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椭圆辅导讲义


辅导讲义:椭圆

椭圆定义的应用 例: (1) 已知点 M ( 3,0) , 椭圆 的周长。 (2)已知 F 1 、 F2 为椭圆

x2 ? y 2 ? 1与直线 y ? k ( x ? 3) 交于点 A 、B , 求 ?ABM 4

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 2

5 9


F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB ?

1、 已知 F 若椭圆长轴长是10 , F2 是椭圆的两个焦点,AB 是经过焦点 F1 的弦且 AB ? 8 , 1、 求 F2 A ? F 1B 的值; 2、 已知A、 B是两个定点, AB ? 4 , 若点P的轨迹是以A, B为焦点的椭圆, 则 PA ? PB 的值可能为( ) A 2

B 3

C 4

D 5

x2 y 2 0 ? ? 1 的两个焦点为 F1 、F2 , 3、 椭圆 P为椭圆上一点, 若 ?F 求 ?F 1PF 2 1PF 2 ? 90 , 25 9
的面积。 4、设P是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的点, F1 、 F2 是椭圆的两个焦点, ,若 PF 1 ? 2 ,则 PF2 ? 49 9

5、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点M到焦点 F1 的距离为2,N是 MF1 中点,则 ON ? ( ) 25 9
B 6
2

A 2 6、在椭圆 x ?

C 4



3 2

y2 ? 1上有一点 P, F1 、 F2 分别是椭圆的上下焦点,若 PF1 ? 2 PF2 ,则 9


PF2 =
7、若方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则的取值范围为 k ?2 5?k
椭圆标准方程



例:已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e ?

2 ,短轴长为 8 5 ,求椭圆的标准方程。 3

1、 已知椭圆经过两点 (2,0) 和 (0,1) ,求椭圆的标准方程;

1

辅导讲义:椭圆

2、 (2011 课标全国)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在

x轴

上,离心率为 方程为

2 。过 F1 的直线交于 C A, B 两点,且 ABF2 的周长为 16,那么 C 的 2


3、 (2011 陕西)椭圆 C:

3 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点(0,4) ,离心率为 ,求 C 的方程; 2 5 a b

4、 (2013 高考陕西)已知动点 M ( x, y ) 到直线 l : x ? 4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍, 求动点 M 的轨迹 C 的方程 5、 椭圆 A 5 或3

x2 y 2 ? ? 1 的焦距等于 2 ,则 m 的值为( ) m 4
B 8 C 5 椭圆的离心率问题 D 16

P 在椭圆上,且满足 | PF1 |? 2 | PF2 | , 例: (1)已知已知 F 1 、 F2 ,是椭圆的左、右焦点,点

?PF1F2 ? 300 ,求椭圆的离心率。
(2) F1 、 F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, A 和 B 是以 O 为圆心,以 a 2 b2

OF1 为 半 径 的 圆 与 该 椭 圆 的 两 个 交 点 , 且 ?F2 AB 是 等 边 三 角 形 , 则 椭 圆 的 离 心 率

为 ; 高效作业,技能备考

x2 y 2 1、 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,A(?a, 0), B(0, b) 为椭圆的两个顶点, a b
若 F 到 AB 的距离等于

b ,则椭圆的离心率为 7



2、 已知 F 1 、 F2 ,是椭圆的两个焦点,过 F 1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点, 若 ?ABF2 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率为 ;

x2 y 2 3、 (2012 年高考新课标)设 F1F2 是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直 a b
线x?

3a 上一点, ?F2 PF 1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 2



2

辅导讲义:椭圆

( A)

1 2

(B)

2 3

(C )

? ?

( D)

? ?

4、 (2012 江西) 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、 右顶点分别是 A,B,左、 右焦点分别是 F1,F2. a 2 b2

若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________. 5、 已知 A

B C 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点、上顶点、和左焦点,若 a 2 b2


?ABC ? 900 ,则该椭圆的离心率为

椭圆的焦点三角形 例: 已知椭圆的两焦点为 F1 (?1,0) 、 且2| F F2 (1,0) ,P 为椭圆上一点, 1F 2 |?| PF 1 | ? | PF2 | 。 (1)求此椭圆的方程;
0 (2)若 P 在第二象限, ?F2 F 2F 1P 的面积。 1P ? 120 ,求 ?F

1、圆

x2 y 2 ? ? 1的焦点为 F1 、 F2 ,点 P 在椭圆上,若 PF1 ? 4 ,则 PF2 ? 9 2




?F1PF2 的大小为
2、 P 是椭圆 等于

x2 y 2 ? ? 1 上的一点, F1 和 F2 是焦点,若 ?F1PF2 ? 30 ,则 ?F1PF2 的面积 25 16
( )

( A)

16 3 3

( B ) 4(2 ? 3)

(C ) 16(2 ? 3)

( D) 16(2- 3)

3、 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的一点, F1 和 F2 为左右焦点,若 ?F1PF2 ? 60 。 25 9

(1)求 ?F (2)求点 P 的坐标。 1PF 2 的面积; 椭圆的中点弦问题

C 是 AB 例: (1) 已知椭圆 ax ? by ? 1(a ? b ? 0) 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A 、B 两点,
2 2

的中点,若 AB ? 2 2 , OC 的斜率为

x2 2 y2 2 ? ?1 ,求椭圆方程。 3 3 2

(2)已知动点 M ( x, y ) 到直线 l : x ? 4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍, (Ⅰ) 求动点 M 的轨迹 C 的方程;
3

辅导讲义:椭圆

(Ⅱ) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率. 1、直线 l 交椭圆 ; 2、 已知椭圆的方程是

x2 y 2 ? ? 1于 A、B 两点, AB 中点的坐标是 (2,1) ,则直线 l 的方程为 16 12
x2 y 2 ? ? 1, 则以点 P(?2,1) 为中点的弦所在的直线方程是 16 4



x2 y 2 P 在椭圆C上,且 3 、椭圆C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F 1 、 F2 ,点 a b
4 14 , PF2 ? 。 PF 1 ? 1 ? F 1F 2 , PF 3 3
(I)求椭圆C的方程; (II)若直线 l 过圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 的圆心 M 交椭圆于 A 、 B 两点,且 A 、 B 关 于点 M 对称,求直线 l 的方程。 直线与椭圆的关系题型

x2 y 2 例 1、 (2010 辽宁)设椭圆C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点为F,过 F 的直线 l 与椭 a b
圆C相交于A、 B 两点,直线 l 的倾斜角为 60 , AF ? 2 FB 。
0

⑴ 求椭圆 C 的离心率;. ⑵ 如果 AB ?

15 ,求椭圆 C 的方程。 4

例 2、 ( 2011 北京卷)已知椭圆 G :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为 2 a b 3

( 2 2 ,0) ,斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为

P(?3, 2) 。
(I)求椭圆 G 的方程; (II)求 ?PAB 的面积。 1、 (2011 陕西卷)设椭圆 C: (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为

3 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点(0,4) ,离心率为 2 5 a b

4 的直线被 C 所截线段的中点坐标。 5

4

辅导讲义:椭圆

2、 (2011 天津)设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P(a, b) 满足 a 2 b2

PF2 ? F1F2 。
(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设直线 PF2 与椭圆相交于 A、B 两点,若直线 PF2 与圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 16 相 交于 M 、 N 两点,且 MN ?

5 AB ,求椭圆的方程。 8

3、 (2012 陕西卷)已知椭圆 C1 : 的离心率。 (1)求椭圆 C2 的方程;

x2 ? y 2 ? 1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同 4

(2)设为坐标原点,点 A 、 B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程。

5


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