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新高二数列第八课时:数列的证明与应用1


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教师姓名 学 科 数学 学生姓名 课题名称 年 级 新高二 上课时间 第八课时

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数列的证明与应用 1

教学目标 教学重难点

第八课时:数列的证明与应用 1<

br />讲授要点: 1.定义法的证明与应用 2.待定系数法的证明与应用; 3.结构法的证明与应用; 4.转化法的证明与应用; 本卷以 p,q 法及证明为主体,辅以常规应用 1. (2015?肇庆三模)已知数列{an}满足:a1= ,3an+1﹣2an=1(n∈N ) ;数列{bn}满足:bn=an+1﹣an(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式及其前 n 项和 Sn; (2)证明:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列. 2. (2015?开封模拟)已知数列{an}满足 a1=1,n(an+1﹣an)=an+n +n,n∈N ,证明:数列
2 * * *

是等差数列.

3. (2015?安徽模拟)设数列{an}满足:a1= ,an+1﹣an=2(an+1﹣1) (an﹣1) (Ⅰ )证明数列{ }是等差数列并求数列{an}的通项公式 an

(Ⅱ )证明:a1?a2?a3…an



4. (2015?长宁区一模)已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0,an≠0, (n∈N ) ,且 akx +2ak+1x+ak+2=0(k∈N ) (1)求证:当 k 取不同自然数时,此方程有公共根; (2)若方程不同的根依次为 x1,x2,…,xn,…,求证:数列{ }为等差数列.

*

2

*

二.解答题(共 26 小题) 5. (2014 春?通州区校级期末)已知﹛an﹜是以 a 为首项,q 为公比的等比数列,Sn 为它的前 n 项和. (Ⅰ )当 S1,S3,S4 成等差数列时,求 q 的值; (Ⅱ )当 Sm,Sn,Sl 成等差数列时,求证:对任意自然数 k,am+k ,an+k,al+k 也成等差数列. 6. (2014?永川区校级学业考试)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn?Sn﹣1=0(n≥2) ,a1= .

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(1)求证:{ }是等差数列;

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(2)求 an 的表达式.
*

7. (2014?日照一模)已知数列{an}是首项为 a1= ,公比 q= 的等比数列,设 bn+2=3log 足 cn=an?bn. (1)求证:{bn}是等差数列; (2)求数列{cn}的前 n 项和 Sn; (3)若 Cn≤ +m﹣1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围.

an(n∈N ) ,数列{cn}满

8. (2014?宜昌三模)设数列{an}的通项公式为 an=2 ,数列{bn}满足 2n ﹣(t+bn)n+

n

2

=0, (t∈R,n∈N ) .

*

(1)试确定实数 t 的值,使得数列{bn}为等差数列; (2)当数列{bn}为等差数列时,对每个正整数 k,在 ak 和 ak+1 之间插入 bk 个 2,得到一个新数列{cn}.设 Tn 是数列 {cn}的前 n 项和,试求满足 Tm=2cm+1 的所有正整数 m. 9. (2014?湖南模拟)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2 +1(n∈N ) n (1)求证:数列{an﹣2 }为等差数列; (2)设数列{bn}满足 bn=log2(an+1﹣n) ,若 且 n≥2 恒成立,求实数 k 的取值范围. 10. (2014?绵阳三模)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S3,S9,S6 成等差数列. (Ⅰ )求数列{an}的公比 q; (Ⅱ )证明:a2,a8,a5 成等差数列. 11. (2014?顺义区二模)已知集合 A={a1,a2…an}(0≤a1<a2<…<an,n∈N ,n≥3)具有性质 P:对任意 i,j(1≤i≤j≤n) , ai+aj 与 aj﹣ai 至少一个属于 A. (1)分别判断集合 M={0,2,4}与 N=(1,2,3)是否具有性质 P,并说明理由; (2)① 求证:0∈A;② 求证:a1+a2+a3+…+an= ;
* n *



对一切 n∈N

*

(3)研究当 n=3,4 和 5 时,集合 A 中的数列{an}是否一定成等差数列. 12. (2014?南开区二模)已知函数 f(x)=x+4 +4 (x≥0) ,数列{an}满足:a1=1,an+1=f(an) , (n∈N ) ,数列 b1,
*

b2﹣b1,b3﹣b2,…,bn﹣bn﹣1 是首项为 1,公比为 的等比数列. (1)求证:数列{ (2)若 cn= }为等差数列;

?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

13. (2014?昆山市校级模拟)已知数列{an},对于任意 n≥2,在 an﹣1 与 an 之间插入 n 个数,构成的新数列{bn}成等 差数列,并记在 an﹣1 与 an 之间插入的这 n 个数均值为 Cn﹣1.

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(1)若 an= ,求 C1,C2,C3;

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(2)在(1)的条件下是否存在常数 λ,使{Cn﹣1﹣λCn}是等差数列?如果存在,求出满足条件的 λ,如果不存在, 请说明理由; (3)求出所有的满足条件的数列{an}. 14. (2014?绵阳三模)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S3,S9,S6 成等差数列. (Ⅰ )求数列{an}的公比 q; * (Ⅱ )证明:ak,ak+6,ak+3(k∈N )成等差数列. 15. (2014 春?玉田县期中)在△ ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 B、C 是否成等差数列,若不成等差数列,请说明理由.若成等差数列,请给出证明. 16. (2014 春?宝山区校级期末)已知数列{an},{bn}满足:bn=an+1﹣λan(n∈N ) . (1)若 λ=1, ,求数列{an}的通项公式;
*

+

=

,试问 A、

(2)若 λ=﹣1,a1=a,a2=3a,bn=4n﹣1,且{an}是递增数列,求 a 的取值范围; * (3)若 λ=1,bn+1bn﹣1=bn(n≥2) ,且 b1=1,b2=2,记 cn=a6n﹣1(n∈N ) ,求证:数列{cn}为等差数列. 17. (2014 春?黄梅县校级期中)已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a3?a4=117,a2+a5=22. (1)求通项 an; (2)若数列{bn}满足 bn= 理由. 18. (2014 春?万州区校级期中)已知数列{an}满足 a1=1,且 an=2an﹣1+2 (n≥2 且 n∈N ) . (1)求证:数列{ }是等差数列;
n *

,是否存在非零实数 c 使得{bn}为等差数列?若存在,求出 c 的值;若不存在,请说明

(2)求数列{an}的通项公式. 19. (2014 春?临渭区校级期中)① 已知 a+b=1,求证:a +b > ; ② 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n ﹣3n﹣2,求证数列{
2 2 2

}是等差数列.

20. (2014 春?昔阳县校级期中)在数列{an}中,a1=1,3anan﹣1+an﹣an﹣1=0(n≥2) . (1)证明数列{ }是等差数列;

(2)求数列{an}的通项. 21. (2014 春?绥化校级期中)已知数列{an}的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且满足 2Sn=an +n﹣4(n∈N ) . (1)求证:数列{an}为等差数列; (2)求数列{an}的通项公式.
2 *

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22. (2014 春?凉州区校级月考)如果 a,b,c 是不全相等的实数,若 a,b,c 成等差数列,求证: 差数列. 23. (2014 秋?清浦区校级月考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且(Sn﹣1) =anSn. (Ⅰ )求 a1; (Ⅱ )求证:数列{ }为等差数列;
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不成等

(Ⅲ )是否存在正整数 m,k,使

=

+19 成立?若存在,求出 m,k;若不存在,说明理由.

24. (2014 秋?新野县校级月考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=an+1﹣2 证明:数列 为等差数列,并求数列{an}的通项公式.

n+1

+1, (n∈N ) ,且 a1=1.

*

25. (2014 春?房县校级月考)已知数列{an}和{bn}满足关系式:bn= (1)若 bn=n,求数列{an}的通项公式; (2)若{bn}是以 b1 为首相,以 d 为公差的等差数列,求证{an}也是等差数列. 26. (2014 春?龙川县校级月考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3+2 , (1)求 an; (2)设数列{bn}满足 bn=lgan,数列{bn}从第 2 项起,成等差数列还是等比数列?证明你的结论. 27. (2013?上海)已知函数 f(x)=2﹣|x|,无穷数列{an}满足 an+1=f(an) ,n∈N (1)若 a1=0,求 a2,a3,a4; (2)若 a1>0,且 a1,a2,a3 成等比数列,求 a1 的值 (3)是否存在 a1,使得 a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1,若不存在,说明理由.
* n

28. (2013?潮州二模)已知数列{an}满足:a1=1,a2= ,且 an+2=



(I)求证:数列

为等差数列;

(II)求数列{an}的通项公式; (III)求下表中前 n 行所有数的和 Sn.

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29. (2013?广东模拟)已知数列{an}满足:



(1)求证:数列

为等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式; (3)令 ,证明: .

30. (2013?江苏模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn,存在常数 A,B,C,使得 成立. (1)求证:数列{an}为等差数列的充要条件是 3A﹣B+C=0; (2)若 C=0,{an}是首项为 1 的等差数列,设

对任意正整数 n 都

,求不超过 P 的最大整数的值.

新高二数列之 pq 与证明 1
参考答案与试题解析

一.选择题(共 4 小题) 1. (2015?肇庆三模)已知数列{an}满足:a1= ,3an+1﹣2an=1(n∈N ) ;数列{bn}满足:bn=an+1﹣an(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式及其前 n 项和 Sn; (2)证明:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列. 考点: 等差关系的确定;数列的求和;数列递推式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知条件得到数列{an﹣1}是以﹣ 为首项, 为公比的等比数列.由此得到数列{an}的通项公式,然
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*

*

后利用前 n 项和的定义进行求和; (2)假设数列{bn}存在三项 br,bs,bt(r<s<t)按某种顺序成等差数列,由于数列{bn}为等差数列,于是
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有 br>bs>bt,则只有可能有 2bs=br+bt 成立,代入通项公式,化简整理后发现等式左边为偶数,右边为奇数, 故上式不可能成立,导致矛盾. 解答: 解: (1)由 3an+1﹣2an=1,得 an+1﹣1= (an﹣1) . 因为 a1= ,所以 a1﹣1=﹣ , 因此数列{an﹣1}是以﹣ 为首项, 为公比的等比数列. 所以 an﹣1=﹣ × ,即 an=1﹣ × +…+ (n∈N ) . ],
*

所以 Sn=a1+a2+…+an=n﹣ [1+

=n﹣ ×

=

+n﹣ (n∈N ) .

*

(2)由(1) ,得 bn=an+1﹣an=[1﹣ ×

]﹣[1﹣ ×

]= ×



下面用反证法证明:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列. 假设数列{bn}中存在三项 br,bs,bt(r<s<t)按某种顺序成等差数列,由于数列{bn}是首项为 ,公比为 的 等比数列,于是有 br>bs>bt,则只能有 2bs=br+bt 成立. 所以 2﹣ ×
t﹣1′ 1﹣r

= ×
s﹣r t﹣s

+ ×
t ﹣r t﹣r



两边同乘 3 2 ,化简得 2?2 ?3 =3 +2 . 因为 r<s<t,所以上式左边为偶数,右边为奇数,故上式不可能成立,导致矛盾.故数列{bn}中的任意三项 不可能成等差数列. 点评: 本题主要考查了数列的递推式.对于用递推式确定数列的通项公式问题,常可把通过递推式变形转换成等差 或等比数列.
2 *

2. (2015?开封模拟)已知数列{an}满足 a1=1,n(an+1﹣an)=an+n +n,n∈N ,证明:数列

是等差数列.

考点: 等差关系的确定. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 2 由 n(an+1﹣an)=an+n +n,nan+1﹣(n+1)an=n(n+1) ,可得
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=1,利用等差数列的定义即可得出

结论. 2 解答: 证明:∵ n(an+1﹣an)=an+n +n, ∴ nan+1﹣(n+1)an=n(n+1) , ∴ ∴ 数列 =1, 是等差数列.

点评: 本题考查等差关系的确定,考查学生的计算能力,比较基础.

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3. (2015?安徽模拟)设数列{an}满足:a1= ,an+1﹣an=2(an+1﹣1) (an﹣1) (Ⅰ )证明数列{ }是等差数列并求数列{an}的通项公式 an

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(Ⅱ )证明:a1?a2?a3…an



考点: 等差关系的确定;数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ )由 an+1﹣an=2(an+1﹣1) (an﹣1)变形可得
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=﹣2,所以{

}是以﹣2 为首项,

﹣2 为公差的等差数列,从而 an= (Ⅱ ) 由 (Ⅰ ) 知 a1?a2?…?an=
2

=

; , 由于当 b>a>0 时, 有 )= ,即得结果. , 所以 ( )

<(

)×(

解答: 证明: (Ⅰ )∵ an+1﹣an=2(an+1﹣1) (an﹣1) , ∴ 2(an+1﹣1) (an﹣1)=(an+1﹣1)﹣(an﹣1) , 上式两边同除以(an+1﹣1) (an﹣1) (可验证(an+1﹣1) (an﹣1)≠0) , 化简得 ﹣ =﹣2,

所以{

}是以﹣2 为首项,﹣2 为公差的等差数列,



=﹣2﹣2(n﹣)=﹣2n,

即 an=

=

; ,

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 a1?a2?…?an= ∵ 当 b>a>0 时,有 ∴ ∴ ( = ∴ ∴ a1?a2?…?an< . >( < > )×( ), < ,
2

, , )

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点评: 本题考查求数列的通项公式,利用放缩法是解题的关键,属于中档题.

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4. (2015?长宁区一模)已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0,an≠0, (n∈N ) ,且 akx +2ak+1x+ak+2=0(k∈N ) (1)求证:当 k 取不同自然数时,此方程有公共根; (2)若方程不同的根依次为 x1,x2,…,xn,…,求证:数列{ }为等差数列.

*

2

*

考点: 等差关系的确定;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)依题意,2ak+1=ak+ak+2,于是原方程可转化为(akx+ak+2) (x+1)=0,从而可证结论;
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(2)原方程另一根为 xn,利用韦达定理,可求得 xn=﹣1﹣ 证明即可.

,继而得

=﹣

,利用等差数列的定义,

解答: 证明: (1)∵ {an}是等差数列,∴ 2ak+1=ak+ak+2,故方程 akx +2ak+1x+ak+2=0, 可变为(akx+ak+2) (x+1)=0, ∴ 当 k 取不同自然数时,原方程有一个公共根﹣1. (2)原方程另一根为 xn,则﹣xn= = =1+ ,

2

∴ xn=﹣1﹣

,1+xn=﹣



=﹣

,…(10 分)

∴ ∴ 数列{



=﹣

﹣(﹣

)=

=

=﹣ (常数) .

}是以﹣ 为公差的等差数列

点评: 本题考查等差关系得确定,考查方程思想与推理运算能力,属于中档题. 二.解答题(共 26 小题) 5. (2014 春?通州区校级期末)已知﹛an﹜是以 a 为首项,q 为公比的等比数列,Sn 为它的前 n 项和. (Ⅰ )当 S1,S3,S4 成等差数列时,求 q 的值; (Ⅱ )当 Sm,Sn,Sl 成等差数列时,求证:对任意自然数 k,am+k ,an+k,al+k 也成等差数列. 考点: 等差关系的确定;等差数列的性质. 专题: 计算题;证明题. 分析: (Ⅰ )根据题意,写出等比数列﹛an﹜的前 n 项和是解决本题的关键,利用 S1,S3,S4 成等差数列寻找关于 q 的方程,通过解方程求出字母 q 的值; (Ⅱ )根据 Sm,Sn,S1 成等差数列,利用等比数列的求和公式得出关于 q 的方程式是解决本题的关键,注意 分类讨论思想和整体思想的运用. n﹣1 2 2 3 解答: 解: (Ⅰ )由已知得出 an=a1q ,S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q ) ,S4=a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q +q ) , 根据 S1,S3,S4 成等差数列得出 2S3=S1+S4, 2 代入整理并化简,约去 q 和 a1,得 q ﹣q﹣1=0,
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解得 q=



(Ⅱ )当 q=1 时,该数列为常数列,若 Sm,Sn,Sl 成等差数列,则也有 am+k,an+k,a1+k 成等差数列;
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若 q≠1,由 Sm,Sn,S1 成等差数列,则有 2Sn=S1+Sm, 即有
n﹣1 m﹣1 l﹣1 n﹣1

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m﹣1 l﹣1

整理化简得 2q =q +q ,两边同乘以 a1,得 2a1q =a1q +a1q ,即 2an=am+al, k 两边同乘以 q 即可得到 2an+k=am+k+al+k, 即 am+k ,an+k,al+k 成等差数列. 点评: 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查学生判断等差数列的方法,考查学生的方程思想和分 类讨论思想,转化与化归思想,考查学生的运算能力.

6. (2014?永川区校级学业考试)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn?Sn﹣1=0(n≥2) ,a1= . (1)求证:{ }是等差数列;

(2)求 an 的表达式. 考点: 等差关系的确定;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)本题关键是将 an=Sn﹣Sn﹣1 代入化简,再根据等差数列的定义进行判定即可.
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(2)先求出 Sn,利用 Sn 求 an,必须分类讨论 an= 解答: (1)证明:∵ ﹣an=2SnSn﹣1, ∴ ﹣Sn+Sn﹣1=2SnSn﹣1(n≥2) ,Sn≠0(n=1,2,3) . ∴ ﹣ 又 = =2. =2,∴ { }是以 2 为首项,2 为公差的等差数列. =2+(n﹣1)?2=2n,∴ Sn= ﹣ =﹣ .

,求解可得.

(2)解:由(1) ,

当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1= 当 n=1 时,S1=a1= .

〔或 n≥2 时,an=﹣2SnSn﹣1=﹣

〕 ;

∴ an= 点评: 本题主要考查了等差数列的证明,以及已知 Sn 求 an,注意分类讨论,属于基础题.
*

7. (2014?日照一模)已知数列{an}是首项为 a1= ,公比 q= 的等比数列,设 bn+2=3log 足 cn=an?bn. (1)求证:{bn}是等差数列; (2)求数列{cn}的前 n 项和 Sn;

an(n∈N ) ,数列{cn}满

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(3)若 Cn≤ +m﹣1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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考点: 等差关系的确定;函数恒成立问题;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据等比数列的通项公式可求得 an,代入

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求得 bn+1﹣bn 为常数,进而判断出数列{bn}

是等差数列. (2)由(1)可分别求得 an 和 bn,进而求得 Cn 进而用错位相减法进行求和. (3)把(2)中的 Cn,代入 Cn+1﹣Cn 结果小于 0,进而判断出当 n≥2 时,Cn+1<Cn,进而可推断出当 n=1 时,Cn 取最大值,问题转化为 解答: 解: (1)由题意知,an=( ) . ∵ ∴ b1=1 ∴ bn+1﹣bn=3 an+1﹣3 an=3 =3 q=3 ,
n

≥ ,求得 m 的取值范围.

∴ 数列{bn}是首项为 1,公差为 3 的等差数列. (2)由(1)知,an=( ) .bn=3n﹣2 ∴ Cn=(3n﹣2)×( ) . ∴ Sn=1× +4×( ) +…+(3n﹣2)×( ) , 于是 Sn=1×( ) +4×( ) +…(3n﹣2)×( )
2 3 n 2 3 n+1 2 n n n


n+1

两式相减得 Sn= +3×[( ) +( ) +…+( ) )﹣(3n﹣2)×( ) = ﹣(3n+2)×( ) ∴ Sn= ﹣
n+1





( ).

n

(3)∵ Cn+1﹣Cn=(3n+1)×( ) ∴ 当 n=1 时,C2=C1=

n+1

﹣(3n﹣2)×( ) =9(1﹣n)×( )

n

n+1



当 n≥2 时,Cn+1<Cn,即 C2=C1>C3>C4>…>Cn ∴ 当 n=1 时,Cn 取最大值是 又

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即 m +4m﹣5≥0 解得 m≥1 或 m≤﹣5. 点评: 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质,裂项法求和,解不等式等问题.
n 2

8. (2014?宜昌三模)设数列{an}的通项公式为 an=2 ,数列{bn}满足 2n ﹣(t+bn)n+

=0, (t∈R,n∈N ) .

*

(1)试确定实数 t 的值,使得数列{bn}为等差数列; (2)当数列{bn}为等差数列时,对每个正整数 k,在 ak 和 ak+1 之间插入 bk 个 2,得到一个新数列{cn}.设 Tn 是数列 {cn}的前 n 项和,试求满足 Tm=2cm+1 的所有正整数 m. 考点: 等差关系的确定;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)确定数列{bn}的前 3 项,利用等差数列的定义,即可确定实数 t 的值; (2)先确定 cm+1 必是数列{an}中的某一项 ak+1,再分组求和,结合整除的性质,即可得到结论. 解答: 解: (1)当 n=1 时, ,得 b1=2t﹣4,
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同理:n=2 时,得 b2=16﹣4t;n=3 时,得 b3=12﹣2t,则由 b1+b3=2b2,得 t=3.…(2 分) 而当 t=3 时, ,得 bn=2n

由 bn+1﹣bn=2,知此时数列{bn}为等差数列.…(4 分) (2)由题意知,c1=a1=2,c2=c3=2,c4=a2=4,c5=c6=c7=c8=2,c9=a3=8,… 则当 m=1 时,T1=2≠2c2=4,不合题意,舍去; 当 m=2 时,T2=c1+c2=4=2c3,所以 m=2 成立; …(6 分) 当 m≥3 时,若 cm+1=2,则 Tm≠2cm+1,不合题意,舍去; 从而 cm+1 必是数列{an}中的某一项 ak+1,则

=(2+2 +2 +…+2 )+2(b1+b2+b3+…+bk)= 又
k+1 2

2

3

k

,…(9 分)


k+1 k 2

所以 2 +2k +2k﹣2=2×2 ,即 2 ﹣k ﹣k+1=0, k 2 所以 2 +1=k +k=k(k+1) k * 2 因为 2 +1(k∈N )为奇数,而 k +k=k(k+1)为偶数,所以上式无解. 即当 m≥3 时,Tm≠2cm+1 综上所述,满足题意的正整数仅有 m=2.…(12 分) 点评: 本题考查等差数列的判定,考查数列的求和,考查学生分析解决问题的能力,考查学生的计算能力,属于中 档题. 9. (2014?湖南模拟)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2 +1(n∈N ) n (1)求证:数列{an﹣2 }为等差数列; (2)设数列{bn}满足 bn=log2(an+1﹣n) ,若 且 n≥2 恒成立,求实数 k 的取值范围. 考点: 等差关系的确定;不等式的证明. … 对一切 n∈N
* n *

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专题: 计算题;证明题. n+1 n n n 分析: (1)先对关系式 an+1=an+2n+1 整理可得到) (an+1﹣2 )﹣(an﹣2 )=an+1﹣an﹣2 =1,即数列{an﹣2 }为 等差数列, n (2)根据(1)可求出数列{an﹣2 }的通项公式,即可得到数列{an}的通项公式,根据 bn=log2(an+1﹣n) , 可得到 bn 的表达式,设 f(n)= 小值,结合题意即可得答案. 解答: 解: (1) (an+1﹣2 )﹣(an﹣2 )=an+1﹣an﹣2 =1 n 故数列{an﹣2 }为等差数列,且公差 d=1. n n an﹣2 =(a1﹣2)+(n﹣1)d=n﹣1,an=2 +n﹣1; n (2)由(1)可知 an=2 +n﹣1,∴ bn=log2(an+1﹣n)=n 设 f(n)= 则 f(n+1)= …(1+ …(1+ )× , (n≥2) )× ,
n+1 n n

…(1+

)×

,分析可得 f(n)的最

)×(1+

两式相除可得

=(1+

)×

=

>1,

则有 f(n)>f(n﹣1)>f(n﹣2)>…>f(2)= 要使 必有 k< ; . …

, 对一切 n∈N 且 n≥2 恒成立,
*

故 k 的取值范围是 k<

点评: 本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力, 考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野. 10. (2014?绵阳三模)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S3,S9,S6 成等差数列. (Ⅰ )求数列{an}的公比 q; (Ⅱ )证明:a2,a8,a5 成等差数列. 考点: 等差关系的确定;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据等比数列的通项公式,建立条件关系,即可得到结论. (2)利用等差数列的定义进行证明即可. 解答: 解: (Ⅰ )由 S3,S9,S6 成等差数列,可得 2S9=S3+S6. 当 q=1 时,即得 18a1≠3a1+6a1,不成立.…(3 分)
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当 q≠1 时,即得 整理得:2q ﹣q ﹣1=0,即 2(q ) ﹣q ﹣1=0, 解得:q=1(舍去) ,或
3 6 6 3 3 2 3



.…(7 分)

(Ⅱ )证明:由(Ⅰ )知 q +1=2q ,
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∴ ∵ , = ,

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∴ a2+a5=2a8,即 a2,a8,a5 成等差数列. …(12 分) 点评: 本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的应用,考查学生的计算能力. 11. (2014?顺义区二模)已知集合 A={a1,a2…an}(0≤a1<a2<…<an,n∈N ,n≥3)具有性质 P:对任意 i,j(1≤i≤j≤n) , ai+aj 与 aj﹣ai 至少一个属于 A. (1)分别判断集合 M={0,2,4}与 N=(1,2,3)是否具有性质 P,并说明理由; (2)① 求证:0∈A;② 求证:a1+a2+a3+…+an= ;
*

(3)研究当 n=3,4 和 5 时,集合 A 中的数列{an}是否一定成等差数列. 考点: 等差关系的确定. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)利用新定义,可以判断集合 M={0,2,4}具有性质 P,N={1,2,3}不具有性质 P; (2) ① 若数列 A 具有性质 P, 则 an+an=2an 与 an﹣an=0 两数中至少有一个是该数列中的一项, 从而可得 0∈A; ② 令 j=n,i>1,可得 an﹣ai 属于 A,证明 an=ai+an+1﹣i,倒序相加即可得到结论; (3)确定 a1=0,再利用新定义,即可判断具有性质 P 的集合 A 中的数列{an}是否一定成等差数列. 解答: (1)解:集合 M={0,2,4}具有性质 P,N={1,2,3}不具有性质 P.
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∵ 集合 M={0,2,4}中,aj+ai 与 aj﹣ai(1≤i≤j≤2)两数中都是该数列中的项,4﹣2 是该数列中的项, ∴ 集合 M={0,2,4}具有性质 P; N={1,2,3}中,3 在此集合中,则由题意得 3+3 和 3﹣3 至少一个一定在,而 3+3=6 不在,所以 3﹣3=0 一 定是这个集合的元素,而此集合没有 0,故不具有性质 P; (2)证明:① 若数列 A 具有性质 P,则 an+an=2an 与 an﹣an=0 两数中至少有一个是该数列中的一项, ∵ 0≤a1<a2<…<an,n≥3,而 2an 不是该数列中的项,∴ 0 是该数列中的项, ∴ 0∈A; ② 令 j=n,i>1,则∵ “ai+aj 与 aj﹣ai 两数中至少有一个属于 A”, ∴ ai+aj 不属于 A,∴ an﹣ai 属于 A 令 i=n﹣1,那么 an﹣an﹣1 是集合 A 中某项,a1 不行,是 0,a2 可以. 如果是 a3 或者 a4,那么可知 an﹣a3=an﹣1,那么 an﹣a2>an﹣a3=an﹣1,只能是等于 an 了,矛盾. 所以令 i=n﹣1 可以得到 an=a2+an﹣1, 同理,令 i=n﹣2、n﹣3,…,2,可以得到 an=ai+an+1﹣i, ∴ 倒序相加即可得到 ;

(3)解:n=3 时,∵ 数列 a1,a2,a3 具有性质 P,0≤a1<a2<a3 ∴ a2+a3 与 a3﹣a2 至少有一个是该数列中的一项, ∵ a1=0,a2+a3 不是该数列的项,∴ a3﹣a2=a2,∴ a1+a3=2a2,数列{an}一定成等差数列; n=4 时,∵ 数列 a1,a2,a3,a4 具有性质 P,0≤a1<a2<a3<a4, ∴ a3+a4 与 a4﹣a3 至少有一个是该数列中的一项, ∵ a3+a4 不是该数列的项,∴ a4﹣a3=a2,或 a4﹣a3=a3, 若 a4﹣a3=a2,则数列{an}一定成等差数列;若 a4﹣a3=a3,则数列{an}不一定成等差数列; n=5 时,∵ 数列 a1,a2,a3,a4,a5 有性质 P,0≤a1<a2<a3<a4<a5, ∴ a4+a5 与 a5﹣a4 至少有一个是该数列中的一项, ∵ a4+a5 不是该数列的项,∴ a5﹣a4=a2,或 a5﹣a4=a3,或 a5﹣a4=a4, 若 a5﹣a4=a4,a4﹣a3=a2,则数列{an}一定成等差数列;若 a5﹣a4=a2,或 a5﹣a4=a3,则数列{an}不一定成等
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差数列. 点评: 本题考查数列的综合应用,考查学生的应用知识分析、解决问题的能力,属于难题. 12. (2014?南开区二模)已知函数 f(x)=x+4

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+4 (x≥0) ,数列{an}满足:a1=1,an+1=f(an) , (n∈N ) ,数列 b1,

*

b2﹣b1,b3﹣b2,…,bn﹣bn﹣1 是首项为 1,公比为 的等比数列. (1)求证:数列{ (2)若 cn= }为等差数列;

?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

考点: 等差关系的确定;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由函数 f(x)的解析式及已知条件可得
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=2(n∈N*) ,从而得到数列{

}是以

=1

为首项,公差为 2 的等差数列. (2)由(Ⅰ )得 an=(2n﹣1) ,由条件求得 bn=
2

,cn=

?bn=(2n﹣1)?



化简 Sn 为

[1+3+5+…+(2n﹣1)﹣( +

+

+ …+

)].令 Tn= +

+

+ …+

,用错位相减

法求得 Tn 的值,即可求得 Sn 的值. 解答: 解: (1)∵ 函数 f(x)=x+4 ∴ an+1=f(an)= ∴ 数列{ }是以 +4= ,即 ﹣ (x≥0) , =2 (n∈N*) .

=1 为首项,公差为 2 的等差数列.…(4 分) =1+(n﹣1)2=2n﹣1,即 an=(2n﹣1) (n∈N*) .…(5 分) ,∴ bn=b1+( b2﹣b1)+( b3﹣b2)+(b4﹣b3)+…+(bn﹣bn﹣1) = ,因而 bn= ,n∈N*.…(7 分)
2

(2)由(Ⅰ )得:

b1=1,当 n≥2 时,bn﹣bn﹣1= =1+ + ∴ cn= +…+ ?bn=(2n﹣1)?

,∴ Sn=c1+c2+c3+…+cn= [1+3+5+…+(2n﹣1)﹣

( +

+

+…+

)].

令 Tn= +

+

+…+

① ,则

Tn=

+

+

+…+

+

② …(9 分)

① ﹣② ,得

Tn= +2(

+

+

+ …+

)﹣

= + (1﹣

)﹣

,…(10 分)

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∴ Tn=1﹣ .
2

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又 1+3+5+…+(2n﹣1)=n .…(11 分) ∴ Sn= (n ﹣1+
2

) .…(12 分)

点评: 本题主要考查等差关系的确定,等差数列的通项公式以及前 n 项和公式,等比数列的通项公式以及前 n 项和 公式,用错位相减法进行数列求和,属于中档题. 13. (2014?昆山市校级模拟)已知数列{an},对于任意 n≥2,在 an﹣1 与 an 之间插入 n 个数,构成的新数列{bn}成等 差数列,并记在 an﹣1 与 an 之间插入的这 n 个数均值为 Cn﹣1. (1)若 an= ,求 C1,C2,C3;

(2)在(1)的条件下是否存在常数 λ,使{Cn﹣1﹣λCn}是等差数列?如果存在,求出满足条件的 λ,如果不存在, 请说明理由; (3)求出所有的满足条件的数列{an}. 考点: 等差关系的确定;数列的函数特性;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意可得 a1=﹣2,a2=1,a3=5,a4=10,由此求得 C1,C2,C3 的值.
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(2)在 an﹣1 与 an 之间插入 n 个数构成等差,d= 得满足条件的 λ. (3) 由题意满足条件的数列{an}应满足 =

=1,可得 Cn﹣1 的值,再根据等差数列的定义求

, 即

=

, 用累乘法求得 an+1

﹣an= (a2﹣a1)?(n+2) ,再用累加法求得满足条件的 数列{an}的通项公式. 解答: 解: (1)由题意可得 a1=﹣2,a2=1,a3=5,a4=10,∴ 在 a1 与 a2 之间插入﹣1、0,C1=﹣ ,…1′ 在 a2 与 a3 之间插入 2、3、4,C2=3,…2′ 在 a3 与 a4 之间插入 6、7、8、9,C3= .…3′

(2)在 an﹣1 与 an 之间插入 n 个数构成等差,d= 假设存在 λ 使得{Cn+1﹣λCn}是等差数列,

=1,∴ Cn﹣1 =

=

.…5′

∵ (Cn+1﹣λCn)﹣(Cn﹣λCn﹣1)=Cn+1﹣Cn﹣λ(Cn﹣Cn﹣1)= ∴ λ=1 时{Cn+1﹣λCn}是等差数列.…8′ (3)由题意满足条件的数列{an}应满足 =

﹣λ?

=(1﹣λ)n+ ﹣ λ=常数,

,…10′ ∴

=





?



?

=

?

… ? =



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∴ an+1﹣an= (a2﹣a1)?(n+2) ,…12′ ∴ an﹣an﹣1= (a2﹣a1)?(n+1) , … a3﹣a2= (a2﹣a1)×4, a2﹣a1= (a2﹣a1)×3, ∴ an﹣a1= (a2﹣a1)? (n≥2)

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∴ an= (a2﹣a1) (n﹣1) (n+4)+a1(n≥2) .…14′ 又∵ n=1 时也满足条件,…15′ ∴ 形如 an=a(n﹣1) (n+4)+b (a、b∈R) 的数列均满足条.…16′ 点评: 本题主要考查等差关系的确定,等差数列的定义和性质,等差数列的通项公式,数列的函数特性,用累乘法 和累加法求数列的通项公式,属于中档题. 14. (2014?绵阳三模)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S3,S9,S6 成等差数列. (Ⅰ )求数列{an}的公比 q; * (Ⅱ )证明:ak,ak+6,ak+3(k∈N )成等差数列. 考点: 等差关系的确定;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ )根据等比数列的通项公式,建立条件关系,即可得到结论.
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(Ⅱ )求出 ak,ak+6,ak+3(k∈N )的通项公式,利用等差数列的定义进行证明即可. 解答: 解: (Ⅰ )由 S3,S9,S6 成等差数列,可得 2 S9=S3+S6. 当 q=1 时,即得 18a1=3a1+6a1,解得 a1=0,不成立.…(3 分) 当 q≠1 时,即得 整理得:2q ﹣q ﹣1=0,即 2(q ) ﹣q ﹣1=0, 解得:q=1(舍去) ,或
3 6 6 3 3 2 3

*



. …(7 分)

(Ⅱ )证明:由(Ⅰ )知 q +1=2q , ∴ ∵ , = ,

∴ ak+ak+3=2ak+6,即 ak,ak+6,ak+3(k∈N*)成等差数列.…(12 分) 点评: 本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的应用,考查学生的计算能力. 15. (2014 春?玉田县期中)在△ ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 B、C 是否成等差数列,若不成等差数列,请说明理由.若成等差数列,请给出证明.

+

=

,试问 A、

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考点: 等差关系的确定;余弦定理. 专题: 计算题;证明题. 分析: 2 2 2 先整理 + = 得 b =a +c ﹣ac.进而利用余弦定理求得 cosB 的值,进而求得 B,进而根据三角形 内角和可知 A+C=2B 判断出 A、B、C 成等差数列. 解答: 证明:A、B、C 成等差数列,下面用综合法给出证明: ∵ ∴ ∴ +
2 2 2

+ +

=

, =3,

=1,

∴ c(b+c)+a(a+b)=(a+b) (b+c) , ∴ b =a +c ﹣ac. 在△ ABC 中,由余弦定理,得 cosB= = = ,

∵ 0°<B<180°∴ B=60°. ∴ A+C=2B=120°, ∴ A、B、C 成等差数列. 点评: 本题主要考查了等差关系的确定,余弦定理的应用和解三角形问题.考查了学生综合分析问题和基本的运算 能力. 16. (2014 春?宝山区校级期末)已知数列{an},{bn}满足:bn=an+1﹣λan(n∈N ) . (1)若 λ=1, ,求数列{an}的通项公式;
*

(2)若 λ=﹣1,a1=a,a2=3a,bn=4n﹣1,且{an}是递增数列,求 a 的取值范围; * (3)若 λ=1,bn+1bn﹣1=bn(n≥2) ,且 b1=1,b2=2,记 cn=a6n﹣1(n∈N ) ,求证:数列{cn}为等差数列. 考点: 等差关系的确定;数列递推式. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)当 n≥2 时,有 an=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+…+(an﹣an﹣1)=a1+b1+b2+…+bn﹣1=2n﹣1,验证 n=1 时, 是否符合,从而可得数列{an}的通项公式; (2)由题意知,bn=an+1+an=4n﹣1,所以 an+2+an+1=4n+3,两式相减得 an+2﹣an=4,a1=a,a2=3a,从而可得 数列{an}的通项公式,再利用{an}是递增数列,即可求得 a 的取值范围; (3)依题意,可求得{bn}是以 6 为周期的数列,由 bn+1bn﹣1=bn(n≥2) ,且 b1=1,b2=2,得:b3=2,b4=1,
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b5= ,b6= ,易求 cn+1﹣cn=7,从而可证数列{cn}为等差数列.
n 解答: 解: (1)当 n≥2 时,有 an=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+…+(an﹣an﹣1)=a1+b1+b2+…+bn﹣1=2 ﹣1…3 分 n 又 a1=1 也满足上式,所以数列{an}的通项公式为 an=2 ﹣1…4 分 (2)由题意知,bn=an+1+an=4n﹣1,所以 an+2+an+1=4n+3, 两式相减得 an+2﹣an=4,…6 分 又 a2+a1=3 得 a2=3﹣a,所以数列的通项公式为

an=

=

…8 分

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因为{an}是递增数列,所以 a2k﹣1<a2k<a2k+1,…9 分 解得: <a< …10 分

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(3)因为对任意的 n∈N .都有 bn+6=

*

=

=

=

=

=bn,

所以{bn}是以 6 为周期的数列,…13 分 由 bn+1bn﹣1=bn(n≥2) ,且 b1=1,b2=2,得:b3=2,b4=1,b5= ,b6= ,…15 分 因而 cn+1﹣cn=a6n+5﹣a6n﹣1=b6n﹣1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=1+2+2+1+ + =7, 所以,数列{cn}为等差数列…18 分 点评: 本题考查数列递推式,着重考查等差关系的确定,考查转化思想、逻辑推理、综合运算能力, (3)中推得{bn} 是以 6 为周期的数列是难点,属于难题. 17. (2014 春?黄梅县校级期中)已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a3?a4=117,a2+a5=22. (1)求通项 an; (2)若数列{bn}满足 bn= 理由. 考点: 等差关系的确定;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 2 分析: (1)根据等差数列的性质,得出 a3、a4 是方程 x ﹣22x+117=0 的解,解此方程得 a3=9 且 a4=13,再求出{an} 的首项和公差,即可得到数列{an}的通项公式;
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,是否存在非零实数 c 使得{bn}为等差数列?若存在,求出 c 的值;若不存在,请说明

(2)由(1)的结论,化简得 bn=

.分别令 n=1、2、3,得到{bn}的前 3 项,由 2b2=b1+b3 解出 c=

﹣ ,再将 c=﹣ 回代加以检验,即可得到当 c=﹣ 时,{bn}成以 2 为首项、公差为 2 的等差数列. 解答: 解: (1)由等差数列的性质,得 a3+a4=a2+a5=22, 2 又∵ a3?a4=117,∴ a3、a4 是方程 x ﹣22x+117=0 的解, 结合公差大于零,解得 a3=9,a4=13, ∴ 公差 d=a4﹣a3=13﹣9=4,首项 a1=a3﹣2d=1. 因此,数列{an}的通项公式为 an=a1+(n﹣1)d=1+4(n﹣1)=4n﹣3. (2)由(1)知:Sn= =2n ﹣n,
2

所以 bn= 故 b1=

= ,b2=

. ,b3= = + . ,化简得 2c +c=0.
2

令 2b2=b1+b3,即

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因为 c≠0,故 c=﹣ ,此时 bn= =2n.

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当 n≥2 时,bn﹣bn﹣1=2n﹣2(n﹣1)=2,符合等差数列的定义 ∴ c=﹣ 时,bn=2n. (n∈N+) 由此可得,当 c=﹣ 时,{bn}成以 2 为首项、公差为 2 的等差数列. 点评: 本题给出等差数列满足的条件,求数列{an}的通项公式,并依此讨论数列{bn}能否成等差的问题.着重考查 了等差数列的通项公式、求和公式和方程组的解法等知识,属于中档题. 18. (2014 春?万州区校级期中)已知数列{an}满足 a1=1,且 an=2an﹣1+2 (n≥2 且 n∈N ) . (1)求证:数列{ }是等差数列;
n *

(2)求数列{an}的通项公式. 考点: 等差关系的确定;数列的应用. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 an=2an﹣1+2n,两边同时除以 2n,即可证明
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(2)由(1)可求 解答:

,进而可求 an

证明: (1)∵ an=2an﹣1+2 ,两边同时除以 2 ,可得

n

n



,又

=

∴ 数列{

}是以 为首项,以 1 为公差的等差数列;

(2)解:由(1)可知

=

∴ 点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解数列的通项公式, 解题的关键是在已知递推公式的两 n 边同时除以 2 . 19. (2014 春?临渭区校级期中)① 已知 a+b=1,求证:a +b > ; ② 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n ﹣3n﹣2,求证数列{
2 2 2

}是等差数列.

考点: 等差关系的确定;基本不等式. 专题: 等差数列与等比数列.

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分析: ① 由 a+b=1,知 a=1﹣b,从而得到 a +b =2b ﹣2b+1,由此利用配方法能证明 a +b > .
2 2 2 2 2

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② 由

=

=

=n﹣2,能证明数列{

}是等差数列.

解答: ① 证明:∵ a+b=1,∴ a=1﹣b, ∴ a +b =1﹣2b+b +b 2 =2b ﹣2b+1
2 2 2 2 2

=2(b﹣ ) + ≥ > , ∴ a +b > . ② ∵ 数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n ﹣3n﹣2, ∴ = = =n﹣2,
2 2 2

∴ 数列{

}是等差数列.

点评: 本题考查不等式的证明,考查等差数列的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意配方法的合理运用. 20. (2014 春?昔阳县校级期中)在数列{an}中,a1=1,3anan﹣1+an﹣an﹣1=0(n≥2) . (1)证明数列{ }是等差数列;

(2)求数列{an}的通项. 考点: 等差关系的确定;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据等差数列的定义即可证明数列{

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}是等差数列;

(2)根据(1) ,即可求数列{an}的通项. 解答: 解: (1)证明:将 3anan﹣1+an﹣an﹣1=0(n≥2) , 即 an﹣1﹣an=3anan﹣1, 则 所以数列{ = =3(n≥2) .

}是以 1 为首项,3 为公差的等差数列. =1+3(n﹣1)=3n﹣2,

(2)由(1)可得 所以 an= .

点评: 本题主要考查等差数列的判断和通项公式的应用,要求熟练掌握相应的公式. 21. (2014 春?绥化校级期中)已知数列{an}的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且满足 2Sn=an +n﹣4(n∈N ) . (1)求证:数列{an}为等差数列; (2)求数列{an}的通项公式.
2 *

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考点: 等差关系的确定;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据数列的递推关系,得到关于数列{an}的关系式,即可证明数列{an}为等差数列; (2)根据等差数列的通项公式,即可得到结论. 2 * 解答: 解: (1)∵ 2Sn=an +n﹣4(n∈N ) . 2 ∴ 2Sn+1=an+1 +n+1﹣4. 2 2 两式相减得 2Sn+1﹣2Sn=an+1 +n+1﹣4﹣(an +n﹣4) , 2 2 即 2an+1=an+1 ﹣an +1, 2 2 则 an+1 ﹣2an+1+1=an , 2 2 即(an+1﹣1) =an , ∵ 数列{an}的各项均为正数, ∴ an+1﹣1=an, 即 an+1﹣an=1 即数列{an}为等差数列,公差 d=1. 2 (2)∵ 2Sn=an +n﹣4, 2 ∴ 当 n=1 时,2a1=a1 +1﹣4, 2 即 a1 ﹣2a1﹣3=0, 解得 a1=3 或 a1=﹣1, (舍) ∵ 数列{an}为等差数列,公差 d=1, ∴ 数列{an}的通项公式 an=3+n﹣1=n+2. 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式,利用数列的递推关系,结合等差数列的定义是解决本题的关键.

22. (2014 春?凉州区校级月考)如果 a,b,c 是不全相等的实数,若 a,b,c 成等差数列,求证: 差数列. 考点: 等差关系的确定;等差数列的性质. 专题: 证明题. 分析: 假设 成等差数列,则 与已知矛盾. 解答: 证明:假设 成等差数列,则 ① ② ,

不成等

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,结合题意可得 2b=a+c,代入上式可得 b =ac 进而得到 a=b=c,

2

因为 a,b,c 成等差数列,故 2b=a+c 那么 即 b =ac
2

由(1) (2)得 a=b=c 与 a,b,c,是不全相等的实数矛盾 故 不成等差数列.

点评: 通过用利用反证法证明不等式,体会等差数列与等比数列的性质. 23. (2014 秋?清浦区校级月考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且(Sn﹣1) =anSn. (Ⅰ )求 a1; (Ⅱ )求证:数列{ }为等差数列;
2

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(Ⅲ )是否存在正整数 m,k,使 = +19 成立?若存在,求出 m,k;若不存在,说明理由.

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考点: 等差关系的确定;数列递推式. 专题: 计算题;证明题;存在型;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ )令 n=1,a1=S1,代入计算即可得到;
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(Ⅱ )n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,代入化简整理,即可得到



=﹣1 为定值;

(Ⅲ )运用等差数列的通项公式,求出 Sn=

,假设存在正整数 m,k,使

=

+19.化简整理,因式

分解可得(2k+2m+3) (2k﹣2m+1)=75=75×1=25×3=15×5,根据整数解,进而得到方程组,解得即可. 解答: (Ⅰ )解:n=1 时, (a1﹣1) =a1 ,则 a1= ; (Ⅱ )证明: (Sn﹣1) =anSn, 2 则 n≥2 时, (Sn﹣1) =(Sn﹣Sn﹣1)Sn. 即有﹣2Sn+1=﹣Sn﹣1Sn, 即 1﹣Sn=Sn(1﹣Sn﹣1) ,即有 = ,
2 2 2



=



=﹣1 为定值,

则数列{

}为等差数列;

(Ⅲ )解:

=﹣2,则

=﹣2+(n﹣1) (﹣1)=﹣n﹣1

即有 Sn=

,则 an= =

= +19.
2

假设存在正整数 m,k,使
2

则(k+1) =m(m+1)+19,则 4(k+1) =4m(m+1)+76, 即有[(2k+2)+(2m+1)][(2k+2)﹣(2m+1)]=75 即(2k+2m+3) (2k﹣2m+1)=75=75×1=25×3=15×5 即有 解得, 或 或 或 . 或 ,

点评: 本题考查数列的通项与前 n 项和的关系,考查等差数列的通项公式,考查存在性问题,考查运算能力,属于 中档题. 24. (2014 秋?新野县校级月考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=an+1﹣2
n+1

+1, (n∈N ) ,且 a1=1.

*

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证明:数列 为等差数列,并求数列{an}的通项公式.

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考点: 等差关系的确定;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. * 分析: 充分利用 Sn=an+1﹣2n+1+1, (n∈N ) ,且 a1=1 结合数列的 Sn 与 an 的关系得到数列{an}的递推公式,通过构造
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新数列得到数列 的通项公式. 解答: 证明∵ ∴

是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,求出此数列的通项公式,从而求得数列{an}

, =1,解得 a2=4

由 两式相减整理得 检验知 a1=1,a2=4 满足 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)



变形可得

∴ 数列

是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分)

所以



解得 点评:

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分)

本题考查了等差数列的证明;关键利用已知得到数列{an}的递推公式,变形后得到新的数列 为首项,1 为公差的等差数列,属于中档题.

是以 1

25. (2014 春?房县校级月考)已知数列{an}和{bn}满足关系式:bn= (1)若 bn=n,求数列{an}的通项公式; (2)若{bn}是以 b1 为首相,以 d 为公差的等差数列,求证{an}也是等差数列. 考点: 等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设出数列{an}的前 n 项和利用 an=Sn﹣Sn﹣1 求得数列{an}的通项公式; (2)依第一问求得数列{an}的通项公式,利用 an+1﹣an 为常数来证明.
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解答: 解: (1)设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 2 依题意可知 Sn=n , ∴ 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1, 当 n=1 时 a1=1,也符合, ∴ an=2n﹣1, (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 依题意可知 Sn=nbn=nb1+n(n﹣1)?d, ∴ an=Sn﹣Sn﹣1=b1+2(n﹣1)?d, (n≥2) , 当 n=1 时 a1=b1,也符合, ∴ an=b1+2(n﹣1)?d, ∴ an+1﹣an=b1+2n?d﹣b1﹣2(n﹣1)?d=2d,d 为常数, ∴ {an}也是等差数列. 点评: 本题主要考查了等差数列的性质和通项公式.解题过程重点利用了等差数列的定义来解决问题. 26. (2014 春?龙川县校级月考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3+2 , (1)求 an; (2)设数列{bn}满足 bn=lgan,数列{bn}从第 2 项起,成等差数列还是等比数列?证明你的结论. 考点: 等差关系的确定;数列的函数特性;等比关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据数列的递推关系即可得到结论. (2)根据等差数列和等比数列的定义进行证明即可. n 解答: 解: (1)∵ 数列{an}的前 n 项和 Sn=3+2 , ∴ 当 n≥2,an=Sn﹣Sn﹣1=3+2 ﹣(3+2 )=2 n﹣1 当 n=1 时,a1=S1=3+2=5 不满足 an=2 , 故 an= .
n﹣1 n n﹣1 n﹣1 n

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(2)当 n≥2 时,bn=lgan=bn=lg2 =(n﹣1)lg2, 则当 n≥3 时,bn﹣bn﹣1═ (n﹣1)lg2﹣(n﹣2)lg2=lg2 为常数, 故数列{bn}从第 2 项起,成等差数列. 点评: 本题主要考查数列的通项公式以及等差数列和等比数列的判断,根据当 n≥2,an=Sn﹣Sn﹣1 的关系求出 数列 的通项公式是解决本题的关键. 27. (2013?上海)已知函数 f(x)=2﹣|x|,无穷数列{an}满足 an+1=f(an) ,n∈N (1)若 a1=0,求 a2,a3,a4; (2)若 a1>0,且 a1,a2,a3 成等比数列,求 a1 的值 (3)是否存在 a1,使得 a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1,若不存在,说明理由. 考点: 等差关系的确定;数列的函数特性;等比关系的确定. 专题: 综合题;压轴题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由题意代入式子计算即可; (2)把 a2,a3 表示为 a1 的式子,通过对 a1 的范围进行讨论去掉绝对值符号,根据 a1,a2,a3 成等比数列可 得关于 a1 的方程,解出即可; (3)假设这样的等差数列存在,则 a1,a2,a3 成等差数列,即 2a2=a1+a3,亦即 2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|(*) , 分情况① 当 a1>2 时② 当 0<a1≤2 时③ 当 a1≤0 时讨论,由(*)式可求得 a1 进行判断;③ 当 a1≤0 时,由公差 d> 2 可得矛盾;
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*

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解答: 解: (1)由题意,代入计算得 a2=2,a3=0,a4=2; (2)a2=2﹣|a1|=2﹣a1,a3=2﹣|a2|=2﹣|2﹣a1|, ① 当 0<a1≤2 时,a3=2﹣(2﹣a1)=a1, 所以 ,得 a1=1;

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② 当 a1>2 时,a3=2﹣(a1﹣2)=4﹣a1, 所以 综合① ② 得 a1=1 或 . ,得 (舍去)或 .

(3)假设这样的等差数列存在,那么 a2=2﹣|a1|, a3=2﹣|2﹣|a1||,由 2a2=a1+a3 得 2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|(*) , 以下分情况讨论: ① 当 a1>2 时,由(*)得 a1=0,与 a1>2 矛盾; ② 当 0<a1≤2 时,由(*)得 a1=1,从而 an=1(n=1,2,…) , 所以{an}是一个等差数列; ③ 当 a1≤0 时,则公差 d=a2﹣a1=(a1+2)﹣a1=2>0, 因此存在 m≥2 使得 am=a1+2(m﹣1)>2, 此时 d=am+1﹣am=2﹣|am|﹣am<0,矛盾. 综合① ② ③ 可知,当且仅当 a1=1 时,a1,a2,…,an,…成等差数列. 点评: 本题考查数列的函数特性、等差关系等比关系的确定,考查分类讨论思想,考查学生逻辑推理能力、分析解 决问题的能力,综合性强,难度较大.

28. (2013?潮州二模)已知数列{an}满足:a1=1,a2= ,且 an+2=



(I)求证:数列

为等差数列;

(II)求数列{an}的通项公式; (III)求下表中前 n 行所有数的和 Sn.

考点: 等差关系的确定;数列的求和. 专题: 压轴题. 分析: (1)把所给的递推式整理,构造要求的数列形式,仿写一个递推式,用数列的后一项去减前一项,合并同 类项,发现满足等差中项公式,得到结论. (2)写出(1)中的数列通项,用叠乘的方法把其他项都约去,得到第 n 项和第一项,因第一项可求出结果,
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所以得到通项公式. (3)根据表中构造的新数列,由它的特点写出第 n 行的各数之和,代入所求数列的通项,整理出组合数形 式,用二项式定理的各项系数之间的关系,得到第 n 行的各数之和,于是构造一个新数列用等比数列前 n 项 和公式求解. 解答: 解: (I)∵

=

=







∴ 数列满足等差中项公式为等差数列.

(II)由(I)得

故当 n≥2 时,

即 又当 n=1 时,满足上式 所以通项公式为 .

(III)∵

∴ 第 n 行各数之和 ∴ 表中前 n 行所有数的和 2 3 n+1 Sn=(2 ﹣2)+(2 ﹣2)++(2 ﹣2) 2 3 n+1 =(2 +2 ++2 )﹣2n = =2 ﹣2n﹣4 点评: 有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常 把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起.探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出 现.
n+2

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29. (2013?广东模拟)已知数列{an}满足: .

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(1)求证:数列

为等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式; (3)令 ,证明: .

考点: 等差关系的确定;等差数列的通项公式;数列的求和. 专题: 压轴题. 分析: 本题考查了由数列{an}递推关系求通项公式,数列的求和以及运用“构造数列法”解题. (1)这种证明实际上是在提示利用递推公式和构造数列的方式把非等差、等比数列转化成等差等比数列,
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为(2)中获取通项公式提供了方向,在此基础上可以先求得数列 {an}的通项公式; 对于(3)其含义是构造数列{ 和的方式. 解答: (1)证明:∵ , }并求其前 n 项的和,得出{

的通项公式,进而即可得到数列

}的通项公式后就可发现,可以用裂项求



=

=

=



∴ 数列

为等差数列.

(2)由(1)得,

为等差数列,公差为 1,首项为





.∴



(3)∵

,∴

=







当 n≥2 时, 当 n=1 时, 综上所述: .

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点评: 递推数列问题成为高考的热点问题,对于由递推公式所确定的数列通项公式问题,通常可以对递推公式变形 转化成等差或等比数列,解答此类问题通常用构造法,及构造数列的方法,为减缓难度,题目一般给出台阶, 比如本题的(1) ; 本题(3)同样是给出了一种构造方式,其目的是为了考查裂项求和,注意当 n≥2 时, = >1﹣ =1﹣( )的解题思路.

30. (2013?江苏模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn,存在常数 A,B,C,使得 成立. (1)求证:数列{an}为等差数列的充要条件是 3A﹣B+C=0; (2)若 C=0,{an}是首项为 1 的等差数列,设

对任意正整数 n 都

,求不超过 P 的最大整数的值.

考点: 等差关系的确定;等差数列的性质. 专题: 压轴题;等差数列与等比数列. 分析: (1)① 利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式即可证明“必要性”;② 利用数学归纳法即可证明其“充分性”; (2)利用(1)的结论及裂项求和即可得出. 解答: 解: (1)① 数列{an}为等差数列,
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∴ an+Sn= ∴ , ﹣ ,C=a1﹣d,

=

=An +Bn+C,

2

∴ 3A﹣B+C=

+(a1﹣d)=0,因此 3A﹣B+C=0 成立; .

② 当 B=3A+C 时,则

当 n=1 时,2a1=4A+2C,得到 a1=2A+C; 当 n=2 时,a2+S2=4A+2(3A+C)+C,化为 2a2+a1=10A+3C,∴ a2=4A+C; 当 n=3 时,a3+S3=9A+3(3A+C)+C,化为 2a3+a2+a1=18A+4C,∴ a3=6A+C; … 猜想:数列{an}是以 2A+C 为首项,2A 为公差的等差数列,则 an=2nA+C. 下面用数学归纳法证明: (i)当 n=1 时,易知成立. (ii)假设 n=k 时成立,即 ak=2kA+C. 2 则 n=k+1 时,由 ak+1+Sk+1=A(k+1) +(3A+C) (k+1)+C, 2 而 ak+Sk=Ak +(3A+C)k+C, 两式相减得 2ak+1﹣ak=(2k+4)A+C,把 ak=2kA+C 代入得 ak+1=2(k+1)A+C, 即当 n=k+1 时,ak+1=2(k+1)A+C 成立. * 综上可知:对于?n∈N ,an=2nA+C 都成立,即数列{an}是等差数列. 由以上① ② 可知:数列{an}为等差数列的充要条件是 3A﹣B+C=0; (2)∵ {an}是首项为 1 的等差数列, 由(1)知:B=3A,∴ 1+1=A+B=4A,∴ ,B= ,∴ d=2A=1,

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公差 d=1,∴ an=n.∴ =

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=

=

=1+





=

=2012+1﹣

=2013

<2013.

∴ 不超过 P 的最大整数的值为 2012. 点评: 数列掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式、数学归纳法、充要条件、裂项求和是解题的关键.

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