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第二轮复习教案09-解三角形及平面向量


第二轮复习教案 09-解三角形及平面向量 a b c 1.正弦定理sin A=sin B=sin C=2R(2R 为△ABC 外接圆的直 径). 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. a b c sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R. a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,

b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2 -2abcos C. b2+c2-a2 a2+c2-b2 推论:cos A= 2bc ,cos B= 2ac ,cos C= a2+b2-c2 2ab . 变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,a2 +b2-c2=2abcos C. 1 1 1 3.面积公式:S△ABC=2bcsin A=2acsin B=2absin C. 4.解三角形 (1)已知两角及一边,利用正弦定理求解. (2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求 解,解的情况可能不唯一. (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解. (4)已知三边,利用余弦定理求解. 5.已知两边及其一边的对角,判断三角形解的情况 以已知 a,b,A 为例 (1)当 A 为直角或钝角时,若 a>b,则有一解;若 a≤b, 则无解. (2)当 A 为锐角时,如下表:

a<bsin A

a=bsin A

无解 一解 6.三角形中的常用结论 (1)三角形内角和定理:A+B+C=π. (2)A>B>C? a>b>c? A>sin B>sin C. sin (3)a=bcos C+ccos B. 的加法与减法.

bsin A <a<b 两解

a≥b 一解

7.了解向量、共线向量的概念,掌握向量的几何表示,向量

8.了解平面向量的基本定理,掌握平面向量坐标运算,实数 与向量的积,向量的数量积. 9.掌握向量共线、垂直的充要条件. 解三角形 1.在锐角三角形 ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、 c,且 a=4bsin A,则 cos B=________. ∵a=4bsin A 且△ABC 为锐角三角形,∴sin A=4· B· sin sin 1 15 A.∴sin B=4,∴cos B= 4 . 2.已知△ABC 是半径为 R 的圆内接三角形,且 2R(sin2A- sin2C)=( 2a-b)sin B. (1)求角 C;(2)试求△ABC 的面积 S 的最大值. 题设中的条件等式是△ABC 中角、 边及外接圆半 径 R 的混合关系式,因此,可以利用正、余弦定理将其统一 为一种元素(边或角).

解:(1)由 2R(sin2A-sin2C)=( 2a-b)sin B,两边同乘以 2R, 得(2Rsin A)2-(2Rsin C)2=( 2a-b)2Rsin B, 根据正弦定理, a=2Rsin A, 得 b=2Rsin B, c=2Rsin C, 2 ∴a -c2=( 2a-b)b,即 a2+b2-c2= 2ab. a2+b2-c2 2 再由余弦定理,得 cos C= 2ab = 2 ,又 0<C<π,∴C π =4. π 3π (2)∵C=4,∴A+B= 4 . 1 2 S=2absin C= 4 (2Rsin A)(2Rsin B)= 2R2sin Asin B 2 2 2 =- 2 R2[cos(A+B)-cos(A-B)] = 2 R2[ 2 +cos(A-B)]. ∵0<A<π,0<B<π,∴-π<A-B<π,当且仅当 A-B=0,即 3π A=B= 8 时,cos(A-B)=1, 1+ 2 S 取到最大值 2 R2. 3.在△ABC 中, b, 分别为内角 A, C 的对边, 2asin a, c B, 且 A=(2b+c)sin B+(2c+b)· C. sin (1)求 A 的大小;(2)求 sin B+sin C 的最大值. (1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2 =b2+c2+bc. 1 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A,所以 cos A=-2,又 0° <A<180° ,故 A=120° . 3 1 (2)由(1)得 sin B+sin C=sin B+sin(60° -B)= 2 cos B+2sin B=sin(60° +B).

故当 B=30° 时,sin B+sin C 取得最大值 1. 4.如图, 某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动 赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y= Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为 S(3,2 3);赛道的后一部分为折线段 MNP,为保证参赛运动 员的安全,限定∠MNP=120° . (1)求 A,ω 的值和 M,P 两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长? T (1)依题意,有 A=2 3,4 =3, 2π π π 又 T= ω ,∴ω=6. ∴y=2 3sin6x. 2π 当 x=4 时,y=2 3sin 3 =3,∴M(4,3),又 P(8,0),∴MP = 42+32=5. 方法二 (1)同方法一. (2)在△MNP 中,∠MNP=120° ,MP=5, 2 2 由余弦定理得 MN +NP -2MN· cos∠MNP=MP2.即 MN2 NP· +NP2+MN· NP=25. ?MN+NP? ?2 2 故(MN+NP) -25=MN· ? NP≤? ? , 2 ? ? 3 10 3 从而4(MN+NP)2≤25,即 MN+NP≤ 3 .当且仅当 MN=NP 时等号成立. 即设计为 MN=NP 时,折线段赛道 MNP 最长. 5.在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向,距离 A( 3-1) n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75° 的方向, 距离 A 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私

船.此时,走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船? 解 如图所示, 注意到最快追上走私船且两船所 用时间相等,若在 D 处相遇,则可先在△ABC 中求出 BC,再在△BCD 中求∠BCD. 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船,则有 CD= 10 3t,BD=10t. 在△ABC 中,∵AB= 3-1,AC=2, ∠BAC=120° , ∴由余弦定理, BC2=AB2+AC2-2AB· cos∠BAC=( 3 得 AC· -1)2+22-2× 3-1)× cos 120° ( 2× =6, ∴BC= 6,∵∠CBD=90° +30° =120° , BD· sin∠CBD 在△BCD 中,由正弦定理,得 sin∠BCD= = CD 10tsin 120° 1 =2, 10 3t 又∵∠BCD∈(0° ,60° ), ∴∠BCD=30° .即缉私船沿北偏东 60° 方向能最快追上走私 船. 平面向量 1. 平面直角坐标系中,O 为坐标原点, 已知两点 A(3,1) ,B(?1,3) , 若点 C 满足 OC ? ?OA ? ? OB ,其中 ? , ? ? R ,且 ? ? ? ? 1 ,则点 C 的轨 迹方程为: D ) ( (A) 3x ? 2 y ? 11 ? 0 (B) ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 5 (C) 2 x ? y ? 0 (D) x ? 2 y ? 5 ? 0 2.下列命题中正确的有( C ) (1)若 a 与 b 为非零向量,且 a ∥ b ,则 a ? b 必与 a 或 b 中之一 的方向相同。 (2) e 与 e 是平面内所有向量的一组基底, ? e ? ? e ? 0, 则 若 且
2 2

1

2

1 1

2 2

?1 ? ?2 ? 0.

? ? (3)若 e 为单位向量且 a ∥ e, 则 a ?| a | e. (4) a ? a ? a ?| a | (5)若 A, B, C, D 四点共面,则必有 AC ? BD ? BC ? AD 1个 2个 3个 4 ( A) (B ) (C ) (D) 个 3.不共线的向量 a 和 b 的夹角平分线上的单位向量是 ( D )
3

( A)

a?b

(B)

a?b |a?b|

(C )

? ? | b | a? | a | b ( D) ? ? | b | ?a? | a | ?b

a b ? ? ? |a | |b |

4.若直线
2 2

按 向 量 a ? (?1,?2) 平 移 后 与 圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 相切,则实数 m 的值等于-3 或-13. ? ? ? 5.设 O 、 A 、 B 、 C 为平面上四个点, OA ? a , OB ? b , OC ? c , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且 a ? b ? c ? 0 , a ? b ? b ? c = c ? a ? ?1 ,则 | a | ? | b | ? | c | = 3 2 . 6.已知 D 是 ?ABC 所在平面内的一个定点,若 (DB ? DC ? 2DA) ? ( AB ? AC) ? 0 ,则 ?ABC 的形状是等腰三角形. 7.设 m ? (a, b) , n ? (c, d ) ,规定两向量 m , n 之间的一个运算“ ? ” 为 m ? n ? (ac ? bd, ad ? bc) ,若已知 p ? (1,2) , p ? q ? (?4,?3) ,则 q ? (?2,1) .
x ? 2y ? m ? 0

8.若对 n 个向量 a , a ,?a 存在 n 个不全为零的实数 k , k ,?, k ,使 得 k a ? k a ? ? ? k a ? 0 成立, 则称向量 a , a ,?a 为“线性相关”. 依 ?? ?? ? ?? ? 此规定, 能说明 a ? (1,0) , a ? (1, ?1) , a ? (2, 2) “线性相关”的实数 k , k , k 依次可以取-4,2,1(写出一组数值即可,不必考虑 所有情况) . 9.已知 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 上的一
1 2 n
1 2 n

1 1

2

2

n

n

1

2

n

1

2

3

1

2

3

2

2

a2

b2

点,若 PF ? PF =0,
1 2

tan∠PF1F2= 1 ,则此椭圆的离心率为 2 C. 1 3
1

( D A. 1 2

) B. 2 3 D.
5 3

o c , 10. a ? (1 ?s ?nis ? ) , b ? (1 ? cos? , sin ? ) , ? ? (0,? ) , ? ? (? ,2? ) , 与 设 a ? ? x 轴正半轴的夹角为 ? , b 与 x 轴正半轴的夹角为 ? ,且 ? ? ? ? , 3
2
1 2

? 求| a ? b |. 解:∵ 0 ? ? ? ? , ? ? ? ? 2?
? 故 | a |?

?



0?

?
2

?

?
2

,? ? ? ??
?
2 2

2 2 ? ? ? | b |? (1 ? cos ? ) 2 ? sin 2 ? ? 2 ? 2 cos ? ? 2 | sin |? 2sin 2 2 ? ? ? a ?e ? ? 设 e ? (1,0) ,则 cos?1 ? ? ? ? cos , 故? 1 ? ; 2 | a || e | 2 ? ? ? ? b ?e ? ? ? ? ? cos? 2 ? ? ? ? sin ? cos( ? ) ? cos( ? ) ,故 ? 2 ? ? 2 2 2 2 2 2 2 | b || e | 又 ?1 ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5? 3 2 2 2 3 2 6 ? ? ∴ | a ? b |? (cos a ? cos ? )2 ? (sin ? ? sin ? )2 ? 2 ? 2 cos(? ? ? ) ? 3

(1 ? cos ? ) 2 ? sin 2 ? ? 2 ? 2 cos ? ? 2 | cos

?

|? 2 cos

11. 以 O 为原点, OF 所在的直线为 x 轴,建立如图所示的直 角坐标系.设 OF ? FG ? 1 ,点 F 的坐标为 (t ,0) ,t ? [3,??) ,点 G 的坐标 为 (x , y ) . (1)求 x 关于 t 的函数 x ? f (t ) 的表达式,判断函数 f (t ) 的单调 性,并证明你的判断;
0 0 0 0

(2)设 ?OFG 的面积 S ?

31 t ,若以 O 为中心, F 6

为焦点的椭圆

经过点 G ,求当 | OG | 取得最小值时椭圆的方程; y (3)在(2)的条件下,若点 P 的坐标为 (0, 9 ) ,C、D 是椭圆
2

上的两点,且 PC ? ? PD(? ? 1) ,求实数 ? 的取值范围. 解: (1)由题意, FG ? ( x ?t, y ) , OF ? (t,0) ,则 1 . OF ? FG ? t ( x ?t ) ? 1 ,∴ x ? f (t ) ? t ? (t≥3)
0 0 0
0

G

O

x
F (t ,0)

t

所以 f ?(t ) ? 1 ? 1 , t ? 3 时,f ?(t ) ? 0 , 当 所以 f (t ) 在 [3,??) 时单调递增.
t2 (2)由 S ? 1 | OF || y0 |? 1 t? | y0 |? 31 t ,得 y0 ? ? 31 , 2 2 6 3 ∴点 G 的坐标为 (t ? 1 ,? 31) , | OG |2 ? (t ? 1) 2 ? 31 . t 9 t 3

∵ f (t ) 在 [3,??) 时单调递增,所以当 t ? 3 时, | OG | 取得最小值, 此时 F 、G 的坐标分别是 (3,0) 、(10 ,?
3 31 ) ,由题意设椭圆方程为 3

x2 y2 ? 2 ? 1 ,由点 G b2 ? 9 b x2 y2 ? ? 1. 18 9

在椭圆上得 b

2

? 9 ,所以所求椭圆方程为

(3)设 C、D 的坐标分别为 ( x, y ) 、 (m, n) ,则 PC ? ( x, y ? 9 ) ,
2

9 PD ? ( m, n ? ) 2

,由 PC ? ? PD(? ? 1) ,得 x ? ?m , y ? ?n ? 9 ? ? 9 ,
2 2

9 9 (?n ? ? ? ) 2 m2 n2 ?2 m 2 2 2 ? 1, 因为 C、 是椭圆上的两点, D 所以 ? ? 1 , ? 18 9 18 9 消去 m 得,n ? 13? ? 5 , 又因为 | n |? 3 , 所以 | 13? ? 5 |? 3 , 解得 1 ? ? ? 5 , 4? 4? 5 ∴实数 ? 的取值范围是 [ 1 ,1) ? (1,5] . 5
? ? 12.已知平面上三个向量 a 、 b 、 c 的模均为 1,它们相互之 间的夹角均为120 . ? ? ? ? ? ? (1)求证: (a ? b ) ⊥ c ; (2)若 | ka ? b ? c |? 1 (k ? R) ,求 k 的取值范 围. ? ? ? ? ? ? 解: (1)∵ | a |?| b |?| c |? 1,且 a 、 b 、 c 之间的夹角均为 120° , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c ?| a || c | cos120 ? | b || c | c o1s 2 0? 0 ? ? ? ∴ (a ? b ) ? c ? 0 ? ? ? ? ? ? (2)∵ | ka ? b ? c |? 1 ,即 | ka ? b ? c | ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 也就是 k a ? b ? c ? 2ka ? b ? 2ka ? c ? 2b ? c ? 1 ? ? ? ? ? ? ∵ a ? b ? b ? c ? a ? c ? ? 1 ,∴ k ? 2k ? 0 , 所以 k ? 0 或 k ? 2 .
?

?

0

0

2

2

2

2

2

2

2

13.已知向量 a ? (cos 3 x, sin 3 x) , (1)当 x ? [0, ] ,求 a ? b及 | a ? b | ; (2)若 取值范围. 解: (1)?
?
2 2

b ? (cos

x x ,? sin ) . 2 2

2 3 ? ? ? ? f ( x) ? a ? b ? 2m | a ? b | ≥ ? 对一切实数 x 都成立,求实数 m 的 2

? 3 x 3 x x ? [0, ] ,∴ cos x ? 0 , a ? b ? cos x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x 2 2 2 2 2 ?2 ? ? ?2 | a ? b |? a ? 2a ? b ? b ? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 | cos x | ? 2 cos x
2 2

(2) f ( x) ? cos2x ? 4m | cosx |? 2(t ? m) ?1? 2m ,其中 t ?| cos x |? [0,1] 3 ①若 m ? 0 ,则当且仅当 t ? 0 时, f (x) ? -1≥ ? 2 恒成立;
min

②若 0 ? m ? 1 ,则当且仅当 t ? m 时, f (x) ③若 m ? 1 ,则当且仅当 t ? 1 时, f (x)
min

3 ,0 ? m ? 1 ; 2 2 3 5 ? 1? 4m ≥ ? , m ? , 2 8
min

? ? 1 ? 2m 2 ≥ ?

这与 m ? 1 相矛盾. 综上所得,实数 m 的取值范围是 ( ? ?, 1 ] . 2 14.如图,已知点 P(3,0) ,点 A,B 分别在 x 轴负半轴和 y 轴上, BP ? BA ? 0, AC ? 2 BA, 当点 B 在 y 轴上移动时记点 C 的 且 轨迹为 E. (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)已知向量 i ? (1, 0), j ? (0,1),过点Q(1,0)且以向量 i ? k j (k ? R) 为方 向向量的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 M,N,若 D(-1, 0) 且 DM ? DN ? 0, 求k 的取值范围. ,
?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ??

解: (Ⅰ)设 A(a,0)(a<0), B(0,b), C(x,y). 则 AC ? (x ? a, y), BA ? (a,?b), BP ? (3,?b). ∵ BP ? BA ? 0, AC ? 2BA,
?3a ? b 2 ? 0, ∴ ? x ? a ? 2a, ? ? y ? ?2b. ?

消去 a,b 得 y2=-4x ∵ a ? 0,? x ? 3a ? 0. 故曲线 E 的方程为 y ? ?4x( x ? 0). (Ⅱ)设 R(x,y)为直线 l 上一点,由条件知
2

QR ? ?(i ? k j),即( x ? 1, y) ? ?(1, k ). ∵ ?x ? 1 ? ? 消去 ?得l 的方程为 y ? k ( x ? 1). ? ? y ? ?k . y ? k ( x ? 1) 由? 2 ? k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0. …………(*) ? ? y ? ?4 x

∵直线 l 交曲线 E 于不同的两点 M、N, ∴ ? ? 0 ? k ? 1. …………① 设 M (x , y ), N (x , y ),则DM ? (x ? 1, y ), DN ? (x ? 1, y ). ∵M、N 在 y ? k ( x ? 1) 上, ∴ y ? k ( x ? 1), y ? k ( x 又由(*) ,有 x ? x ? 2(k ? 2) , x ? x ? 1.
2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

? 1).

2

1

2

k2

1

2

∴ DM ? DN ? (x

1

? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? k 2 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)

? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (1 ? k 2 )(x1 ? x2 ) ? k 2 ? 1 ?

8k 2 ? 4 . k2

由条件知 8k

2

?4
2

k

? 0 ? k2 ?

1 2

…………②
2 2 或 ? k ? 1. 2 2

解①、②组成的不等式组得: ? 1 ? k ? ?


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