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2014-2015学年浙江省杭州市建德市严州中学高三(上)1月月考数学试卷(理科)


2014-2015 学年浙江省杭州市建德市严州中学高三(上)1 月月 考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若 P={x|x≤1},Q={y|y≥﹣1},则( ) A . P? Q B. ?RP?Q C. P∩Q=? D. P∪(?RQ) =R 2.下列选项一定正确的

是( A. 若 a>b,则 ac>bc C. 若 a >b ,则 a>b
2 2

) B. 若 D. 若 ,则 a>b ,则 a>b

3.设 b、c 表示两条直线,α、β 表示两个平面,下列命题中正确的是( ) A. 若 c∥α,α⊥β,则 c∥β. B. 若 b?α,b∥c,则 c∥α. C. 若 b∥α,c⊥β,b∥c,则 α⊥β D. 若 b∥α,c⊥β,b⊥c,则 α⊥β 4.已知函数 f(x)= A. {x|kπ+ C. {x|kπ+ sinx﹣cosx,x∈R,若 f(x)≥1,则 x 的取值范围为( B. {x|2kπ+ D. {x|2kπ+ ≤x≤2kπ+π,k∈Z} ≤x≤2kπ+ ,k∈Z} )

≤x≤kπ+π,k∈Z} ≤x≤kπ+ ,k∈Z}

5.已知数列{an}是等差数列,若 a9+a12>0,a10?a11<0,且数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大 值,那么当 Sn 取得最小正值时,n 等于( ) A. 17 B. 19 C. 20 D. 21 6.若 0<x< ,则 xtanx>1 是 xsinx>1 的( ) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

7.已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆 C:x +y ﹣2y=0 的两条切线,A,B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( ) A. 3 B. C. D. 2

8.已知椭圆 C:

+

=1.设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=﹣3 上任意一点,过 F 最小值为( C. ) D.

作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q.则 A. B.

二、填空题:本大题共 7 小题,每空 3 分,共 36 分. 9.函数 y= (x>﹣4)的值域是 .

10.设 θ 为第二象限角,若

,则 sinθ+cosθ=



11. 已知某个多面体的三视图 (单位 cm) 如图所示, 则此多面体的体积是

cm .

3

1)设正实数 x,y 满足条件

,则 2lgx+lgy 的最大值为

(2)设 P,Q 分别为圆 x +(y﹣6) =2 和椭圆 离是 .

2

2

+y =1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距

2

13.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知,a1=0,an+1=Sn+3 ,n∈N . (1)Sn= (2)若 ﹣2≥k ﹣3|k|,对 n∈N 恒成立,则 k 的取值范围是
2 *

n

*



14.在△ ABC 中, (1)若点 P 在△ ABC 所在平面上,且满足 = + ,则 = .

(2)若点 G 为△ ABC 重心,且(56sinA) ∠B= .

+(40sinB)

+(35sinC)

=0,则

(3) 若点 O 为△ ABC 的外心, AB=2m, AC= (m>0) , ∠BAC=120°, 且 y 为实数) ,则 x+y 的最小值是 .

=x

+y

(x,

15.如图,直线 l⊥平面 α,垂足为 O,正四面体 ABCD 的棱长为 4,C 在平面 α 内,B 是 直线 l 上的动点, (1)线段 BC、AD 两中点连线的长度是 (2)当 O 到 AD 的距离为最大时,正四面体在平面 α 上的射影面积为 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边,bcosA+ bsinA﹣c﹣a=0. (1)求 B (2)求 sinAcosC 的取值范围. 17.如图,在菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,E 是 AB 的中点,MA⊥平面 ABCD,且在矩形 ADNM 中,AD=2, .

(1)求证:AC⊥BN; (2)求证:AN∥平面 MEC; (3)求二面角 M﹣EC﹣D 的大小.

18.已知数列{an},对任何正整数 n 都有:a1?1+a2?2+a3?2 +…+an?2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)①若 λ≥ (n∈N )恒成立,求实数 λ 的范围;
+

2

n﹣1

=(n﹣1)?2 +1.

n

②若数列{bn}满足 bn=|(﹣1) ?2 +7﹣2an|,求数列{bn}的前项和 Sn. 19.已知点 A(0,1) 、B(0,﹣1) ,P 是一个动点,且直线 PA、PB 的斜率之积为 .

n

an

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 Q(2,0) ,过点(﹣1,0)的直线 l 交 C 于 M、N 两点,△ QMN 的面积记为 S, 若对满足条件的任意直线 l,不等式 S≤λtanMQN 恒成立,求 λ 的最小值. 20.已知函数 f(x)=ax ﹣2x+b (1)若 b=1,函数 h(x)=ln (x>0)在[2,+∞)上递增,求实数 a 的范围;
2

(2)若 a=﹣1,b=0,定义域为 R 的函数 g(x)= 讨论关于 C 的方程 2g (x)+2mg(x)+1=0 的根的个数.
2

,当 g(x)<1 时,

2014-2015 学年浙江省杭州市建德市严州中学高三(上) 1 月月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若 P={x|x≤1},Q={y|y≥﹣1},则( ) A . P? Q B. ?RP?Q C. P∩Q=? D. P∪(?RQ) =R 考点:集合的包含关系判断及应用;补集及其运算. 专题:集合. 分析:根据已知中 P={x|x≤1},Q={y|y≥﹣1},结合集合包含的定义及集合的交并补运算,逐 一判断四个答案的正误,可得结论. 解答: 解:∵P={x|x≤1}=(﹣∞,1],Q={y|y≥﹣1}=[﹣1,+∞) , ∴A 中,P?Q 错误; B 中,?RP=(1,+∞)?Q 正确, C 中,P∩Q=[﹣1,1]≠?,错误; P∪(?RQ)=(﹣∞,1]∪(﹣∞,﹣1)=P≠R,错误; 故选:B 点评:本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用,集合的交并补运算,难度不大,属 于基础题. 2.下列选项一定正确的是( A. 若 a>b,则 ac>bc C. 若 a >b ,则 a>b
2 2

) B. 若 D. 若 ,则 a>b ,则 a>b

考点:命题的真假判断与应用. 专题:综合题;简易逻辑. 分析:通过举反例说明选项 A,C,D 错误,由不等式的可乘积性说明 B 正确. 解答: 解:对于 A,a>b,若 c=0,则 ac=bc,选项 A 错误; 对于 B,若
2

,则
2

,即 a>b,选项 B 正确;

对于 C, (﹣3) >2 ,﹣3<2,选项 C 错误; 对于 D, ,﹣2<2,选项 D 错误.

故选:B. 点评:本题考查命题的真假判断与应用, 考查了不等式的性质, 举反例说明一个命题是假命 题是常用的方法,是中档题.

3.设 b、c 表示两条直线,α、β 表示两个平面,下列命题中正确的是( ) A. 若 c∥α,α⊥β,则 c∥β. B. 若 b?α,b∥c,则 c∥α. C. 若 b∥α,c⊥β,b∥c,则 α⊥β D. 若 b∥α,c⊥β,b⊥c,则 α⊥β 考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离. 分析:利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:若 c∥α,α⊥β,则 c 与 β 相交、平行或 c?β,故 A 错误; 若 b?α,b∥c,则 c∥α 或 c?α,故 B 错误; 若 b∥α,c⊥β,b∥c,则由平面与平面垂直的判定定理得 α⊥β,故 C 正确; 若 b∥α,c⊥β,b⊥c,则 α 与 β 相交或平行,故 D 错误. 故选:C. 点评:本题考查命题真假的判断, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 4.已知函数 f(x)= A. {x|kπ+ C. {x|kπ+ sinx﹣cosx,x∈R,若 f(x)≥1,则 x 的取值范围为( B. {x|2kπ+ D. {x|2kπ+ ≤x≤2kπ+π,k∈Z} ≤x≤2kπ+ ,k∈Z} )

≤x≤kπ+π,k∈Z} ≤x≤kπ+ ,k∈Z}

考点:三角函数的化简求值. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:利用两角差的正弦函数化简函数 f(x)= 式,根据 f(x)≥1,求出 x 的范围即可. 解答: 解:函数 f(x)= ≥1,所以, 所以 f(x)≥1,则 x 的取值范围为:{x|2kπ+

sinx﹣cosx 为一个角的一个三角函数的形 ) ,因为 f(x)≥1,所以 2sin(x﹣ )

sinx﹣cosx=2sin(x﹣

≤x≤2kπ+π,k∈Z}

故选:B 点评:本题是基础题,考查三角函数的化简,三角函数不等式的解法,考查计算能力,常考 题型. 5.已知数列{an}是等差数列,若 a9+a12>0,a10?a11<0,且数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大 值,那么当 Sn 取得最小正值时,n 等于( ) A. 17 B. 19 C. 20 D. 21 考点:等差数列的性质. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:由等差数列的性质和求和公式可得 a10>0,a11<0,又可得 S19=19a10>0,而 S20=10 (a10+a11)<0,进而可得 Sn 取得最小正值时 n 等于 19. 解答: 解:∵a9+3a11<0,∴由等差数列的性质可得 a9+3a11=a9+a11+2a11=a9+a11+a10+a12=2(a11+a10)<0,

又 a10?a11<0,∴a10 和 a11 异号, 又∵数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大值, ∴数列{an}是递减的等差数列, ∴a10>0,a11<0, ∴S19=19a10>0 ∴S20=10(a1+a20)=10(a9+a12)>0 ∴Sn 取得最小正值时 n 等于 20 故选:C 点评:本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.

6.若 0<x<

,则 xtanx>1 是 xsinx>1 的(

) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件 C. 充要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:0<x< 可判断出. 解答: 解:∵0<x< 反之不成立,取 x=

,可得 tanx>sinx>0,于是 xsinx>1?xtanx>1,反之不成立,取 x=



,∴tanx>sinx>0,∴xsinx>1?xtanx>1,

即可判断出.

因此 xtanx>1 是 xsinx>1 的必要不充分条件. 故选:B. 点评:本题考查了三角函数的单调性、简易逻辑的判定,属于基础题. 7.已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆 C:x +y ﹣2y=0 的两条切线,A,B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( ) A. 3 B. C. D. 2
2 2

考点:直线和圆的方程的应用. 专题:计算题;转化思想. 分析:先求圆的半径,四边形 PACB 的最小面积是 2,转化为三角形 PBC 的面积是 1,求出 切线长,再求 PC 的距离也就是圆心到直线的距离,可解 k 的值. 2 2 解答: 解:圆 C:x +y ﹣2y=0 的圆心(0,1) ,半径是 r=1, 由圆的性质知:S 四边形 PACB=2S△ PBC,四边形 PACB 的最小面积是 2, ∴S△ PBC 的最小值=1= rd(d 是切线长)∴d 最小值=2 圆心到直线的距离就是 PC 的最小值,

∵k>0,∴k=2 故选 D. 点评:本题考查直线和圆的方程的应用,点到直线的距离公式等知识,是中档题.

8.已知椭圆 C:

+

=1.设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=﹣3 上任意一点,过 F 最小值为( C. ) D.

作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q.则 A. B.

考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:通过设 T(﹣3,t) ,易知|FT|= ,对 t 的值进行讨论:当 t=0 时易知 = ;

当 t≠0 时可知直线 PQ 的方程 y= (x+2) ,与椭圆方程联立,利用韦达定理、两点间距离公

式、完全平方公式可知|PQ|=

?

,化简可知

=

?(

+

) ,利用

基本不等式计算即得结论. 解答: 解:如图,A(﹣3,0) 、F(﹣2,0) ,设 T(﹣3,t) , 则|AF|=|﹣2+3|=1,|AT|=t, ∴|FT|= = ,

设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2) , 下面对 t 的值进行讨论: ①当 t=0 时,|FT|=1, 此时 PQ 与 x 轴垂直,易知 P(﹣2,﹣ ∴ = = ; ) 、Q(﹣2, ) ,

②当 t≠0 时,此时直线 TF 的斜率为﹣t, ∴直线 PQ 的斜率为 , ∴直线 PQ 的方程为:y= (x+2) ,

联立

,消去 y、整理得: (t +3)x +12x+12﹣6t =0,

2

2

2

∴x1+x2=﹣ ∴|PQ|=

,x1x2=



=

=

=

=

=

?





=

=

?

=

?

=

?(

+





?2

(当且仅当

=

即 t=±1 时取等号)

=

; 最小值为 ,

综上所述, 故选:C.

点评:本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,考查分类讨论的思想,注 意解题方法的积累,属于中档题. 二、填空题:本大题共 7 小题,每空 3 分,共 36 分. 9.函数 y= (x>﹣4)的值域是 (﹣∞,﹣ )∪(0,+∞) .

考点:函数的值域. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:观察法求函数的值域,注意讨论当﹣4<x<0 时,当 x>0 时. 解答: 解:∵x>﹣4, ∴当﹣4<x<0 时, <﹣ ; 当 x>0 时, >0. ∴函数 y= (x>﹣4)的值域为: (﹣∞,﹣ )∪(0,+∞) . 故答案为: (﹣∞,﹣ )∪(0,+∞) . 点评:本题考查了函数值域的求法.高中函数值域求法有:1、观察法,2、配方法,3、反 函数法,4、判别式法;5、换元法,6、数形结合法,7、不等式法,8、分离常数法,9、单 调性法,10、利用导数求函数的值域,11、最值法,12、构造法,13、比例法.要根据题意 选择.

10.设 θ 为第二象限角,若

,则 sinθ+cosθ= ﹣



考点:两角和与差的正切函数;同角三角函数间的基本关系. 专题:压轴题;三角函数的求值. 分析:已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简,求出 tanθ 的 值,再根据 θ 为第二象限角,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinθ 与 cosθ 的值,即可 求出 sinθ+cosθ 的值.

解答: 解:∵tan(θ+ ∴tanθ=﹣ , ∵θ 为第二象限角, ∴cosθ=﹣

)=

= ,

=﹣

,sinθ=

=



则 sinθ+cosθ= 故答案为:﹣



=﹣



点评:此题考查了两角和与差的正切函数公式, 以及同角三角函数间的基本关系, 熟练掌握 公式是解本题的关键.
3

11.已知某个多面体的三视图(单位 cm)如图所示,则此多面体的体积是

cm .

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:由三视图可知该几何体以俯视图为底面,有一侧面垂直于底面的三棱锥,高为 2,利 用锥体体积公式计算即可. 解答: 解:由三视图可知该几何体是以俯视图为底面,有一侧面垂直于底面的三棱锥,高 为 2, 所以 V= × ×2×2×2= . 故答案为: . 点评:本题考查三视图求几何体的体积,考查计算能力,空间想象能力,三视图复原几何体 是解题的关键.

1)设正实数 x,y 满足条件

,则 2lgx+lgy 的最大值为 2

(2)设 P,Q 分别为圆 x +(y﹣6) =2 和椭圆 离是 6 .

2

2

+y =1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距

2

考点:简单线性规划;对数的运算性质;椭圆的简单性质. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (1)设 a=lgx,b=lgy,将不等式组进行转化,利用线性规划的知识进行求解. (2)求出椭圆上的点与圆心的最大距离,加上半径,即可得出 P,Q 两点间的最大距离.

解答: 解: (1)设 a=lgx,b=lgy,则不等式等价为

,目标函数 z=2a+b,

即 b=﹣2a+z, 作出不等式组对应的平面区域如图: 平移直线 b=﹣2a+z,当直线 b=﹣2a+z 经过点 A(1,0)时,直线的截距最大,此时 z 最大, 为 z=2+0=2, 即 2lgx+lgy 的最大值为 2. (2)设椭圆上的点为(x,y) ,则 x =10﹣10y , 2 2 ∵圆 x +(y﹣6) =2 的圆心为(0,6) ,半径为 , ∴椭圆上的点与圆心的距离为 = ∴P,Q 两点间的最大距离是 5 故答案为: (1)2; (2)6 + ; =6 . = ≤5 ,
2 2

点评:本题主要考查线性规划的应用, 利用目标函数的几何意义, 结合数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法. 13.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知,a1=0,an+1=Sn+3 ,n∈N . n n﹣1 (1)Sn= 3 ﹣3?2 (2)若 ﹣1] . 考点:数列的求和;数列递推式. ﹣2≥k ﹣3|k|,对 n∈N 恒成立,则 k 的取值范围是 [1,2]∪[﹣2,
2 * n *

专题:等差数列与等比数列. 分析: (1) 依题意, 再由 S1﹣3=﹣3,能求出 (2)由已知得
2 *

, 由此得 .
2



≥k ﹣3|k|+2,对 n∈N 恒成立,从而得到 k ﹣3|k|+2≤0,由此能求出 k 的

取值范围. n * 解答: 解: (1)∵a1=0,an+1=Sn+3 ,n∈N , ∴依题意, 即 由此得 ∵S1﹣3=﹣3, ∴ ∴ 故答案为:3 ﹣3?2 (2)∵
2 n

, , ,

=﹣3?2

n﹣1

,n∈N , .

*

n﹣1

. ﹣2≥k ﹣3|k|,对 n∈N 恒成立,
* 2 *

∴ ∵

≥k ﹣3|k|+2,对 n∈N 恒成立, >0,∴k ﹣3|k|+2≤0,
2 2

当 k>0 时,k ﹣3k+2≤0,解得 1≤k≤2; 2 当 k<0 时,k +3k+2≤0,解得﹣2≤k≤﹣1. ∴k 的取值范围是:[1,2]∪[﹣2,﹣1]. 故答案为:[1,2]∪[﹣2,﹣1]. 点评:本题主要前 n 项和公式的求法,考查实数的取值范围的求法,考查抽象概括能力,推 理论证能力,运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想. 14.在△ ABC 中, (1)若点 P 在△ ABC 所在平面上,且满足 = + ,则 = 2 .

(2)若点 G 为△ ABC 重心,且(56sinA) 60° .

+(40sinB)

+(35sinC)

=0,则∠B=

(3) 若点 O 为△ ABC 的外心, AB=2m, AC= (m>0) , ∠BAC=120°, 且 y 为实数) ,则 x+y 的最小值是 2 . 考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:平面向量及应用. 分析: (1) 利用向量的加法与减法运算把 = +

=x

+y

(x,

中的向量转化为含有



向量,则

可求;

(2)利用正弦定理把(56sinA)

+(40sinB)

+(35sinC)

= 中的三角函数转化为

边,再由点 G 为三角形的重心,根据中线的性质及向量加法法则转化为(112a﹣40b﹣35c) +(﹣56a﹣40b+70c) = ,由系数等于 0 且令 c=56 求得 a、b 的值,代入余弦定理求

得∠B=60°; (3)以 A 为原点,以 AB 所在的直线为 x 轴,建立直角系,则 A(0,0) ,B (2a,0) ,C (﹣ ) ,解得△ ABC 的外心 O ,由条件 =x +y 求得 x,

y 的值,再由基本不等式求得 x+y 的最小值是 2. 解答: 解: (1)点 P 在△ ABC 所在平面上,且满足 则 即 ∴ , ,即 , , = + ,



,则

=2;

(2)∵(56sinA)

+(40sinB)

+(35sinC)

= ,

设三角形的边长顺次为 a,b,c,根据正弦定理得: 56a +40b +35 = ,

由点 G 为三角形的重心,根据中线的性质及向量加法法则得: 3 = + ,3 = + ,3 = , )+35( )= ,

代入上式得:56a( 又

)+40b(

,上式可化为:

56a(2

+

)+40b(

)+35c(﹣ +(﹣56a﹣40b+70c) ,

)= , = ,

即(112a﹣40b﹣35c) 则有

令 c=56,解得:



∴cosB= ∵B∈(0,180°) , ∴∠B=60°; (3)如图:

=



以 A 为原点,以 AB 所在的直线为 x 轴,建立直角系. 则 A(0,0) ,B (2a,0) ,C(﹣ ) ,

∵O 为△ ABC 的外心,∴O 在 AB 的中垂线 m:x=a 上,又在 AC 的中垂线 n 上, AC 的中点 ∴中垂线 n 的方程为 ,AC 的斜率为 tan120°= . ,

把直线 m 和 n 的方程联立方程组 解得△ ABC 的外心 O 由条件 得 =x +y , =x(2a,0)+y(﹣ ,





)=(2ax﹣ ,

) ,





解得 x=

,y=



∴x+y=

+

=



=2.

当且仅当 a=1 时取等号. ∴x+y 的最小值是 2. 故答案为: (1)2; (2)60°; (3)2. 点评:本题考查了平面向量基本定理及其意义, 考查了正弦定理与余弦定理的应用, 考查了 计算能力,是中档题. 15.如图,直线 l⊥平面 α,垂足为 O,正四面体 ABCD 的棱长为 4,C 在平面 α 内,B 是 直线 l 上的动点, (1)线段 BC、AD 两中点连线的长度是 (2)当 O 到 AD 的距离为最大时,正四面体在平面 α 上的射影面积为 4+ .

考点:平行投影及平行投影作图法. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用勾股定理,即可求出线段 BC、AD 两中点连线的长度; (2)确定直线 BC 与动点 O 的空间关系,得到最大距离为 AD 到球心的距离+半径,再考 虑取得最大距离时四面体的投影情况,即可求得结论. 解答: 解: (1)∵正四面体 ABCD 的棱长为 4, ∴线段 BC、AD 两中点连线的长度是 = ;

(2)由题意,直线 BC 与动点 O 的空间关系:点 O 是以 BC 为直径的球面上的点,所以 O 到 AD 的距离为四面体上以 BC 为直径的球面上的点到 AD 的距离,最大距离为 AD 到球心 的距离(即 BC 与 AD 的公垂线)+半径= +2. 再考虑取得最大距离时四面体的投影情况,此时我们注意到 AD 垂直平面 OBC,且平行平 面 α,故其投影是以 AD 为底,O 到 AD 的距离投影,即( +2)cos45°=2+ 为高的等 腰三角形,其面积= ×4×(2+ )=4+ .

故答案为: ,4+ . 点评:本题考查点、线、面间的距离计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边,bcosA+ bsinA﹣c﹣a=0. (1)求 B (2)求 sinAcosC 的取值范围. 考点:三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 专题:解三角形. 分析: (1)利用正弦定理把已知的等式化边为角,把 C 用 π﹣(A+B)表示后整理求得 B 的值; (2)利用三角函数的积化和差变形,代入角 B 的值,然后根据 A﹣C 的范围得答案. 解答: 解: (1)由 bcosA+ bsinA﹣c﹣a=0, 得 即 整理得, ∵sinA≠0, ∴ 即 . . , . .

∵0°<B<180°, ∴﹣30°<B﹣30°<150°, ∴B﹣30°=30°, B=60°; (2)∵B=60°, ∴sinAcosC= = = .

由 0°<A<120°,0°<C<120°,得 ﹣120°<A﹣C<120°. ∴﹣1≤sin(A﹣C)≤1. . ∴sinAcosC 的取值范围是 .

点评:本题考查了解三角形,训练了正弦定理的应用,考查了三角函数的积化和差公式,是 中档题. 17.如图,在菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,E 是 AB 的中点,MA⊥平面 ABCD,且在矩形 ADNM 中,AD=2, .

(1)求证:AC⊥BN; (2)求证:AN∥平面 MEC;

(3)求二面角 M﹣EC﹣D 的大小.

考点:二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 专题:计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1) 通过连接 BD, 证明 AC⊥平面 NDB, 利用 BN?平面 NDB, 从而证明 AC⊥BN; (2)利用 CM 与 BN 交于 F,连接 EF.证明 AN∥EF,通过直线与平面平行的判定定理证 明 AN∥平面 MEC; (3) 通过建立空间直角坐标系, 求出相关点的坐标, 设平面 MEC 的法向量为 = (x, y, z) . 利 用 求出向量 ,求出平面 ADE 的法向量 ,利用 ,求出二面角

M﹣EC﹣D 的大小. 解答: (共 14 分) 解: (1)证明:连接 BD,则 AC⊥BD. 由已知 DN⊥平面 ABCD, 因为 DN∩DB=D, 所以 AC⊥平面 NDB.…(2 分) 又因为 BN?平面 NDB, 所以 AC⊥BN.…(4 分) (2)CM 与 BN 交于 F,连接 EF. 由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形, 所以 F 是 BN 的中点. 因为 E 是 AB 的中点, 所以 AN∥EF.…(7 分) 又 EF?平面 MEC,AN?平面 MEC, 所以 AN∥平面 MEC.…(9 分) (3)由于四边形 ABCD 是菱形,E 是 AB 的中点,可得 DE⊥AB. 如图建立空间直角坐标系 D﹣xyz,则 D(0,0,0) , . , 设平面 MEC 的法向量为 =(x,y,z) . , ,C(0,2,0) , .…(10 分)



所以

令 x=2. 所以 .…(12 分) ,

又平面 ADE 的法向量 =(0,0,1) , 所以. .

所以二面角 M﹣EC﹣D 的大小是 60°.…(14 分)

点评:本题考查直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判断,二面角的求法,考查空间 想象能力与计算能力. 18.已知数列{an},对任何正整数 n 都有:a1?1+a2?2+a3?2 +…+an?2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)①若 λ≥ (n∈N )恒成立,求实数 λ 的范围;
n an + 2 n﹣1

=(n﹣1)?2 +1.

n

②若数列{bn}满足 bn=|(﹣1) ?2 +7﹣2an|,求数列{bn}的前项和 Sn. 考点:数列的求和;数列递推式. 专题:等差数列与等比数列.

分析: (1)设

,由 ,得 ,

从而能求出数列{an}的通项公式. (2)①记 f(n)= ,n∈N ,则
*

,推导出 f

(n)先增后减,在 n=2 时取到最大值,由此求出 λ≥f(2)=3. n n n n 2 ②由 bn=|(﹣1) ?2 +7﹣2n|=|(﹣1) (7﹣2n)+2 |,得到 Sn=(5﹣2)+(3+2 )+(﹣ 3 4 5 6 n n 1+2 )+(﹣1+2 )+(3+2 )+(﹣5+2 )+…+[(﹣1) (7﹣2n)+2 ],由此能求出数列{bn} 的前项和 Sn. 解答: 解: (1)依题意,设数列{bn}的通项公式为 由 可得 两式相减可得 ,即 an=n.
*

, , (n≥2) ,

当 n=1 时,a1=1,从而对一切 n∈N ,都有 an=n. ∴数列{an}的通项公式是 an=n. (2)①记 f(n)= ,n∈N ,
*

则 当 n=1 时, 当 n≥2 时,

, ,f(2)>f(1) , ,

∴f(n)先增后减,在 n=2 时取到最大值, ∴λ≥f(2)=3. n an n n n n ②bn=|(﹣1) ?2 +7﹣2an|=|(﹣1) ?2 +7﹣2n|=|(﹣1) (7﹣2n)+2 |, 2 3 4 5 6 n Sn=(5﹣2)+(3+2 )+(﹣1+2 )+(﹣1+2 )+(3+2 )+(﹣5+2 )+…+[(﹣1) (7﹣ n 2n)+2 ] 2 3 4 n n =5﹣2+3﹣1+(2 +2 +2 +…+2 )+[﹣1+3﹣5+7﹣9+…+(﹣1) (7﹣2n)] 2 3 4 n n =3+(2+2 +2 +2 +…+2 )+[﹣1+3﹣5+7﹣9+…+(﹣1) (7﹣2n)]

=

=



点评:本题主要考查数列的通项公式的求法、前 n 项和公式的求法,考查等差数列、等比数 列等基础知识,考查抽象概括能力,推理论证能力,运算求解能力,考查化归与转化思想、 函数与方程思想,解题时要注意分组求和法的合理运用.

19.已知点 A(0,1) 、B(0,﹣1) ,P 是一个动点,且直线 PA、PB 的斜率之积为



(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 Q(2,0) ,过点(﹣1,0)的直线 l 交 C 于 M、N 两点,△ QMN 的面积记为 S, 若对满足条件的任意直线 l,不等式 S≤λtanMQN 恒成立,求 λ 的最小值. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 专题:计算题. 分析: (Ⅰ)设动点 P 的坐标为(x,y) ,可表示出直线 PA,PB 的斜率,根据题意直线 PA、PB 的斜率之积为 建立等式求得 x 和 y 的关系式,即点 P 的轨迹方程. 和 , 进而可求得 ;

(Ⅱ) 设点 M, N 的坐标, 当直线 l 垂直于 x 轴时, 分别表示出

再看直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线 l 的方程,把直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理 表示出 x1+x2 和 x1x2,进而表示出 S≤λtanMQN 恒成立判断出 判断出其范围,综合求得 恒成立.求得 λ 的最小值. . 的最大值,根据

解答: 解: (Ⅰ)设动点 P 的坐标为(x,y) ,则直线 PA,PB 的斜率分别是 由条件得 即 . . .

所以动点 P 的轨迹 C 的方程为

(Ⅱ)设点 M,N 的坐标分别是(x1,y1) , (x2,y2) . 当直线 l 垂直于 x 轴时, 所以 所以 . . .

当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1) ,
2 2 2 2



得(1+2k )x +4k x+2k ﹣2=0.

所以



所以 因为 y1=k(x1+1) ,y2=k(x2+1) , 所以





综上所述

的最大值是



因为 S≤λtanMQN 恒成立, 即 恒成立.

由于 所以 cosMQN>0. 所以 所以 λ 的最小值为 恒成立. .



点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题. 考查了知识的综合运用, 分析推理和基 本的运算能力. 20.已知函数 f(x)=ax ﹣2x+b (1)若 b=1,函数 h(x)=ln (x>0)在[2,+∞)上递增,求实数 a 的范围;
2

(2)若 a=﹣1,b=0,定义域为 R 的函数 g(x)= 讨论关于 C 的方程 2g (x)+2mg(x)+1=0 的根的个数. 考点:利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断. 专题:分类讨论;导数的综合应用.
2

,当 g(x)<1 时,

分析: (1)由题意可得 y=ax﹣2+ (x>0) ,在[2,+∞)上递增,ax﹣2+ (x>0)>0 在[2,+∞)上恒成立,运用参数分离和导数,解不等式即可得到 a 的范围; 2 (2)求出 g(x)的解析式,作出函数的图象,令 t=g(x) ,则 2t +2mt+1=0,对 t 讨论,运 用参数分离,结合基本不等式和函数的单调性,对 m 讨论,即可得到原方程的根的个数. 解答: 解: (1)若 b=1,函数 h(x)=ln (x>0)=ln(ax﹣2+ ) ,

令 y=ax﹣2+ (x>0) , 由题意可得,y=ax﹣2+ (x>0) ,在[2,+∞)上递增, y′=a﹣ ≥0 在[2,+∞)上恒成立,

即有 a≥ , 由 ax﹣2+ (x>0)>0 在[2,+∞)上恒成立, 即 a> ﹣ =﹣( ﹣1) +1 在[2,+∞)上恒成立,
2

则 a>1﹣ = , 则有 a> , 即有实数 a 的范围是( ,+∞) ;

(2)若 a=﹣1,b=0,定义域为 R 的函数 g(x)=



则 g(x)=
2

,作出 g(x)的图象.

令 t=g(x) ,则 2t +2mt+1=0① t=0 时,方程①无解,原方程无解; t≠0,m=﹣t﹣ ② ∈[ ,+∞) ,t=﹣ 取得等号.

t<0 时,m=﹣t﹣

m= 时,方程②一解,原方程一解, m> 时,方程②两解,原方程两解, m< 时,方程②无解,原方程无解. 0<t<1 时,m=﹣t﹣ 当 0<t< ∈[﹣∞,﹣ 递增, ], <t<1 时,m=﹣t﹣ 递减.

时,m=﹣t﹣

且 m(1)═﹣ , 即有 m>﹣ m=﹣ 时,原方程无解;

或 m≤﹣ 时,方程②一解,原方程 4 解; 时,方程②两解,原方程 8 解.

﹣ <m<﹣

综上可得,m= 时,原方程一解; m> 时,原方程两解; ﹣ <m< 时,原方程无解. m=﹣ 或 m≤﹣ 时,原方程 4 解; 时,原方程 8 解.

﹣ <m<﹣

点评:本题考查导数的运用:求单调区间,同时考查函数和方程的转化思想,运用分类讨论 和数形结合的思想方法是解题的关键.


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