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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 模块检测 苏教版选修2-1


空间向量与立体几何 模块检测
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.命题“若 a>-1,则 a>-2”及其逆命题、否命题、逆否命题 4 个命题中,真命题的个 数是______. 答案 2 解析 原命题为真命题,故逆否命题为真命题;逆命题为“若 a>-2,则 a>-1”为假命题, 故否命题为假命题.故 4 个命题中有 2 个真命题. 2.已

知命题 p:? x∈R,sinx≤1,则命题綈 p 为______. 答案 ? x∈R,sinx>1 解析 存在性命题的否定为全称命题,同时注意否定结论:sinx≤1 的否定为 sinx>1. 3.命题“a>1 是 a> a的充要条件”是______(填“真”或“假”)命题. 答案 真 解析 因为 a>1, 所以 a>1, 所以 a? a> a, 即 a> a.所以 a>1? a> a; 因为 a> a, 所以 a( a-1)>0,所以 a>1,即 a>1.所以 a> a? a>1.综上可知 a>1?a> a,所以

a>1 是 a> a的充要条件.
4.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任三个点都不共线;②若两条直线没有公共点, 则这两条直线是异面直线. 以上两个命题中,逆命题为真命题的是______. 答案 ② 解析 命题①: “若四点不共面,则这四点中任三个点都不共线”的逆命题是“若四点中任三 个点都不共线,则这四点不共面” ,是假命题.命题②: “若两条直线没有公共点,则这两条 直线是异面直线”的逆命题是“若两直线是异面直线,则这两条直线没有公共点” ,是真命题. π 5.已知|a|=|b|=5,a,b 的夹角为 ,则|a+b|与|a-b|的值分别等于______. 3 答案 5 3,5 1 2 2 2 2 2 2 2 解析 |a+b| =|a| +2a?b+|b| =5 +2?5?5? +5 =75,|a+b|=5 3,|a-b| =|a| 2 1 2 2 2 -2a?b+|b| =5 -2?5?5? +5 =25,|a-b|=5. 2 6.若直线 l 的方向向量为 a=(-1,1,2),平面 α 的法向量为 u=(2,-2,-4),则直线与 平面的位置关系是______. 答案 l⊥α 1 解析 由已知得 a=- u,即向量 a 和 u 共线,∴直线 l 与平面 α 垂直. 2

-1-

7.以双曲线 -y =1 的一条准线为准线,顶点在原点的抛物线方程是____________. 3 答案 y =6x 或 y =-6x 解析 因为 a= 3,b=1,所以 c=2, 3 所以双曲线的准线方程为 x=± , 2
2 2

x2

2

p 3 所以 = ,得 p=3, 2 2
所以抛物线方程是 y =6x 或 y =-6x. 8.焦点在 y 轴上,虚半轴长为 4,焦距的一半为 6 的双曲线的标准方程为____________. 答案 - =1 20 16
2 2

y2

x2

解析 双曲线的焦点在 y 轴上,设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0).已知 b=4,c =6,则 a =c -b =6 -4 =20.故所求双曲线的标准方程为 - =1. 20 16 9.对于实数 x,y,命题 p:x+y≠8 是命题 q:x≠2 或 y≠6 的______条件. 答案 充分不必要 解析 利用命题的等价性,因为命题“若 x=2 且 y=6,则 x+y=8”是真命题,故綈 q? 綈
2 2 2 2 2

y2 x2 a b

y2

x2

p,即 p? q;命题“若 x+y=8,则 x=2 且 y=6”是假命题,故綈 p
是 q 的充分不必要条件.

綈 q,即 q

p,所以 p

10.已知 t∈R,a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是______. 答案 3 5 5

解析 因为 a-b=(-1-t,1-2t,0), 所以|a-b|= (-1-t) +(1-2t) +0 = 5t -2t+2=
2 2 2 2

1 2 9 5(t- ) + , 5 5

1 3 5 当 t= 时,|b-a|取到最小值 . 5 5 11.已知双曲线 x - =1 上存在两点 M,N 关于直线 y=x+m 对称,且 MN 的中点在抛物线 y 3 =18x 上,则实数 m 的值为________. 答案 0 或-8 解析 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 中点 P(x0,y0),
2

y2

2

-2-

?x - 3 =1, ? y 则?x - 3 =1,② x +x =2x ,③ ? ?y +y =2y ,④
2 1 2 2 2 2 1 2 0 1 2 0

2 y1



1 则②-①得(x2-x1)(x2+x1)= (y2-y1)(y2+y1),显然 x1≠x2. 3 ∴

y2-y1 y2+y1 y0 ? =3,即 kMN? =3, x2-x1 x2+x1 x0

∵M,N 关于直线 y=x+m 对称,∴kMN=-1, ∴y0=-3x0,又∵y0=x0+m,

? m 3 ? ∴P?- , m?,代入抛物线方程得 ? 4 4 ?
9 2 ? m? m =18??- ?. 16 ? 4? 解得 m=0 或-8,经检验都符合. 12.动圆的圆心在抛物线 y =8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相切,则动圆必过定点______. 答案 (2,0) 解析 抛物线 y =8x,p=4,其准线方程为 x=-2,焦点为 F(2,0),设动圆圆心为 P,由已 知点 P 到准线 x+2=0 的距离为其半径 r, 且点 P 在抛物线上, ∴点 P 到焦点 F 的距离也为 r, ∴动圆必过定点 F(2,0). 13. 已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中 AA1=2AB, 则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于________. 答案 2 3
2 2

→ → → 解析 设 AB=1,则 AA1=2,分别以D1A1、D1C1、D1D的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空 间直角坐标系, 如图所示:

则 D(0,0,2),C1(0,1,0),B(1,1,2),C(0,1,2),

-3-



DB=(1,1,0),DC1=(0,1,-2),DC=(0,1,0),
→ ? ?n?DB=0, 设 n=(x,y,z)为平面 BDC1 的一个法向量,则? → ? ?n?DC1=0, 2,2,1), 设 CD 与平面 BDC1 所成角为 θ , 则 sinθ =| 2 |= . → 3 |n||DC|
2





即?

?x+y=0, ? ? ?y-2z=0,

取 n=(-

n?DC



14.设 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,过点 P(-1,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点,若 FQ=2,则直线的斜率等于________. 答案 ±1 解析 设直线 l 的方程为 y=k(x+1),联立?
2

?y=k(x+1), ? ?y =4x, ?
2

消去 y 得 k x +(2k -4)x+k

2 2

2

2

2k -4 xA+xB 2 =0,由根与系数的关系,xA+xB=- 2 ,于是 xQ= = 2-1,把 xQ 带入 y=k(x+1), k 2 k 2 得到 yQ= ,根据 FQ=

k

2 2 2 2 ( 2-2) +( ) =2,解出 k=±1.

k

k

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15.(14 分)已知命题 p:对数 loga(-2t +7t-5)(a>0 且 a≠1)有意义;q:关于实数 t 的不 等式 t -(a+3)t+(a+2)<0. (1)若命题 p 为真命题,求实数 t 的取值范围; (2)若命题 p 是命题 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 解 (1)因为命题 p 为真命题,所以对数式有意义, 5 2 即-2t +7t-5>0,解得 1<t< . 2 (2)因为命题 p 是命题 q 的充分不必要条件, 5 2 所以 1<t< 是不等式 t -(a+3)t+(a+2)<0 解集的真子集. 2 解法一:因为方程 t -(a+3)t+(a+2)=0 的两根为 1,a+2, 5 1 故只需 a+2> ,解得 a> . 2 2 解法二:令 f(t)=t -(a+3)t+(a+2), 5 1 因为 f(1)=0,故只需 f( )<0,解得 a> . 2 2 16.(14 分)已知命题 p:不等式|x-1|>m-1 的解集为 R,命题 q:f(x)=-(5-2m) 是减函
x
2 2 2 2

-4-

数,若 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 m 的取值范围. 解 由于不等式|x-1|>m-1 的解集为 R, 所以 m-1<0,m<1; 又由于 f(x)=-(5-2m) 是减函数, 所以 5-2m>1,m<2. 即命题 p:m<1,命题 q:m<2. 又由于 p∨q 为真,p∧q 为假,所以 p 和 q 中一真一假. 当 p 真 q 假时应有?
? ?m<1, ?m≥2, ? ?m≥1, ? ? ?m<2,
x

m 无解.

当 p 假 q 真时应有?

1≤m<2.

故实数 m 的取值范围是[1,2).

x2 y2 2 2 17.(14 分)已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率为 ,且 a =2b. b a 2
(1)求椭圆的方程; (2)若直线 l:x-y+m=0 与椭圆交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点在圆 x +y =5 上,求 m 的值.
2 2



c 2 ? = , ?a 2 (1)由题意得? a =2b, ? ?b =a -c ,
2 2 2 2 2

?a= 2, 解得?c=1, ?b=1,

故椭圆的方程为 x + =1. 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0).

y2

y ? ?x2+ =1, 2 联立直线与椭圆的方程得? ? ?x-y+m=0,
即 3x +2mx+m -2=0, 所以 x0=
2 2

2

x1+x2
2

m 2m =- ,y0=x0+m= , 3 3

? m 2m? 2 2 即 M?- , ?,又因为 M 点在圆 x +y =5 上, ? 3 3? ? m?2 ?2m?2 所以?- ? +? ? =5,解得 m=±3. ? 3? ? 3 ?
18.(16 分)直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AB⊥AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点,DE⊥平面 BCC1B1.

-5-

(1)证明:AB=AC; (2)设二面角 ABDC 为 60°,求 B1C 与平面 BCD 所成角的大小. (1)证明 以 A 为坐标原点,射线 AB、AC、AA1 分别为 x、y、z 轴的正半轴, 建立如图所示的直角坐标系 Axyz.设 B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c), 1 b 则 B1(1,0,2c),E( , ,c). 2 2 1 b → → 于是DE=( , ,0),BC=(-1,b,0). 2 2 → → 由 DE⊥平面 BCC1B1 知 DE⊥BC,DE?BC=0,求得 b=1,所以 AB=AC. → → → → → (2)设平面 BCD 的法向量AN=(x,y,z),则AN?BC=0,AN?BD=0.
?-x+y=0, ? → → 又BC=(-1,1,0),BD=(-1,0,c),故? ?-x+cz=0. ?

1 → 1 令 x=1,则 y=1,z= ,AN=(1,1, ).

c

c

→ 又平面 ABD 的法向量AC=(0,1,0). → → 由二面角 ABDC 为 60°知, 〈AN,AC〉=60°, 1 → → → → 故AN?AC=|AN||AC|cos60°,求得 c= . 2 → → 于是AN=(1,1, 2),CB1=(1,-1, 2), → → AN?CB1 1 → → → → cos〈AN,CB1〉= = , 〈AN,CB1〉=60°. → → 2 |AN||CB1| 所以 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30°. 19.(16 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形, 平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5. (1)求证:AA1⊥平面 ABC; (2)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (3)证明:在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求 (1)证明 因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1⊥AC. 因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C,且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC,所以 AA1⊥平面 ABC. (2)解 由(1)知 AA1⊥AC,AA1⊥AB.由题意知 AB=3,BC=5,AC=4,所 以 AB⊥AC.如图, 以 A 为原点建立空间直角坐标系 A-xyz, 则 B(0,3,0),

BD 的值. BC1

A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),

-6-

→ ? ?n?A1B=0, 设平面 A1BC1 的法向量为 n=(x,y,z),则? → ?n?A ? 1C1=0, 令 z=3,则 x=0,y=4,所以 n=(0,4,3). 同理可得,平面 BB1C1 的法向量为 m=(3,4,0),

? ?3y-4z=0, 即? ?4x=0, ?

n?m 16 所以 cos〈n,m〉= = . |n||m| 25
由题意知二面角 A1-BC1-B1 为锐角, 16 所以二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为 . 25 → → (3)解 设 D(x,y,z)是线段 BC1 上一点,且BD=λ BC1. 所以(x,y-3,z)=λ (4,-3,4).解得 x=4λ ,y=3-3λ ,z=4λ . → 所以AD=(4λ ,3-3λ ,4λ ). 9 → → 由AD?A1B=0,即 9-25λ =0.解得 λ = . 25 9 因为 ∈[0,1],所以在线段 BC1 上存在点 D, 25 使得 AD⊥A1B. 此时,

BD 9 =λ = . BC1 25
2 2 2 2

20.(16 分)已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) +y =9,动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内 切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时, 求 AB. 解 由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1,圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3.设动 圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切,∴PM+PN=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4,由椭圆的定 义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外), 其方程为 + =1(x≠-2). 4 3 (2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于 PM-PN=2R-2≤2,∴R≤2, 当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. ∴当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2) +y =4, 当 l 的倾斜角为 90°时,则 l 与 y 轴重合,
2 2

x2 y2

-7-

可得 AB=2 3. 当 l 的倾斜角不为 90°时,由 r1≠R 知 l 不平行 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q,则 = ,可 求得 Q(-4,0),∴设 l:y=k(x+4),由 l 与圆 M 相切得 2 . 4
2 2

QP R QM r1

|3k| 1+k

2

=1,

解得 k=± 当 k=

2 2 x y 2 时,将 y= x+ 2代入 + =1(x≠-2)并整理得 7x +8x-8=0,解得 x1,2= 4 4 4 3

-4±6 2 , 7 18 2 ∴AB= 1+k |x1-x2|= . 7 当 k=- 2 18 时,由图形的对称性可知 AB= , 4 7

18 综上,AB= 或 AB=2 3. 7

-8-


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