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2004年第1届中国东南数学奥林匹克试题及答案


首届中国东南地区数学奥林匹克
第一天
(2004 年 7 月 10 日 8:00 — 12:00 温州) 3 一、 设实数 a、b、c 满足 a 2 ? 2b2 ? 3c2 ? ,求证: 3? a ? 9?b ? 27? c ? 1 2 二、 设 D 是 ?ABC 的边 BC 上的一点,点 P 在线段 AD 上,过点 D 作一直线分 别与线段 AB、PB 交于

点 M、E,与线段 AC、PC 的延长线交于点 F、N。 如果 DE=DF,求证:DM=DN 三、 (1)是否存在正整数的无穷数列 {an } ,使得对任意的正整数 n 都有 2 an?1 ? 2an an? 2 。 (2)是否存在正无理数的无穷数列 {an } ,使得对任意的正整数 n 都有 2 an?1 ? 2an an? 2 。 四、 给定大于 2004 的正整数 n,将 1、2、3、…、 n 2 分别填入 n× 棋盘(由 n n 行 n 列方格构成)的方格中,使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填 的数大于它所在行至少 2004 个方格内所填的数, 且大于它所在列至少 2004 个方格内所填的数,则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大 值。

第二天
(2004 年 7 月 11 日 8:00 — 12:00 温州)

? 6 ? 2sin 2? ? 3a ? 6 对于 五、 已知不等式 2(2a ? 3)cos(? ? ) ? 4 sin ? ? cos? ? ?? ? ? ? 0, ? 恒成立,求 a 的取值范围。 ? 2?
六、 设点 D 为等腰 ?ABC 的底边 BC 上一点, 为过 A、 C 三点的圆在 ?ABC F D、 内的弧上一点,过 B、D、F 三点的圆与边 AB 交于点 E。求证: CD ? EF ? DF ? AE ? BD ? AF 七、 n 支球队要举行主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场 比赛) ,每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比 赛。但如果某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场 比赛。如果 4 周内能够完成全部比赛,求 n 的最大值。 注:A、B 两队在 A 方场地举行的比赛,称为 A 的主场比赛,B 的客场比赛。 八、 求满足
x? y y ? z z ?u ? ? ? 0 , 1 ? x y z u ?1 的所有四元有序整数组 、、、 0 且 x? y y? z z ?u

( x, y, z, u )的个数。

答案
一、 由柯西不等式,
(a ? 2b ? 3c)2 ? ( 1 ? 2 ? 3 ) ( 1a) 2 ? ( 2b) 2 ? ( 3c) 2 ? 9
2 2 2

?

?

所以, a ? 2b ? 3c ? 3,所以 3? a ? 9? b ? 27 ? c ? 3 3 3? ( a ? 2b?3c ) ? 3 3 3?3 ? 1 二、 证明: A 对 ?AMD 和直线 BEP 用梅涅劳斯定理得: AP DE MB ? ? ? 1 ?(1) , P PD EM BA 对 ?AFD 和直线 NCP 用梅涅劳斯定理得: M C AC FN DP ? ? ? 1 ? (2) , D B N F CF ND PA 对 ?AMF 和直线 BDC 用梅涅劳斯定理 AB MD FC ? ? ? 1 ? (3) 得: BM DF CA DE FN MD ? ? ? 1 ,又 DE=DF,所以有 (1) (3)式相乘得: (2) EM ND DF DM DN ? ,所以 DM=DN。 DM ? DE DN ? DE 三、 (1)假设存在正整数数列 {an } 满足条件。
2 ? an?1 ? 2an an? 2 , an ? 0,

an 1 an?1 1 an?2 ? a ? ? ? 2? ? ... ? n?2 ? 2 , n ? 3,4,...., an?1 2 an?2 2 an?3 2 a1 a 1 a a 1 a 又 2 ? 2?2 ? 2 , 所以有 n ? n ?2 ? 2 对 n=2,3,4,…成立。 a1 2 a1 an ?1 2 a1 ?
? 1 a ? 1 ? an ? ? n?2 ? 2 ? an?1 ? ( n?2)?( n?3) a1 ? 2 ?2
2 2 n?2 n ?1 2

?a ? ?a ? 1 ? ? 2 ? ? an?2 ? ... ? ( n?2)?( n?3)?...?1 ? ? 2 ? 2 ? a1 ? ? a1 ?

2

n?2

? a2

? a ? 1 所以 an ? ? ? ? n?2 。 a1 ?2 ? 2 设 a2 ? [2k ,2k ?1 ), k ? N ,取 N ? k ? 3,则有 ? a ? ?2 ? 1 1 aN ? ? ? ? N ?2 ? ? k ?1 ? ? k ?1 ? 1 a1 a1 ?2 ? ?2 ? ,这与 aN 是正整数矛盾。所以不存在正整数数列 {an } 满足条件。
2 2 N ?2 k ?1 N ?1 2 k ?2 2

(2)an ?

?
2
( n ?1)( n ? 2)

2 为满足条件的一个无理数数列,an?1 ? 4an an? 2 ? 2an an? 2 。

四、 为叙述方便,如果一个方格中填的数大于它所在行至少 2004 个方格中所 填的数,则称此格为行优的。由于每一行中填较小的 2004 个数的格子不 是行优的,所以每一行中有 n-2004 个行优的。一个方格为“优格”一定是 行优的,所以棋盘中“优格”个数不大于 n(n ? 2004) 。 另一方面,将棋盘的第 i (i ? 1,2,3,..., n) 行,第、i ? 1 ... i ? 2003 (大于 n 时 i 、、 取模 n 的余数)列中的格子填入“*”。将 1、2、3、…、2004n 填入有“*” 的格子,其余的数填入没有“*”的格子。没有“*”的格子中填的数大于有“*” 的格子中任何一个数,所以棋盘上没有“*”的格子都为“优格”,共有 n(n ? 2004) 个。 此时每行有 2004 个格子有“*”,每列也有 2004 个格子有“*”(如图) 。实际 上,当1 ? i ? 2003 时,第 i 列的第 1、 2、…、 n+i-2003、 i、 n+i-2002、...、 n 行中有“*”。 i ? 2004 时, i 列的第 i-2003、 当 第 i-2002、 i 行中有“*”。 ...、 所以每行有 2004 个格子有“*”,每列也有 2004 个格子有“*”(如图) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

所以棋盘中“优格”个数的最大值是 n(n ? 2004) 。

? 2 x, sin 2? ? x 2 ? 1, x ? ?1, 2 ? 五、 设 sin? ? cos? ? x ,则 cos(? ? ) ? ? ? 4 2 6 从而原不等式可化为: (2a ? 3) x ? ? 2( x 2 ? 1) ? 3a ? 6 x 6 2 2 即 2 x 2 ? 2ax ? 3x ? ? 3a ? 4 ? 0, 2 x( x ? ? a) ? 3( x ? ? a) ? 0 , x x x 2 ? ? (2 x ? 3) ? x ? ? a ? ? 0 x ? ?1, 2 ? ? (1) ? ? x ? ? ?原不等式等价于不等式(1) ? x ? ?1, 2 ? , ? 2 x ? 3 ? 0 ? ? 2 不等式(1)恒成立等价于 x ? ? a ? 0 x ? ?1, 2 ? 恒成立。 ? ? x

?

?

?

?

2 从而只要 a ? ( x ? ) max ( x ? ?1, 2 ?) 。 ? ? x 2 又容易知道 f ( x) ? x ? 在 ?1, 2 ? 上递减, ? x ? 2 ? ( x ? ) max ? 3 ( x ? ?1, 2 ? ) 。 ? ? x 所以 a ? 3 。

六、 设 AF 的延长线交 ? BDF 于 K, ? ?AEF ? ?AKB

A

??AEF ? ?AKB 1 3 EK BK AE AK ? , ? 因此 。于是要证(1) , AF AB AF AB F E 只需证明: B CD ? BK ? DF ? AK ? BD ? AB ?(2) D C 又注意到 ?KBD ? ?KFD ? ?C 。 1 我们有 S?DCK ? CD ? BK ? sin ?C 2 进一步有 1 S ?ABD ? BD ? AB ? sin ?C 2 1 S ?ADK ? AK ? DF ? sin ?C 2 因此要证(2) ,只需证明 S?ABD ? S?DCK ? S?ADK ?(3) 而(3) ? S?ABC ? S?AKC ? BK // AC ?(4) 事实上由 ?BKA ? ?FDB ? ?KAC 知(4)成立,得证。 球队 第一周 第二周 第三周 第四周 1 * * 七、 (1) 如右图所示: 表格中有“*”, 2 * * 表示该球队在该周有主场比赛, 3 * * 不能出访。 4 * * 容易验证,按照表中的安排,6 5 * * 支球队四周可以完成该项比赛。 6 * * (2)下面证明 7 支球队不能在四 周完成该项比赛。 设 Si (i ? 1,2,3,4,5,6,7) 表示 i 号球队的主场比赛周次的集合。假设 4 周内能 完成该项比赛,则 S i 是{1,2,3,4}的非空真子集。 一方面由于某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场 比赛,所以 Si (i ? 1,2,3,4,5,6,7) 中,没有一个集是另一个的子集。 另一方面,设

2

D ? ?{4},{1,4},{1,2,4}? , E ? ?{2,4}? , F ? ?{3,4}?

A ? ?{1},{1,2},{1,2,3}? , B ? ?{2},{2,3},{2,3,4}? , C ? ?{3},{1,3},{1,3,4}?

由抽屉原理,一定存在 i, j, i ? j, i, j ?{1,2,3,4,5} , Si , S j 属于同一集合 A 或 B 或 C 或 D 或 E 或 F, 必有 Si ? S j 或 S j ? Si 发生。 所以 n 的最大值是 6。 八、 设 f (a, b, c, d ) ?
a ?b b?c c?d ? ? 。 a?b b?c c?d 记 A :{( x, y, z, u ) |1 ? x, y, z, u ? 10, f ( x, y, z, u) ? 0} , B :{( x, y, z, u ) |1 ? x, y, z, u ? 10, f ( x, y, z, u) ? 0} , C :{( x, y, z, u) |1 ? x, y, z, u ? 10, f ( x, y, z, u) ? 0} ,

显然 card ( A) ? card ( B) ? card (C ) ? 104 。 我们证明 card ( A) ? card ( B) 。对每一个 ( x, y, z, u) ? A ,考虑 ( x, u, z, y ) 。 x? y y ? z z ?u u ? x ( x, y , z , u ) ? A ? f ( x, y , z , u ) ? 0 ? ? ? ? ?0 x? y y? z z ?u u ? x x?u u ? z z ? y y ? x ? ? ? ? ? 0 ? f ( x, y , z , u ) ? 0 x?u u? z z ? y y? x ? ( x, u , z , y ) ? B 接着计算 card (C ) 。 xz ? yu xz ? yu ( x, y , z , u ) ? C ? ? ? ( z ? x)(u ? y )( xz ? yu ) ? 0 ( x ? y )( z ? u ) ( y ? z )(u ? x) 设 C1 ? {( x, y, z, u ) | x ? z,1 ? x, y, z, u ? 10} , C2 ? {( x, y, z, u ) | x ? z, y ? u, 1 ? x, y, z, u ? 10} , C3 ? {( x, y, z, u ) | x ? z, y ? u, xz ? yu, 1 ? x, y, z, u ? 10} 。 ?满足 a ? b ? c ? d , (a, b, c, d ) 为 1、2、3、...、10 的两两不同的无序四元组 只有 1? 6 ? 2 ? 3,1? 8 ? 2 ? 4,1?10 ? 2 ? 5, 2 ? 6 ? 3 ? 4, 2 ? 9 ? 3 ? 6, 2 ?10 ? 4 ? 5, 3 ? 8 ? 4 ? 6, 3 ? 10 ? 5 ? 6, 4 ? 10 ? 5 ? 8 。 满足 x ? y, z ? u, x ? z 的四元组共 90 个,满足 x ? z, y ? u, x ? z 的四元组共 C ) 90 个, card( C ) ? 4 ? 2 ? 9 ? 90 ? 90 ? 252, card (C )? 1000,card (2 ? 900 。 3 1 所以, card (C) ? 2152, card ( A) ? 3924 。


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