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北京市部分区2016届高三上学期期中期末考试数学文分类汇编:圆锥曲线


北京市部分区 2016 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 圆锥曲线
一、选择题 1、(朝阳区 2016 届高三上学期期末)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F, 且与 y 轴交于点 A ,若 ?OAF ( O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y 2 ? ?4 x B.
y2 ? 4x

C )

C. y 2 ? ?8x

D. y 2 ? 8x A ) (D) x ? ?
1 2

2、 (大兴区 2016 届高三上学期期末)抛物线 y ? x 2 的准线方程是( (A) y ? ?
1 4

(B) y ? ?

1 2

(C) x ? ?

1 4

3、(丰台区 2016 届高三上学期期末)如图,在圆 x2 ? y2 ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的 垂线段 PD , D 为垂足.当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的 中点 M 的轨迹是椭圆,那么这个椭圆的离心率是( (A)
1 2
y P

D )
O

M

(B)

1 4

(C)

2 2

(D)

3 2

D

x

4、 (海淀区 2016 届高三上学期期末)已知点 A(5,0) ,抛物线
C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,点 P 在抛物线 C 上,若点 F 恰好

在 PA 的垂直平分线上,则 PA 的长度为( D ) A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 4

5 5、 (延庆区 2016 届高三 3 月一模)已知双曲线的离心率 e ? ,且焦点到渐近线的距离为 4 , 3

则该双曲线实轴长为( A A. 6 二、填空题 B. 5

) C. 4 D. 3

1、(昌平区 2016 届高三上学期期末)若双曲线 是 6,则点 P 到左焦点的距离为 2 .

x2 y 2 ? ? 1 的左支上一点 P 到右焦点的距离 4 9

2、(朝阳区 2016 届高三上学期期末)双曲线 x2 ? 3、(大兴区 2016 届高三上学期期末)双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 的渐近线方程为 3

.

y2 ? 1 的焦点到渐近线的距离等于 3

x2 y 2 4、(东城区 2016 届高三上学期期末)双曲线 ? ? 1 的离心率是_________. 16 9

5、 (海淀区 2016 届高三上学期期末) 已知双曲线 x 2 ?
b ? ___,

y2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线通过点 (1,2) , 则 b2

其离心率为 __.
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点垂直于 x 轴的弦长 a 2 b2

6、(顺义区 2016 届高三上学期期末)过椭圆

为 a .则双曲线

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

7、 (西城区 2016 届高三上学期期末)若抛物线 C:y 2 ? 2 px 的焦点在直线 x ? y ? 3 ? 0 上,则实 数 p ? __6__;抛物线 C 的准线方程为___ x ? ?3 _. 参考答案 1、2 6、 2、 y ? ? 3x 7、 6 ; 3、 3 4、
5 4

5、 2 , 5

三、解答题 1、(昌平区 2016 届高三上学期期末)已知椭圆 C :
x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,点 2 a b 2

1 ( 3, ) 在椭圆 C 上. 2
(I)求椭圆 C 的方程; (II)若直线 l : y ? kx ? m (k ? 0, m ? 0) 与椭圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 中点为 M,点 O 为坐 标原点. 证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.
? c 3 , ?e ? ? a 2 ? 1 ?3 解:(I)由题意得 ? 2 ? 2 ? 1, 4b ?a 2 ?a ? b 2 ? c 2 . ? ?

解得 a 2 ? 4, b 2 ? 1 .

所以椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)法一:

x2 ? y 2 ? 1. 4

……………………5 分

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , M ( xM , yM ) . 将 y ? kx ? m 代入
x2 ? y 2 ? 1. 得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 , 4

? ? (8km) 2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m 2 ? 4) ? 0, x1 ? x2 ?
故 xM ?
x1 ? x2 4km ?? 2 , 2 4k ? 1

?8km , 4k 2 ? 1

yM ? kxM ? m ?

1 m y 1 .于是直线 OM 的斜率 kOM ? M ? ? ,即 kOM ? k ? ? . 2 4 4k ? 1 xM 4k
……………………13 分

1 所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 ? . 4

法二:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , M ( xM , yM ) .则 xM ? 0, x1 ? x2 ? 0,
? x12 ? y12 ? 1 ? ( x ? x )( x ? x ) y (y ? y ) 1 ? 由 ? 42 得 1 2 1 2 ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ,则 M 1 2 ? ? , 4 xM ( x1 ? x2 ) 4 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? ? 4

1 即 kOM ? k ? ? . 4
1 所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 ? . …………………13 分 4 2、(朝阳区 2016 届高三上学期期末)已知圆 O : x2 ? y 2 ? 1的切线 l 与椭圆 C : x2 ? 3 y 2 ? 4 相

交于 A , B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)求证: OA ? OB ; (Ⅲ)求 ?OAB 面积的最大值. 解: (Ⅰ)由题意可知 a 2 ? 4 , b 2 ? 所以 e ?
4 8 ,所以 c 2 ? a 2 ? b 2 ? . 3 3

c 6 6 .所以椭圆 C 的离心率为 .……………………3 分 ? a 3 3

(Ⅱ)若切线 l 的斜率不存在,则 l : x ? ?1 . 在
x2 3 y 2 ? ? 1 中令 x ? 1 得 y ? ?1 . 4 4

??? ? ??? ? 不妨设 A(1,1), B(1, ?1) ,则 OA ? OB ? 1 ?1 ? 0 .所以 OA ? OB .

同理,当 l : x ? ?1 时,也有 OA ? OB . 若切线 l 的斜率存在,设 l : y ? kx ? m ,依题意

m k ?1
2

? 1 ,即 k 2 ? 1 ? m2 .

? y ? kx ? m 由? 2 ,得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 4 ? 0 .显然 ? ? 0 . 2 x ? 3 y ? 4 ?
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?
3m2 ? 4 6km x x ? , . 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

所以 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 .

??? ? ??? ? 所以 OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2
? (k 2 ? 1) 3m2 ? 4 6km ? km 2 ? m2 2 3k ? 1 3k ? 1

?

(k 2 ? 1)(3m2 ? 4) ? 6k 2 m2 ? (3k 2 ? 1)m2 3k 2 ? 1

4m 2 ? 4k 2 ? 4 4(k 2 ? 1) ? 4k 2 ? 4 ? ? ?0. 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

所以 OA ? OB . 综上所述,总有 OA ? OB 成立. ………………………………9 分

(Ⅲ)因为直线 AB 与圆 O 相切,则圆 O 半径即为 ?OAB 的高. 当 l 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知 AB ? 2 .则 S?OAB ? 1 . 当 l 的斜率存在时,由(Ⅱ)可知,

6km 2 3m2 ? 4 AB ? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? 1 ? k ? ( 2 ) ? 4 ? 2 3k ? 1 3k ? 1
2 2

2

?

2 1? k 2 ? 9k 2 m2 ? (3m2 ? 4)(3k 2 ? 1) 2 3k ? 1 2 1? k 2 2 1? k 2 2 2 ? 12 k ? 3 m ? 4 ? ? 12k 2 ? 3(k 2 ? 1) ? 4 2 2 3k ? 1 3k ? 1

?

?
所以 AB ?
2

2 1? k 2 ? 9k 2 ? 1 . 3k 2 ? 1

4(1 ? k 2 )(9k 2 ? 1) 4(9k 4 ? 10k 2 ? 1) 4k 2 ? ? 4(1 ? ) (3k 2 ? 1)2 9k 4 ? 6k 2 ? 1 9k 4 ? 6k 2 ? 1

k2 16 4 16 ? 4 ? 16 ? 4 ? 4? ? 4? ? 2 1 9k ? 6k ? 1 3 3 9k 2 ? 2 ? 6 k

(当且仅当 k ? ?

3 时,等号成立) . 3

所以 AB max ?

4 3 2 3 .此时, (S?OAB ) max ? . 3 3 3 2 3 时, ?OAB 面积的最大值为 .…………14 分 3 3
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶点为 M (0,1) , a 2 b2

综上所述,当且仅当 k ? ?

3、 (大兴区 2016 届高三上学期期末) 已知椭圆 C : 离心率为

6 ,直线 l : y ? kx ? m (k ? 0) 与椭圆 C 交于 A, B 两点. 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若存在关于过点 M 的直线,使得点 A 与点 B 关于该直线对称,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,用 m 表示 ?MAB 的面积 S ,并判断 S 是否存在最大值.若存在, 求出最大值;若不存在,说明理由. 解:(I)因为椭圆 C 的一个顶点为 M (0, ?1) 所以 b ? 1 因为离心率为
c 6 ? a 3 6 3

……1 分

所以

……2 分

所以 3c 2 ? 2a 2 因为 a 2 ? b 2 ? c 2 所以 a 2 ? 3 ……3 分 ……4 分

x2 所以椭圆 C : ? y 2 ? 1 3
(II)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

?x 2 ? 3 y 2 ? 3 由? ? y ? kx ? m

得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6kmx? 3m2 ? 3 ? 0 所以 ? ? (6km)2 ? 4(3k 2 ? 1)(3m2 ? 3) ? 0, m2 ? 3k 2 ? 1
6km 3m2 ? 3 x1 ? x2 ? ? 2 , x1 x2 ? 2 3k ? 1 3k ? 1 y1 ? y2 ? 2m . 3k 2 ? 1

……1 分 ……2 分

因为 A, B 关于过点 M (0, ?1) 的直线对称, 所以 MA ? MB 所以 x1 ? ( y1 ? 1)2 ? x2 ? ( y2 ? 1)2 所以 ( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ? 2)( y2 ? y1 ) ? 0 所以 ( x2 ? x1 ) ? k ( y2 ? y1 ? 2) ? 0 所以 ?
6km 2m ?( 2 ? 2)k ? 0 2 3k ? 1 3k ? 1
2 2

……3 分

所以 2m ? 3k 2 ? 1 ? 1 (k ? 0) , 所以 ? ? 12m(2 ? m) ? 0
1 所以 ? m ? 2 2

……4 分 ……5 分 ……6 分
12m(2 ? m) 3k 2 ? 1

(III) AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 1 ? k 2

……1 分

A 到 l : y ? kx ? m 的距离 d ?

m ?1 k2 ?1
……2 分

S ?MAB ?

1 1 m ? 1 12m(2 ? m) AB d ? ? 2 2 2m

3 2 所以 S 2 ? (3 ? ? m 2 ) 4 m

设 f ( m) ? 3 ?

2 1 ? m2 ( ? m ? 2) m 2 2 ?0 m2

则 f ?(m) ? ?2m ?

1 ( , 2) 所以 f ( m) 在 上是减函数 2

……3 分 ……4 分
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 过点 (0 , 2) ,且满足 a 2 b2

所以面积 S 无最大值. 4、 (东城区 2016 届高三上学期期末)已知椭圆 C :

a?b ? 3 2 .
(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程;
1 (Ⅱ) 斜率为 的直线交椭圆 C 于两个不同点 A ,B , 点 M 的坐标为 (2 ,1) , 设直线 MA 与 MB 2

的斜率分别为 k1 , k2 . ① 若直线过椭圆 C 的左顶点,求此时 k 1 , k 2 的值; ② 试探究 k1 ?k 2 是否为定值?并说明理由.
解:(Ⅰ)由椭圆过点 (0,2) ,则 b ?

2 .又 a ? b ? 3 2 ,故 a ? 2 2 .
………………………………4 分
1 x? 2 , 2

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 8 2

(Ⅱ)① 若直线过椭圆的左顶点,则直线的方程是 l : y ?
1 ? y ? x ? 2, ? ? ? x2 ? ?2 2, ? x1 ? 0, ? ? 2 由? 2 解得 ? 或? 2 ? ? y2 ? 0. ? x ? y ?1 ? y1 ? 2, ? ? 2 ? 8

故 k1 ? ?

2 ?1 , k2 ? 2

2 ?1 . 2

………………………8 分

② k1 ? k2 为定值,且 k1 ? k 2 ? 0 . 设直线的方程为 y ?
1 x ? m. 2

1 ? y ? x ? m, ? ? 2 由? 2 消 y ,得 x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 . 2 x y ? ? ?1 ? 2 ? 8

当 ? ? 4m 2 ? 8m 2 ? 16 ? 0 ,即 ? 2 ? m ? 2 时,直线与椭圆交于两点. 设 A( x1 , y1 ) . B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2m , x1 x2 ? 2m 2 ? 4 . 又 k1 ?

y1 ? 1 y2 ? 1 , k2 ? , x1 ? 2 x2 ? 2

故 k1 ? k 2 ? 又 y1 ?

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)(x2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)(x1 ? 2) ? ? . x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

1 1 x1 ? m , y 2 ? x 2 ? m , 2 2

1 1 所以 ( y1 ? 1)(x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)(x1 ? 2) ? ( x1 ? m ? 1)( x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)( x1 ? 2) 2 2

? x1 x2 ? (m ? 2)(x1 ? x2 ) ? 4(m ? 1) ? 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ? 0 .
故 k1 ? k 2 ? 0 . ……………………………14 分

5 、 ( 丰 台 区 2016 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 已 知 点 F 为 抛 物 线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,过点 F 的动直线 l 与抛物线 C 交于

M , N 两点,如图.当直线 l 与 x 轴垂直时, | MN |? 4 .
(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)已知点 P( ?1,0) ,设直线 PM 的斜率为 k1 ,直线 PN 的斜率为

k2 .请判断 k1 ? k2 是否为定值,若是,写出这个定值,并证明你的
结论;若不是,说明理由. 解(Ⅰ)∵ F 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,
p ∴ F ( , 0) .…………1 分 2

又∵ l 与 x 轴垂直,且 MN ? 4 ,
p ∴ M ( , 2) .…………2 分 2

又∵点 M 在抛物线上, ∴4 ? 2p? ∴ p?2, ∴求抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4x .……………5 分 (Ⅱ)结论: k1 ? k2 ? 0 ,为定值. 设直线 l 与抛物线交于不同两点 M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) , ①当直线 l 斜率不存在时,知直线 PM 与 PN 关于 x 轴对称, ∴ k1 ? k2 ? 0 .
p ? p2 , 2

②当直线 l 斜率存在时,直线 l 的方程设为 y ? k ( x ? 1) ,

? y ? k ( x ? 1) 联立 ? 2 ,得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 , ? y ? 4x
∴ x1 ? x2 ? 又∵ k1 ?
2k 2 ? 4 , x1 x2 ? 1 . k2

y1 y , k2 ? 2 , x1 ? 1 x2 ? 1

且 y1 ? k ( x1 ?1) , y2 ? k ( x2 ?1) , ∴ k1 ? k2 ?
y1 y ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1

?

y1 ( x2 ? 1) ? y2 ( x1 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) k ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? k ( x2 ? 1)( x1 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 2k ( x1 x2 ? 1) . x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

?

?

∵ x1 x2 ? 1 , ∴ k1 ? k2 ? 0 . 综上所述 k1 ? k2 ? 0 . ……………………14 分

6、(海淀区 2016 届高三上学期期末)如图,椭圆
W:

3 x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左顶点 A 在圆 a 2 b2 2

y

O : x 2 ? y 2 ? 16 上.

(Ⅰ)求椭圆 W 的方程; (Ⅱ)直线 AP 与椭圆 W 的另一个交点为 P ,与圆 O 的另一个交点 为Q . (i)当 | AP |?
8 2 时,求直线 AP 的斜率; 5

A

O

B

x

(ii)是否存在直线 AP ,使得 由.

| PQ | ? 3? | AP |

若存在,求出直线 AP 的斜率;若不存在,说明理

解:(Ⅰ)因为椭圆 W 的左顶点 A 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 16 上,所以 a ? 4 . …………….1 分 又离心率为
3 c 3 ,所以 e ? ? ,所以 c ? 2 3 , 2 a 2

………………………….2 分

所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 , 所以 W 的方程为 (Ⅱ)(i)
x y ? ? 1. 16 4
2 2

…………………………….3 分 …………………………….4 分

法一:设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,显然直线 AP 存在斜率, 设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,
? y ? k ( x ? 4) ? , 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 ? 16 ? 4 ? 1 ?

………………………….5 分

化简得到 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 16 ? 0 , 因为 ?4 为上面方程的一个根,所以 x1 ? ( ?4) ? 由 | AP |? 1 ? k 2 | x1 ? ( ?4) |?
8 2 , 5

………………………….6 分
?32k 2 4 ? 16k 2 x ? .…………….7 分 ,所以 1 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

…………………………….8 分 ……………………….9 分

2 代入得到 | AP |? 8 1 ? k2 ? 8 2 ,解得 k ? ?1 ,

1 ? 4k

5

所以直线 AP 的斜率为 1, ?1 . (ii)因为圆心到直线 AP 的距离为 d ?
16 8 ? . 2 1? k 1? k2

| 4k | k2 ?1



…….10 分

2 所以 | AQ |? 2 16 ? d ? 2

…………………………….11 分

因为

| PQ | | AQ | ? | AP | | AQ | ? ? ?1, | AP | | AP | | AP |

…………………………….12 分

代入得到

8 2 | PQ | 1 ? 4k 2 3k 2 3 ? 1? k ?1 ? ? 1 ? ? 3? . 2 2 | AP | 8 1 ? k 2 1? k 1? k 1? k2 1 ? 4k 2

…………………………….13 分

显然 3 ?

| PQ | 3 ? 3. ? 3 ,所以不存在直线 AP ,使得 2 | AP | 1? k

…………….14 分

法二:(i)设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,显然直线 AP 存在斜率且不为 0 , 设直线 AP 的方程为 x ? my ? 4 ,
? x ? my ? 4 ? , 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 ? 16 ? 4 ? 1 ?

………………………….5 分

化简得到 (m2 ? 4) y 2 ? 8my ? 0 ,

…………………………….6 分
8m , m2 ? 4

显然 ?4 上面方程的一个根,所以另一个根,即 y1 ? 由 | AP |? 1 ? m 2 | y1 ? 0 |?

…………………………….7 分

8 2 …………………………….8 分 , 5 8|m| 8 2 ……………………….9 分 ? 代入得到 | AP |? 1 ? m 2 2 ,解得 m ? ?1 . m ?4 5

所以直线 AP 的斜率为 1, ?1 (ii)因为圆心到直线 AP 的距离为 d ?
|4| 1 ? m2



…………………………….10 分

所以 | AQ |? 2 16 ? d 2 ? 2

16m2 8|m| . ? 2 1? m 1 ? m2

…………………………….11 分

因为

| PQ | | AQ | ? | AP | | AQ | ? ? ?1, | AP | | AP | | AP |

…………………………….12 分

代入得到
8|m| | PQ | m2 ? 4 3 1 ? m2 ? ?1 ? ?1 ? . 2 8|m| | AP | 1? m 1 ? m2 1 ? m2 2 m ?4

…………………………….13 分



3 ? 3 ,则 m ? 0 ,与直线 AP 存在斜率矛盾, 1 ? m2
| PQ | ? 3. | AP |

所以不存在直线 AP ,使得

…………………………….14 分

7、 (石景山区 2016 届高三上学期期末)已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,其中 e ? ( e 为 2 2 a b

椭圆离心率) , 焦距为 2, 过点 M (4,0) 的直线 l 与椭圆 C 交于点 A, B , 点 B 在 AM 之间. 又点 A, B 的中点横坐标为
4 . 7

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求直线 l 的方程. 解:(Ⅰ)由条件可知, c ? 1, a ? 2 ,故 b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 , ………3 分 ………4 分

x2 y 2 ? 1. 椭圆的标准方程是 ? 4 3
(Ⅱ)由已知 A, B, M 三点共线, 设点 A( x1 , y1 ) ,点 B( x2 , y2 ) . 若直线 AB ? x 轴,则 x1 ? x2 ? 4 ,不合题意.

………5 分 …6 分

当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) .

? y ? k ( x ? 4) 由? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12
消去 y 得, (3 ? 4k 2 ) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ?12 ? 0 .① ………8 分

由①的判别式△= 322k 4 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ?12) ? 144(1 ? 4k 2 ) ? 0 , …9 分 解得 k 2 ?
1 , 4

………10 分 ………11 分

32k 2 64k 2 ? 12 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? . 4k ? 3 4k 2 ? 3



x1 ? x2 16k 2 4 1 2 ? 2 ? ,可得 k 2 ? ,即有 k ? ? . 8 2 4k ? 3 7 4

………12 分

即所求直线方程为 y ? ?

2 ( x ? 4) . 4

………13 分

x2 y2 8、 (顺义区 2016 届高三上学期期末) 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶点 A(0, 3) , a b

离心率 e ?

1 . 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 相切于点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q . 求证:以 PQ 为直径的圆过定点 N (1, 0) .

解:(Ⅰ)由(Ⅰ)由已知



【2 分】

解得

, 所求椭圆方程为

【4 分】

(Ⅱ)

消去 得

曲线 与直线 只有一个公共点, 可得 设 , . (*) 故 ,



【8 分】

又由 ,

, , 【10 分】

, 以 为直径的圆过定点 【14 分】

9、(西城区 2016 届高三上学期期末)已知椭圆 C :
A(1, 3 ) 在椭圆 C 上,O 为坐标原点. 2

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,点 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,且 l 与圆 x2 ? y 2 ? 5 的相交于不在坐标轴 上的两点 P1 , P2 ,记直线 OP1 , OP2 的斜率分别为 k1 , k 2 ,求证: k1 ? k2 为定值. 解:由题意,得 ? 又因为点 A(1,
a 4b

c a

3 2

, a 2 ? b2 ? c 2 ,

……………… 2 分

3 ) 在椭圆 C 上, 2

所以 12 ? 32 ? 1 , 解得 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 , 所以椭圆 C 的方程为
x2 ? y2 ? 1. 4

……………… 3 分

……………… 5 分

(Ⅱ)证明:当直线 l 的斜率不存在时,由题意知 l 的方程为 x ? ?2 , 易得直线 OP1 , OP2 的斜率之积 k1 ? k2 ? ? . 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y ? kx ? m .
? y ? kx ? m, ? 由方程组 ? x 2 2 ? ? y ? 1, ?4
1 4

…………… 6 分 …………… 7 分

得 (4k 2 ? 1) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 4 ? 0 ,

……………… 8 分

因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 所以 ? ? (8km)2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m2 ? 4) ? 0 ,即 m2 ? 4k 2 ? 1 . 由方程组 ?
? y ? kx ? m, ? x ? y ? 5,
2 2

……………… 9 分 ……………… 10 分 ……………… 11 分

得 (k 2 ? 1) x2 ? 2kmx ? m2 ? 5 ? 0 ,
?2km m2 ? 5 , x1 ? x2 ? 2 , 2 k ?1 k ?1

设P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 所以 k1 ? k2 ?

y1 y2 (kx1 ? m)(kx2 ? m) k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

?

k2 ?

m2 ? 5 ?2km ? km ? 2 ? m2 2 m 2 ? 5k 2 k ?1 k ?1 ? , m2 ? 5 m2 ? 5 k2 ?1

……………… 13 分

将 m2 ? 4k 2 ? 1 代入上式,
?k 2 ? 1 1 ?? . 2 4k ? 4 4 1 综上, k1 ? k2 为定值 ? . 4

得 k1 ? k2 ?

……………… 14 分

参考答案

? c 3 , ?e ? ? a 2 ? 1 ?3 1、解:(I)由题意得 ? 2 ? 2 ? 1, 4b ?a 2 ?a ? b 2 ? c 2 . ? ?

解得 a 2 ? 4, b 2 ? 1 .

所以椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)法一:

x2 ? y 2 ? 1. 4

……………………5 分

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , M ( xM , yM ) . 将 y ? kx ? m 代入
x2 ? y 2 ? 1. 得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 , 4

? ? (8km) 2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m 2 ? 4) ? 0, x1 ? x2 ?
故 xM ?
x1 ? x2 4km ?? 2 , 2 4k ? 1

?8km , 4k 2 ? 1

yM ? kxM ? m ?

1 m y 1 .于是直线 OM 的斜率 kOM ? M ? ? ,即 kOM ? k ? ? . 2 4 4k ? 1 xM 4k
……………………13 分

1 所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 ? . 4

法二: 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , M ( xM , yM ) .则 xM ? 0, x1 ? x2 ? 0,
? x12 ? y12 ? 1 ? ( x ? x )( x ? x ) ? 4 由 ? 2 得 1 2 1 2 ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 , 4 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? ? 4



yM ( y1 ? y2 ) 1 ?? , xM ( x1 ? x2 ) 4

1 即 kOM ? k ? ? . 4
1 所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 ? . …………………13 分 4 4 8 2、解: (Ⅰ)由题意可知 a 2 ? 4 , b 2 ? ,所以 c 2 ? a 2 ? b 2 ? . 3 3

所以 e ?

c 6 6 .所以椭圆 C 的离心率为 . ? a 3 3

…………………………3 分

(Ⅱ)若切线 l 的斜率不存在,则 l : x ? ?1 . 在
x2 3 y 2 ? ? 1 中令 x ? 1 得 y ? ?1 . 4 4

??? ? ??? ? 不妨设 A(1,1), B(1, ?1) ,则 OA ? OB ? 1 ?1 ? 0 .所以 OA ? OB .
同理,当 l : x ? ?1 时,也有 OA ? OB . 若切线 l 的斜率存在,设 l : y ? kx ? m ,依题意

m k ?1
2

? 1 ,即 k 2 ? 1 ? m2 .

? y ? kx ? m 由? 2 ,得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 4 ? 0 .显然 ? ? 0 . 2 x ? 3 y ? 4 ?
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?
3m2 ? 4 6km x x ? , . 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

所以 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 .

??? ? ??? ? 所以 OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2
? (k 2 ? 1) 3m2 ? 4 6km ? km 2 ? m2 2 3k ? 1 3k ? 1

?

(k 2 ? 1)(3m2 ? 4) ? 6k 2 m2 ? (3k 2 ? 1)m2 3k 2 ? 1

4m 2 ? 4k 2 ? 4 4(k 2 ? 1) ? 4k 2 ? 4 ? ? ?0. 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

所以 OA ? OB . 综上所述,总有 OA ? OB 成立. ………………………………………………9 分

(Ⅲ)因为直线 AB 与圆 O 相切,则圆 O 半径即为 ?OAB 的高. 当 l 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知 AB ? 2 .则 S?OAB ? 1 . 当 l 的斜率存在时,由(Ⅱ)可知,

6km 2 3m2 ? 4 AB ? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? 1 ? k ? ( 2 ) ? 4 ? 2 3k ? 1 3k ? 1
2 2

2

2 1? k 2 ? ? 9k 2 m2 ? (3m2 ? 4)(3k 2 ? 1) 2 3k ? 1

?

2 1? k 2 2 1? k 2 2 2 ? 12 k ? 3 m ? 4 ? ? 12k 2 ? 3(k 2 ? 1) ? 4 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

2 1? k 2 ? ? 9k 2 ? 1 . 2 3k ? 1
所以 AB ?
2

4(1 ? k 2 )(9k 2 ? 1) 4(9k 4 ? 10k 2 ? 1) 4k 2 ? ? 4(1 ? ) (3k 2 ? 1)2 9k 4 ? 6k 2 ? 1 9k 4 ? 6k 2 ? 1
k2 16 4 16 ? 4? ? 4? ? 4 2 1 9k ? 6k ? 1 3 3 9k 2 ? 2 ? 6 k

? 4 ? 16 ?

(当且仅当 k ? ?

3 时,等号成立) . 3

所以 AB max ?

4 3 2 3 .此时, (S?OAB ) max ? . 3 3 3 2 3 时, ?OAB 面积的最大值为 .…………14 分 3 3

综上所述,当且仅当 k ? ?

3、(I)因为椭圆 C 的一个顶点为 M (0, ?1) 所以 b ? 1 因为离心率为
c 6 ? a 3 6 3

……1 分

所以

……2 分

所以 3c 2 ? 2a 2 因为 a 2 ? b 2 ? c 2 所以 a 2 ? 3 所以椭圆 C : ……3 分

x2 ? y2 ? 1 3

……4 分

(II)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
?x 2 ? 3 y 2 ? 3 由? ? y ? kx ? m

得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6kmx? 3m2 ? 3 ? 0 所以 ? ? (6km)2 ? 4(3k 2 ? 1)(3m2 ? 3) ? 0, m2 ? 3k 2 ? 1
x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ? 6km 3m2 ? 3 x x ? , 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

……1 分 ……2 分

2m . 3k 2 ? 1

因为 A, B 关于过点 M (0, ?1) 的直线对称, 所以 MA ? MB 所以 x1 ? ( y1 ? 1)2 ? x2 ? ( y2 ? 1)2 所以 ( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ? 2)( y2 ? y1 ) ? 0 所以 ( x2 ? x1 ) ? k ( y2 ? y1 ? 2) ? 0 所以 ?
6km 2m ?( 2 ? 2)k ? 0 2 3k ? 1 3k ? 1
2 2

……3 分

所以 2m ? 3k 2 ? 1 ? 1 (k ? 0) , 所以 ? ? 12m(2 ? m) ? 0
1 所以 ? m ? 2 2

……4 分 ……5 分 ……6 分
12m(2 ? m) 3k 2 ? 1

(III) AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 1 ? k 2

……1 分

A 到 l : y ? kx ? m 的距离 d ?

m ?1 k2 ?1
……2 分

S ?MAB ?

1 1 m ? 1 12m(2 ? m) AB d ? ? 2 2 2m

3 2 所以 S 2 ? (3 ? ? m 2 ) 4 m

设 f ( m) ? 3 ?

2 1 ? m2 ( ? m ? 2) m 2 2 ?0 m2

则 f ?(m) ? ?2m ?

1 ( , 2) 所以 f ( m) 在 上是减函数 2

……3 分

所以面积 S 无最大值.

……4 分

4、解:(Ⅰ)由椭圆过点 (0,2) ,则 b ? 2 . 又a?b ? 3 2 , 故a ? 2 2. 所以椭圆 C 的方程为
x2 y2 ? ? 1. 8 2

………………………………4 分
1 x? 2 , 2

(Ⅱ)① 若直线过椭圆的左顶点,则直线的方程是 l : y ?
1 ? y ? x ? 2, ? ? ? x1 ? 0, ? ? x2 ? ?2 2, ? 2 由? 2 解得 ? 或? 2 ? ? y2 ? 0. ? x ? y ?1 ? y1 ? 2, ? ? 2 ? 8

故 k1 ? ? 8分

2 ?1 , k2 ? 2

2 ?1 . 2

………………………………

② k1 ? k2 为定值,且 k1 ? k 2 ? 0 . 设直线的方程为 y ?
1 x ? m. 2

1 ? y ? x ? m, ? ? 2 由? 2 消 y ,得 x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 . 2 x y ? ? ?1 ? 2 ? 8

当 ? ? 4m 2 ? 8m 2 ? 16 ? 0 ,即 ? 2 ? m ? 2 时,直线与椭圆交于两点. 设 A( x1 , y1 ) . B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2m , x1 x2 ? 2m 2 ? 4 . 又 k1 ?

y1 ? 1 y2 ? 1 , k2 ? , x1 ? 2 x2 ? 2

故 k1 ? k 2 ? 又 y1 ?

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)(x2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)(x1 ? 2) ? ? . x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

1 1 x1 ? m , y 2 ? x 2 ? m , 2 2

1 1 所以 ( y1 ? 1)(x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)(x1 ? 2) ? ( x1 ? m ? 1)( x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)( x1 ? 2) 2 2

? x1 x2 ? (m ? 2)(x1 ? x2 ) ? 4(m ? 1) ? 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ? 0 .
故 k1 ? k 2 ? 0 . ……………………………14 分

5、解(Ⅰ)∵ F 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,
p ∴ F ( , 0) .…………1 分 2

又∵ l 与 x 轴垂直,且 MN ? 4 ,
p ∴ M ( , 2) .…………2 分 2

又∵点 M 在抛物线上, ∴4 ? 2p? ∴ p?2, ∴求抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4x .……………5 分 (Ⅱ)结论: k1 ? k2 ? 0 ,为定值. 设直线 l 与抛物线交于不同两点 M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) , ①当直线 l 斜率不存在时,知直线 PM 与 PN 关于 x 轴对称, ∴ k1 ? k2 ? 0 . ②当直线 l 斜率存在时,直线 l 的方程设为 y ? k ( x ? 1) ,
p ? p2 , 2

? y ? k ( x ? 1) 联立 ? 2 ,得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 , ? y ? 4x
2k 2 ? 4 ∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 1 . k2

又∵ k1 ?

y1 y , k2 ? 2 , x1 ? 1 x2 ? 1

且 y1 ? k ( x1 ?1) , y2 ? k ( x2 ?1) , ∴ k1 ? k2 ?
y1 y ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1

?

y1 ( x2 ? 1) ? y2 ( x1 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

?

k ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? k ( x2 ? 1)( x1 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 2k ( x1 x2 ? 1) . x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

?

∵ x1 x2 ? 1 , ∴ k1 ? k2 ? 0 . 综上所述 k1 ? k2 ? 0 . 6、解:(Ⅰ) 因为椭圆 W 的左顶点 A 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 16 上,所以 a ? 4 . ………………………….1 分 又离心率为
3 c 3 ,所以 e ? ? ,所以 c ? 2 3 , 2 a 2

……………………14 分

………………………….2 分

所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 , 所以 W 的方程为 (Ⅱ)(i)
x2 y2 ? ? 1. 16 4

…………………………….3 分 …………………………….4 分

法一:设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,显然直线 AP 存在斜率, 设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,
? y ? k ( x ? 4) ? , 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 ? 16 ? 4 ? 1 ?

………………………….5 分

化简得到 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 16 ? 0 ,

………………………….6 分
x1 ? ( ?4) ? ?32k 2 1 ? 4k 2

因 为 ?4 为 上 面 方 程 的 一 个 根 , 所 以
x1 ? 4? 1 k2 6 .…………………………….7 分 1 ? 4k 2
8 2 , 5

, 所 以

由 | AP |? 1 ? k 2 | x1 ? ( ?4) |?

…………………………….8 分 ……………………….9 分

2 代入得到 | AP |? 8 1 ? k2 ? 8 2 ,解得 k ? ?1 ,

1 ? 4k

5

所以直线 AP 的斜率为 1, ?1 . (ii)因为圆心到直线 AP 的距离为 d ?
| 4k | k2 ?1



…….10 分

2 所以 | AQ |? 2 16 ? d ? 2

16 8 ? . 1? k2 1? k2

…………………………….11 分

因为

| PQ | | AQ | ? | AP | | AQ | ? ? ?1, | AP | | AP | | AP |

…………………………….12 分

代入得到
8
2 | PQ | 1 ? 4k 2 3k 2 3 ? 1? k ?1 ? ? 1 ? ? 3? . 2 2 2 | AP | 8 1 ? k 1? k 1? k 1? k2 1 ? 4k 2

…………………………….13 分

显然 3 ?

| PQ | 3 ? 3. ? 3 ,所以不存在直线 AP ,使得 2 | AP | 1? k

…………….14 分

法二:(i)设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,显然直线 AP 存在斜率且不为 0 , 设直线 AP 的方程为 x ? my ? 4 ,
? x ? my ? 4 ? , 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 ? 16 ? 4 ? 1 ?

………………………….5 分

化简得到 (m2 ? 4) y 2 ? 8my ? 0 , 显
y1 ?

…………………………….6 分 程 的 一 个 根 , 所 以 另 一 个 根 , 即



?4







8m , m2 ? 4

…………………………….7 分

8 2 …………………………….8 分 , 5 8|m| 8 2 ……………………….9 分 ? 代入得到 | AP |? 1 ? m 2 2 ,解得 m ? ?1 . m ?4 5

由 | AP |? 1 ? m 2 | y1 ? 0 |?

所以直线 AP 的斜率为 1, ?1 (ii)因为圆心到直线 AP 的距离为 d ?
|4| 1 ? m2



…………………………….10 分

所以 | AQ |? 2 16 ? d 2 ? 2

16m2 8|m| . ? 2 1? m 1 ? m2

…………………………….11 分

因为

| PQ | | AQ | ? | AP | | AQ | ? ? ?1, | AP | | AP | | AP |

…………………………….12 分

代入得到

8|m| | PQ | m2 ? 4 3 1 ? m2 ? ?1 ? ?1 ? . 2 2 8 | m | | AP | 1 ? m 1 ? m 2 1? m 2 m ?4

…………………………….13 分



3 ? 3 ,则 m ? 0 ,与直线 AP 存在斜率矛盾, 1 ? m2
| PQ | ? 3. | AP |

所以不存在直线 AP ,使得

…………………………….14 分 ………3 分 ………4 分

7、解:(Ⅰ)由条件可知, c ? 1, a ? 2 ,故 b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,

x2 y 2 ? 1. 椭圆的标准方程是 ? 4 3
(Ⅱ)由已知 A, B, M 三点共线, 设点 A( x1 , y1 ) ,点 B( x2 , y2 ) . 若直线 AB ? x 轴,则 x1 ? x2 ? 4 ,不合题意.

………5 分 …6 分

当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) .

? y ? k ( x ? 4) 由? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12
消去 y 得, (3 ? 4k 2 ) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ?12 ? 0 .① ………8 分

由①的判别式△= 322k 4 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ?12) ? 144(1 ? 4k 2 ) ? 0 , …9 分 解得 k 2 ?
1 , 4

………10 分 ………11 分

32k 2 64k 2 ? 12 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? . 4k ? 3 4k 2 ? 3



x1 ? x2 16k 2 4 1 2 ? 2 ? ,可得 k 2 ? ,即有 k ? ? . 8 2 4k ? 3 7 4

………12 分

即所求直线方程为 y ? ?

2 ( x ? 4) . 4

………13 分

8、解:(Ⅰ)由(Ⅰ)由已知



【2 分】

解得

, 所求椭圆方程为

【4 分】

(Ⅱ)

消去 得

曲线 与直线 只有一个公共点, 可得 设 , . (*) 故 ,



【8 分】

又由 ,

, , 【10 分】

, 以 为直径的圆过定点
c a 3 2

【14 分】 , a 2 ? b2 ? c 2 , ……………… 2 分

9、(Ⅰ)解:由题意,得 ? 又因为点 A(1,
a 4b

3 ) 在椭圆 C 上, 2

所以 12 ? 32 ? 1 , 解得 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 , 所以椭圆 C 的方程为
x2 ? y2 ? 1. 4

……………… 3 分

……………… 5 分

(Ⅱ)证明:当直线 l 的斜率不存在时,由题意知 l 的方程为 x ? ?2 , 易得直线 OP1 , OP2 的斜率之积 k1 ? k2 ? ? . 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y ? kx ? m .
1 4

…………… 6 分 …………… 7 分

? y ? kx ? m, ? 由方程组 ? x 2 2 ? ? y ? 1, ?4

得 (4k 2 ? 1) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 4 ? 0 ,

……………… 8 分

因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 所以 ? ? (8km)2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m2 ? 4) ? 0 ,即 m2 ? 4k 2 ? 1 . 由方程组 ?
? y ? kx ? m, ? x ? y ? 5,
2 2

……………… 9 分 ……………… 10 分 ……………… 11 分

得 (k 2 ? 1) x2 ? 2kmx ? m2 ? 5 ? 0 ,
?2km m2 ? 5 , x1 ? x2 ? 2 , 2 k ?1 k ?1

设P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 所以 k1 ? k2 ?

y1 y2 (kx1 ? m)(kx2 ? m) k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

?

k2 ?

m2 ? 5 ?2km ? km ? 2 ? m2 2 m 2 ? 5k 2 k ?1 k ?1 ? , 2 m ?5 m2 ? 5 k2 ?1

……………… 13 分

将 m2 ? 4k 2 ? 1 代入上式,
?k 2 ? 1 1 ?? . 2 4k ? 4 4 1 综上, k1 ? k2 为定值 ? . 4

得 k1 ? k2 ?

……………… 14 分



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