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必修二第4章-4.1-4.1.2


数学[新课标· 必修2]
教 学 教 法 分 析 当 堂 双 基 达 标

课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究 易 错 易 误 辨 析

4.1.2

圆的一般方程

课 后 知 能 检 测 教 师 备 课 资 源

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●三维目标 1.知识与技能 (1)掌握圆的一般方程及一般方程的特点. (2)能将圆的一般方程化成圆的标准方程,进而求圆心和 半径. (3)能用待定系数法由已知条件求出圆的方程. (4)能用坐标法求动点的轨迹方程.

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2.过程与方法 (1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力. (2) 加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运 用. 3.情感、态度与价值观 (1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识. (2)培养学生勇于思考、探究问题的精神.

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●重点难点 重点:圆的一般方程及待定系数法求圆的方程. 难点:用坐标法求动点的轨迹方程. 重点突破:以教材的思考为切入点,采取由特殊到一般、 由具体到抽象的方法,结合圆的标准方程,突破“二元二次 方程同圆的关系”这一重难点,通过学生探究合作与交流, 结合题组训练,引导学生进一步掌握用“待定系数法”求解 圆的一般方程;借助多媒体演示及学生的直观感知突破“求 动点的轨迹方程”这一难点.
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1.了解圆的一般方程的特点, 会由一般方程求圆 心和半径.(易错点) 课标解读 2.会根据给定的条件求圆的一般方程, 并能用圆 的一般方程解决简单问题.(重点) 3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法.(难点)

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圆的一般方程

【问题导思】 1.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 展开可得到一个什 么式子?

【提示】 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.

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2.观察以下三个方程: (1)x2+y2+2x+2y+8=0; (2)x2+y2+2x+2y+2=0; (3)x2+y2+2x+2y=0. 先将它们分别配方,分析它们分别表示什么图形?

【提示】 (1)配方得(x+1)2+(y+1)2=-6,不表示任何 图形. (2)配方得(x+1)2+(y+1)2=0,表示点(-1,-1). (3)配方得(x+1)2+(y+1)2=2,表示圆.
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3.当 m 为何值时方程 x2+y2+mxy-2x=0 表示圆?
【提示】 由圆的一般方程可知,若方程表示圆,则满

足 m=0,且(-2)2+0-0>0,即 m=0.

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方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(*)表示的图形
2 2 ? ? ? ? D + E -4F D E ? ?2 ? ?2 (1)变形:?x+ 2 ? +?y+2 ? = . 4 ? ? ? ?

(2)图形:①当 D2+E2-4F>0 时,方程表示的曲线为圆, ? D E? 1 2 ? ? 2 - ,- D + E -4F ? 2 ? 2 2 ? , 且圆心为 ? 半径为 , 方程(*)称为 圆的一般方程;
D E - ,- 2; ②当 D2+E2-4F=0 时,方程(*)表示一个点 2

③当 D2+E2-4F<0 时,方程(*)不表示 任何图形 .
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圆的一般方程的概念

下列方程能否表示圆?若能,求出圆心和半径. (1)2x2+y2-7y+5=0; (2)x2-xy+y2+6x+7y=0; (3)x2+y2-2x-4y+10=0; (4)2x2+2y2-5x=0.

【思路探究】 分析每个方程是否具有圆的一般方程的 特征,也可以把方程配方观察求解.
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【自主解答】 (1)∵方程 2x2+y2-7y+5=0 中 x2 与 y2 的系数不相同, ∴它不能表示圆. (2)∵方程 x2-xy+y2+6x+7y=0 中含有 xy 这样的项, ∴它不能表示圆.

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(3)方程 x2+y2-2x-4y+10=0 化为(x-1)2+(y-2)2=- 5, ∴它不能表示圆. (4)方程 2x +2y -5x=0
2 2

? ?5? 5? ? ?2 ?2 2 化为?x-4? +y =? ?4? , ? ? ? ?

?5 ? 5 ? ? ∴它表示以?4,0?为圆心, 为半径长的圆. 4 ? ?

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二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆, 应满足的条件是:①A=C≠0,②B=0,③D2+E2-4AF>0.

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如果 x2+y2-2x+y+k=0 是圆的方程,则实数 k 的范围 是________.
【解析】 由题意可知(-2)2+12-4k>0, 5 即 k< . 4

【答案】

? 5? ? ? -∞, ? 4? ? ?

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求圆的一般方程

求过三点 O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程, 并求这个圆的半径长和圆心坐标.

【思路探究】

过点O、M、N 设圆的一般式方程 ―――――――→

公式法 求圆的一般式方程 ――――→ 求圆心坐标、半径

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【自主解答】 设圆的一般式方程为 x2+y2+Dx+Ey+F =0, 由题意可知点 O(0,0),M(1,1),N(4,2)满足圆的方程,即 ?F=0, ? ?D+E+F+2=0, ?4D+2E+F+20=0, ? ?D=-8, ? 解得?E=6, ?F=0. ?

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所以,所求圆的一般方程是 x2+y2-8x+6y=0 化为标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25. ∴圆的圆心坐标是(4,-3),半径 r=5.

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1.本题是待定系数法求圆的方程,由于已知条件是圆上 三点,不易求出圆心、半径,故选用一般方程,先设出圆的 一般方程,再把三点坐标代入得到关于 D、E、F 的一个三元 一次方程组,解得结果.

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2. 用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选 择 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆 心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再 用待定系数法求出 a,b,r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用 圆的一般方程,再用待定系数法求出参数 D,E,F.

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(2014· 吉林高一检测)已知圆 C:x2+y2+Dx+Ey+3=0, 圆心在直线 x+y-1=0 上,且圆心在第二象限,半径为 2, 求圆的一般方程.

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? D E? ? C?- 2 ,- 2 ? ?, ? ?

【解】 圆心

因为圆心在直线 x+y-1=0 上, D E 所以- - -1=0,即 D+E=-2,① 2 2 D2+E2-12 又 r= = 2,所以 D2+E2=20,② 2
? ?D=2, 由①②可得? ? ?E=-4 ? ?D=-4, 或? ? ?E=2.

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D 又圆心在第二象限,所以- <0 即 D>0, 2
? ?D=2, 所以? ? ?E=-4,

所以圆的一般方程为 x2+y2+2x-4y+

3=0.

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与圆有关的轨迹问题

已知点 A(4,0),P 是圆 x2+y2=1 上的动点,求 线段 AP 的中点 M 的轨迹方程.

【思路探究】 本题考查动点轨迹方程的求法,关键是 寻找动点 M 的横、纵坐标之间的关系.

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【自主解答】 设 M(x,y),由于 M 是 AP 的中点, ∴P 点的坐标是(2x-4,2y). ∵P 是圆 x2+y2=1 上的点, ∴(2x-4)2+(2y)2=1. 1 即动点 M 的轨迹方程为(x-2) +y = . 4
2 2

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1.本题是运用代入法求轨迹方程.用动点坐标表示相关 坐标,再根据相关点所满足的方程即可求动点的轨迹方程, 这种求轨迹方程的方法叫作相关点法或代入法.

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2.求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系,设出动点 M 的坐标(x,y). (2)列出点 M 满足条件的集合. (3)用坐标表示上述条件,列出方程 f(x,y)=0. (4)将上述方程化简. (5) 证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的 点.

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已知动点 M 到点 A(2,0)的距离是它到点 B(8,0)的距离的 一半. (1)求动点 M 的轨迹方程; (2)若 N 为线段 AM 的中点,试求点 N 的轨迹.
【解】 (1)设动点 M 的坐标为(x,y), 1 ∵A(2,0),B(8,0),|MA|= |MB|, 2 1 ∴(x-2) +y = [(x-8)2+y2]. 4
2 2

化简得 x2+y2=16,即动点 M 的轨迹方程为 x2+y2=16.
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(2)设点 N 的坐标为(x,y), ∵A(2,0),N 为线段 AM 的中点, ∴点 M 的坐标为(2x-2,2y). 又点 M 在圆 x2+y2=16 上, ∴(2x-2)2+4y2=16,即(x-1)2+y2=4. ∴点 N 的轨迹是以(1,0)为圆心,2 为半径的圆.

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忽略圆的一般方程中 D2+E2-4F>0 致误 已知定点 A(a,2)在圆 x2+y2-2ax-3y+a2+a= 0 的外部,求 a 的取值范围.
【错解】 因为点 A(a,2)在圆的外部, 所以 a2+4-2a2-3×2+a2+a>0, 解得 a>2. 故所求 a 的范围为(2,+∞).
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【错因分析】 上述解法的错误在于“忘记判断二元二 次方程表示圆的条件”.

【防范措施】

对于二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F

=0 只有在 D2+E2-4F>0 的前提下,它才表示圆,故求解本 题在判定出点与圆的位置关系后,要验证所求参数的范围是 否满足 D2+E2-4F>0.

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【正解】 因为点 A 在圆的外部,所以有
2 2 2 ? ?a +4-2a -3×2+a +a>0, ? 2 2 2 ? ??-2a? +?-3? -4?a +a?>0,

? ?a>2, 9 解得? 9 即 2<a< . 4 a< , ? ? 4 所以 a
? 9? ? 的取值范围为?2,4? ?. ? ?

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1.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+ F=0 是圆的另一种表示形式,其隐含着 D2+E2-4F>0,同圆的标准方程类似, 求圆的一般式方程也需要三个独立的条 件. 2.求轨迹的方法很多,注意合理选 取,在求与圆有关的轨迹时,注意充分 利用圆的性质.

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1.已知圆 x2+y2-4x+2y-4=0,则圆心坐标、半径的 长分别是( ) B.(-2,1),3 D.(2,-1),9

A.(2,-1),3 C.(-2,-1),3

【解析】 圆 x2+y2-4x+2y-4=0 可化为(x-2)2+(y +1)2=9. 故其圆心坐标为(2,-1),半径的长为 3.

【答案】 A
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2.点 P(x0,y0)是圆 x2+y2=16 上的动点,点 M 是 OP(O 为原点)的中点,则动点 M 的轨迹方程是________.

? x0 ?x= 2 , 【解析】 设 M(x,y),则? ?y=y0, 2 ?
? ?x0=2x, 即? ? ?y0=2y,

又 P(x0,y0)在圆上, ∴4x2+4y2=16,即 x2+y2=4.

【答案】 x2+y2=4
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3.若方程 x2+y2-4x+2y+5k=0 表示圆,则实数 k 的 取值范围是________.
【解析】 由(-4)2+22-4×5k>0,得 k<1.

【答案】 (-∞,1)

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4.已知圆 C 过点 O(0,0),A(1,0),B(0,-1),求圆 C 的 方程.

【解】 设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.将 O, A,B 三点坐标依次代入,得 ?F=0, ? ?1+D+F=0, ??-1?2-E+F=0, ? 解之得 D=-1,E=1,F=0. 所以圆 C 的方程为 x2+y2-x+y=0.
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课后知能检测(二十二)

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等腰三角形的顶点是 A(4,2),底边的一个端点是 B(3,5), 求另一个端点 C 的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.

【思路探究】 用直接法求轨迹方程,但必须考虑点 C 是三角形的另一顶点,即 A,B,C 三点不能共线,这一点容 易被忽略,应注意.

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【自主解答】 设另一端点 C 的坐标为(x,y). 依题意得|AC|=|AB|. 由两点间距离公式,得: ?x-4?2+?y-2?2= ?4-3?2+?2-5?2, 整理得(x-4)2+(y-2)2=10. 这是以点 A(4,2)为圆心,以 10为半径的 圆,如图所示,又因为 A,B,C 为三角形的三个顶点,所以 A,B,C 三点不共线,即点 B,C 不能重合且 B,C 不能为⊙ A 的一直径的两个端点.
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因为点 B,C 不能重合,所以点 C 不能为(3,5). 又因为点 B,C 不能为一直径的两个端点, x+3 y+5 所以 ≠4,且 ≠2,即点 C 不能为(5,-1). 2 2 故端点 C 的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(除去点(3,5) 和(5, -1)), 它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心, 10为半径的圆, 但除去(3,5)和(5,-1)两点.

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一般地,求轨迹方程就是求等式,就是找等量关系.把 等量关系用数学语言表达出来,再进行变形、化简,就会得 到相应的轨迹方程,所以找等量关系是解决问题的关键.

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如图所示,自 A(4,0)引圆 x2+y2=4 的割线 ABC,求弦 BC 中点 P 的轨迹方程.

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【解】 ∵P 为 BC 中点,O 为圆心, ∴OP⊥BC. y y 设 P(x,y),当 x≠0 时,kOP· kAP=-1,即 · =-1, x x-4 即 x2+y2-4x=0(0<x<1).① 当 x=0 时,P 点坐标为(0,0)是方程①的解, ∴BC 中点 P 的轨迹方程为 x2+y2-4x=0(0≤x<1).

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