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均值不等式习题课


均值不等式 (2)

学习目标
1.掌握算术平均值、几何平均值的概念。 2.理解几个平均值之间的关系 3.会用几个平均值之间的关系解决有关

求最值和实际问题。 比较大小、证明、
4.重点:基本不等式的应用 5.难点:利用基本不等式证明不等式和 求最值。

自学提纲
1.回顾算术平均值、

几何平均值的概念 2.基本不等式的内容及成立的条件 3.回顾基本不等式的几何意义 4.思想方法技巧: (1)数形结合思想、“整体与局部” (2)配凑等技巧

基础知识
1. 均值定理: a?b ? 如果 a, b ? R ,那么 2 ? ab 当且仅当 a ? b 时,式中等号成立 2. 定理:(重要不等式)

若a,b∈R,那么

2+b2≥2ab a

(当且仅当a=b时,取“=”号)

基础知识
3.基本不等式的几种特殊变形:
a?b 2 ab ) , ( a, b ? R ? ) 变形(1): ? ( 2

1 变形(2): a ? ? 2, (a ? 0) a a2 变形(3): b ? b ? 2a, (b ? 0)

注意等号成立的条件

基础知识
4.几个基本概念: a1 , a2 , a3 ,......, an ? R
?

(1)n个正数的算术平均值:
a1 ? a2 ? a3 ? ???? ? an n

(2) n个正数的几何平均值:
n

a1 ? a2 ? a3 ??? an

(3)两个平均值的关系:
a1 ? a2 ? a3 ? ???? ? an n ? a1 ? a2 ? a3 ??? an n

注 意 式 中 等 号 成 立 的 条 件

基础知识

a, b ? R

?

a 2 ? b2 (4)两个正数的平方平均值: 2

关系:

a2 ? b2 a ? b ? 2 2

注 意 式 中 等 号 成 立 的 条 件

基础知识
(5)不等式的变形:

a 2 ? b2 a?b 2 ?( ) 2 2

a, b ? R

a, b 的取值范围 a, b ? R

注 意 式 中 等 号 成 立 的 条 件

基础知识

求最值要注意三点:⑴正数

5.最值定理: ⑵定值⑶检验等号是否成立 (1)若a,b∈R+且ab=p(p为常数)则

a ? b ? 2 ab ? 2 p
(当且仅当a=b时取等号)
a?b? s2 ? +),则 ab ? ? ? ? (2)若a+b=S(a,b∈R 4 ? 2 ?

? ?a ? b ?min ? 2 p

2

(当且仅当a=b时取等号) s2 ? ?ab?max ? 4

基础训练
1.设x+3y-2=0,则函数z=3x+27y+3的最小值是 D 11

A.

3

B.3+2

2

C.6 D.9
2

2.若t∈(0,1],则 t ?
A.2 2

t

有最小值 B
D. 2

B .3

2 C. 2

3.已知a,b是正数且a+b=1,



? 1 ?? 1 ? y ? ?1 ? ??1 ? ? ? a ?? b ?

的最小值

解:(法一)
b ?? a? ? 1 ?? 1 ? ? a ? b ?? a ? b ? ? y ? ?1 ? ??1 ? ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? ? 2 ? ?? 2 ? ? a ?? b ? ? a ?? b? ? a ?? b ? ?

a b ?b a? ? 4 ? 2? ? ? ? 1 ? 4 ? 2 ? 2 ? ?9 b a ?a b?

a b 1 当且仅当 ? ,即 a ? b ? 时, min ? 9 y b a 2

(法二)

1 1 1 2 1+ + + = 1+ a b ab ab 1 ? a ? b ? 1 ? 2 ab ? ab ? 4 1 ? ? 4? y ? 9 ab
1 1 当且仅当 a ? , b ? 时取等号 2 2

1 ?? 1? ? y = ?1 + ? ?1 + ? = a ?? b? ?

1 当 a?b? 时,ymin=9 2

4.求下列函数的最值

1 ⑴ y ? x ? , x ? ?0, c??c ? 0? 的最小值 x 3 2 ⑵ y ? x ? ? x ? 0? 的最小值 x
4 ⑶ y ? 3x ? 2 ?x ? 0? 的最大值 x

课堂小结
知识要点: 1. 几个平均值之间的关系及应用 2.基本不等式在几何、代数及实际应用三 方面的意义 思想方法技巧: (1)数形结合思想、“整体与局部” (2)配凑等技巧

课后作业
教材P73,习题3—2 B

1、2


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