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20150817李建泉几何


2015.8 学大伟业 1.已知锐角 ?ABC 的外接圆为

O ,过点 B,C 分别与 O 相切的直线交于点 P ,以 P

为圆心, PB 为半径的圆与 ?BAC 的角平分线交于点 Q ,直线 QO 与 BC 交于点 D ,点 Q 在边 AC, AB 上的投影分别为 E, F ,证明 AD, BE,CF 交于一点。 2.已知 ?A0 A

1 A2 的外接圆为

O ,直线 OAi ? i ? 0,1, 2 ? 与边 Ai ?1 Ai ? 2 交于点 Bi , O 在

点 Ai 处的切线与直线 Bi ?1 Bi ? 2 交于点 C i ,其中所有下标取模 3 的余数,证明 C0 , C1 , C2 三点 共线。 3.已知

O1 , O2 交于两点 A, B ,过 A, B 分别与 O1 的相切的直线交于点 T , M 为

O1 上异于 A, B 的任意一点,直线 MT 与 O1 交于点 C ,直线 MA, AC 与 O2 分别交于
点 K , L ,证明线段 KL 的中点在直线 MC 上。 4.已知锐角 ?ABC ? AB ? BC ? 的三条高线分别为 AH A , BH B , CH C , BM 为 AC 边上 的中线, BM 与 AH A 交于点 K ,过 K 作 AC 的平行线,与 BC 交于点 T , H 为 ?ABC 的 垂心,证明直线 H C H A , HT , AC 交于一点。 5. 设 ABCDEF 是 凸 六 边 形 , 满 足 AB ? BC ? CD, DE ? EF ? FA , 设 G, H 是这个六边形内部的两点, 使得 ?AGB ? ?DHE ? 120? , ?BCD ? ?EFA ? 60? , 证明 AG ? GB ? GH ? DH ? HE ? CF 。 6.已知锐角 ?ABC 的三边 BC, CA, AB 上的高线长分别为 ha , hb , hc , P 为 ?ABC 内一 点,证明

PA PB PC ? ? ? 1。 hb ? hc hc ? ha ha ? hb
I 和外接圆 O 的半径分别为 r, R , O1 与 O 内切于点 A ,

7.已知 ?ABC 的内切圆 且与

I 外切,类似地定义 O2 , O3 。设 O1 , O2 , O3 的半径分别为 r1 , r2 , r3 ,证明

R ? r3 3R R ? r1 R ? r2 ? ? ? 。 r ? 4r1 r ? 4r2 r ? 4r3 4r
8. 设 P 是 ?ABC 的外接圆弧 BC 上的动点, P 关于直线 AB, AC 的对称点分别为

M , N ,证明直线 MN 过一个定点。

9.已知 ?ABC 为给定的锐角三角形,其内切圆

I 与边 AB, AC 分别切于点 K , L ,高

线 AH 分别与 ?B, ?C 的角平分线交于点 P, Q 。设 ?KPB , ?LQC 的外接圆分别为 ?1 , ? 2 ,

AH 的中点在圆 ?1 , ? 2 的外部,证明从 AH 的中点分别引圆 ?1 , ? 2 的切线长相等。
10.已知 ?ABC 的三条高线分别为 AA?, BB?, CC? ,点 X 在线段 AA? 上,过点 B, X 的圆

? B 的圆心在 BC 上,过点 C, X 的圆 ? C 的圆心在 BC 上,圆 ? B 与 AB, BB? 分别交于点

M , M ? ,圆 ? C 与 AC, CC? 分别交于点 N , N ? ,证明 M , M ?, N , N ? 四点共圆。
11.已知梯形 ABCD 内接于

O ,且 AB 为 O 的直径,对角线 AC, BD 交于点 E ,以

B 为圆心, BE 为半径的圆与 O 交于点 K , L ,点 K , C 在直线 AC 的同侧,过点 E 且垂直
于 BD 的直线与 CD 交于点 M ,证明 KM ? DL 。 12. 已 知 四 边 形 A B C D 为圆内接四边形,点 P 在四边形 ABCD 内,且

?P A B? ? P B C ? ? PCD ? ? ,直线 P D A AB, DC 交于点 Q ,直线 AD, BC 交于点 R ,
证明直线 PQ,PR 的夹角与对角线 AC,BD 的夹角相等或互补。 13.设锐角 ?ABC 的内心为 I , ?C 内的旁切圆 的第二个交点为 S ,证明 DI 平分 ?BSA 。 14. ?ABC 满足 BC ? CA ? AB , AB? 6, ?C ? ?B ? 90? ,内切圆 点 E , EF 是

I C 与 AB 切于点 D ,直线 DI 与 I C

O 与边 BC 切于

O 的直径,射线 AF 与 BC 交于点 D ,若 DE 等于 ?ABC 的外接圆半径,

求边 BC, AC 的长。 15.已知 ?ABC 的内切圆 证明 KQ ? IE 。 16.在 ?ABC 中, 点 A, B 在 ?B, ?A 的角平分线上的投影分别为 D, E , 证明直线 DE 与 边 AC, BC 的交点为 ?ABC 的内切圆 17.已知 ?ABC 的内切圆

I 与边 AC 切于点 Q ,AC 的中点为 E , ?BIC 的垂心为 K ,

I 与边 AC, BC 的切点。

I 与边 AB, BC, CA 分别切于点 N , K , P ,若 AB ? BC ,且

直线 AQ, TP 交于点 S ,CT , PQ 交于点 ?A, ?C 的角平分线分别与直线 NK 交于点 Q, T ,

F ,证明 NK , SF , AC 三线共点。

18.已知 ?ABC 的内心、 外心分别 I , O , 直线 l 平行于 BC , 且与 ?ABC 的内切圆

I相

切,直线 l 与 IO 交于点 X , Y 为直线 l 上一点,且满足 YI ? IO ,证明 A, X , O, Y 四点共 圆。 19.设 ?ABC 的内切圆

I 与边 CA, AB 分别切于点 E, F , 点 E, F 关于点 I 分对称点分

别为 G, H ,直线 GH 与 BC 交于点 Q , BC 的中点为 M ,证明 IQ ? IM 。 20.在非等腰 ?ABC 中,其内切圆 垂直于 BI 的直线与

I 与边 BC, CA, AB 分别切于点 D, E, F ,过点 E 且

I 交于点 K ,过点 F 且垂直于 CI 的直线与 I 交于点 L , J 是线段 AB KL 的中点,证明 ?1? D, I , J 三点共线;? 2 ? 若 B, C 为定点, A 为平面上满足 ? k(k AC I 分别交于点 M , N , 直线 MN

为给定常数) 的动点, 且 A, B, C 三点不共线, 直线 IE, IF 与

与 IB, IC 分别交于点 P, Q ,则 PQ 的中垂线恒过一个定点。 21.已知 ?ABC 内接于 满足

O ,过点 A 作 O 的切线 l ,点 D, E 分别在边 AB, AC 上,且

BD AE 。直线 DE 与 O 交于点 F , G (点 D 在 E, F 之间) ,过点 D, E 分别作平 ? DA EC

行于 AC, AB 的直线,与直线 l 分别交于点 H , I ,证明 F , G, I , H 四点共圆,且直线 BC 与 该圆相切。 22. 已知 P 为 ?ABC 的内一点,直线 AP, BP, CP 与 ?ABC 的外接圆

O 分别交于点

T , S , R ,U 为线段 PT 上任意一点,过 U 作 AB 的平行线,与 CR 交于点 W ;过 U 作 AC
的平行线,与 BS 交于点 V ,作平行四边形 PBQC ,若 RS // VW ,证明 ?CAP ? ?BAQ 。 23.已知正 ?ABC 的中心为 O ,过点 C 的直线与 ?AOB 的外接圆交于点 D, E ,证明

A, O 与线段 BD, BE 的中点四点共圆。
24.已知

O 为锐角 ?ABC 的外接圆,以 O 为圆心与边 BC 相切的圆为 ? ,过点 A 作圆

? 的两条切线,与直线 BC 分别交于点 X , YACBT ,其中点 X , B 在直线 AO 的同侧,过点
X 作与 AC 平行的直线与过点 B 作 O 的切线交于点 T ,过点 Y 作与 AB 平行的直线与过 点 C 作 O 的切线交于点 S ,证明直线 TS 与 O 相切。 25.已知 D 为 ?ABC 的边 AB 上一点, ?BCD 的外接圆与边 AC 交于点 E , ?ACD 的 外接圆与边 BC 交于点 F ,线段 EF 的中垂线与 AB 交于点 M ,与过点 D 且垂直于 AB 的 直线交于点 N ,直线 AB 与 EF 交于点 T , ?CDM 的外接圆与 CT 交于点 U ,证明 NC ? NU 。

26. 已知点 P 在 ?ABC 的内部,直线 AP, BP, CP 与 ?ABC 的外接圆

O 分别交于点

A?, B?, C? , 设 ?P B , C ?

? A?B , ? ? P外 ? 为B P, C ?A , P ? P? B? C , ?的 C心 A分 别 P A

,证明直线 OAOA? , OBOB? , OC OC? 交于一点。 OA , OB , OC ,? OA ,? OB ,? OC 27.在锐角 ?ABC 中, AC ? BC ? AB , O, H 分别为 ?ABC 的外心和垂心, D, E 分

D ? 为点 D 关于直线 AB 的对称点,E ? 为点 E 别为 ?ABC 的外接圆的劣弧 AB, AC 的中点,
关于直线 AC 的对称点,证明 O, D?, H , E? 四点共圆当且仅当 A, D?, E? 三点共线。

?A 的角平分线与边 BC 交于点 D , 28.在 ?ABC 中,AC ? 2 AB , O 为 ?ABC 的外心, 作 OE ? AD 于 点 E , 在 AD 上 取 不 同 于 D 的 点 F , 使 得 C D? C F ,证明 ?E B F ? ? E C。 F
29.已知锐角 ?ABC 的垂心为 H ,过点 A, B 分别作 AC, BC 的垂线交于点 D ,以 C 为 圆心, CH 为半径的圆与 ?ABC 的外接圆交于点 E, F ,证明 DE ? DF ? AB 。 30. 在 等 腰 ?ABC 中 , A B , M , N 分 别 为 边 BC, AC 上 的 点 , 且 满 足 = AC

?BAM =?CNM ,直线 AB,MN 交于点 P ,证明 ?BAM ,?BPM 的角平分线的交点在边
BC 上。
31. 已知凸五边形 ABCDE 满足 BC // AE, AB? BC ,M 是 ? AE ,? ABC ? ? CDE

CE 的中点, O 是 ?BCD 的外心,且 ?DMO ? 90? ,证明 2?BDA ? ?CDE 。 32.设 ABCDEF 是圆内接六边形,AD 是直径,BF // CE ,AC 与 BD 交于点 K ,AE 与 DF 交于点 L , KL 的中点为 M ,证明 MC ? ME 。


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