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第二节(空间几何体的表面积及体积)


第二节

空间几何体的表面积和体积

[知识能否忆起] 柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 圆柱 圆锥 S 侧=2πrl S 侧=πrl 体积 V=Sh=πr2h 1 1 1 V= Sh= πr2h= πr2 l2-r2 3 3 3 1 V= (S 上+S 下+ S上· S下)h 3 1 = π(r2 +r2+r r )h 3 1 2 12

V=Sh 1 V= Sh 3 1 V= (S 上+S 下+ S上· S下)h 3 4 V= πR3 3

圆台

S 侧=π(r1+r2)l

直棱柱 正棱锥 正棱台 球

S 侧=Ch 1 S 侧= Ch′ 2 1 S 侧= (C+C′)h′ 2 S 球面=4πR2

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为 a 时,该三棱锥的全面积是( 3+ 3 2 A. a 4 3+ 3 2 C. a 2 3 B. a2 4 6+ 3 2 D. a 4 2 a, 2 )

解析:选 A ∵侧面都是直角三角形,故侧棱长等于 ∴S 全= 3+ 3 2 3 2 1 2 a +3× ×? a?2= a. 4 2 ?2 ? 4

2.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3 2,则这个四棱锥的外接球的表面积为( A.12π C.72π B.36π D.108π

)

解析:选 B 依题意得,该正四棱锥的底面对角线长为 3 2× 2=6,高为

1 ?2 ?3 2?2-? ?2×6? =3,

因此底面中心到各顶点的距离均等于 3,所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心,其外接球的

半径为 3,所以其外接球的表面积等于 4π×32=36π. 3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为 腰三角形,侧视图是一个底边长为 6,高为 5 的等腰三角形,则该几 ( ) A.24 C.64 B.80 D.240 8,高为 5 的等 何体的体积为

解析:选 B 结合题意知该几何体是四棱锥,棱锥底面是长和宽分别为 8 和 6 的矩形,棱锥的高是 5, 1 可由锥体的体积公式得 V= ×8×6×5=80. 3

4. (教材习题改编)表面积为 3π 的圆锥, 它的侧面展开图是一个半圆, 则该圆锥的底面直径为________. 解析:设圆锥的母线为 l,圆锥底面半径为 r, 则 πrl+πr2=3π,πl=2πr. 解得 r=1,即直径为 2. 答案:2 5.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为 2 的等 视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的表面积是________. 解析:由三视图可知此几何体的表面积分为两部分:底面积 面积,为 2 3;侧面积为一个完整的圆锥的侧面积,且圆锥的母 面半径为 1, 所以侧面积为 2π.两部分加起来即为几何体的表面积, 答案:2(π+ 3) 1.几何体的侧面积和全面积: 几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和,而全面积是侧面积与所有底面积之和.对侧面积公式的记忆, 最好结合几何体的侧面展开图来进行. 2.求体积时应注意的几点: (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决. (2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性. 3.求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理. 即俯视图的 线长为 2,底 为 2(π+ 3). 腰三角形, 侧

几何体的表面积

典题导入 [例 1] (2012· 安徽高考)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是________.

[自主解答] 由几何体的三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示).

在四边形 ABCD 中,作 DE⊥AB,垂足为 E,则 DE=4,AE=3,则 AD=5. 1 所以其表面积为 2× ×(2+5)×4+2×4+4×5+4×5+4×4=92. 2 [答案] 92 由题悟法 1.以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系 及数量. 2.多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理. 3.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. 以题试法 1.(2012· 河南模拟)如图是某宝石饰物的三视图,已知该饰物的正 都是面积为 ( ) A. 3 C.4 3 B.2 3 D.4 3 ,且一个内角为 60° 的菱形,俯视图为正方形,那么该饰 2 视图、侧视图 物的表面积为

解析:选 D 依题意得,该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成,正四棱锥的底面边长和侧面 1 ? 上的高均等于菱形的边长,因此该饰物的表面积为 8×? ?2×1×1?=4.

几何体的体积

典题导入 [例 2] (1)(2012· 广东高考)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )

A.72π C.30π

B.48π D.24π 为线段 B1C 上

(2)(2012· 山东高考)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E 的一点,则三棱锥 A-DED1 的体积为________. [自主解答] (1)

由三视图知,该几何体是由圆锥和半球组合而成的,直观图如图所示, 径为 3,高为 4,半球的半径为 3. 14 1 V=V 半球+V 圆锥= ·π·33+ ·π·32· 4=30π. 23 3 1 1 1 1 (2)VA-DED1=VE-ADD1= ×S△ADD1×CD= × ×1= . 3 3 2 6 [答案] (1)C 1 (2) 6

圆锥的底面半

本例(1)中几何体的三视图若变为:

其体积为________. 解析:由三视图还原几何体知,该几何体为圆柱与圆锥的组合体,其体积 V=V 1 - π×32×4=24π. 3 答案:24π
圆柱

-V

圆锥

=π×32×4

由题悟法 1.计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的 截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解. 2.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计 算常用的方法,应熟练掌握.

3.等积变换法:利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面.①求体积时,可选择容易计算的方式 来计算;②利用“等积法”可求“点到面的距离”. 以题试法 2.(1)(2012· 长春调研)四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为正方形,且 PD 垂直于底面 ABCD,N 为 PB 中点,则三棱锥 P-ANC 与四棱锥 P-ABCD 的体积比为( )

A.1∶2 C.1∶4

B.1∶3 D.1∶8

解析:选 C 设正方形 ABCD 面积为 S,PD=h,则体积比为 1 11 1 11 Sh- ·S·h- ·Sh 3 32 2 32 1 = . 1 4 Sh 3 (2012· 浙江模拟)如图,是某几何体的三视图,则这个几何体的体积是( )

A.32 C.8

B.24 32 D. 3

解析:选 B 此几何体是高为 2 的棱柱,底面四边形可切割成为一个边长为 3 的正方形和 2 个直角边 1 分别为 3,1 的直角三角形,其底面积 S=9+2× ×3×1=12, 2 所以几何体体积 V=12×2=24.

与球有关的几何体的表面积与体积问题

典题导入 [例 3] (2012· 新课标全国卷)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( A. C. 2 6 2 3 B. D. 3 6 2 2 )

[自主解答] 由于三棱锥 S-ABC 与三棱锥 O-ABC 底面都是△ 的中点,因此三棱锥 S-ABC 的高是三棱锥 O-ABC 高的 2 倍, 所以三棱锥 S-ABC 的体积也是三棱锥 O-ABC 体积的 2 倍. 在三棱锥 O-ABC 中,其棱长都是 1,如图所示, S△ABC= 3 3 ×AB2= , 4 4 12-? 6 3?2 = , ?3? 3

ABC, O 是 SC

高 OD=

1 3 6 2 ∴VS-ABC=2VO-ABC=2× × × = . 3 4 3 6 [答案] A 由题悟法 1.解决与球有关的“切”、“接”问题,一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面,把空间 问题转化为平面问题,从而寻找几何体各元素之间的关系. 2.记住几个常用的结论: (1)正方体的棱长为 a,球的半径为 R, ①正方体的外接球,则 2R= 3a; ②正方体的内切球,则 2R=a; ③球与正方体的各棱相切,则 2R= 2a. (2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c,外接球的半径为 R,则 2R= a2+b2+c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 1∶3. 以题试法 3.(1)(2012· 琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的 外接球的表面积为( )

A.2 3π C.4 3

8π B. 3 16π D. 3 D , DA ⊥ 平 面

(2)(2012· 潍坊模拟)如图所示, 已知球 O 的面上有四点 A、 B、 C、 ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC= 2,则球 O 的体积等于________.

解析:(1)由三视图可知几何体的直观图如图所示. 其中侧面 DBC⊥底面 ABC, 取 BC 的中点 O1, 连接 AO1, DO1 ABC 且 DO1= 3,AO1=1,BO1=O1C=1. 在 Rt△ABO1 和 Rt△ACO1 中,AB=AC= 2, 又∵BC=2,∴∠BAC=90° . ∴BC 为底面 ABC 外接圆的直径,O1 为圆心, 又∵DO1⊥底面 ABC,∴球心在 DO1 上, 即△BCD 的外接圆为球大圆,设球半径为 R, 则( 3-R)2+12=R2,∴R= ∴S 球=4πR2=4π×? 2 . 3 知 DO1 ⊥ 底 面

2 ?2 16π = . 3 ? 3? 球 O 的半径 错误!=2R,

(2)如图,以 DA,AB,BC 为棱长构造正方体,设正方体的外接球 为 R , 则 正 方 体 的 体 对 角 线 长 即 为 球 O 的 直 径 , 所 以 |CD| = 所以 R= 6 . 2

4πR3 故球 O 的体积 V= = 6π. 3 答案:(1)D (2) 6π

某些空间几何体是某一个几何体的一部分,在 解题时,把这个几何体通过“补形”补成完整的 几何体或置于一个更熟悉的几何体中,巧妙地破 解空间几何体的体积问题,这是一种重要的解题 策略——补形法.常见的补形法有对称补形、联系 补形与还原补形.对于还原补形,主要涉及台体中 “还台为锥”问题.

1.对称补形

[典例 1] (2012· 湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

)

8π A. 3 10π C. 3

B.3π D.6π

[解析]

由三视图可知,此几何体是底面半径为 1,高为 4 的圆柱被从

母线的中点 =3π.

1 3 处截去了圆柱的 , 根据对称性, 可补全此圆柱如图, 故体积 V= ×π×12×4 4 4 [答案] B [题后悟道] “对称”是数学中的一种重要关系,在解决空间几何体中 于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助. 2.联系补形

的问题时善

(2012· 辽宁高考)已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长 为 2 3的正方形.若 PA=2 6,则△OAB 的面积为________. [解析] 由 PA⊥底面 ABCD,且 ABCD 为正方形,故可补形为长方 球心 O 为 PC 的中点, 又 PA=2 6,AB=BC=2 3, ∴AC=2 6,∴PC=4 3, ∴OA=OB=2 3,即△AOB 为正三角形, ∴S=3 3. [答案] 3 3 [题后悟道] 三条侧棱两两互相垂直,或一侧棱垂直于底面,底面为正方形或长方形,则此几何体可 补形为正方体或长方体,使所解决的问题更直观易求. 体如图,知

1.(2012· 北京西城模拟)某几何体的三视图如图所示,该几何体的 ( )







A.8 C.4 解析:选 D

8 B. 3 4 D. 3 将三视图还原,直观图如图所示,可以看出,这是一个底 面为正方形 4 = . 3 且 AB=3, BC

1 1 1 (对角线长为 2), 高为 2 的四棱锥, 其体积 V= S 正方形 ABCD×PA= × ×2×2×2 3 3 2 2. (2012· 山西模拟)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, =2,则棱锥 O-ABCD 的体积为( A. 51 C.2 51 ) B.3 51 D.6 51

解析:选 A 依题意得,球心 O 在底面 ABCD 上的射影是矩形 ABCD 的中心,因此棱锥 O-ABCD 的 高等于 1 2 51 1 51 2?2 42-? ?2 3 +2 ? = 2 ,所以棱锥 O-ABCD 的体积等于3×(3×2)× 2 = 51. )

3.(2012· 马鞍山二模)如图是一个几何体的三视图,则它的表面积为(

A.4π C.5π

15 B. π 4 17 D. π 4

1 解析:选 D 由三视图可知该几何体是半径为 1 的球被挖出了 部分得到的几何体,故表面积为 8 7 1 17 ·4π·12+3··π·12= π. 8 4 4 4.(2012· 济南模拟)用若干个大小相同,棱长为 1 的正方体摆成一个立体模型,其三视图如图所示, 则此立体模型的表面积为( )

A.24 C.22

B.23 D.21

解析:选 C 这个空间几何体是由两部分组成的,下半部分为四个小正方体,上半部分为一个小正方

体,结合直观图可知,该立体模型的表面积为 22. 5. (2012· 江西高考)若一个几何体的三视图如下图所示,则此几何体的体积为( )

11 A. 2 9 C. 2

B .5 D.4

解析:选 D 由三视图可知,所求几何体是一个底面为六边形,高为 1 的直棱柱,因此只需求出底面 1 积即可.由俯视图和主视图可知,底面面积为 1×2+2× ×2×1=4,所以该几何体的体积为 4×1=4. 2 6.如图,正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 4,动点 E,F 在棱 AB 上,且 EF=2,动点 Q 在棱 D′C′上,则三棱锥 A′-EFQ 的体积( A.与点 E,F 位置有关 B.与点 Q 位置有关 C.与点 E,F,Q 位置都有关 D.与点 E,F,Q 位置均无关,是定值 1 1 16 ×2×4?×4= ,故三棱锥 A′-EFQ 的体积与点 E,F, 解析:选 D 因为 VA′-EFQ=VQ-A′EF= ×? ? 3 ?2 3 Q 的位置均无关,是定值. 7.(2012· 湖州模拟)如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个 方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成,则该多面体的体积是________. 解析:由题知该多面体为正四棱锥,底面边长为 1,侧棱长为 1,斜 顶点和底面中心即为高, 可求得高为 答案: 2 6 2 1 2 2 , 所以体积 V= ×1×1× = . 2 3 2 6 高为 3 ,连接 2 边长为 1 的正 )

8.(2012· 上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,则该圆锥的体积为________. 解析:因为半圆的面积为 2π,所以半圆的半径为 2,圆锥的母线长为 2.底面圆的周长为 2π,所以底面 圆的半径为 1,所以圆锥的高为 3,体积为 答案: 3 π 3 3 π. 3

9.(2013· 郑州模拟)在三棱锥 A-BCD 中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球 的表面积为________.

解析:依题意得,该三棱锥的三组对棱分别相等,因此可将该三棱锥补形成一个长方体,设该长方体 a +b =6 , ? ? 2 2 2 的长、宽、高分别为 a、b、c,且其外接球的半径为 R,则?b +c =5 , ? ?c2+a2=52, 得 a2+b2+c2=43,即(2R)2=a2+b2+c2=43,易知 R 即为该三棱锥的外接球的半径,所以该三棱锥的 外接球的表面积为 4πR2=43π. 答案:43π 10.(2012· 江西八校模拟)如图,把边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 折起,使 AC= 6.
2 2 2

(1)求证:面 ABEF⊥平面 BCDE; (2)求五面体 ABCDEF 的体积. 解:设原正六边形中,AC∩BE=O,DF∩BE=O′,由正六边形的几何性质可知 OA=OC= 3,AC ⊥BE,DF⊥BE. (1)证明:在五面体 ABCDE 中,OA2+OC2=6=AC2, ∴OA⊥OC, 又 OA⊥OB,∴OA⊥平面 BCDE.∵OA?平面 ABEF, ∴平面 ABEF⊥平面 BCDE. (2)由 BE⊥OA,BE⊥OC 知 BE⊥平面 AOC,同理 BE⊥平面 FO′D,∴平面 AOC∥平面 FO′D,故 AOC-FO′D 是侧棱长(高)为 2 的直三棱柱,且三棱锥 B-AOC 和 E-FO′D 为大小相同的三棱锥, ∴VABCDEF=2VB-AOC+VAOC-FO′D 1 1 1 =2× × ×( 3)2×1+ ×( 3)2×2=4. 3 2 2 11.(2012· 大同质检)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是直角梯形 AD⊥AB, CD∥AB, AB=4, CD=2, 侧面 PAD 是边长为 2 的等边三角形, ABCD 垂直,E 为 PA 的中点. (1)求证:DE∥平面 PBC; (2)求三棱锥 A-PBC 的体积. 解:(1)证明:如图,取 AB 的中点 F,连接 DF,EF. 在直角梯形 ABCD 中,CD∥AB,且 AB=4,CD=2,所以 BF 綊 CD. 所以四边形 BCDF 为平行四边形. 所以 DF∥BC. 在△PAB 中,PE=EA,AF=FB,所以 EF∥PB. 又因为 DF∩EF=F,PB∩BC=B, ABCD, 其中 且与底面

所以平面 DEF∥平面 PBC. 因为 DE?平面 DEF,所以 DE∥平面 PBC. (2)取 AD 的中点 O,连接 PO. 在△PAD 中,PA=PD=AD=2, 所以 PO⊥AD,PO= 3. 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 PO⊥平面 ABCD. 在直角梯形 ABCD 中,CD∥AB,且 AB=4,AD=2, AB⊥AD, 1 1 所以 S△ABC= ×AB×AD= ×4×2=4. 2 2 1 1 4 3 故三棱锥 A-PBC 的体积 VA-PBC=VP-ABC= ×S△ABC×PO= ×4× 3= . 3 3 3 12.(2012· 湖南师大附中月考)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,其正视图、俯视图均为 矩形,侧视图为直角三角形.

(1)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积; (2)证明:A1C⊥平面 AB1C1. 解:(1)几何体的直观图如图所示,四边形 BB1C1C 是矩形,BB1=CC1 B1C1=1, 四边形 AA1C1C 是边长为 3的正方形,且平面 AA1C1C 垂直于底 1 3 故该几何体是直三棱柱,其体积 V=S△ABC· BB1= ×1× 3× 3= . 2 2 (2)证明:由(1)知平面 AA1C1C⊥平面 BB1C1C 且 B1C1⊥CC1, 所以 B1C1⊥平面 ACC1A1.所以 B1C1⊥A1C. 因为四边形 ACC1A1 为正方形,所以 A1C⊥AC1. 而 B1C1∩AC1=C1,所以 A1C⊥平面 AB1C1. = 3 , BC = 面 BB1C1C,

1.(2012· 潍坊模拟)已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形 ABCD 周长最小时,沿对角线 AC 把△ACD 折起,则三棱锥 D-ABC 的外接球表面积等于( A.8π C.48 2π B.16π D.不确定的实数 )

解析:选 B 设矩形长为 x,宽为 y, 周长 P=2(x+y)≥4 xy=8 2,当且仅当 x=y=2 2时,周长 此时正方形 ABCD 沿 AC 折起, ∵OA=OB=OC=OD, 三棱锥 D-ABC 的四个顶点都在以 O 半径的球上, 此球表面积为 4π×22=16π. 2.(2012· 江苏高考)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB AA1=2 cm,则四棱锥 A-BB1D1D 的体积为________cm3. 解析:由题意得 2 2 1 VA-BB1D1D= VABD-A1B1D1= × ×3×3×2=6. 3 3 2 答案:6 3.(2013· 深圳模拟)如图,平行四边形 ABCD 中,AB⊥BD,AB=2,BD= 2,沿 BD 将△BCD 折起, 使二面角 A-BD-C 是大小为锐角 α 的二面角,设 C 在平面 ABD 上的射影为 O. =AD=3 cm, 为球心,以 2 为 有最小值.

(1)当 α 为何值时,三棱锥 C-OAD 的体积最大?最大值为多少? (2)当 AD⊥BC 时,求 α 的大小. 解:(1)由题知 CO⊥平面 ABD,∴CO⊥BD, 又 BD⊥CD,CO∩CD=C,∴BD⊥平面 COD. ∴BD⊥OD.∴∠ODC=α. 1 1 1 VC-AOD= S△AOD· OC= × · OD· BD· OC 3 3 2 = = 2 2 · OD· OC= · CD· cos α· CD· sin α 6 6 2 2 · sin 2α≤ , 3 3

当且仅当 sin 2α=1,即 α=45° 时取等号. ∴当 α=45° 时,三棱锥 C-OAD 的体积最大,最大值为 2 . 3

(2)连接 OB, ∵CO⊥平面 ABD,∴CO⊥AD, 又 AD⊥BC, ∴AD⊥平面 BOC. ∴AD⊥OB. ∴∠OBD+∠ADB=90° .

故∠OBD=∠DAB,又∠ABD=∠BDO=90° , ∴Rt△ABD∽Rt△BDO. ∴ OD BD = . BD AB

BD2 ? 2?2 ∴OD= = =1, AB 2 OD 1 在 Rt△COD 中,cos α= = ,得 α=60° . CD 2

1.两球 O1 和 O2 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的内部,且互相外切,若球 O1 与过点 A 的正 方体的三个面相切, 球 O2 与过点 C1 的正方体的三个面相切, 则球 O1 和 O2 的表面积之和的最小值为( A.(6-3 3)π C.(6+3 3)π B.(8-4 3)π D.(8+4 3)π )

解析:选 A 设球 O1、球 O2 的半径分别为 r1、r2, 则 3r1+r1+ 3r2+r2= 3, 3- 3 r1+r2= , 2
2 从而 4π(r2 1+r2)≥4π·

?r1+r2?2 =(6-3 3)π. 2 )

2.已知某球半径为 R,则该球内接长方体的表面积的最大值是( A.8R2 C.4R2 B.6R2 D.2R2

解析:选 A 设球内接长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,则 a2+b2+c2=(2R)2,所以 S 表=2(ab+ 2 3 bc+ac)≤2(a2+b2+c2)=8R2,当且仅当 a=b=c= R 时,等号成立. 3 3.右图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆), 则该几何体 ( ) A.20+3π C.20+4π B.24+3π D.24+4π 一个半圆柱的 的表面积是

解析:选 A 根据几何体的三视图可知,该几何体是一个正方体和 组合体,其中,正方体的棱长为 2,半圆 1 柱的底面半径为 1,母线长为 2.故该几何体的表面积为 4×5+2×π+2× π=20+3π. 2

4.(2012· 湖北高考)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九 而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V,求其直径 d 的一个近似 公式 d≈ 个是( 3 16 V.人们还用过一些类似的近似公式,根据 π=3.141 59?判断,下列近似公式中最精确的一 9 )

A.d≈

3 16 V 9 3 300 V 157

B.d≈

3

2V

C.d≈

D.d≈

3 21 V 11

3 6V 4 6 16 解析: 选 D ∵V= πR3, ∴2R=d= , 考虑到 2R 与标准值最接近, 通过计算得 - ≈0.132 08, 3 π π 9 6 6 300 6 21 -2≈-0.090 1, - ≈-0.001 0, - ≈0.000 8,因此最接近的为 D 选项. π π 157 π 11 5.(2012· 上海高考)如图,AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱, AD=2c,且 AB+BD=AC+CD=2a,其中 a,c 为常数,则四面体 ABCD 的 值是________. BC=2.若 体积的最大

解析:如图过点 B 在平面 BAD 中作 BE⊥AD,垂足为 E,连接 CE, 1 AD, 所以 AD⊥平面 BCE.所以四面体 ABCD 的体积为 S△BCE· AD.当△BCE 3 时,体积最大.因为 AB+BD=AC+CD=2a,所以点 B,C 在一个椭圆 椭圆知识可知当 AB=BD=AC=CD=a 时,BE=CE= a2-c2为最大值,

因 为 BC ⊥ 的面积最大 上运动,由 此时截面△

1 1 BCE 面积最大,为 ×2 a2-c2-1= a2-c2-1,此时四面体 ABCD 的体积最大,最大值为 S△BCE· AD= 2 3 2c · a2-c2-1. 3 2 答案: c a2-c2-1 3


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