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2013合肥三模数学理试题及答案


合肥市 2013 年高三第三次教学质量检测 数学试题(理)
(考试时间:120 分钟满分:150 分)

第 I 卷(满分 50 分)
—、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的) 1. 设集合 M={ x ? R |x2<4},N={-1,1,2},则 M

? N=( ) A{-1,1,2} B.{-1,2} C.{1,2} D{-1,1}

2. 已知(1+i)(a-2i)= b-ai(其中 a,b 均为实数,i 为虚数单位) ,则 a+b =( ) A. -2 B.4 C.2 D.0

1 ,则 a7 =( ) 4 1 1 1 1 A. B. C. D. 64 8 32 16 1 4. “ m < 1 ”是“函数 f(x) = x2-x+ m 存在零点”的( ) 4
3. 等比数列{an}中,a2=2,a5 = A.充分不必要条件 C.必要不充分条件 B.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 右边程序框图,输出 a 的结果为( ) A.初始值 a B.三个数中的最大值 C. 二个数中的最小值 D.初始值 c

?x ? 2 y ? 2 ? 6. 已知 ?3 x ? y ? 6 ? 0 ,且 z=x2+y+,则 z 的最小值是( ) ?2 x ? 3 y ? 3 ? 0 ?
A.4 B.1 C. 18 7. P D.y ABCDEF 某 一 边 上 一 点 ,

是 正 六 边 形

AP ? x AB ? y AF ,
则 x+y 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 8. 右图为一个简单组合体的三视图, 其中正视图由 一个半

1

圆和一个正方形组成,则该组合体的表面 积为( ) A.20 + 17 ? C. 16 + 17 ? B.20 + 16 ? D. 16 + l6 ?

9. 五个人负责一个社团的周一至周五的值班工作, 每人一天,则甲同学不值周一, 乙同学不值周五,且甲,乙不相邻的概率是( ) A.

3 10

B.

7 20

C.

2 5

D.

13 30

10.定义域为 R 的函数 f(x)的图像关于直线 x= 1 对称,当 a∈[0,l]时,f(x) =x,且对 任意 x ? R 只都有 f(x+2) = -f(x),g(x)= ? 实数根的个数为( ) A. 1006 B. 1007 C. 2012 D.2014

? f ( x)(x ? 0) ,则方程 g(x)-g(-x) =0 ?? log2013 (? x)(x ? 0)

第 II 卷(满分 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置) 11.已知抛物线的准线方程是 x= ______ 12.关于 x 的不等式 log2|1-x| > 1 的解集为_______ 13.曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 2 cos? , 曲线 T 的参数

1 ,则其标准方程是 2

方程为 ?

? x ? ?t ? 1 (t 为参数) ,则曲线 C 与 T 的公共点有 ? y ? 2t ? 1

______个. 14.如图,一栋建筑物 AB 高(30-10 3 )m,在该建筑 物 的正东方向有一个通信塔 CD.在它们之间的地面 M 点(B、M、 D 三点共线)测得对楼顶 A、塔顶 C 的仰角分别是 15°和 60°,在楼顶 A 处 测得对塔顶 C 的仰角为 30°,则通信塔 CD 的高为______m. 15.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,P,Q,R 分 别是棱 BC,CD,DD1 的中点.下列命 题: ①过 A1C1 且与 CD1 平行的平面有且只有一个;

2

②平面 PQR 截正方体所得截面图形是等腰梯形; ③AC1 与平面 PQR 所成的角为 60°; ④线段 EF 与 GH 分别在棱 A1B1 和 CC1 上运动,且 EF + GH = 1, 则三棱锥 E - FGH 体积的最大值是

1 12

⑤线段 MN 是该正方体内切球的一条直径,点 O 在正 方体表 面上运动,则

OM.ON

的取值范围是[0,2].

其中真命题的序号是______(写出所有真命题的序号). 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=Asin( ?x ? ? ), (? ? 0, A ? 0, ? ? (0, 分图像如图所示. (I)求函数 f(x)的解析式; (II)已知 a ? (0,

?
2

)) 部

?
2

) ) cos a ? ,且

2 ,求 f(a). 3

17.(本小题满分 13 分) 如图 BB1,CC1 ,DD1 均垂直于正方形 AB1C1D1 所在平面 A、 B、C、D 四点共面. (I)求证:四边形 ABCD 为平行四边形; (II)若 E,F 分别为 AB1 ,D1C1 上的点, 1 =CC1 =2BB1 =4,AE AB = D1F =1. (i)求证:CD 丄平面 DEF;

3

(ii)求二面角 D-EC1-D1 的余弦值.

18.(本小题满分 12 分) 已知 f(x) = logax- x +1( a>0,且 a ≠ 1). (I)若 a=e,求 f(x)的单调区间; (II)若 f(x)>0 在区间(1,2)上恒成立,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 13 分) 根据上级部门关于开展中小学生研学旅行试点工作的要求,某校决定在高一年级开展 中小学生研学旅行试点工作.巳知该校高一年级 10 个班级,确定甲、 乙、 丙三 条研学旅行路 线.为使每条路线班级数大致相当, 先制作分别写有甲、 丙字样的签 各三张, 乙、 由高一 (1) ?高一(9)班班长抽签,再由高一(10)班班长在分别写有甲、乙、 丙字样的三张签中抽取 一张. (I)设“有 4 个班级抽中赴甲路线研学旅行”为事件 A,求事件 A 的概率 P(A); (II )设高一(l)、高一(2)两班同路线为事件 B,高一(1)、高一(10)两班同路线为事 件 C,试比较事件 B 的概率 P(B)与事件 C 的概率 P( C)的大小; (III)记(II)中事件 B、C 发生的个数为ξ ,求随机变量ξ 的数学期望 Eξ

20.(本小题满分 12 分) 平面内定点财(1,0),定直线 l:x=4,P 为平面内动点,作 PQ 丄 l,垂足为 Q,且
4

| PQ |? 2 | PM | .
(I)求动点 P 的轨迹方程; (II )过点 M 与坐标轴不垂直的直线, 交动点 P 的轨迹于点 A、 线段 AB 的垂直平分 线 B, 交 x 轴于点 H,试判断

| HM | -是否为定值. | AB |

21.(本小题满分 13 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且对任意的 n ? N * , 都有 an>0,Sn= (I)求 a1,a2 的值; (II)求数列{an}的通项公式 an (III)证明:ln2≤an·ln(1+ 1 ) <ln3

a1 ? a 2 ? ... ? a n
3 3

3

an

5

6

7

8

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9


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