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高中数学竞赛


专题三 函数 不等式 数列 极限 数学归纳法 一 能力培养 1,归纳 ? 猜想 ? 证明 二 问题探讨 问题 1 数列{ an }满足 a1 ? (I)求{ an }的通项公式; 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力 1 ? , a1 ? a2 ???? ? an ? n2an ,( n ? N ). 2 (II)求 1 ? 100n 的最小值; an (III)设函数

f ( n) 是 1 ? 100n 与 n 的最大者,求 f (n) 的最小值. an 问题 2 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 和数列{ an }满足下列条件: a1 ? a , an ? f (an?1 ) ( n =2,3,4, ??? ), a2 ? a1 , f (an ) ? f (an?1 ) = k (an ? an?1 ) ( n =2,3,4, ??? ),其中 a 为常数, k 为非零常数. (I)令 bn ? an?1 ? an ( n ? N ),证明数列 {bn } 是等比数列; (II)求数列{ an }的通项公式; (III)当 k ? 1 时,求 lim an . n ?? ? 问题 3 已知两点 M (?1, 0) ,N (1, 0) ,且点 P 使 MP ? MN , PM ? PN , NM ? NP 成公差小 于零的等差数列. (I)点 P 的轨迹是什么曲线? (II)若点 P 坐标为 ( x0 , y0 ) ,记 ? 为 PM 与 PN 的夹角,求 tan ? . ???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ? ? ? ???? ? ??? ? 1 三 习题探讨 选择题 1 数列 {an } 的通项公式 an ? n2 ? kn ,若此数列满足 an ? an?1 ( n ? N ),则 k 的取值范围是 A, k ? ?2 B, k ? ?2 C, k ? ?3 D, k ? ?3 ? 2 等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若 Sn a 2n ,则 n = ? Tn 3n ? 1 bn 2n ? 1 2n ? 1 D, 3n ? 4 3n ? 1 3 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为 q ,则 q 的取值范围是 A, 2 3 B, 2n ? 1 3n ? 1 C, A, (0, 1? 5 ) 2 B, ( 1? 5 ,1] 2 C, [1, 1? 5 ) 2 D, ( 1? 5 1? 5 , ) 2 2 4 在等差数列 {an } 中, a1 ? A, t ? 4 75 1 1 ,第 10 项开始比 1 大,记 lim 2 ( an ? S n ) ? t ,则 t 的取值范围是 n ?? n 25 8 3 4 3 4 3 ?t ? ?t ? ?t ? B, C, D, 75 25 75 50 75 50 x2 y 2 5 设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,C ( x3 , y3 ) 是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0 )上三个点,F 为焦点, a b 若 AF , BF , CF 成等差数列,则有 A, 2x2 ? x1 ? x3 B, 2y2 ? y1 ? y3 C, 2 1 1 ? ? x2 x1 x3 D, x2 2 ? x1 ? x3 6 在 ?ABC 中, tan A 是以 ?4 为第三项,4 为第七项的等差数列的公差,

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