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湖北省黄冈中学2013届高三6月适应性考试数学文试题(B卷)(解析版)


湖北省黄冈市黄冈中学 2013 届高三下学期 6 月适应性考试数学文 试题(B 卷)(解析见后)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 P ? {0, m}, Q ? {x | 2 x ? 5 x ? 0, x ? Z } ,若 P ? Q ? ? ,则 m 等于(

/>2

)A.1 或

2

B. 1 或

5 2


C. 1

D. 2

2.下列四个命题中,假命题为( A. ?x ?R ,使 lg x ? 0 成立 C. ?x ? R , 2 ? 0 均成立
x

B. ?x ?R ,使 x 2 ? 2 成立 D. ?x ? R , x ? 3x ? 1 ? 0 均成立
2

1

3.已知 a ? b ,则下列不等式正确的是 A. a2 ? b2 B. ?
1 a 1 b

C. 2a ? 2b

D. 2 ? a ? 2 ? b


4.已知函数 y ? 2sin x 的定义域为[a,b],值域为[-2,1],则 b-a 的值不可能是 ( A. 2? B.

7? 6

C.

5? 6

D. ? ) D.61

5.如图的算法流程图中,当输入 n ? 61 时,则输出的 n ? ( A. 64 输入 n B.63 C.62

S?

n(n ? 1) 2
n=n+1

1 正视图 1 侧视图

S>2013? 是 输出 n 结束 (第 5 题图)

否 1 俯视图 1

(第 6 题图) ( C. )

6. 一几何体的三视图如上图,它的体积为 A.2 B.

5 2

3 2
( )

D.

4 3

7.在等比数列 {an } 中,若 a3a5 a7 ? 8 ,则 a2 a8 ? A. 4 B . ?4 C .2

D. ?2 评中的成

8.右边茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测

绩,其中有一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是(



4 A. 5

2 B. 5

9 C. 10

7 D. 10

9.已知 F 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点, E 是双曲线的右顶点,过点 F 且垂直于 x a 2 b2

轴的直线与双曲线交于 A, B 两点,若 ?ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围为 ( ) A. (1, 2) B. (1, 2) C.

(1, 3 )

D. (1,3)

? 1? x2 0 ? x ?1 ? 10 . 已 知 f ( x) ? ? ?? 1 ? x 2 ?1 ? x ? 0 ?
f (m) ? f (n) ? 0 成立的 m 和 n 还应满足条件是(
A. m ? n ? 0 B. m ? n ? 0

且 0 ?| m |? 1,0 ?| n |? 1, mn ? 0 , 则 使 不 等 式

) D. m ? n ? 0

C. m ? n ? 0

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位 置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11. i 是虚数单位,复数 z=

?? 1 ? i ??2 ? i ?
i3

的虚部为_________. .. .

12.已知向量 a ? (2,3) , b ? (?2,1) ,则 a 在 b 方向上的投影等于

13.圆 C : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 的圆心到直线 3x+4y+14=0 的距离是
2 2

. .

14.若函数 f ( x) ? a ? x ? a (a ? 0 且 a ? 1) 有两个零点,则实数 a 的取值范围是
x

15.通过全国人口普查工作,得到我国人口的年龄频率分布直方图如下所示: 那么在一个总人口数为 200 万的城市中,年龄在[20,60)之间的人大约有

万.

2

0

0

7

0

3

2

0

? y ? x ?1 y ? 16. 实数 x, y 满足 ? x ? 1 , 目标函数 z ? x ? y , 则当 z ? 3 时, 的取值范围是 x ?2 x ? y ? 6 ? 0 ?
17. 函数 f ( x) ? min{2 x,| x ? 2 |} , 其中 min ?a, b? ? ?



? a, a ? b , 若动直线 y ? m 与函数 y ? f ( x) ?b, a ? b

的图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1 , x2 , x3 , (1) m 的取值范围是_______________. (2) x1 ? x2 ? x 3 是否存在最大值?若存在,在横线处填写其最大值;若不存在,直接填写“不存 在”_______________. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A cos(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ?

?
2

? ? ? 0 )的图像与 y 轴的交点

为 (0, 1) ,它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 ( x 0 ,2) 和

( x0 ? 2? ,?2)
(1)求函数 f (x) 的解析式; (2)若锐角 ? 满足 cos ? ?
1 ,求 f (2? ) 的值. 3

19.(本小题满分 12 分) 如图, 正方形 ABCD 所在的平面与正方形 ABEF 所在的平面相互垂直, 、N 分别是 EC 、AD M 的中点. (1)求证:面 EFDC ? 面 ECB ; (2)求直线 MN 与平面 EFDC 所成的角正弦值.

20.(本小题满分 13 分) 国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款(即无利息贷款),旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在 校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过 6000 元.某大学 2013 届毕业生小王在本科期间共申请了 24000 元助学贷款,并承诺在毕业后 3 年内(按 36 个月计) 全部还清.签约的单位提供的工资标准为第一年内每月 1500 元,第 13 个月开始,每月工资比前一个 月增加 5% 直到 4000 元.小王计划前 12 个月每个月还款额为 500,第 13 个月开始,每月还款额比前 一个月多 x 元. (1) 假设小王在第 m 个月还清贷款 m ? 36, m ? N ? ) 试用 x 和 n 表示小王第 n( n ? m, n ? N ? ) ( , 个月的还款额 an ; (2)当 x ? 40 时,小王将在第几个月还清最后一笔贷款? (3)在(2)的条件下,他还清最后一笔贷款的那个月工资的余额是否能满足此月 3000 元的基本生 活费?(参考数据: 1.0520 ? 2.653 )

21.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 C1 : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 以及椭圆 C2 :
2

y 2 x2 下焦点及左、 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的上、 a 2 b2

右顶点均在圆 O : x ? y ? 1 上.
2 2

(1)求抛物线 C1 和椭圆 C2 的标准方程; (2)过点 F 的直线交抛物线 C1 于 A, B 两不同点,交 y 轴于点 N ,已知 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF , 则 ?1 ? ?2 是否为定值?若是,求出其值;若不是,说明理由.

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 的定义域是 (0, ??) , f '( x) 是 f ( x) 的导函数,且 xf '( x) ? f ( x) ? 0 在

(0, ??) 内恒成立.
(1) 求函数 F ( x) ?

f ( x) 的单调区间; x
2

(2) 若 f ( x) ? ln x ? ax ,求 a 的取值范围; (3) 设 x0 是 f ( x) 的零点, m, n ? (0, x0 ) ,求证:

f ( m ? n) ?1 f (m) ? f (n)

湖北省黄冈中学 2013 届毕业生适应性考试

数学(文史类)试题参考答案
1 A卷 B卷 D A 1.【答案】 D 2 B D 3 C D 4 D A 5 C B 6 A C 7 D A 8 C A 9 A B 10 B A

【解析】 Q ? {x | 0 ? x ? 2.【答案】B

5 , x ? Z } ? {1,2} ,因为 P ? Q ? ? ,故 m ? 1或 2 . 2

【解析】易知 y ? x ? 3x ? 1 是可令 x ? ?1 显然不成立.
2

3.【答案】C 【解析】根据不等式的性质易得 4.【答案】D 【解析】值域[-2,1]含最小值不含最大值,故定义域小于一个周期,故选 D 5.【答案】C 【解析】:程序在运行过程中各变量的值如下表示:

61? 62 ? 1891,不大于 2013,n 变为 62 2 62 ? 63 第二次运行 ? 1953 ,不大于 2013,n 变为 63 2 63 ? 64 第三次运行 ? 2016 ,所以输出 63.答案为 63 2
第一次运行 6.【答案】A 【解析】:显然有三视图我们易知原几何体为左边是一个正方体,右边是正方体沿对角线切去一半 所得到的三棱柱,这样不难得到体积为 7.【答案】D 【解析】 :由 a3a5 a7 ? a5 ? 8 ,所以 a5 ? 8 , a2 ? a8 ? a5 ? 4 ,故选 D
3 2

3 2

8. 【答案】C 【解析】本题考查茎叶图和古典概型的求法,记其中被污损的数字为 x ,由题知甲的 5 次综合测评

1 ? (80 ? 2 ? 90 ? 3 ? 8 ? 9 ? 2 ? 1 ? 0) ? 90 , 乙 的 5 次 综 合 测 评 的 平 均 成 绩 是 5 1 442 ? x 442 ? x ,令 90 ? ,解得 x ? 8 ,即 x 的取值可以 ? (80 ? 3 ? 90 ? 2 ? 3 ? 3 ? 7 ? x ? 9) ? 5 5 5 8 4 是 0 ? 7 ,因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是 ? ,选 C. 10 5
的平均成绩是 9.【答案】A 【解析】由于 ?ABE 为等腰三角形,可知只需 ?AEF ? 45 即可,即
0

| AF |?| EF |?
10.【答案】B

b2 ? a ? c ,化简得 e2 ? e ? 3 ? 0 ? 1 ? e ? 2 . a

【解析】画出 f ( x) 的图象,可知函数为奇函数,则使不等式 f (m) ? f (n) ? 0 成立的 m 和 n 还应满 足条件为 m ? n ? 0 11.【答案】 -3 【解析】 z=

? ?1 ? i ?? 2 ? i ?
i3

?

?2 ? i ? 1 3i 2 ? i ? ? ?1 ? 3i. ?i ?i

12.【答案】 ?

5 5

【解析】 a 在 b 方向上的投影为 a cos a , b ? a 13.【答案】3

a ?b a ?b 5 ? ?? . a b b 5

【解析】圆 C 即为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 ,圆即为 (?1,1) 到直线的距离为 3.
2 2

14.【答案】 a ? 1 【解析】作图分析知当 0 ? a ? 1时只有一个零点,当 a ? 1 时有两个零点

15.【答案】116 【解析】20,60)之间的频率为 0.58,则人数有 200 ? 0.58=115 万

16.【答案】 [ , 2] 【解析】 不等式组表示的区域 D 以 ( , ) ,(1, 0) ,(1, 4) 为顶点的三角形内部及其边界, z ? 3 时, 当 点 ( x, y ) 应点 D 与直线 x ? y ? 3 相交所得的线段上,联立 y ? x ? 1 与 x ? y ? 3 ,解得一个端点为

1 2

7 4 3 3

(2,1) ,联立 x ? 1 与 x ? y ? 3 得另一端点为 (1, 2) ,
17.【答案】(1) 0 ? m ? 2 3 ? 2 ;(2)1 【解析】如图,由 2 x ? x ? 2 得

y y 1 表示与原点连线的斜率,易得 ? [ , 2] . x x 2
y C 2 B

即 x ? 8 x ? 4 ? 0 ,解得 xB ? 4 ? 2 3 ,
2

m 或 xC ? 4 ? 2 3 ,所以 A 2 x

yB ? 4 ? 2 3 ? 2 ? 2 3 ? 2 ,由图象

可知要使直线 y ? m 与函数 y ? f ( x) 的图像有三个不同的交点, 则有 0 ? m ? 2 3 ? 2 , 即实数 m 的 取值范围是 0 ? m ? 2 3 ? 2 .不妨设 x1 ? x2 ? x3 ,则由题意可知 2 x1 ? m ,所以 x1 ?

m2 ,由 4

x ? 2 ? m 得 x2 ? 2 ? m, x3 ? 2 ? m , x1 x2 x3 ?

m2 (2 ? m)(2 ? m) ? 4

m2 (4 ? m2 ) 1 m2 ? 4 ? m2 2 ? ( ) ? 4 ,当 x1 x2 x3 取最大值 1 时, m ? 2 ? (0, 2 3 ? 2) . 4 4 2
18.解: (1)由题意可得 A ? 2

T 1 ? 2? 即 T ? 4? , ? ? ……………………………………………… 3 分 2 2 1 f ( x) ? 2 cos( x ? ? ) , f (0) ? 1 2 1 ? ? 由 cos? ? 且 ? ? ? ? 0 ,得 ? ? ? 2 3 2 1 ? 函数 f ( x) ? 2 cos( x ? ) …… ………………………………………………6 分 2 3
(2)由于 cos ? ?

2 2 1 且 ? 为锐角,所以 sin ? ? 3 3

f (2? ) ? 2 cos(? ?

?
3

) ? 2(cos ? cos

?

? sin ? sin ) …………………………………10 分 3 3

?

1 1 2 2 3 1? 2 6 ……………………12 分 ? 2?( ? ? ? )? 3 2 3 2 3
19.(1)∵ ABCD 为正方形,∴ AB ? BC 又 ABEF 为正方形,∴ AB ? BE ,∴ AB ? 面 ECB .……3 分 又 CD // AB ,∴ CD ? 面 ECB . 而 CD ? 面 EFDC ,∴面 EFDC ? 面 ECB . ………6 分 (Ⅱ)作 N 在 DF 上的射影 H ,连 MH .…7′ ∵ AF // BE , AD // BC ,∴面 ADF // 面 BCE , ∴面 ADF ? 面 EFDC ,∴ NH ? 面 EFDC , ∴ ?NMH 为 MN 与面 EFDC 所成的角. …9 分 作 M 在 BC 上的射影 G ,连 NG . 设 AD ? 2a ,则 NH ? HD ?

1 2 2 ND ? a , MG ? EB ? a . 2 2 2
2

∴ MN ? MG 2 ? NG 2 ? a 2 ? ? 2a ? ? 5a

sin?NMH ?

NH 2a 2 10 ? ? , MN 10 5a

∴直线 MN 与平面 EFDC 所成的角的正弦值为

10 . 10

…………12 分

20.解:(1) an ? ?

?500(1 ? n ? 12) ?500 ? (n ? 12) x(13 ? n ? m)

m 、 n ? N * 且 m ? 36 ……………6 分

(2)设王某第 n 个月还清,则应有

(n ? 12)(n ? 12 ? 1) ? 40 ? 24000 2 整理可得 n2 ? 2n ? 1068 ? 0 ,解之得 n ? ?1 ? 1069 ? ?1 ? 32 ? 31,取 n ? 32 . 即王某工作 32 个月就可以还清贷款. ……………9 分 12 ? 500 ? (500 ? 40) ? (n ? 12) ?
(3)在(2)的条件下,第 32 个月小王的还款额为

24000 ? [12 ? 500 ? (500 ? 40) ? (31 ? 12) ?
第 32 个月王某的工资为 1500 ?1.05
20

(31 ? 12) ? (31 ? 12 ? 1) ? 40] ? 900 元 2

? 1500 ? 2.653 ? 3979.5 元.

因此,王某的剩余工资为 3979.5 ? 900 ? 3079.5 ,能够满足当月的基本生活需求. ………………………………………13 分 21. (1) (1) 解: 由抛物线 C1 : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F (
2

p2 p , 0) 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上得: ? 1 , 4 2

? p ? 2 ,∴抛物线 C1 : y 2 ? 4 x
同理由椭圆 C2 : 圆

…………………………3 分

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的上、下焦点 (0, c),(0, ?c) 及左、右顶点 (?b,0),(b,0) 均在 a 2 b2
上 可 解 得 :

O : x2 ? y 2 ? 1

b ? c ? 1,? a ? 2









C2 : x 2 ?

y2 ?1 . 2

…………………………6 分

(2) ?1 ? ?2 是定值,且定值为-1. 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 N (0, ?k ) . 联立方程组 ?

? y2 ? 4x ? y ? k ( x ? 1)

,消去 y 得: k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0,
2 2 2 2

? 2k 2 ? 4 ? x1 ? x2 ? ?? ? 16k 2 ? 16 ? 0, 且 ? k2 ?x x ? 1 ? 1 2
由 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF 得: ?1 (1 ? x1 ) ? x1 , ?2 (1 ? x2 ) ? x2 ,

…………………………9 分

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

整理得: ?1 ?

x1 x , ?2 ? 2 1 ? x1 1 ? x2

2k 2 ? 4 ?2 x1 ? x2 ? 2 x1 x2 k2 ? ?1 ? ?2 ? ? ? ?1 . 2k 2 ? 4 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 1? ?1 k2
22.(1) F '( x) ?

…………………………14 分

xf '( x) ? f ( x) ,∵ xf '( x) ? f ( x) ? 0 在 (0, ??) 内恒成立 x2

∴ F '( x) ? 0 在 x ? (0, ??) 内恒成立, ∴ F ( x) 的单调区间为 (0, ??) (2) f '( x) ? ………………4 分

1 ? 2ax( x ? 0) ,∵ xf '( x) ? f ( x) ? 0 在 (0, ??) 内恒成立 x 1 ln x ? 1 2 ∴ x( ? 2ax) ? ln x ? ax ? 0 在 (0, ??) 内恒成立,即 a ? 在 (0, ??) 内恒成立, x x2 ln x ? 1 3 ? 2ln x 设 h( x ) ? , h '( x) ? 2 x x3

x ? (0, e 2 ) , h '( x) ? 0 , x ? (e 2 , ??) , h '( x) ? 0 ,
故函数 h( x ) 在 (0, e 2 ) 内单调递增,在 (e 2 , ??) 内单调递减, ∴ h( x) max ? h(e 2 ) ?
3

3

3

3

3

1 1 ,∴ a ? 3 3 2e 2e

………………8 分

(3)∵ x0 是 f ( x) 的零点,∴ f ( x0 ) ? 0 由(1), F ( x) 在 (0, ??) 内单调递增, ∴当 x ? (0, x0 ) 时, F ( x) ? F ( x0 ) ,即

f ( x) f ( x0 ) ? ?0, x x0

∴ x ? (0, x0 ) 时 f ( x) ? 0 ,∵ m, n ? (0, x0 ) ,∴ f (m) ? 0, f (n) ? 0 , 且 F (m) ? F (m ? n), F (n) ? F (m ? n), 即

∴ f (m) ? f (n) ?


mf (m ? n) nf (m ? n) ? ? f (m ? n) , m?n m?n

f (m) f (m ? n) f (n) f (m ? n) ? , ? m m?n n m?n

f ( m ? n) ?1 f (m) ? f (n)

………………14 分


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