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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《3.1.1数系的扩充和复数的概念》导学案


§ 3.1.1 数系的扩充与复数的概念
学习目标
理解数系的扩充是与生活密切相关的,明白复数及其相关概念.

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:实数系、数系的扩充脉络是: → → → 用集合符号表示为: ? ?

, ?

复习 2:判断下列方程在实数集中的解的个

数(引导学生回顾根的个数与 ? 的关系) : 2 2 (1) x ? 3x ? 4 ? 0 (2) x ? 4 x ? 5 ? 0 2 (3) x ? 2 x ? 1 ? 0 (4) x 2 ? 1 ? 0

二、新课导学 学习探究 探究任务一:复数的定义 问题:方程 x 2 ? 1 ? 0 的解是什么? 为了解决此问题,我们定义 i ? i ? i 2 ? ?1 ,把新数添进实数集中去,得到一个新的数集,那 么此方程在这个数集中就有解为 .
新知:形如 a ? bi 的数叫做复数,通常记为 z ? a ? bi (复数的代数形式) ,其中 i 叫虚数单 b 位, a 叫实部, 叫虚部,数集 C ? ?a ? bi | a, b ? R? 叫做复数集. 试试:下列数是否是复数,试找出它们各自的实部和虚部。 2 ? 3i , 8 ? 4i , 8 ? 3i , 6 , i , ?2 ? 9i , 7 i ,0

反思:形如 的数叫做复数,其中 和 都是实数,其中 叫做复数 z 的实部, 叫做复数 z 的虚部. 对于复数 a ? bi(a, b ? R) 当且仅当 时,它是实数;当 时,它是虚数;当 时,它是纯虚数; 探究任务二:复数的相等 若两个复数 a ? bi 与 c ? di 的实部与虚部分别 相等. a ? bi = c ? di ? ; a ? bi =0 ? . 注意:两复数 比较大小.

,即:



.则说这两个复数

典型例题 例 1 实数 m 取什么值时,复数 z ? m ? 1 ? (m ? 1)i 是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?

a2 ? 7a ? 6 ? (a2 ? 5a ? 6)i(a ? R) ,试求实数 a 分别取什么值时,分别为 a2 ? 1 (1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
变式:已知复数 z ?

?实数 (b=0) ? 小结:数集的关系: 复数z ? ?一般虚数(b ? 0, a ? 0) ?虚数 (b ? 0) ?纯虚数(b ? 0, a ? 0) ? ?

例 2 已知复数 a ? bi 与 3 ? (4 ? k )i 相等,且 a ? bi 的实部、虚部分别是方程 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 的 两根,试求: a , b, k 的值.

变式:设复数 z ? a ? bi(a, b ? R) ,则 z 为纯虚数的必要不充分条件是( A. a ? 0 B. a ? 0 且 b ? 0 C. a ? 0 且 b ? 0 D. a ? 0 且 b ? 0



小结:复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件.

动手试试 练 1. 若 (3x ? 2 y) ? (5 x ? y)i ? 17 ? 2i ,求 x, y 的值.

练 2. 已知 i 是虚数单位,复数 z ? m2 (1 ? i) ? m(2 ? 3i) ? 4(2 ? i) ,当 m 取何实数时, z 是: (1)实数; (2) 虚数; (3)纯虚数; (4)零.

三、总结提升 学习小结 1. 复数的有关概念; 2. 两复数相等的充要条件; 3. 数集的扩充.

知识拓展 复数系是在实数系的基础上扩充而得到的.数系扩充的过程体现了实际需求与数学内部的矛 盾(数的运算规则、方程求根)对数学发展的推动作用,同时也体现了人类理性思维的作用.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 实数 m 取什么数值时,复数 z ? m ? 1 ? (m ? 1)i 是实数( ) A.0 B. ?1 C. ?2 D. ?3 a ? bi c ? di 2. 如果复数 与 的和是纯虚数,则有( ) A. b ? d ? 0 且 a ? c ? 0 B. b ? d ? 0 且 a ? c ? 0 C. a ? d ? 0 且 b ? d ? 0 D. b ? c ? 0 且 b ? d ? 0 3. 如果 z ? a2 ? a ? 2 ? (a2 ? 3a ? 2)i 为实数,那么实数 a 的值为( A.1 或 ?2 B. ?1 或 2 C.1 或 2 D. ?1 或 ?2



4.若 ( x2 ? 1) ? ( x2 ? 3x ? 2)i 是纯虚数,则实数 x 的值是 5. 若 ( x ? y) ? ( y ? 1)i ? (2 x ? 3 y) ? (2 y ? 1)i ,则实数 ;y= . x=

课后作业
1. 求适合下列方程的实数与的值: (1) (3x ? 2 y) ? (5 x ? y)i ? 17 ? 2i (2) ( x ? y ? 3) ? ( x ? 4)i ? 0

2. 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在,请举出例子;若不存在,请说明理由. (1)实部为 ? 2 的虚数 (2)虚部为 ? 2 的虚数 (3)虚部为 ? 2 的纯虚数


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