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2016年安徽电子信息职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 年安徽电子信息职业技术学院单招数学模拟试题(附答 案)
一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,有且只有一项是符合题目要求的) 1设全集 U ? {0,1, 2, 3, 4} ,集合 A ? ?1, 2, 3? , B ? ?2, 3, 4? ,则 A ? ?

? B ? ( A )

?1?

B

?0, 1?

C

?0, 1, 2, 3?

D ?0,1, 2, 3, 4?

2已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 3(an ?1) 则 a1 等于 ( A
? 1 2

) B
1 2

C ?

3 2

D

3 2

3不等式 ( A )

1? x ? 0 的解集是 x?3

?x | x ? 3?
?


B

?x | x ? 3或x ? 1? C ?x |1 ? x ? 3?
? ? ? ? ?

D ?x |1 ? x ? 3?

4给定两个向量 a ? (1, 2) , b ? ( x, 1) ,若 (a ? 2b) 与 (2a ? 2b) 平行,则 x 的值等于 ( A 1

B 2

C

1 3

D

1 2

5对于数列 ?an ? ,“对任意 n ? N * ,点 P ? n , an ? 都在直线 y ? 2 x ? 1 上”是“ ?an ? 为等差 数列”的 A 充分不必要条件 C 充要条件 B 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 ( )

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6已知抛物线 x2 ? 4 y ,则它的焦点坐标是 A ? 0, ? 7若 y = ( D ? 0, 1? ( ) )

? 1? ? 16 ?

B ?

?1 ? , 0? ? 16 ?

C

0? ?1,

1 x + b 与 y = ax + 3 互为反函数,则 a + b= 5 2 A -2 B 2 C4 D -10 5 8若要得到函数 y=sin(2x- A 向右平移
? 个单位 8 ? 个单位 4 ? )的图像,可以把函数 y=sin2x 的图像 4

(

)

B 向左平移 D 向右平移

? 个单位 8 ? 个单位 4

C 向左平移

1 x 9函数 f ( x) ? ? cos2 wx (w ? 0) 的周期与函数 g ( x) ? tan 的周期相等,则 w 等于 3 2 ( )

A 2

B 1

C

1 2

D

1 4

10函数 f(? ) = A 最大值

sin?-1 cos?-2

的最大值和最小值分别是 B 最大值不存在和最小值 3 4





4 和最小值 0 3

4 C 最大值 - 和最小值 0 3 11函数 f ( x)=ax 3 +bx 在 x= A 3

3 D 最大值不存在和最小值- 4

1 处有极值,则 ab 的值为 a
C 0 D 1
n?1

(

)

B -3

12已知数列 {an } 前 n 项和为 Sn ? 1 ? 5 ? 9 ?13?17 ? 21? ?? (?1) 则 S15 ? S22 ? S31 的值是 A 13 B-76 C 46 ( D 76

(4n ? 3) ,



第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

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二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上) 13 已知 | a |=1,| b |= 2 ,若 a // b 且 a 与 b 同向,则 a · b ____________. 14 已知 a 为实数, (a ? x)8 展开式中 x5 的系数为 ?7 ,则 a =____________. 15 在 ?ABC 中, AB ? 1 BC ? 2 , CA ? 5 ,则 AB ? BC ? BC ?CA ? CA ? AB ? _______. 16 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 3Sn (n ? 1) ,则数列{an}的通项公式

?

?

?

?

?

?

? ?

??? ? ??? ? ???? ???? ? ??? ? ??? ?

n ?1 ? 1 an ? ? ? ______ n ? 2
三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 17 (本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 中, a2 ? 2 , a5 ? 128 . (I) 求通项 an ; (II) 若 bn ? log 2 an , ?bn ? 数列的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 360 ,求 n 的值.

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18 (本小题满分 12 分) 从 10 个元件中(其中 4 个相同的甲品牌元件和 6 个相同的乙品牌元件)随机选出 3 个 参加某种性能测试 过测试的概率均为
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每个甲品牌元件能通过测试的概率均为

4 ,每个乙品牌元件能通 5

3 5

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试求:

(I)选出的 3 个元件中,至少有一个甲品牌元件的概率; (II)若选出的三个元件均为乙品牌元件,现对它们进行性能测试,求至少有两个乙品 牌元件同时通过测试的概率
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19 (本小题满分 12 分) 已知向量 m =(sinB,1-cosB),且与向量 n =(2,0)的夹角为

??

?

? ,其中 A, B, C 是 3

? ABC 的内角.
(I)求角B的大小;(II)求 sinA+sinC 的取值范围.

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20 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1)(a ? 1) ,若函数 y ? g ( x) 图象上任意一点 P 关于原点的对 称点 Q 的轨迹恰好是函数 f ( x) 的图象 (1)写出函数 g ( x) 的解析式; (2)当 x ? [0,1) 时,总有 f ( x) ? g ( x) ? m 成立,求实数 m 的取值范围
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21 (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方体,PD=CD=2,E、 F 分别是 AB、PB 的中点 (1)求证:EF⊥CD; (2)求 DB 与平面 DEF 所成角的大小; (3)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的结论
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22 (本小题满分 14 分) 设 ? ? (0, ) ,函数 f ( x) 的定义域为 [0,1] ,且 f (0) ? 0, f (1) ? 1 ,对定义域内任意的 2 x? y x, y ,满足 f ( ) ? f ( x) sin? ? (1 ? sin? ) f ( y) , 2

?

1 1 求:(1) f ( ) 及 f ( ) 的值; (2)函数 g ( x) ? sin(? ? 2 x) 的单调递增区间; 2 4
(3) n ? N 时, an ?

1 ,求 f (a n ) ,并猜测 x ? [0,1] 时, f ( x) 的表达式 2n

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参考答案
选择题(每小题 5 分,共计 60 分) ADDDA DCACA BB

二、填空题(每小题 4 分,共计 16 分) 13.

2

14. ?

1 2

15. -5

4n ? 2 16. 3?

三、解答题(本题共 6 小题,共计 74 分)
a 17 解:(Ⅰ) 设等比数列 ? n ? 的公比为 q ,则
? ?a2 ? a1q ? 2, ? 4 ? ?a5 ? a1q ? 128. ………………………………………………………………2 分

解之得

1 ? ?a1 ? , 2 ? ? ?q ? 4.

.………………………………………………………………4 分

1 an ? a1qn?1 ? ? 4n?1 ? 22n?3 2 ∴ .………………………………………………6 分

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2 n ?3 ? 2n ? 3 .……………………………………………8 分 (Ⅱ) bn ? log2 an ? log2 2

∵ bn?1 ? bn ? [2(n ? 1) ? 3] ? (2n ? 3) ? 2 ,
b ∴ ? n ? 是首项为 ?1 ,公差为 2 的等差数列.



Sn ?

n(?1 ? 2n ? 3) ? 360 2 .…………………………………………………10 分

2 ∴ n ? 2n ? 360 ? 0 ,∴ n ? 20 或 n ? ?18 (舍去).…………………………………12 分

18.解:(Ⅰ)随机选出的 3 个元件中,至少有一个甲品牌元件的概率为 1-
3 C6 5 ? ;………………6 分 3 C10 6

(Ⅱ)至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率为

3 3 3 81 3 C 32 ? ( ) 2 ? (1 ? ) ? C 3 ? ( )3 = ;………………12 分 5 5 5 125
答:略
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19.解:(1)∵ m =(sinB,1-cosB) , 且与向量 n ? (2,0)所成角为 ∴

? , 3

1 ? cos B ? 3, ……………………………………………………………………3’ sin B B B ? 2 ? ? 3又0 ? ? ? ? ? ? ,即B ? ? , A ? C ? , ……………………6’ 2 2 3 3 3

∴tan

第一问:另解:∵ m ? (sin B,1 ? cos B) , 且与向量 n ? (1,0) 所成角为 ∴

??

?

? , 3

sin B 2 ? 2cos B

?

1 ,……………………………………………………………3’ 2
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∴ cos

B 1 B ? 2 ? ? ,又 0 ? ? ? ? ,∴ ? ,即 B ? ? , A ? C ? 2 2 2 3 3 3

………………6’

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? 1 3 ? cos A ? sin(A ? ) (2):由(1)可得∴ sin A ? sin C ? sin A ? sin( ? A) ? sin A ?
3 2 2 3

………………………………………………8’ ∵0? A? ∴

?
3

?
3

? A?

?
3

?

2? ……………………………………………………………………10’ 3

? 3 ? ? ? 3 ? ∴ sin(A ? ) ? ? , 1? , ? sin A ? sin C ? ? , 1? ? 2 3 ? ? ? ? 2 ? ? ?

当且仅当 A ? C ?

?
6

时, sin A ? sin C ? 1 …………………………………………12’

20.解:(1)设 P ( x, y ) ,则 Q(? x, ? y )

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∵ Q(? x, ? y ) 在函数 y ? loga ( x ? 1) 的图象上 ∴ ? y ? loga (? x ? 1) ,即 y ? ? loga (1 ? x) ,

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这就是说, g ( x) ? ? loga (1 ? x). …………………………………4 分 (2)当 x ? [0,1) , F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? loga ( x ? 1) ? loga (1 ? x)

? log a

1? x (a ? 1) 1? x

…………………6 分

由题意知,只要 m ? (log a ∵ F ( x) ? log a

1? x ) min 1? x

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1? x 2 ? log a (?1 ? ) 在 [0,1) 上是增函数 1? x 1? x
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∴ F ( x)min ? F (0) ? 0 ,故 m ? 0 即为所求 21、(满分 12 分)

…………………12 分

如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方体,PD=CD,E、 F 分别是 AB、PB 的中点 (1)求证:EF⊥CD;
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(2)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的结论; (3)求 DB 与平面 DEF 所成角的大小 解:以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图), 则 D(0,0,0)、A(2,0,0)、 B(2,2,0)、C(0,2,0)、 E(2,1,0)、F(1,1,1)、 P(0,0,2)…………2 分
??? ? ???? (1) EF ? DC ? (?1,0,1) ? (0,2,0) ? 0

∴EF⊥DC …………4 分
? (2)设平面 DEF 的法向量为 n ? ( x, y, z)

? ???? ? ?( x, y, z ) ? (1,1,1) ? 0 ?n ? DF ? 0 由 ? ? ???? ,得? ?( x, y, z ) ? (2,1,0) ? 0 ? ?n ? DE ? 0

即?

?( x ? y ? z ) ? 0 取x ? 1, 则y ? ?2, z ? 1 ?2 x ? y ? 0

? ∴ n ? (1, ?2,1) …………………………………………6 分
??? ? ? ??? ? ? BD ? n 2 3 ? ? ? cos ? BD, n ?? ??? ? 6 | BD || n | 2 2 ? 6

∴ DB 与平面 DEF 所成角大小 为
?
2 ? ar cos 3 3 (即 arcsin ) …………………………8 分 6 6
??? ? FG ? ( x ? 1, ?1, z ? 1)

(3)设 G(x,0,z),则 G∈平面 PAD

??? ? ??? ? FG ? CB ? ( x ? 1, ?1, z ? 1) ? (2,0,0) ? 2( x ? 1) ? 0, x ? 1
??? ? ??? ? FG ? CP ? ( x ? 1, ?1, z ? 1) ? (0, ?2,2) ? 2 ? 2( z ? 1) ? 0, z ? 0

∴G 点坐标为(1,0,0),

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即 G 点为 AD 的中点
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…………………………………12 分

1?0 1 22 解:(1) f ( 2 ) ? f ( 2 ) ? f (1) sin ? ? (1 ? sin ? ) f (0) ? sin ? ,
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1 ?0 1 1 f( )? f(2 ) ? f ( ) sin a ? (1 ? sin a ) f (0) ? sin 2 a , 4 2 2

1? 2 3 1 f( )? f( ) ? f (1) sin ? ? (1 ? sin ? ) f ( ) ? 2 sin ? ? sin 2 ? , 4 2 2
3 ? 1 f( )? f(4 2 2 1 4

1

3 1 ) ? f ( ) sin ? ? (1 ? sin ? ) f ( ) ? 3 sin 2 ? ? 2 sin 3 ? , 4 4
1 2

? sin ? ? (3 ? 2 sin ? ) sin 2 ? ,? sin ? ? 0或 sin ? ? 1或 sin ? ?



?? ? (0, ? ),?? ? ? ,因此, f ( 1 )? 2 6 2
第一问:另解:

1 2

, f (1 )? 4

1 4

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0 ) ? f (1) sin ? ? (1 ? sin ? ) f (0) ? sin ? f (1 ) ? f ( 1? , 2 2
1 ?0 1 1 f( )? f(2 ) ? f ( ) sin a ? (1 ? sin a ) f (0) ? sin 2 a 4 2 2

1 0? 1 2 ) ? f (0)sin a ? (1 ? sin a ) f ( 1 ) ? sin a (1 ? sin a ) 又 f( )? f( 4 2 2
p 1 1 1 1 ? sin 2 a ? sin a (1 ? sin a ) ? a ? (0, p 2 ),?a ? 6 因此, f ( 2 ) ? 2 , f ( 4 ) ? 4

? 5? (2) g ( x) ? sin( 6 ? 2 x) ? sin( 2 x ? 6 ) ,

? , k? ? ? ](k ? Z ) ? g ( x ) 的增区间为 [k? ? 2 3 6

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(3)? n ? N , a n ?

1 , 2n

1 ?0 n ?1 1 1 1 1 )? f ( n ?1 ) ? f (an ?1)(n ? N ) , 所以 f (an ) ? f ( n ) ? f ( 2 2 2 2 2 2

因此

f ( a n ) 是首项为 f (a1 ) ?

1 2

1 1 1 ,公比为 的等比数列,故 f (a n ) ? f ( n ) ? n , 2 2 2

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猜测 f ( x ) ? x
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