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内切球


内切球,外接球 球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体(棱长为 a)的外接球半径 R 与内切球半径 r 之比为 R:r=3:1。外接 球半径: R ?

6 6 a 。内切球半径: r ? a 4 12

结论:正四面体与球的接切问题,可通过线面关系证出,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面体高的四等

1 h

( h 为正四面体的高),且外接球的半径 R ? 3r . 4 正四面体的外接球问题:已知正四面体 A ? BCD ,H 为底面的中心,O 为外接球的球心,设棱长为 a,外接球半径为
分点,即定有内切球的半径 r ? R,内切球半径为 r,试求 R. 方法一:易知 R+r=AH=

6 ( 可求外接球半径和内切球半径) a ,由等积法得: 3

VA?BCD ? VO? ABC ? VO?BCD ? VO?CDA ? VO?DAB
所以:

1 1 AH ? S?BCD ? 4 ? r ? S ?BCD 3 3

故r ?

1 3 AH , R ? AH 4 4

所以

R?

6 a. 4

方法二:如图 ?AHM ? ?BNM 所

HM ON 1 r 6 6 ? ,即 ? ,又由 R+r=AH= a 可得 R ? a. AM OA 3 R 3 4

方法三: 如图设延长 AH 交球面上一点 K, 则 AK=2R, 在直角三角形 ABK 中由射影定理得 AB2 ? AH ? AK 即

a2 ?

6 6 a ? 2 R 故得 R ? a. 3 4

方法四:如图正四面体可补成一个边长为

2 a 的正方体,显然正方体的外接球即为正 2

四面体的外接球,而 3(

2 6 a. a) ? 2 R 故可得 R ? 4 2

四面体的内切球问题:关键是抓住球心到四面体的每个面的距离等于球的半径来找等量关系. 【例 6】求棱长为 a 的正四面体内切球的体积.

练习 1.(球内接正四面体问题) (2003 年江苏卷第 12 题)一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,则此 球的表面积为( )

A)3?

B)4?

C)3 3?

D)6?

方法一:将这个正四面体放入一个正方体中,再将这个正方体放入球中与球相外接。因为正方体的对角线就是球的直 径,而正四面体的棱就是正方体的侧面对角线。所以,设正方体的棱长为 a,则有

2 a= 2 , a=1 ,

? 2 R ? 3a ? 3,? R ?

3 , S 球 ? 3? . 故选 A。此题是典型的考查转化、化归思想。 2


方法二:画图 3.(球内接正四面体问题) 如果三棱锥的每条侧棱长和底面边长都是 a,那么这个三棱锥的外接球的体积是( A (A)

6 3 ?a 8

(B)

2 6 3 8 6 3 ?a (C) ?a 27 9

(D)

6 3 ?a 6
32 4 3 ?, 则正方体的棱长为 。 3 3

4. (球内接正方体问题) (06 年福建卷) 已知正方体的八个顶点都在球面上, 且球的体积为

5.(球内接棱柱问题) 若一个底面边长为

3 ,棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上,则此球的体积为 2

9 ?. 2
6. (球内接长方体问题)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3,则 此球的表面积为 14π 。 7. (正三棱柱内切球、外接球问题)一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一 个外接球(球经过三棱柱的 6 个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 1∶5 。 8.(球内接正三棱锥问题)在正三棱锥 S—ABC 中,侧棱 SC 上侧面 SAB,侧棱 SC=2 ,则此正三棱锥的外接球的表 面积为 R ? 3 (方法:补成长方体) 9.(球内接正四棱锥问题)半径为 R 的球内接一个各棱长都相等的四棱锥.求该四棱锥的体积. V ?

2 3 R 3

10.(正三棱锥球内切问题) 正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 ,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.求球的表 面积与体积. R ? 6 ? 2 说明:球与正三棱锥四个面相切,实际上,球是正三棱锥的内切球,球心到正三棱锥的四个面的距离相等,都为球半 径 R .这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离,而点面距离常可以用等体积法解决. 2013 届高考球体问题专项突破复习 例 1 球面上有三点 A 、 B 、 C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点,其中 AB ? 18 , BC ? 24 、 AC ? 30 , 球心到这个截面的距离为球半径的一半,求球的表面积. 分析:求球的表面积的关键是求球的半径,本题的条件涉及球的截面, ?ABC 是截面的内接三角形,由此可利用三角 形求截面圆的半径,球心到截面的距离为球半径的一半,从而可由关系式 r 2 ? R 2 ? d 2 求出球半径 R . 解:∵ AB ? 18 , BC ? 24 , AC ? 30 , ∴ AB2 ? BC2 ? AC2 , ?ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形. ∴ ?ABC 的外接圆的半径为 15 ,即截面圆的半径 r ? 15 ,

又球心到截面的距离为 d ?

1 1 R ,∴ R 2 ? ( R ) 2 ? 15 2 ,得 R ? 10 3 . 2 2

∴球的表面积为 S ? 4?R2 ? 4? (10 3)2 ? 1200 ?. 说明:涉及到球的截面的问题,总是使用关系式 r ? 个量之间的其它关系,求三个量. 例 2.自半径为 R 的球面上一点 M ,引球的三条两两垂直的弦 MA, MB, MC ,求 MA2 ? MB 2 ? MC 2 的值. 分析:此题欲计算所求值,应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算,所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球 有密切的关系,便于将球的条件与之相联. 解:以 MA, MB , MC 为从一个顶点出发的三条棱,将三棱锥 M ? ABC 补成一个长方体,则另外四个顶点必在球面 上,故长方体是球的内接长方体,则长方体的对角线长是球的直径.

R2 ? d 2 解题,我们可以通过两个量求第三个量,也可能是抓三

? MA2 ? MB 2 ? MC 2 = (2R) 2 ? 4R 2 .
说明:此题突出构造法的使用,以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算. 1、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为 4,棱柱的体积为 16,棱柱的各顶 点 在 一 个 球 面 上 , 则 这 个 球 的 表 面 积 是 ( ) A.16π B.20π C.24π D.32π 答案:C 解 : 由 题 意 知 , 该 棱 柱 是 一 个 长 方 体 , 其 长 、 宽 、 高 分 别 为 2,2,4. 所 以 其 外 接 球 的 半 径

4 ? 4 ? 16 = 6 .所以球的表面积是 S=4πR2=24π. 2 2、一个正四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为(
R= A.3πB.4π C.3 3 π D.6π 答案:A 以四面体的棱长为正方体的面对角线构造正方体,则正方体内接于球,正方 体棱长为 1,则体对角线长等于球的直径,即 2R= 3 ,所以 S 球=4πR2=3π. 3.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比. 解:将半球补成整个的球(见题中的图),同时把原半球的内接正方体再 补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,那么这 个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为 a,球的半 径为 R,则根据长方体的对角线性质,得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即 4R2=6a2.

)

2π 2π ? 6 ? 6 6π a.从而 V 半球= R3= = a3,V 正方体=a3.因此 a? 所以 R= ? ? ? 3 3 ? 2 ? 2 2

3

6π a3∶a3= 6 π∶2. 2 4.一个正四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积 ) 为(
V 半球∶V 正方体= A.3πB.4π C.3 3 π D.6π 答案:A 解析:以 PA,PB,PC 为棱作长方体,则该长方体的外接球就是三棱锥 P-ABC 的外接
2 2 2 球,所以球的半径 R= 1 ? ( 6) ? 3 =2,所以球的表面积是 S=4πR2=16π. 2

5.过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦 AB 、 AC 、 AD ,且两两夹角都为 60 ? ,若球半径为 R ,求弦 AB 的长 度.

解:由条件可抓住 A ? BCD 是正四面体, A 、 B 、 C 、 D 为球上四点,则球心在正四面体中心,设 AB ? a ,则截面

BCD 与球心的距离 d ?

3 6 3 6 a ? R ,过点 B 、 C 、 D 的截面圆半径 r ? a ,所以 ( a) 2 ? R 2 ? ( a ? R) 2 得 a ? 3 3 3 3

2 6 R. 3

6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上, 其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上, 则该正三棱锥的体积是 ( B ) A. 3 3 4 B. 3 3 C.
3 4

D. 3 12

7. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各顶点都在同一球面上,若 AB ? AC ? AA 1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等 于 。

解:在 ?ABC 中 AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? ,可得 BC ? 2 3 ,由正弦定理,可得 ?ABC 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为

O? ,球心为 O ,在 RT ?OBO? 中,易得球半径 R ? 5 ,故此球的表面积为 4? R 2 ? 20? .
8.正三棱柱 ABC ? A1B1C1 内接于半径为 2 的球,若 A, B 两点的球面距离为 ? ,则正三棱柱的体积为 答案 8 .

9.表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为 A.

2 ? 3

B. ?

1 3

C.

2 ? 3

D.

2 2 ? 3

答案 A 【解析】此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形,所以由 8 ? 选 A。 10.已知正方体外接球的体积是

3a 2 ? 2 3 知, a ? 1 ,则此球的直径为 2 ,故 4

32 ? ,那么正方体的棱长等于( D ) 3
C.

A.2 2

B.

2 3 3

4 2 3

D.

4 3 3

11.正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( C ) A. 1∶ 3 B. 1∶3 C. 1∶3 3 D. 1∶9

12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 底面周长为 3,则这个球的体积为 .(

4? ) 3

9 , 8

13. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为 1 , 2 , 3 ,则此球的表面积 为 . 14π 14.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。 如果正四棱柱的底面边长为 1 cm, 那么该棱柱的表面积为 cm2. 2 ? 4 2 15.如图,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P ? ABCDEF , 则此正六棱锥的侧面积是________. 6 7 16.棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中 C B A F D E P

三角形(正四面体的截面)的面积是

.

2
C )

16.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为( A. 3? B. 2? C.

16? D.以上都不对 3

2 3 17.设正方体的棱长为 3 ,则它的外接球的表面积为( C ) A. ?

8 3

B.2π

C.4πD. ?

4 3

18 . (2012 新课标理) 已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上, ?ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的 直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为 ( ) A.

2 3 2 2 B. C. D. 6 6 3 2

19. (2012 辽宁文)已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3 正方形.若 PA=2 6 ,则△OAB 的面积为______________. 处理球的“内切” “外接”问题 一、球与棱柱的组合体问题: 1 正方体的内切球: 设正方体的棱长为 a ,求(1)内切球半径; (2)外接球半径; (3)与棱相切的球半径。 (1)截面图为正方形 EFGH 的内切圆,得 R ?

a ; 2

(2) 与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点, 如图 4 作截面图, 圆 O 为正方形 EFGH 的 外接圆,易得 R ?

2 a。 2

正方体的外接球:正方体的八个顶点都在球面上,如图 5,以对角面 AA 1C1C 的外接圆, 1 作截面图得,圆 O 为矩形 AA 易得 R ? A1O ?

3 a。 2

2. 在球面上有四个点 P 、 A 、 B 、 C . 如果 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直,且 PA ? PB ? PC ? a , 求这个球的表面 积是______.

图3

图4

图5 【构造直三角形,巧解正棱柱与球的组 合问题 正棱柱的外接球,其球心定在上下底面中心连线的中点处,由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得 球半径。 】 3.已知底面边长为 a 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的六个顶点在球 O1 上, 又知球 O2 与此正三棱柱的 5 个面都相切,求球 O1 与球 O2 的体积之 比与表面积之比。 分析:先画出过球心的截面图,再来探求半径之间的关系。解:如

图6

O2 是重合的, 图 6, 由题意得两球心 O1 、 过正三棱柱的一条侧棱 AA 1

和它们的球心作截面, 设正三棱柱底面边长为 a , 则 R2 ? 得
? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? 5 2 2 2 ? ? ? ? ? R1 ? ? ? 3 a ? ? R2 ? ? 3 a ? ? ? 6 a ? ? 12 a ? R1 ? ? ? ? ? ? ?
2 2 2

3 3 a ,正三棱柱的高为 h ? 2 R2 ? a ,由 Rt?A1 D1O 中, 6 3

5 a 12

? S1 : S 2 ? R1 : R2 ? 5 : 1 , V1 : V2 ? 5 5 : 1

2

2

二 棱锥的内切、外接球问题 4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少? 分析:运用正四面体的二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系解之。 解:如图 1 所示,设点 O 是内切球的球心,正四面体棱长为 a .由图形的对称性知,点 O 也 是外接球的球心.设内切球半径为 r ,外接球半径为 R .

? 3 ? 6 2 ? 在 Rt ?BEO 中, BO ? BE ? EO ,即 R ? ? ? 3 a ? ? r ,得 R ? 4 a ,得 R ? 3r ? ?
2 2 2

2

2

【点评】由于正四面体本身的对称性可知,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面 体高的四等分点,即内切球的半径为

h 3h ( h 为正四面体的高),且外接球的半径 ,从而可 4 4

以通过截面图中 Rt ?OBE 建立棱长与半径之间的关系。 5.正三棱锥 S ? ABC ,底面边长为 3,侧棱长为 2,则其外接球和内切球的半径是多少 6. 正四棱锥 S ? ABCD ,底面边长为 2,侧棱长为 3,则其外接球和内切球的半径是多少 练习: 1.(球内接正四面体问题)一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上, 图1

则此球的表面积为 2. (球内接长方体问题)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3,则 此球的表面积为 。 3.设 P, A, B, C 是球 O 面上的四点,且 PA, PB, PC 两两互相垂直,若 PA ? PB ? PC ? a , 则球心 O 到截面 ABC 的距离是 .

4.(球内接正三棱锥问题)在正三棱锥 S ? ABC 中,侧棱 SC ? 侧面SAB ,侧棱 SC ? 2 , 则此正三棱锥的外接球的表面积为 5.(球内接棱柱问题) 若一个底面边长为

3 ,棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上, 2

则此球的体积为 . 6.(正三棱柱内切球、外接球问题)一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个 外接球(球经过三棱柱的 6 个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 。 7.(球内接正四棱锥问题)半径为 R 的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥.则四棱锥的体积为 . 8.(正三棱锥球内切问题) 正三棱锥的高为 3,底面边长为 8 3 ,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.则球的表面 积与体积分别为 . 9. 三棱锥 A ? BCD 的两条棱 AB ? CD ? 6 ,其余各棱长均为 5 ,求三棱锥的内切球半径. 说明:球与正三棱锥四个面相切,实际上,球是正三棱锥的内切球,球心到正三棱锥的四个面的距离相等,都为球半 径 R .这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离,而点面距离常可以用等体积法解决. 1

3? ;2

14? ;3

3 a ;4 6

12? ;5

9 ? ;6 2

1 : 5 ;7

2 3 R ;8 3

64 256 ?; ? 9 81


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