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1.3.1.1 函数的单调性2


1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小) 值
第2课时 函数的单调性

教 学 目 标

知识与技能

(1)理解函数单调性的定义、明 确增函数、减函数的图象特征. (2)能利用函数图象划分函数的 单调区间,并能利用定义进行证明
由一元一次函数、一元二次函数的图象,让学生从

过程与方法

图象获得“上升”“下降”的整体认识. 利用函数对应 的表格,用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最 后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义, 从而构造函数单调性的概念

情感态度 与价值观
主讲:杜贤中

在形与数的结合中感知数学的 内在美,在图形语言、自然语 言、数学语言的转化中感知数 学的严谨美.

重 点 与 难 点

教学重点:理解增函数、减函数的概念

教学难点:单调性概念的形成与应用

主讲:杜贤中

【教学方法】

?教法:自学辅导法、讨论法、讲授法

?学法:归纳—讨论—练习
【教学手段】

多媒体电脑与投影仪

教学过程:
主讲:杜贤中

1.通过直观的函数图象变化趋势,理解函数的单调性; 2.理解函数的单调性的定义、知道什么是单调函数; 3.会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性。

主讲:杜贤中

复习
如何用x与f(x)来描述上升的图象? x1 y f(x 1 )
O 主讲:杜贤中

x2 在给定区间上任取x1, x2 y = f(x ) x1<x2 ? f(x1)<f(x2) f(x2) 函数f (x)在给定 区间上为增函数.

x

如何用x与f(x)来描述下降的图象? 在给定区间上任取x1, x2

y

y = f(x ) f(x1)

f(x 2 ) x x2

x1<x2 ? f(x1)>f(x2) 函数f (x)在给定 区间上为减函数.

O 主讲:杜贤中

x1

函数是单调性的定义

一般地,设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的 值 x1,x 2 ,当 x1 ? x 2 时,都有 f (x1 ) ? f (x 2 ) ,那么就说函数
f (x)

在区间D上是增函数.

主讲:杜贤中

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的 值 x1,x 2 ,当 x1 ? x 2 时,都有 f (x1 ) ? f (x 2 ),那么就说函数
f (x)

在区间D上是减函数.

如果函数 y ? f (x) 在区间D上是增函数或减函数,那么 就说函数 y ? f (x) 在这一区间具有(严格的)单调性,区

间D叫做 y ? f (x)的单调区间.

主讲:杜贤中

对函数单调性的理解
第一、在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性,

即必须是f(x1)<f(x2) (或f(x1)>f(x2)),而不能是
f(x1)≤f(x2) (或f(x1)≥f(x2));

第二、函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的,
是局部概念;

第三、学习函数的单调性,要注意定义中条件和结论是
双向使用的.

主讲:杜贤中

利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤: ①取值:即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2; ②作差变形:即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并用 因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差 的符号的方向变形;

③定号:确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当
符号不确定时,可进行分类讨论; ④判断:根据定义作出结论.

主讲:杜贤中

作业评讲

典型例题

主讲:杜贤中

例1

证明函数 y ? x ? 2 在区间 [?2, ??) 是增函数。

证明:任取 x1 , x2 ?[?2, ??) ,且 x1 则
?

? x2



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? 2 ? x2 ? 2
x1 ? 2 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2 . x1 ? 2 ? x2 ? 2

( x1 ? 2 ? x2 ? 2)( x1 ? 2 ? x2 ? 2)

因为 x1 ? x2

? 0, x1 ? 2 ? x2 ? 2 ? 0





f ( x1 ) ? f ( x2 )

所以函数 f ( x) ? x ? 2 在上 [?2, ??) 是增函数. 主讲:杜贤中

例2

a 讨论函数f(x)=x+ (a>0)的单调性. x

分析
注意到该函数解析式 的结构特点是“增函数 + 减函数”的形式,不能 直接确定增减性,需一 边分析、讨论,一边论 证,所以可考虑使用函 数单调性的定义的办法来判断.
主讲:杜贤中

定义法. 由于函数的定义域为 {x|x∈R 且 x≠0}, 且 f(-x)=-f(x),所以函数 f(x)为奇函数,因 此可先讨论f(x)在(0,+∞)上的单调性.

设0<x1<x2,

a 则f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- a x1 x2 a =(x1-x2)(1). x1 x2

当0<x1<x2≤
主讲:杜贤中

a 时,恒有

a >1, x1 x2

思考1:下列图象表示的函数是增函数吗?
y y

o 图1

x

o 图2

x

( x) ?x | x| 思考2:函数 fy=

在R上具有单调性吗?其单调区间如何?
主讲:杜贤中

此时f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以f(x)在(0, a]上是减函数. 当 a≤x1<x2时,恒有0< 此时f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在[ a ,+∞)上是增函数. 因为f(x)为奇函数,所以f(x)在(-∞,- a ]和 [ a ,+∞)上是增函数,在[- a ,0)和 (0, a]上是减函数.
主讲:杜贤中

a <1, x1 x 2

1.函数单调性的定义,定量地刻画了函数的单调 性,使用定义证明函数的单调性的基本步骤是: ?(1)取值; (2)作差变形; ?(3)定号; (4)作出判断。 2.我们熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反 比例函数的单调性要熟练掌握。

主讲:杜贤中

课后作业
1.作业:P.39:
习题1.3 3;4

2.阅读教材P.27

-P.30;

主讲:杜贤中

教 后 反 思

本节课主要是学生自学,然后老师指 导,让学生自己总结归纳,得出结论。 让学生能独立完成术后的练习及习题, 也是我们这节课的主要目的,学生能自 主完成,且自学效果好。

主讲:杜贤中


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