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2014-2015学年浙江省杭州市建德市严州中学高三(上)1月月考数学试卷(理科)


2014-2015 学年浙江省杭州市建德市严州中学高三(上)1 月月 考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若 P={x|x≤1},Q={y|y≥﹣1},则( ) A . P? Q B. ?RP?Q C. P∩Q=? D. P∪(?RQ) =R 2.下列选项一定正确的

是( A. 若 a>b,则 ac>bc C. 若 a >b ,则 a>b
2 2

) B. 若 D. 若 ,则 a>b ,则 a>b

3.设 b、c 表示两条直线,α、β 表示两个平面,下列命题中正确的是( ) A. 若 c∥α,α⊥β,则 c∥β. B. 若 b?α,b∥c,则 c∥α. C. 若 b∥α,c⊥β,b∥c,则 α⊥β D. 若 b∥α,c⊥β,b⊥c,则 α⊥β 4.已知函数 f(x)= A. {x|kπ+ C. {x|kπ+ sinx﹣cosx,x∈R,若 f(x)≥1,则 x 的取值范围为( B. {x|2kπ+ D. {x|2kπ+ ≤x≤2kπ+π,k∈Z} ≤x≤2kπ+ ,k∈Z} )

≤x≤kπ+π,k∈Z} ≤x≤kπ+ ,k∈Z}

5.已知数列{an}是等差数列,若 a9+a12>0,a10?a11<0,且数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大 值,那么当 Sn 取得最小正值时,n 等于( ) A. 17 B. 19 C. 20 D. 21 6.若 0<x< ,则 xtanx>1 是 xsinx>1 的( ) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

7.已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆 C:x +y ﹣2y=0 的两条切线,A,B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( ) A. 3 B. C. D. 2

8.已知椭圆 C:

+

=1.设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=﹣3 上任意一点,过 F 最小值为( C. ) D.

作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q.则 A. B.

二、填空题:本大题共 7 小题,每空 3 分,共 36 分. 9.函数 y= (x>﹣4)的值域是 .

10.设 θ 为第二象限角,若

,则 sinθ+cosθ=



11. 已知某个多面体的三视图 (单位 cm) 如图所示, 则此多面体的体积是

cm .

3

1)设正实数 x,y 满足条件

,则 2lgx+lgy 的最大值为

(2)设 P,Q 分别为圆 x +(y﹣6) =2 和椭圆 离是 .

2

2

+y =1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距

2

13.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知,a1=0,an+1=Sn+3 ,n∈N . (1)Sn= (2)若 ﹣2≥k ﹣3|k|,对 n∈N 恒成立,则 k 的取值范围是
2 *

n

*



14.在△ ABC 中, (1)若点 P 在△ ABC 所在平面上,且满足 = + ,则 = .

(2)若点 G 为△ ABC 重心,且(56sinA) ∠B= .

+(40sinB)

+(35sinC)

=0,则

(3) 若点 O 为△ ABC 的外心, AB=2m, AC= (m>0) , ∠BAC=120°, 且 y 为实数) ,则 x+y 的最小值是 .

=x

+y

(x,

15.如图,直线 l⊥平面 α,垂足为 O,正四面体 ABCD 的棱长为 4,C 在平面 α 内,B 是 直线 l 上的动点, (1)线段 BC、AD 两中点连线的长度是 (2)当 O 到 AD 的距离为最大时,正四面体在平面 α 上的射影面积为 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边,bcosA+ bsinA﹣c﹣a=0. (1)求 B (2)求 sinAcosC 的取值范围. 17.如图,在菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,E 是 AB 的中点,MA⊥平面 ABCD,且在矩形 ADNM 中,AD=2, .

(1)求证:AC⊥BN; (2)求证:AN∥平面 MEC; (3)求二面角 M﹣EC﹣D 的大小.

18.已知数列{an},对任何正整数 n 都有:a1?1+a2?2+a3?2 +…+an?2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)①若 λ≥ (n∈N )恒成立,求实数 λ 的范围;
+

2

n﹣1

=(n﹣1)?2 +1.

n

②若数列{bn}满足 bn=|(﹣1) ?2 +7﹣2an|,求数列{bn}的前项和 Sn. 19.已知点 A(0,1) 、B(0,﹣1) ,P 是一个动点,且直线 PA、PB 的斜率之积为 .

n

an

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 Q(2,0) ,过点(﹣1,0)的直线 l 交 C 于 M、N 两点,△ QMN 的面积记为 S, 若对满足条件的任意直线 l,不等式 S≤λtanMQN 恒成立,求 λ 的最小值. 20.已知函数 f(x)=ax ﹣2x+b (1)若 b=1,函数 h(x)=ln (x>0)在[2,+∞)上递增,求实数 a 的范围;
2

(2)若 a=﹣1,b=0,定义域为 R 的函数 g(x)= 讨论关于 C 的方程 2g (x)+2mg(x)+1=0 的根的个数.
2

,当 g(x)<1 时,

2014-2015 学年浙江省杭州市建德市严州中学高三(上) 1 月月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若 P={x|x≤1},Q={y|y≥﹣1},则( ) A . P? Q B. ?RP?Q C. P∩Q=? D. P∪(?RQ) =R 考点:集合的包含关系判断及应用;补集及其运算. 专题:集合. 分析:根据已知中 P={x|x≤1},Q={y|y≥﹣1},结合集合包含的定义及集合的交并补运算,逐 一判断四个答案的正误,可得结论. 解答: 解:∵P={x|x≤1}=(﹣∞,1],Q={y|y≥﹣1}=[﹣1,+∞) , ∴A 中,P?Q 错误; B 中,?RP=(1,+∞)?Q 正确, C 中,P∩Q=[﹣1,1]≠?,错误; P∪(?RQ)=(﹣∞,1]∪(﹣∞,﹣1)=P≠R,错误; 故选:B 点评:本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用,集合的交并补运算,难度不大,属 于基础题. 2.下列选项一定正确的是( A. 若 a>b,则 ac>bc C. 若 a >b ,则 a>b
2 2

) B. 若 D. 若 ,则 a>b ,则 a>b

考点:命题的真假判断与应用. 专题:综合题;简易逻辑. 分析:通过举反例说明选项 A,C,D 错误,由不等式的可乘积性说明 B 正确. 解答: 解:对于 A,a>b,若 c=0,则 ac=bc,选项 A 错误; 对于 B,若
2

,则
2

,即 a>b,选项 B 正确;

对于 C, (﹣3) >2 ,﹣3<2,选项 C 错误; 对于 D, ,﹣2<2,选项 D 错误.

故选:B. 点评:本题考查命题的真假判断与应用, 考查了不等式的性质, 举反例说明一个命题是假命 题是常用的方法,是中档题.

3.设 b、c 表示两条直线,α、β 表示两个平面,下列命题中正确的是( ) A. 若 c∥α,α⊥β,则 c∥β. B. 若 b?α,b∥c,则 c∥α. C. 若 b∥α,c⊥β,b∥c,则 α⊥β D. 若 b∥α,c⊥β,b⊥c,则 α⊥β 考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离. 分析:利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:若 c∥α,α⊥β,则 c 与 β 相交、平行或 c?β,故 A 错误; 若 b?α,b∥c,则 c∥α 或 c?α,故 B 错误; 若 b∥α,c⊥β,b∥c,则由平面与平面垂直的判定定理得 α⊥β,故 C 正确; 若 b∥α,c⊥β,b⊥c,则 α 与 β 相交或平行,故 D 错误. 故选:C. 点评:本题考查命题真假的判断, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 4.已知函数 f(x)= A. {x|kπ+ C. {x|kπ+ sinx﹣cosx,x∈R,若 f(x)≥1,则 x 的取值范围为( B. {x|2kπ+ D. {x|2kπ+ ≤x≤2kπ+π,k∈Z} ≤x≤2kπ+ ,k∈Z} )

≤x≤kπ+π,k∈Z} ≤x≤kπ+ ,k∈Z}

考点:三角函数的化简求值. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:利用两角差的正弦函数化简函数 f(x)= 式,根据 f(x)≥1,求出 x 的范围即可. 解答: 解:函数 f(x)= ≥1,所以, 所以 f(x)≥1,则 x 的取值范围为:{x|2kπ+

sinx﹣cosx 为一个角的一个三角函数的形 ) ,因为 f(x)≥1,所以 2sin(x﹣ )

sinx﹣cosx=2sin(x﹣

≤x≤2kπ+π,k∈Z}

故选:B 点评:本题是基础题,考查三角函数的化简,三角函数不等式的解法,考查计算能力,常考 题型. 5.已知数列{an}是等差数列,若 a9+a12>0,a10?a11<0,且数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大 值,那么当 Sn 取得最小正值时,n 等于( ) A. 17 B. 19 C. 20 D. 21 考点:等差数列的性质. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:由等差数列的性质和求和公式可得 a10>0,a11<0,又可得 S19=19a10>0,而 S20=10 (a10+a11)<0,进而可得 Sn 取得最小正值时 n 等于 19. 解答: 解:∵a9+3a11<0,∴由等差数列的性质可得 a9+3a11=a9+a11+2a11=a9+a11+a10+a12=2(a11+a10)<0,

又 a10?a11<0,∴a10 和 a11 异号, 又∵数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大值, ∴数列{an}是递减的等差数列, ∴a10>0,a11<0, ∴S19=19a10>0 ∴S20=10(a1+a20)=10(a9+a12)>0 ∴Sn 取得最小正值时 n 等于 20 故选:C 点评:本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.

6.若 0<x<

,则 xtanx>1 是 xsinx>1 的(

) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件 C. 充要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:0<x< 可判断出. 解答: 解:∵0<x< 反之不成立,取 x=

,可得 tanx>sinx>0,于是 xsinx>1?xtanx>1,反之不成立,取 x=



,∴tanx>sinx>0,∴xsinx>1?xtanx>1,

即可判断出.

因此 xtanx>1 是 xsinx>1 的必要不充分条件. 故选:B. 点评:本题考查了三角函数的单调性、简易逻辑的判定,属于基础题. 7.已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆 C:x +y ﹣2y=0 的两条切线,A,B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( ) A. 3 B. C. D. 2
2 2

考点:直线和圆的方程的应用. 专题:计算题;转化思想. 分析:先求圆的半径,四边形 PACB 的最小面积是 2,转化为三角形 PBC 的面积是 1,求出 切线长,再求 PC 的距离也就是圆心到直线的距离,可解 k 的值. 2 2 解答: 解:圆 C:x +y ﹣2y=0 的圆心(0,1) ,半径是 r=1, 由圆的性质知:S 四边形 PACB=2S△ PBC,四边形 PACB 的最小面积是 2, ∴S△ PBC 的最小值=1= rd(d 是切线长)∴d 最小值=2 圆心到直线的距离就是 PC 的最小值,

∵k>0,∴k=2 故选 D. 点评:本题考查直线和圆的方程的应用,点到直线的距离公式等知识,是中档题.

8.已知椭圆 C:

+

=1.设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=﹣3 上任意一点,过 F 最小值为( C. ) D.

作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q.则 A. B.

考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:通过设 T(﹣3,t) ,易知|FT|= ,对 t 的值进行讨论:当 t=0 时易知 = ;

当 t≠0 时可知直线 PQ 的方程 y= (x+2) ,与椭圆方程联立,利用韦达定理、两点间距离公

式、完全平方公式可知|PQ|=

?

,化简可知

=

?(

+

) ,利用

基本不等式计算即得结论. 解答: 解:如图,A(﹣3,0) 、F(﹣2,0) ,设 T(﹣3,t) , 则|AF|=|﹣2+3|=1,|AT|=t, ∴|FT|= = ,

设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2) , 下面对 t 的值进行讨论: ①当 t=0 时,|FT|=1, 此时 PQ 与 x 轴垂直,易知 P(﹣2,﹣ ∴ = = ; ) 、Q(﹣2, ) ,

②当 t≠0 时,此时直线 TF 的斜率为﹣t, ∴直线 PQ 的斜率为 , ∴直线 PQ 的方程为:y= (x+2) ,

联立

,消去 y、整理得: (t +3)x +12x+12﹣6t =0,

2

2

2

∴x1+x2=﹣ ∴|PQ|=

,x1x2=



=

=

=

=

=

?





=

=

?

=

?

=

?(

+





?2

(当且仅当

=

即 t=±1 时取等号)

=

; 最小值为 ,

综上所述, 故选:C.

点评:本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,考查分类讨论的思想,注 意解题方法的积累,属于中档题. 二、填空题:本大题共 7 小题,每空 3 分,共 36 分. 9.函数 y= (x>﹣4)的值域是 (﹣∞,﹣ )∪(0,+∞) .

考点:函数的值域. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:观察法求函数的值域,注意讨论当﹣4<x<0 时,当 x>0 时. 解答: 解:∵x>﹣4, ∴当﹣4<x<0 时, <﹣ ; 当 x>0 时, >0. ∴函数 y= (x>﹣4)的值域为: (﹣∞,﹣ )∪(0,+∞) . 故答案为: (﹣∞,﹣ )∪(0,+∞) . 点评:本题考查了函数值域的求法.高中函数值域求法有:1、观察法,2、配方法,3、反 函数法,4、判别式法;5、换元法,6、数形结合法,7、不等式法,8、分离常数法,9、单 调性法,10、利用导数求函数的值域,11、最值法,12、构造法,13、比例法.要根据题意 选择.

10.设 θ 为第二象限角,若

,则 sinθ+cosθ= ﹣



考点:两角和与差的正切函数;同角三角函数间的基本关系. 专题:压轴题;三角函数的求值. 分析:已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简,求出 tanθ 的 值,再根据 θ 为第二象限角,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinθ 与 cosθ 的值,即可 求出 sinθ+cosθ 的值.

解答: 解:∵tan(θ+ ∴tanθ=﹣ , ∵θ 为第二象限角, ∴cosθ=﹣

)=

= ,

=﹣

,sinθ=

=



则 sinθ+cosθ= 故答案为:﹣



=﹣



点评:此题考查了两角和与差的正切函数公式, 以及同角三角函数间的基本关系, 熟练掌握 公式是解本题的关键.
3

11.已知某个多面体的三视图(单位 cm)如图所示,则此多面体的体积是

cm .

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:由三视图可知该几何体以俯视图为底面,有一侧面垂直于底面的三棱锥,高为 2,利 用锥体体积公式计算即可. 解答: 解:由三视图可知该几何体是以俯视图为底面,有一侧面垂直于底面的三棱锥,高 为 2, 所以 V= × ×2×2×2= . 故答案为: . 点评:本题考查三视图求几何体的体积,考查计算能力,空间想象能力,三视图复原几何体 是解题的关键.

1)设正实数 x,y 满足条件

,则 2lgx+lgy 的最大值为 2

(2)设 P,Q 分别为圆 x +(y﹣6) =2 和椭圆 离是 6 .

2

2

+y =1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距

2

考点:简单线性规划;对数的运算性质;椭圆的简单性质. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (1)设 a=lgx,b=lgy,将不等式组进行转化,利用线性规划的知识进行求解. (2)求出椭圆上的点与圆心的最大距离,加上半径,即可得出 P,Q 两点间的最大距离.

解答: 解: (1)设 a=lgx,b=lgy,则不等式等价为

,目标函数 z=2a+b,

即 b=﹣2a+z, 作出不等式组对应的平面区域如图: 平移直线 b=﹣2a+z,当直线 b=﹣2a+z 经过点 A(1,0)时,直线的截距最大,此时 z 最大, 为 z=2+0=2, 即 2lgx+lgy 的最大值为 2. (2)设椭圆上的点为(x,y) ,则 x =10﹣10y , 2 2 ∵圆 x +(y﹣6) =2 的圆心为(0,6) ,半径为 , ∴椭圆上的点与圆心的距离为 = ∴P,Q 两点间的最大距离