处的切线的斜率相同,故可排除 B.故选 D. 3.(2014· 广东)曲线 y=-5ex+3 在点(0,-2)处的切线方程为________________. 答案 5x+y+2=0 解析 因为 y′|x=0=-5e0=-5, 所以曲线在点(0,-2)处的切线方程为 y-(-2)=-5(x-0), 即 5x+y+2=0. π π 4.设函数 f(x)的导数为 f′(x),且 f(x)=f′( )sin x+cos x,则 f′( )=________. 2 4 答案 - 2 π 解析 因为 f(x)=f′( )sin x+cos x, 2 π 所以 f′(x)=f′( )cos x-sin x, 2 π π π π 所以 f′( )=f′( )cos -sin , 2 2 2 2 π 即 f′( )=-1,所以 f(x)=-sin x+cos x. 2 f′(x)=-cos x-sin x. π π π 故 f′( )=-cos -sin =- 2. 4 4 4

题型一 利用定义求函数的导数 例 1 用定义法求函数 f(x)=x2-2x-1 在 x=1 处的导数.

-3-

解 方法一 Δy=f(x+Δx)-f(x) =(x+Δx)2-2(x+Δx)-1-(x2-2x-1) =x2+2x·Δx+Δx2-2x-2Δx-1-x2+2x+1 =(2x-2)Δx+Δx2, 所以 lim →
Δx 0

?2x-2?Δx+Δx2 Δy = lim = lim [(2x-2)+Δx]=2x-2. Δx Δx→0 Δx Δx→0

所以函数 f(x)=x2-2x-1 在 x=1 处的导数为 f′(x)|x=1=2×1-2=0. 方法二 Δy=f(1+Δx)-f(1) =(1+Δx)2-2(1+Δx)-1-(12-2×1-1) =1+2Δx+Δx2-2-2Δx-1+2 =Δx2, 所以 lim →
Δx 0

Δy Δx2 = lim = lim Δx=0. Δx Δx→0 Δx Δx→0

故 f′(x)|x=1=0. 思维升华 (1)求函数 f(x)的导数步骤: ①求函数值的增量 Δy=f(x2)-f(x1); Δy f?x2?-f?x1? ②计算平均变化率 = ; Δx x2-x1 ③计算导数 f′(x)= lim →
Δx 0

Δy . Δx

(2)利用定义法求解 f′(a),可以先求出函数的导数 f′(x),然后令 x=a 即可求解,也可直接利 用定义求解. 1 Δy (1)函数 y=x+ 在[x,x+Δx]上的平均变化率 =________;该函数在 x=1 处的 x Δx 导数是____________________________________. (2)已知 f(x)= 1 ,则 f′(1)=________. x 1 (2)- 2

1 答案 (1)1- 0 x?x+Δx?

1 1 解析 (1)∵Δy=(x+Δx)+ -x- x x+Δx -Δx 1 1 =Δx+ - =Δx+ . x+Δx x x?x+Δx? ∴ Δy 1 Δy =1- .y′|x=1= lim =0. Δx Δx→0 Δx x?x+Δx? 1- 1+Δx ?1- 1+Δx??1+ 1+Δx? 1 -1= = 1+Δx 1+Δx 1+Δx?1+ 1+Δx?
-4-

(2)∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=

= ∴

, 1+Δx?1+ 1+Δx? Δy 1 =- , Δx 1+Δx?1+ 1+Δx?
Δx 0

-Δx

∴ lim →

Δy = lim Δx Δx→0

1 =- . 2 1+Δx?1+ 1+Δx?

-1

1 ∴f′(1)=- . 2 题型二 导数的运算 例 2 求下列函数的导数: (1)y=ex· ln x; 1 1 x2+ + 3?. (2)y=x? x x? ? 1 解 (1)y′=(ex· ln x)′=exln x+ex· x 1 =ex(ln x+ ). x 1 2 (2)∵y=x3+1+ 2,∴y′=3x2- 3. x x 思维升华 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形

将函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量,提高运算速 度,减少差错. (1)f(x)=x(2 015+ln x),若 f′(x0)=2 016,则 x0 等于( A.e
2

)

B.1 D.e )

C.ln 2

(2)若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于( A.-1 C.2 答案 (1)B (2)B B.-2 D.0

1 解析 (1)f′(x)=2 015+ln x+x× =2 016+ln x,故由 f′(x0)=2 016 得 2 016+ln x0=2 016, x 则 ln x0=0,解得 x0=1. (2)f′(x)=4ax3+2bx, ∵f′(x)为奇函数且 f′(1)=2, ∴f′(-1)=-2. 题型三 导数的几何意义 例 3 已知函数 f(x)=x3-4x2+5x-4.

-5-

(1)求曲线 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程. 思维点拨 注意“过某一点的切线”和“在某一点的切线”的不同. 解 (1)∵f′(x)=3x2-8x+5,∴f′(2)=1, 又 f(2)=-2, ∴曲线 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(-2)=x-2, 即 x-y-4=0.
2 (2)设切点坐标为(x0,x3 0-4x0+5x0-4),

∵f′(x0)=3x2 0-8x0+5, ∴切线方程为 y-(-2)=(3x2 0-8x0+5)(x-2),
2 又切线过点(x0,x3 0-4x0+5x0-4), 3 2 ∴x0 -4x2 0+5x0-2=(3x0-8x0+5)(x0-2),

整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得 x0=2 或 x0=1, ∴经过 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程为 x-y-4=0 或 y+2=0. 思维升华 导数几何意义的应用,需注意以下两点: (1)当曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线垂直于 x 轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方 程是 x=x0; (2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线 方程是 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在 切线上求解. b (1)(2014· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中, 若曲线 y=ax2+ (a, b 为常数)过点 P(2, x -5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是______. (2)已知函数 f(x)=x3-3x,若过点 A(0,16)且与曲线 y=f(x)相切的直线方程为 y=ax+16,则实 数 a 的值是________. 答案 (1)-3 (2)9 b b 解析 (1)y=ax2+ 的导数为 y′=2ax- 2, x x 7 直线 7x+2y+3=0 的斜率为- . 2

?4a+2=-5, 由题意得? b 7 ?4a-4=-2,

b

? ?a=-1, 解得? 则 a+b=-3. ?b=-2, ?

(2)先设切点为 M(x0,y0),则切点在曲线上有 y0=x3 0-3x0,①

-6-

2 求导数得到切线的斜率 k=f′(x0)=3x0 -3,

y0-16 又切线 l 过 A、M 两点,所以 k= , x0 y0-16 则 3x2 ,② 0-3= x0 联立①②可解得 x0=-2,y0=-2, -2-16 从而实数 a 的值为 a=k= =9. -2

混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误 15 典例:若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+ x-9 都相切,则 a 等于( 4 25 A.-1 或- 64 7 25 C.- 或- 4 64 21 B.-1 或 4 7 D.- 或 7 4 )

易错分析 没有对点(1,0)的位置进行分析,误认为是切点而失误. 解析 因为 y=x3,所以 y′=3x2, 设过(1,0)的直线与 y=x3 相切于点(x0,x3 0), 则在该点处的切线斜率为 k=3x2 0,
2 所以切线方程为 y-x3 0=3x0(x-x0), 3 即 y=3x2 0x-2x0.

3 又(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0= . 2 15 当 x0=0 时,由 y=0 与 y=ax2+ x-9 相切可得 4 25 a=- , 64 3 27 27 15 当 x0= 时,由 y= x- 与 y=ax2+ x-9 相切, 2 4 4 4 可得 a=-1. 答案 A 温馨提醒 1.对于曲线切线方程问题的求解,对曲线的求导是一个关键点,因此求导公式,求 导法则及导数的计算原则要熟练掌握.2.对于已知的点,应首先确定其是否为曲线的切点,进 而选择相应的方法求解.

-7-

方法与技巧 1.f′(x0)代表函数 f(x)在 x=x0 处的导数值;(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数,而函数值 f(x0)是一 个常数,其导数一定为 0,即(f(x0))′=0. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应 用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价 性,避免不必要的运算失误. 失误与防范 1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 2.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而后者包 括了前者. 3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.设 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 的值为( ln 2 A.e2 B.e C. D.ln 2 2 答案 B 解析 由 f(x)=xln x 得 f′(x)=ln x+1. 根据题意知 ln x0+1=2,所以 ln x0=1,因此 x0=e. 2.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2x· f′(1)+ln x,则 f′(1)等于( A.-e C.1 答案 B 1 解析 由 f(x)=2xf′(1)+ln x,得 f′(x)=2f′(1)+ . x ∴f′(1)=2f′(1)+1, 则 f′(1)=-1. 3.设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x) 在点(1,f(1))处的切线的斜率为( ) B.-1 D.e ) )

-8-

1 1 A.4 B.- C.2 D.- 4 2 答案 A 解析 由条件知 g′(1)=2, 又∵f′(x)=[g(x)+x2]′=g′(x)+2x, ∴f′(1)=g′(1)+2=2+2 =4. 4.与直线 2x-y+4=0 平行的抛物线 y=x2 的切线方程是( A.2x-y+3=0 C.2x-y+1=0 答案 D 解析 对 y=x2 求导得 y′=2x.设切点坐标为(x0,x2 0),则切线斜率为 k=2x0. 由 2x0=2 得 x0=1,故切线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. 5.曲线 y=x3 在点(1,1)处的切线与 x 轴及直线 x=1 所围成的三角形的面积为( 1 A. 12 1 C. 3 答案 B 解析 求导得 y′=3x2,所以 y′|x=1=3, 所以曲线 y=x3 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=3(x-1), 结合图象易知所围成的三角形是直角三角形, 2 三个交点的坐标分别是( ,0),(1,0),(1,1), 3 1 2 1 于是三角形的面积为 ×(1- )×1= ,故选 B. 2 3 6 6.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=3x2+2x· f′(2),则 f′(5)=________. 答案 6 解析 对 f(x)=3x2+2xf′(2)求导, 得 f′(x)=6x+2f′(2). 令 x=2,得 f′(2)=-12. 再令 x=5,得 f′(5)=6×5+2f′(2)=6. 7.已知函数 y=f(x)及其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则曲线 y=f(x) 在点 P 处的切线方程是__________. 答案 x-y-2=0 解析 根据导数的几何意义及图象可知,曲线 y=f(x)在点 P 处的切线的 斜率 k=f′(2)=1,又过点 P(2,0), 1 B. 6 1 D. 2 ) B.2x-y-3=0 D.2x-y-1=0 )

-9-

所以切线方程为 x-y-2=0. 8.已知函数 f(x)= x,g(x)=aln x,a∈R.若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且在交点处有共 同的切线,则切线方程为________. 1 e 答案 y= x+ 2e 2 1 a 解析 f′(x)= ,g′(x)= (x>0), x 2 x x=aln x, ? ? e 由已知得? 1 解得 a= ,x=e2. a 2 = , ? ?2 x x 1 ∴两条曲线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率为 k=f′(e2)= , 2e 1 ∴切线的方程为 y-e= (x-e2), 2e 1 e 即 y= x+ . 2e 2 9.已知曲线 y=x3+x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程. 解 (1)由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1, 由已知令 3x2+1=4,解之得 x=± 1. 当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限,∴切点 P0 的坐标为(-1,-4). (2)∵直线 l⊥l1,l1 的斜率为 4, 1 ∴直线 l 的斜率为- . 4 ∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为(-1,-4), 1 ∴直线 l 的方程为 y+4=- (x+1), 4 即 x+4y+17=0. 10.已知函数 f(x)=x3+x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. 解 (1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上. ∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1. ∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13. ∴切线的方程为 y+6=13(x-2)

- 10 -

即 y=13x-32. (2)设切点坐标为(x0,y0),
3 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x2 0+1,y0=x0+x0-16, 2 ∴直线 l 的方程为 y=(3x0 +1)(x-x0)+x3 0+x0-16.

又∵直线 l 过坐标点(0,0),
2 ∴0=(3x0 +1)(-x0)+x3 0+x0-16,

整理得,x3 0=-8, ∴x0=-2, ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26, 得切点坐标(-2,-26), k=3×(-2)2+1=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 11.函数 f(x)=e cos x 的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为( A.0 C.1 答案 B 解析 由 f(x)=excos x,得 f′(x)=excos x-exsin x.所以 f′(0)=e0cos 0-e0sin 0=1,即倾斜 π 角 α 满足 tan α=1.根据 α∈[0,π),得 α= . 4 π π π 12.若函数 f(x)=cos x+2xf′( ),则 f(- )与 f( )的大小关系是( 6 3 3 π π A.f(- )=f( ) 3 3 π π C.f(- )<f( ) 3 3 答案 C π 解析 依题意得 f′(x)=-sin x+2f′( ), 6 π π π ∴f′( )=-sin +2f′( ), 6 6 6 π 1 ∴f′( )= , 6 2 ∴f′(x)=-sin x+1. π π B.f(- )>f( ) 3 3 D.不确定 ) π B. 4 π D. 2
x

)

- 11 -

π π ∵当 x∈(- , )时,f′(x)>0, 2 2 π π ∴f(x)=cos x+x 是(- , )上的增函数, 2 2 π π π π π π 又- <- < < ,∴f(- )<f( ). 2 3 3 2 3 3 13.已知曲线 C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线,它们的倾 斜角互补,则 a 的值为________. 答案 27 8

解析 设切点坐标为(t,t3-at+a). 由题意知,f′(x)=3x2-a, 切线的斜率为 k=y′|x=t=3t2-a,① 所以切线方程为 y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-t).② 将点(1,0)代入②式得,-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t), 3 解之得,t=0 或 t= . 2 3 分别将 t=0 和 t= 代入①式, 2 27 得 k1=-a 和 k2= -a, 4 27 由题意,它们互为相反数得 a= . 8 1 14.若函数 f(x)= x2-ax+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 2 答案 [2,+∞) 1 1 解析 ∵f(x)= x2-ax+ln x,∴f′(x)=x-a+ . 2 x ∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线,∴f′(x)存在零点, 1 1 即 x+ -a=0 有解,∴a=x+ ≥2. x x 9 15.设有抛物线 C:y=-x2+ x-4,过原点 O 作 C 的切线 y=kx,使切点 P 在第一象限. 2 (1)求 k 的值; (2)过点 P 作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点 Q 的坐标. 解 (1)设点 P 的坐标为(x1,y1),则 y1=kx1,① 9 y1=-x2 1+ x1-4,② 2 9 ①代入②得,x2 1+(k- )x1+4=0. 2

- 12 -

9 17 1 ∵P 为切点,∴Δ=(k- )2-16=0 得 k= 或 k= . 2 2 2 17 当 k= 时,x1=-2,y1=-17. 2 1 当 k= 时,x1=2,y1=1. 2 1 ∵P 在第一象限,∴所求的斜率 k= . 2 (2)过 P 点作切线的垂线,其方程为 y=-2x+5.③ 将③代入抛物线方程得,x2- 13 x+9=0. 2

设 Q 点的坐标为(x2,y2),即 2x2=9, 9 9 ∴x2= ,y2=-4.∴Q 点的坐标为( ,-4). 2 2

- 13 -



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