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吉林省延边州2014届高三下学期质量检测数学(文)试题Word版含答案


延边州 2014 年高考复习质量检测

文科数学
数学(文)试题头说明
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 3 页,第 II 卷 4 至 6 页, 共 150 分。其中第 II 卷第 22—24 题为选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案写在答题卡上, 在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项:
1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、 准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题 答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题前,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷

(选择题,共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有 一项
是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上。 1.已知集合 A ? ?0,1,2,3? , 集合 B ? x x ? 2a, a ? A , 则 A ? B ? A. {0} B. {2} C. {0,2} D. {0,1,2,3}

?

?

2.设 z = 1 – i(i 是虚数单位) ,则复数 A.1 3.― ? ? B.-1

2 的虚部是 z
D. - i

C. i

? 3 ‖是― sin ? ? ‖的 2 3

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. a, b, c 表示不同直线,M 表示平面,给出四个命题:①若 a ∥M,b ∥M,则 a ∥ b 或 a, b 相交或 a, b 异面; ②若 b ? M,a ∥ b , 则 a ∥M; ③ a ⊥ c ,b ⊥ c , 则a ∥b ; ④ a ⊥M,

b ⊥M,则 a ∥ b ,其中正确命题为 A.①④ B.②③ C.③④

D.①②

1

5. 读右侧程序框图,该程序运行后输出的 A 值为

开始 A=

3 4 4 B. 5 5 C. 6 6 D. 7
A. 6.计算 sin150 sin750 ? cos 150 cos 750 ?

1 ,i=1 2


fi≤4? 是 1 A= 2?A i=i+1

输出 A 结束

A.

3 2

B.

1 2

C.

1? 3 2

D.

3 ?1 2

7.已知双曲线 程为 A. y ? ?

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点在圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 5 ? 0 上,则双曲线的渐近线方 9 m

3 x 4

B. y ? ?

4 x 3

C. y ? ?

2 2 x 3

D. y ? ?

3 2 x 4

8.设函数 f ( x) ? sin(2x ?

? ) ,则下列结论正确的是 3 ? ? A. f (x) 的图像关于直线 x ? 对称 B. f (x) 的图像关于点 ( ,0) 对称 3 4 ? ? C. f (x) 的最小正周期为 D. f (x) 在 [0, ] 上为增函数 2 12

9.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 BB1 的中点(如图 1) ,用过点 A,E,C1 的平面 截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为 A. B.
D A B

C

E

C.

D.
A1 D1 C1

B1

图1 10.已知正数 a, b 满足 4a+b=30,使得 A.(5,10) B.(6,6)

1 1 ? 取最小值的实数对(a, b)是 a b
C.(10,5) D.(7,2)

11.已知偶函数 f (x) 在区间 [0,? ?) 上满足 f ?( x) ? 0 ,则满足 f ( x 2 ? 2x) ? f ( x) 的 x 的取值范
2

围是 A. ( ?3,1)

B. (? ?,?3) ? (3,? ?)

C. (?3,3)

D. (1,3)

12. 关于 x 的方程 ex-1-|kx|=0(其中 e=2.71828…是自然对数的底数)的有三个不同实根, 则 k 的取值范围是 A.{-2,0,2} B. (1,+∞) C.{k | k>e} D.{k | k2>1}

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分, 第 13 题-21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答, 第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上。
?x ? y ? 5 ? 0 ? 设 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 0 , 则 目 标 函 数 z=2y - x 的 最 小 值 ?x ? 3 ? 0 ?

13.

为 . 14. 已知向量 a ? (1,2), b ? (x,1), u ? a ? 2b, v ? 2a ? b ,且 u ∥ v ,则实数 x 的值是 15. 设△ ABC 的三个内角 A、B、C 所对的三边分别为 a, b, c,若△ ABC 的面积为 S = a2-(b-c)2,则 16. 给出下列命题:



sin A = 1 ? coaA

.

1 ① 抛物线 x ? ? y 2 的准线方程是 x ? 1 ; 4 ② 在进制计算中, 100( 2) ? 11( 3)
③ 命题 p :― ?x ? (0,? ?), sin x ?

1 ? 2 ‖是真命题; sin x

? ? 3 ? 2x ,当变量 x 增加 2 个单位,其预报值平均增加 4 个单 ④ 已知线性回归方程 y
位; ⑤ 设函数 f ( x) ?

? 2014x?1 ? 2013 ? ? ??? ? 2014 sin x? x ? ?? , ? ? ? ? 的最大值为 M,最小值为 x 2014 ? 1 ? 2 2?? ?
个。

m,则 M+m=4027,其中正确命题的个数是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列,a1 = 2 且 a2 , a3 , a4+1 成等比数列。
3

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 b n ?

2 ,求数列 {b n } 的前 n 项和 Sn n( a n ? 2 )

18. (本小题满分 12 分) 某单位 N 名员工参加―社区低碳你我他‖活动, 他 们的年龄在 25 岁至 50 岁之间。按年龄分组:第 1 组

[25,30) ,第 2 组 [30,35) ,第 3 组 [35, 40) ,第 4 组
第 5 组 [45,50] , 由统计的数据得到的频率 [40, 45) , 分布直方图如图 2 所示,下表是年龄的频率分布表。 区间 人数 图2

[25,30)

[30,35)
a

[35, 40)
b

[40, 45)

[45,50]

25

(Ⅰ)求正整数 a,b,N 的值; (II)现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,则年龄在第 1, 2,3 组中抽取的人数分别是多少? (III)在(II)的条件下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求恰有 1 人在第 3 组的概率。

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90° , ∠BAC=∠CAD=60° ,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点, PA = 2AB = 2。 (Ⅰ) 求证:CE∥平面 PAB; ( II ) 求四面体 PACE 的体积.

P

E A B C D

4

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 5 ,离心率 e ? ,直线 l 交椭 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点为 B(0,4) 2 5 a b

圆于 M,N 两点。 (Ⅰ) 若直线 l 的方程为 y ? x ? 4 ,求弦 MN 的长; (II)如果△ BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F,求直线 l 方程的一般式。

21.(本小题满分 12 分)

1 已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? aex 。 2 (Ⅰ) 若 a ? 1 ,求 f (x) 在 x ? 1 处的切线方程; (II)若 f (x) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围。

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答 时必须用 2B 铅笔将选作题目对应题号后面的方框图涂满、涂黑,请勿多涂、漏涂。 22.(本小题满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》 如图,PA 为⊙O 的切线,A 为切点,PBC 是过点 O 的割线,PA=10,PB=5。 求: (I)⊙O 的半径; (II)sin∠BAP 的值。
A

C

O

B P

23. (本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中 x 轴的正半轴重

? x ? 1 ? 2 cos ? 合,且两坐标系有相同的长度单位,圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,点 ? y ? ?1 ? 2 sin?

5

7 Q 的极坐标为 ( 2 2 , ?) 。 4 (Ⅰ)化圆 C 的参数方程为极坐标方程; (II)若直线 l 过点 Q 且与圆 C 交于 M,N 两点,求当弦 MN 的长度为最小时,直线 l 的直角坐标方程。

24.(本小题满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? 5 , g( x) ? x ? 2 ? 2 。 (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (II)若不等式 f (x) ? g(x) ? m ? 3 有解,求实数 m 的取值范围。

6

2014 年高三质量检测数学文科试题参考答案及评分标准
一. 选择题 1—12:CABAC 二. 填空题 13. —9; 14. BBDCA DD

1 ; 2

15.

4;

16.

4

三.解答题:解答题的解法不唯一,请阅卷教师参考评分标准酌情给分! 17.解:(Ⅰ)设数列 {a n } 的公差为 d , 由 a1 ? 2 和 a 2 , a3 , a 4 ? 1 成等比数列,得 (2 ? 2d ) ? (2 ? d )(3 ? 3d )
2

解得 d ? ?1 或 d ? 2

……………………… 2 分

当 d ? ?1 时, a3 ? 0 ,这与 a 2 , a3 , a 4 ? 1 成等比数列矛盾舍去 所以 d ? 2 ………………………4 分

∴ a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n 。即数列 {a n } 的通项公式为 a n ? 2n, (n ? N *) 6 分 (Ⅱ) bn ?

2 2 1 ? ? n(a n ? 2) n(2n ? 2) n(n ? 1)

……………………… 7 分

?

1 1 ? n n ?1

……………………… 9 分

∴ S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn

1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 1 n ? 1? ? n ?1 n ?1

………………… 11 分

………………………12 分 18.解:(Ⅰ)由频率分布直方图可知, [25,30) 与 [30,35) 两组的人数相同, 所以 a ? 25 人. 且 b ? 25 ? ………………………………1 分

0.08 ? 100 人. ……………………………2 分 0.02 25 总人数 N ? ………………………3 分 ? 250 人. 0.02 ? 5
(Ⅱ)因为第 1,2,3 组共有 25+25+100=150 人,利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6 人, 每组抽取的人数分别为:

25 ? 1, 150 25 第 2 组的人数为 6 ? ? 1, 150
第 1 组的人数为 6 ?

……………………………4 分 ……………………………5 分

7

第 3 组的人数为 6 ?

100 ? 4, 150

……………………………6 分

所以第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人.…………………………7 分 (3) 由 (2) 可设第 1 组的 1 人为 A , 第 2 组的 1 人为 B , 第 3 组的 4 人分别为 C1 , C2 , C3 , C4 , 则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果为: ,( A ,C1 ) ,( A ,C2 ) ,( A ,C3 ) ,( A ,C4 ) ,( B ,C1 ) ,( B ,C2 ) ,( B ,C3 ) ,( B ,C4 ) , ( A ,B )

(C1 , C2 ) , (C1 , C3 ) , (C1 , C4 ) , (C2 , C3 ) , (C2 , C4 ) , (C3 , C4 ) , 共有 15 种. ……………………………9 分
其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为: ( A, C1 ) , ( A, C2 ) , ( A, C3 ) , ( A, C4 ) , ( B, C1 ) , ( B, C2 ) , ( B, C3 ) , ( B, C4 ) , 共有 8 种. ……………………………11 分

8 所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为 .………………………………12 分 15
19.解:(Ⅰ)法一: 则 EM//PA 取 AD 得中点 M,连接 EM,CM. ……………………………1 分
P

因为 EM ? 平面PAB, PA ? 平面PAB,
E

所以, EM / /平面PAB

……………………… 2 分
A D B C M

在 Rt? ACD 中, ?CAD ? 60?, CM ? AM 所以, ?ACM ? 60? 而 ?BAC ? 60? ,所以,MC//AB. ……………………… 3 分 因为 MC ? 平面PAB, AB ? 平面PAB,

P

所以, MC / /平面PAB 又因为 EM ? MC ? M 所以, 平面EMC / /平面PAB

……………………… 4 分
E

A D B C

因为 EC ? 平面EMC, 所以,EC / /平面PAB …… 6 分 法二: 延长 DC,AB,交于 N 点,连接 PN. ……1 分
N

因为 ?NAC ? ?DAC ? 60?, AC ? CD 所以,C 为 ND 的中点. 因为 E 为 PD 的中点,所以,EC//PN 因为 EC ? 平面PAB, PN ? 平面PAB,

………………………3 分

所以,EC / /平面PAB

………………………6 分

(Ⅱ)法一:由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= 2 3 ………… 7 分 因为, PA ? 平面ABCD ,所以, PA ? CD
8

……………… 8 分

又因为 CD ? AC, AC ? PA ? A 所以, CD ? 平面PAC 因为 E 是 PD 的中点 所以点 E 平面 PAC 的距离 h ? ………………………10 分

1 1 CD ? 3 , S? PAC ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2
1 1 2 3 S? PAC ? h ? ? 2 ? 3 ? ……12 分 3 3 3

所以,四面体 PACE 的体积 V ?

法二:由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= 2 3 因为, PA ? 平面ABCD 所以, VP ? ACD ?

1 1 4 3 S? ACD ? PA ? ? 2 ? 2 3 ? 3 3 3

……………… 10 分

因为 E 是 PD 的中点 所以,四面体 PACE 的体积 V ?

1 2 3 VP ? ACD ? 2 3

……………… 12 分

本题解法较多,请阅卷教师按评分标准酌情给分 20. 解:(Ⅰ)由已知 b ? 4 ,且

c2 1 a2 ? b2 c 5 ? a 2 ? 20 …2 分 ? ,即 2 ? ? 2 a 5 5 a a
………………………3 分
2

∴椭圆方程为
2 2

x2 y2 ? ?1 20 16

由 4 x ? 5 y ? 80 与 y ? x ? 4 联立,消去 y 得 9 x ? 40 x ? 0 ∴ x1 ? 0, x 2 ?

40 9
2

……………………… 5 分

∴所求弦长 MN ? 1 ? 1 x 2 ? x1 ?

40 2 9

……………………… 6 分

y
B O F Q N

(Ⅱ)椭圆右焦点 F 的坐标为(2,0) ,设线段 MN 的中点为 Q( x? , y ? ) 由三角形重心的性质知 BF ? 2 FQ ,又 B(0,4) ∴ (2,?4) ? 2( x? ? 2, y? ) ,故得 x? ? 3, y? ? ?2 , 所以得 Q 的坐标为(3,-2)……………………… 8 分 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) , 则 x1 ? x2 ? 3, y1 ? y 2 ? ?4 且
9

l
M

x

x1 y x y ? 1 ? 1, 2 ? 2 ? 1 20 16 20 16

2

2

2

2

两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ?0 20 16
………………… 10 分

∴ k MN ?

y1 ? y 2 4 x ? x2 4 6 6 ?? ? 1 ?? ? ? x1 ? x 2 5 y1 ? y 2 5 ?4 5

故直线 MN 的方程为 y ? 2 ? 21. 解:(Ⅰ)由 a ? 1 ,得

6 ( x ? 3) ,即 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 …………… 12 分 5 1 3 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? e x , f (1) ? ? e …………2 分 2 2
x

所以 f `( x) ? ? x ? 2 ? e , f `(1) ? 1 ? e 所以所求切线方程为 y ? ( ? e) ? (1 ? e)( x ? 1) , 即 2(1 ? e) x ? 2 y ? 1 ? 0 (Ⅱ)由已知 f ( x) ? ?

……………………4 分

3 2

………………………6 分 ……………7 分

1 2 x ? 2 x ? ae x ,得 f `( x) ? ? x ? 2 ? ae x 2

因为函数 f ( x) 在 R 上增函数,所以 f `( x) ? 0 恒成立 即不等式 ? x ? 2 ? ae ? 0 恒成立,整理得 a ?
x

?x?2 ex

……………… 8 分

令 g ( x) ?

?x?2 x?3 ,∴ g `( x) ? 。 x e ex

当 x ? (??,3) 时, g `( x) ? 0 ,所以 g ( x) 递减函数, 当 x ? (3,??) 时, g `( x) ? 0 ,所以 g ( x) 递增函数
?3

………………… 10 分
?3

由此得 g ( x) m i n ? g (3) ? ?e ,即 a 的取值范围是 (??,?e ] ………… 12 分 22. (Ⅰ)因为 PA 为⊙O 的切线,所以 PA ? PB ? PC ,
2

又由 PA=10,PB=5,所以 PC=20,BC=20-5=15 因为 BC 为⊙O 的直径,所以⊙O 的半径为 7.5. (Ⅱ)∵PA 为⊙O 的切线,∴∠ACB=∠PAB, 又 由 ∠P=∠P, ∴△PAB∽△PCA,∴ 分 设

………2 分. ………4 分 ………5 分
C O

A P B

AB PB 5 1 ? ? ? ………7 AC PA 10 2
为 ⊙O 的 直 径 ,

AB=k



AC=2k,

∵BC

∴AB⊥AC∴ BC ?

k 2 ? ( 2 k ) 2 ? 5k

………8 分 ………10 分
10

∴sin∠BAP=sin∠ACB=

AB k 5 ? ? BC 5 5k

23. 解:(Ⅰ) 圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 ? x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,…2 分
2 2 2 2

又x ? y ? ? ,x ? ?c o? s,y ? ?s in ?
2 2 2 2

……………4 分

∴圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 ? cos? ? 2 ? sin ? ? 2 ? 0 …………………5 分 (Ⅱ)因为点 Q 的极坐标为 (2 2 , ? ) ,所以点 Q 的直角坐标为(2,-2)………7 分 则点 Q 在圆 C 内,所以当直线 l ⊥CQ 时,MN 的长度最小 又圆心 C(1,-1) ,∴ k CQ ? 直线 l 的斜率 k ? 1

7 4

? 2 ? (?1) ? ?1 , 2 ?1
………………………9 分 ……………………10 分 ……………………… 2 分 ………………………4 分 ……………………… 5 分 ………………………7 分 ………………………9 分

∴直线 l 的方程为 y ? 2 ? x ? 2 ,即 x ? y ? 4 ? 0 24. 解:(Ⅰ)由题意得 f ( x) ? 2 ,得 x ? 3 ? 7 ∴ ? 7 ? x ? 3 ? 7 ? ?4 ? x ? 10 所以 x 的取值范围是 [?4,10] 。 (Ⅱ) 因为 f ( x) ? g ( x) ? m ? 3 有解 所以 x ? 3 ? x ? 2 ? m 有解

? x ? 3 ? x ? 2 ? ( x ? 3) ? ( x ? 2) ? 5
∴?5 ? x ?3 ? x ? 2 ? 5 所以 m ? 5 ,即 m 的取值范围是 (??,5] 。

……………………… 10 分

11



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