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高数知识在解初等数学习题中的应用


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. 

解题技巧  与方  法 ’  
. _ I, ?  
● 

艚  

高数 识痞   解 等数拳  题咿  庶  
◎薛 秋  ( 无锡市广播电视大学 2 1 4 0 2 1 )  

【 摘要 】 在某些情况 下, 利用 高等数 学知识 去解初 等数 
学 习 题 常 常 能起 到 化繁 为简 、 化 难 为 易 的 综 合 应 用 效 果. 本 
文 就 此谈 谈 相 关 方 面 的 内容 , 以便 帮 助 电 大 学 生 掌 握 该 方  
面 的 知 识.  



可 以构 造 向 量 P:(  , b ) , ,=( a—  , c ) , 则 原 式 转 

化为Y =l   P   l +l , I .  

因I   e   1 +l - 厂 1 ≥1   e + , l =v /   可 可
与 ,同 向平 行 ,  

, 等号成立§  

【 关键词 】 高 数 知识 ; 初等数学习题 ; 应用  

故 Y … =/ Ⅱ   + ( b + c )   .  
四、 利 用导 数证 明恒 等 式 

学过高等数学的人都知道 , 高等数 学与初等 数学相 比 ,   无论是在 内容上 , 还 是 在思 维方 式 上 , 均 存 在 着 很 大 的 差  异. 然而 , 就 数 学 的发 展 来 看 , 高 等 数 学 是 在 初 等 数 学 的 基 

例 5 证明: C  一2 C  + 3 C :+… +( 一 1 )   n C : = 0 ,  
( n ≥2 ) .  

证   由二项式定理可得: ( 1 +  )  = C : +c  + c :  +  


础上发展而来 的, 因 此 它们 之 间 必 然 存 在 着 紧 密 的 联 系 , 事  实上, 在某些情况下 , 利 用 高 等 数 学 知识 去 解 初 等 数 学 习题 
常 常能 起 到 事 半 功 倍 、 化 难 为 易 的 效果 . 下面举例说明之.  


+c : x   。 两边求导 , 得:  

n ( 1 +  )   一   = c   + 2 c :  + 3 c :   。 + …+ n C : x   一 ’ .   令 :一 1 , 得: C   一 2 C   + 3 c : 十 …+ ( 一 1 )   一   n C : = 0 .  
五、 利 用 导 数 证 明不 等式  例 6  设 a , b , c 都为正数 , 证 明: 0  + b   +c   ≥3 a b c .  



利 用 向量 证 明 恒 等 式 

侈 0   1   设(   +Y  +z   )( a  +b  +c   )=( a x+6 y+c z )  ,  

其中。 b c ≠ 0 . 证明: 三: 车: 三.  
a  D  c 

证 明  根 据 题 意 , 可设_ 厂 (  )=   一 3 a b x+n  +b   ,  ∈   ( 0 , +。 o ) .  



若  =Y :  = 0 , 则结论 显然成立. 若  , Y ,  不 全 为 

0 , 可 以 构 造 向 量 P= (  , Y , z ) , j - =( a , b , C ) , 则 c o s O=  
— = : :

因f (  ) 为初等函数 , 且 厂(  ): 3 x  一 3 a b ,   令 厂(  )=o , 即3 x  一 3 a b:0 , 求 得 定 义 域 内 的 驻 点 为 
x :

兰 

兰: := . 由已知条件可得c o s   0 =1 , 所以  
n  + b   +c  

+Y  +  

、 厂 磊.  

0 : 0 或0 = 盯 . 因此 e / / f . 故  : 车 = _ 三 - .  
“  U 

当  

( 0 ,  ̄ , ,  ) 时, 有 厂(  ) < 0 ; 当  

(  

, +。 。 )  

二、 利 用 向量 证 明 不 等 式  例 2   设 a , b为 不 等 的 正 数 , 证 明: ( 口  +b   )( a  +  
b 。 )>( 0  +b   )  .  

时  (  )> 0 .   所 以_ 厂 ( I . f ) 在驻点处有极小值 , 且 极 小值 为 :  

, (  
≥ 0.  

):(  

)  一3 a b  

+a   3 +b  =(  

一  

)  

证  可 以构 造 向量 口=( n 。 , b   ) , . 厂 =( a , b ) ,  

 ̄ J j ( a   + b   )  = ( 口? , )  =I  J 。I ,  c } o s   0 ≤I   e  I } , J  =  
( a  + b   ) ( a  +b   ) , 因a , b 为不相等的正数 , 所以e ≠±   故 
≠0 ,  . 因此 ( a   十b   )   <( a  +b   ) ( a  +b   ) , 最 口 ( a  +b   )  
( n  +b  )> ( a  +b   ) 2 .  

因 函数 _ 厂 (  ) 在其定 义域 内驻点 唯一 , 因 此 极 小 值 就 是  它 的最 小 值 .  
故_ 厂 (  )=   一3 a b  +Ⅱ  +b   ≥(  
+ o 。   .  

了 _ 二   )  > t0 ,   ∈( 0 ,  

侈 4   3   已知 a  +b  +c  =1 ,   +Y  + z  =1 , 证 明: a g e +  
6 v+c z ≤1 .  

令  = C , 可得 : C   一 3 a b c +a   +b   10 > .  
目 Ⅱ0 。+b  +C 3 ≥3 a b c .  

证  可 以构 造 向 量 P=( a , b , c ) , f=(  ,  ,   ) ,  

贝   o  +   y+ c z =e? . , =  P   l   , l   c o s O ≤l   e   1   l , l =1 , 即  
a x +6 y +c  ≤ 1 .  

【 参考文献】  
[ 1 ] 李林曙 , 黎诣 远. 微 积分 [ M] . 北 京: 高 等 教 育 出版 
社, 2 0 0 5 .  

三、 利用 向量 求 函数 的 极 值  例4   已知 口 , b , c为 正 数 , 求 函 数 y:   +b  +  

[ 2 ] 同济大学等. 高等 数 学 [ M] . 北 京: 高 等 教 育 出版 
社, 2 0 0 8 .  

v / ( n —  )  + c   的极   、 值.  

数 学 学 习 与研 究

2 0 1 5   5  



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