2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第01讲 二次函数的图象和性质

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第 1 讲 二次函数的图象和性质
本讲内容包括二次函数的图象和性质，二次函数在给定区间上的最值。

? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 ) 是具有典型意义的初等函数， 它的图象是以垂直于 b x 轴的直线 x ? ? 为对称轴的抛物线。其中，二次项系数 a 决定了抛物线的形状（ a 的符 2a 号和| a |的大小分别确定抛物线的开口方向和开口大小） 常数 c 是抛物线在 y 轴上的截距 ； （抛 物线与 y 轴的交点的纵坐标） ；一次项系数 b 与图象的左右平移有关。 b 2 二 次 函 数 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0 ) 中 ， 当 a ? 0 时 ， 若 x ? ? ， 即 2a b b ，即 x?(? ?, ? ]，则函数值 y 随着自变量 x 的增加而减少；若 x?? 2a 2a b b x ?[ ? , ? ? ) ，则函数值 y 随着自变量 x 的增加而增加；当 a ? 0 时，若 x ? ? ， 2a 2a b b ] ，则函数值 y 随着自变量 x 的增加而增加；若 x ? ? 即 x?(? ?, ? ，即 2a 2a b b x ?[ ? , ? ? ) ，则函数值 y 随着自变量 x 的增加而减少。当 x ? ? 时，二次函数取 2a 2a ? ? 2 最小值 ? （ a ? 0 ）或最大值 ? （a ? 0） 。其中， ? ? b ? 4ac . 4a 4a 为叙述方便，我们用符号 f (x ) 表示 x 的函数。 f (a ) 表示 x ? a 时，函数 f (x ) 的值。 2 2 如 f ( x) ? 2x ? 5x ? 4 ，则 f (3) ? 2 ? 3 ? 5 ? 3 ? 4 ? 7.
二次函数 y A 类例题 例 1 如图，直线 （ ）

x ? 1 是 二 次 函 数 y ? ax 2 ? bx ? c

的图象的对称轴，则

A B C D

a?b?c ? 0 b ? a?c c ? 2b abc ? 0

分析 由于所给的条件是二次函数的图象即函数的 “形” 的特征， 欲求的结论是关于系数的不等式即函数的“数”的性质。因此，解 题的关键在于确定结论中系数及其表达式的几何意义，进而通过图象进行判断。

f (.x) ? ax 2 ? bx ? c ，则 f (1) ? a ? b ? c , f (?1) ? a ? b ? c 。由图象 b ? 1 ，得 b ? ?2a ? 0 。 可知， f (1) ? 0 , f (?1) ? 0 ，故可以排除 A 、B。由 a ? 0 ， ? 2a 又 c ? 0 ，因此 abc ? 0 ，又可以排除 D。所以，本题应选 C。 b ? 1，得 b ? ?2a ? 0 。又 f (?1) ? 0 ，即 a ? b ? c ? 0 ， 解2 由a ? 0 ，? 2a
解1 设

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因此， c ? b ? a ? b ? 例 2

b 3b ? ? 2b ，所以，本题应选 C。 2 2

二次函数

f ( x) ? x 2 ? px ? q 的 图 象 的 对 称 轴 是 直 线 x ? 5 ， 试 比 较

f (?3) , f (6) , f (11) 的大小。
分析 二次函数

f ( x) ? x 2 ? px ? q 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为 x ? 5 。

若 x ? 5 时，函数值 y 随着自变量 x 的增加而减少；若 x ? 5 时，函数值 y 随着自变量 x 的增 加而增加。 为便于比较函数值的大小， 首先运用图象的对称性将所求的函数值对应的 x 值移入 同一个单调区间，以利于运用函数的增减性质求解。

f ( x) ? x 2 ? px ? q 的 图 象 的 对 称 轴 ， 得 f (?3) ? f (5 ? 8) ? f (5 ? 8) ? f (13) 。又二次函数 f ( x) ? x 2 ? px ? q 中 a ? 1 ? 0 ，
解 由 是二次函数 因而当 x ? 5 时，函数值 y 随着自变量 x 的增加而增加。所以， 评注 对于二次函数 y ? ax
2

x?5

f (6) ? f (11) ? f (?3) 。

? bx ? c ，若 a ? 0 ，二次函数图象上的点到对称轴距离越 近，此点对应的函数值越小，在顶点处取得最小值；反之，若 a ? 0 ，二次函数图象上的点到
对称轴距离越近，此点对应的函数值越大，在顶点处取得最大值。 例3 二次函数 y=f(x)的最大值是 14，且 f(2)=f(-1)=5，求二次函数 f(x)。

y ? ax2 ? bx ? c ； 或 y ? a( x ? ? )( x ? ? ) ， 其中 ? 、? 是函 数 f (x) 的图象 与 x 轴 的交点的 横坐标； 或 y ? a( x ? m) 2 ? n ，其中直线 x ? m ? 0 是抛物线的对称轴，当 x ? ?m 时，函数取最
分 析 二 次 函 数 y=f(x) 的 解 析 式 可 以 表 示 为 值。求二次函数 解 1

f (x) 的解析式只需根据题意选择适当的标准形式，并确定其中的参数。
设二次函数

f (x) 的 解 析 式 为 y ? ax2 ? bx ? c ， 由 题 意 ，

? ? f (2) ? 4a ? 2b ? c ? 5 , ?a ? ?4, ? ? ? ? f (?1) ? a ? b ? c ? 5 , ? ?b ? 4, ? ?c ? 13 . 2 ? ? ? ? ? 4ac ? b ? 14 ? 4a 4a ? 2 所以，二次函数 f (x ) 的解析式为 y ? ?4x ? 4x ? 13 . 解2 由 f (2) ? f (?1) ? 5 ， 2 和 ? 1 是二次函数 y ? f ( x) ? 5 的图象与 x 轴的 得 交点的横坐标。故可设 f ( x) ? 5 ? a( x ? 2)( x ? 1) ，于是 1 9a f ( x) ? a( x ? 2)( x ? 1) ? 5 ? ax 2 ? ax ? 2a ? 5 ? a( x ? ) 2 ? ? 5， 2 4 9a ? 5 ? 14 ? a ? ?4 ，所以， 由? 4 2 二次函数 f (x ) 的解析式为 y ? ?4x ? 4x ? 13 . 2 ? (?1) 解3 由 f (2) ? f (?1) ? 5 ， 得二次函数 y ? f (x) 的图象的对称轴为 x ? 2 1 1 2 即 x ? 。故可设 f ( x) ? a( x ? ) ? 14 ，由 f (?1) ? 5 ，解得 a ? ?4 。所以，二次函数 2 2 2 f (x) 的解析式为 y ? ?4x ? 4x ? 13 .

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情景再现
1．当 x ? 4 时，函数 源:学科网] 2．设 b ? 0 ，二次函数 y ? ax2 ? bx ? a 2 ? 1 的图像为下列之一

f ( x) ? x 2 ? ax ? b 有最小值，又 f (2) ? 5 ，求 a、b 的值。[来

则 a 的值为 （A） 1 （B） ? 1 （C）

3. 若函数 是

f (.x) ? ax 2 ? bx ? c 满足 f (4) ? f (1) ，则 f (2)与f (3) 的大小关系
B f (2) ? f (3) C f (2) ? f (3) D 不能确定

?1? 5 2

（D）

?1? 5 2

A f (2) ? f (3)
B 类例题 例4 分析 1 解1

若对任何实数

p 抛物线 y ? 2 x 2 ? px ? 4 p ? 1 都过一定点， 求此定点的坐标。
2

先运用特殊化方法求出定点 的坐标， 再证明抛物线 y ? 2 x 令

? px ? 4 p ? 1

都过这一定点。

p ? 0 ? y ? 2x2 ? 1 (1) 2 令 p ? 1 ? y ? 2x ? x ? 5 (2) 由（1）（2）解得 x ? 4 , y ? 33 . 、 2 将 x ? 4 , y ? 33 代入 y ? 2 x ? px ? 4 p ? 1 ， 等式成立。 所以， 对任何实数 p 抛
物线 y ? 2 x 分析 2 解2 当且仅当 物线 y ? 2 x 例 5 （
2 2

。 ? px ? 4 p ? 1 都过定点（4，33） 2 将 y ? 2 x ? px ? 4 p ? 1 看作关于 p 的方程，原命题即为当 x, y 为何值

时，方程的解为一切实数。
2 y ? 2 x 2 ? px ? 4 p ? 1 可化为 p(4 ? x) ? y ? 2 x ? 1 。

?4 ? x ? 0 , ? x ? 4, 时， p 的解为一切实数。 即? 所以对任何实数 p 抛 ? 2 ? y ? 2 x ? 1 ? 0 , ? y ? 33

? px ? 4 p ? 1 恒过定点 (4 , 33) 2 如果函数 f ( x) ? x ? bx ? c 对任意实数

t 都有

f (2 ? t ) ? f (2 ? t ) ，那么

）

B f (1) ? f (2) ? f (4) D f (4) ? f (2) ? f (1) 分析 等式 f (2 ? t ) ? f (2 ? t ) 表明，函数 y ? f (x) 的图象上到直线 x ? 2 距离相等的 两点的纵坐标相等，即直线 x ? 2 是函数 y ? f (x) 的图象的对称轴。因此， f (1) ? f (3) 。 A C
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f (2) ? f (1) ? f (4) f (2) ? f (4) ? f (1)

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f (2 ? t ) ? f (2 ? t ) ，得函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的对称轴是 x ? 2 ，因而有 f (1) ? f (3) 。又当 x ? 2 时 ，函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c 的值随着 x 增加 而增加。所以， f (2) ? f (1) ? f (4) 。故本题应选 A 。 评注（1）若函数 y ? f (x) 对任意实数 x 都有 f (a ? x) ? f (a ? x) ,
解 由
2

则函数 y ?

f (x) 的图象关于直线 x ? a 对称；
f (2 ? t ) ? f (2 ? t ) 得到 b ? ?4 。

（2）本题也可以由 由

f ( x) ? x 2 ? 4 x ? c ? f (1) ? c ? 3 , f (2) ? c ? 4 , f (4) ? c . 因 此 ，
已知函数 y

f (2) ? f (1) ? f (4) 。
例6

? ?x2 ? 4x ? 2 求

（1）在 ? 1 ? x ? 1 上的最大值和最小值； （2）在 0 ? x ? 3 上的最大值和最小值。 分析 二次函数在实数范围内或有最大值，或有最小值；但在给定区间上，它的图象是 一段抛物线弧，可以既有最大值，也有最小值。通常运用配方法求解。

y ? ?x 2 ? 4x ? 2 ? ?( x ? 2) 2 ? 2 . 2 （1）由 ?1 ? x ? 1 ? ? 3 ? x ? 2 ? ?1 ? 1 ? ( x ? 2) ? 9 ，得
解 当x?

1 时，函数 y ? ? x 2 ? 4 x ? 2 取最 大值 ymax ? ?1 ? 2 ? 1；

当 x ? ?1 时，函数 y （2）由 当 x ? 2 时，函数 y

? ? x 2 ? 4 x ? 2 取最小值 ymin ? ?9 ? 2 ? ?7 。

0 ? x ? 3 ? ? 2 ? x ? 2 ? 1 ? 0 ? ( x ? 2) 2 ? 4 ，得

评注 二次函数在给定区间上的图象是一段抛物线弧。 （1）所给区间 ? 1 ? x ? 1 上的抛物 线弧段不含抛物线顶 点， 保持单调递增， 因此它的最值分别在抛物线弧段的两个端点实现； 2） （ 所给区间 0 ? x ? 3 上的抛物线弧段含抛物线顶点，因此它的最值分别在抛物线的顶点及抛物 线 弧段的两个端点之一实现。 [来源:学.科.网 Z.X.X.K]

? ? x 2 ? 4 x ? 2 取最大值 ymax ? 0 ? 2 ? 2 ； 2 当 x ? 0 时，函数 y ? ? x ? 4 x ? 2 取最小值 ymin ? ?4 ? 2 ? ?2 。

情景再现
4 ． 若 实 数

m (m ? 0 且 m ? 1) m ?1 2 2 m?3 y? x ? x? m m m

， 证 明 抛 物 线

过两个定点，并求出这两个定点间的距离。

1，求实数 a 的取值范围。 C 类例题 例 7

f ( x) ? ax 2 ? ax ? b x ? [1 , 2] ， 求此函数的最值。 3 2 6．已知二次函数 f ( x) ? a x ? ( 2a ? 1 ) x ? 3 在区间 [ ? , 2 ] 上 2
5． 设二次函数

的最大值为

设 ? 、? 是方程 x

2

? 3x ? 1 ? 0 的两根。求满足 f (? ) ? ? ， f ( ? ) ? ? ，

f (1) ? 1的二次函数 f (x) 。
分析 二次函数的解析式中，共有三个待定系数。题设条件中有三个等式，故本题可运用
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列方程组方法求解。 解1 设二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c ，由题意，

?a? 2 ? b? ? c ? ? (1) ? 2 (2) ?a? ? b? ? c ? ? ?a ? b ? c ? 1 (3) ? 2 2 （1）+（2） a (? ? ? ) ? (b ? 1)(? ? ? ) ? 2c ? 0 ， ? ? ? ? ? 3 , ?? ? 1 , ? 7a ? 3b ? 2c ? 3

(4)

? ? 2 ) ? (b ? 1)(? ? ? ) ? 0 ? 3a ? b ? ?1 由（3）（4）（5）解得 a ? 1 , b ? ?4 , c ? 4 . 、 、
2

（1）-（2） a (?

(5)

因此，所求函数为 解2 由

f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 4 .
(1) (2)

f (1) ? 1，可设二次函数 f ( x) ? a( x ? 1)( x ? m) ? 1 ，则

?a? 2 ? a(m ? 1)? ? am ? 1 ? ? ?a (? ? 1)(? ? m) ? 1 ? ? ?? ? a ( ? ? 1)( ? ? m) ? 1 ? ? ?a ? 2 ? a(m ? 1) ? ? am ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 , ?? ? 1 ,

a (? 2 ? ? 2 ) ? [a (m ? 1) ? 1](? ? ? ) ? 2am ? 2 ? 0 ? 4a ? am ? 1 ? 0 (3) 2 2 （1）--（2） a (? ? ? ) ? [a (m ? 1) ? 1](? ? ? ) ? 0 ? 2a ? am ? 1 ? 0 (4) 由（3）（4）解得 a ? 1 , m ? 3 . 、
（1）+（2） 因此，所求函数为 例8 已知

f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 4 .

a f ( x) ? x 2 ? ax ? , x ?[0 , 1] , a ? 0 ，求 f (x) 的最小值 g (a) 的表 2

达式，并求 g (a) 的最大值。

f (x) 在给定区间上的最小值。在求 需要注意二次函数 f (x) 所表示的抛物线弧段是否包含顶点。x ?[0 , 1] g (a) 的表达式时，
表示 0

分析 由于 g (a) 是二次函数

? x ? 1，其中 [0 , 1] 称为闭区间。
2

a a 2 a a2 f ( x) ? x ? ax ? ? ( x ? ) ? ? . 解 2 2 2 4 a a2 a 若0 ? ； ? 1 ，即 0 ? a ? 2 时， f m1n ( x) ? g (a) ? ? 2 4 2 a a 若 ? 1 ，即 a ? 2 时， f m1n ( x) ? g (a) ? f (1) ? 1 ? 。 2 2

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?a a2 ? ? ? ? g (a) ? ? 2 4 ?1 ? a ? 2 ?
当

0?a?2, a?2 .
，

0?a?2

时

a a2 1 1 g (a) ? ? ? ? (a ? 1) 2 ? 2 4 4 4

，

得

a ? 1 g m (a ) ? g (1) ? a x

1 ；当 a ? 2 时， g (a) ? 0 。 4 1 所以， g (a) 的最大值为 （此时 a ? 1 ） 。 4
例9 求

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 , x ?[ t , t ? 1]的最大值。

分析 本题是二次函数的最值问题，但所给区间是区间长度为 1 的 “ 流 动 区 间 ” 。 因 此 ， 原 函 数

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 , x ?[ t , t ? 1]的图象是一段“流动的抛物

1 时，抛物线的顶点在弧的中点，此时有 2 f (t ) ? f (t ? 1) 。由此得如下解法。 2 2 解 由 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) ? 4 得 原函数图象的对称轴是 x ? 1 ，且当 x ? 1 时，函数值 y 随着自变量 x 的增加而减少；当 x ? 1 时，函数值 y 随着自变量 x 的增加而增加。 1 2 当 t ? 时，函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 , x ?[ t , t ? 1]的最大值是 f (t ) ； 2 1 2 当 t ? 时，函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 , x ?[ t , t ? 1]的最大值是 f (t ? 1) 。 2
线弧” 当 。

t?

所以，函数

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 , x ?[ t , t ? 1]的最大值是 1 ?2 t ? 2t ? 3 , t? ? ? 2 M (t ) ? ? 1 ?t 2 ? 4 . t? ? ? 2

情景再现

B y ? x 2 ? px ? q 上 有 两 点 A(a , y1 ) 、 (b , y2 ) (a ? b ， y1 ? 0 , y2 ? 0) ， （1）求证抛物线与 x 轴有两个交点 C( x1 , 0), D( x2 , 0 ) ，且满足 x1 ? a ? b ? x2 ； （2）若 a ? 1, y1 ? ?2005 ，且 x1 , x2 均为整数，求此抛物线的函数表达式。
7．若抛物线

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8．若 a 为正数，函数

1 f ( x) ? a 2 ? (a ? 3) x ? x 2 在区间[?2,4] 上的最大 2

值为 M (a) ，试求 M (a) 的解析式及 M (a) 的最小值。

习题 1
1．二次函数 A 相离

y ? x 2 ? | k | 与 正 比 例 函 数 y ? kx (k ? 0)
（ B 相切 C ） 相交

图象的位置关系是

D 不能确定，与 k 的值有关

y ? ax2 ? bx ? c 的顶点为 (4, ? 11) 且与 x 轴的两个交点的横坐标为一 正一负，则 a, b, c 中为正数的 （ ）
2．抛物线

A 只有a
3．在下列各图中， （ ）

B 只有b

C 只有c
与

D 有a, b

y ? ax ? bx
2

y ? ax ? b (ab ? 0) 的 图 象 只 可 能 是

A C 4．当 x D

B

?

1 时，二次函数 y ? f (x) 有最大值 25，函数图象与 x 轴的两个交点的横坐 2
f (x) 的解析式。

标的平方和等于 13，求二次函数 5．设抛物线

y ? ax2 ? bx ? c 过点 A(1, 2) 和 B(?2 , ? 1)
2

（1）用 a 表示 b, c ； （2）对任意非零实数 a ，抛物线都不过点 P(m , m

? 1) ，求 m 的值。

6．某工厂科研组对一项生产工艺流程总结出产量指标函数和消耗指示函数分别为：

1 5 和 ， 且 知 f1 ( x) ? ax2 ? x ? c f 2 ( x) ? ax2 ? bx ? 2 4 f1 (?1) ? f 2 (?1) ? f1 (3) ? f 2 (3) ? 2 。 （1）分别求出 f1 ( x) , f 2 ( x) 的解析式； （2）问因素 x 取何值时，函数 f1 ( x) , f 2 ( x) 分别取最大值或最小值，最值各是多少？ 2 7．当 0 ? x ? a 时，二次函数 y ? x ? 2 x ? 3 有最小值 2，最大值 3。求实数 a 的取
值范围。

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8．求函数 y 9．已知 y 10．已知

?| x 2 ? 6 x ? 8 | 在[1，8 ]上的最值。
求实数 a 的取值范围。

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 8 ，若 ? (t ) 表示函数 f (x) 在 [t , t ? 1] 上的最小值，求 ? (t ) 在闭区间 [?5 , 5] 上的最大值。
答案
情景再现

? x 2 ? (a ? 1) 2 ? | x ? a ? 1 | 的最小值 ymin ? 5 ,

? a ?a ? ?8 , ?? ? 4 ?? 1． ? 2 ?2 2 ? 2a ? b ? 5 ?b ? 17 . ? b 2． B 。对称轴为 x ? ? ；若 . 若 a ? 0 ，由 b ? 0 ，得对称轴位于 y 轴的左边（舍去） 2a a ? 0 ，则仅有第 3 图适合。由图象过原点，得 a 2 ? 1 ? 0 。又 a ? 0 ，得 a ? ?1 。 应选 B 。 5 3． B 。由 f (4) ? f (1) ，得原二次函数的图象关于 x ? 对称。所以， f (2) ? f (3) 。 2 应选 B 。
4． y ?

m ?1 2 2 m?3 2 2 可化简为 m( y ? x ? 1) ? ? x ? 2 x ? 3 。 x ? x? m m m

? y ? x2 ? 1 ? 0 ? x ? ?1 ? x ? 3 ? 由? ， 解得 ? 或? 。 即抛物线恒过两定点 (?1,0) ?? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ?y ? 0 ?y ? 8 ?
和 (3,8) 。它们的距离为

(?1 ? 3) 2 ? 82 ? 4 5 。

1 2 a2 5．f ( x) ? ax ? ax ? b ? a ( x ? ) ? b ? 。 因为 x ? [1, 2 ] ， 所以， a ? 0 当 2 4 时， f 最大值 ( x ) ? f ( 2) ? 2a ? b ， f 最小值 ( x) ? f (1) ? b ； 当 a ? 0 时， f 最大值 ( x ) ? f (1) ? b ， f 最小值 ( x) ? f (2) ? 2a ? b 。
2
6．

2a ? 1 2 (2a ? 1) 2 f ( x ) ? a x ? ( 2a ? 1 ) x ? 3 ? a ( x ? ) ? ? 3。 2a 4a 2a ? 1 3 （1）当 a ? 0 时， ? ? 0 ，由 x ? [? , 2 ] ， 2a 2 3 2a ? 1 ? 2 即 a ? ?1时 10 若 ? ? ? 2 2a
2
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2a ? 1 (2a ? 1) 2 3? 2 2 f 最大值 ( x) ? f (? )?? ? 3 ?1? a ? ? ； 2a 4a 2 2a ? 1 3 ? ? 即 ? 1 ? a ? 0 时， 20 若 ? 2a 2 3 10 ； f 最大值( x) ? f (? ) ? 1 ? a ? ? ? ?1 （舍去） 2 3 （2）当 a ? 0 时，抛物线的开口向上。 3 1 因为 x ? [? , 2 ] ，所以此区间的中点的横坐标为 。 2 4 2a ? 1 1 2 ? 即 a ? 时， 10 若 ? 2a 4 5 3 10 ； f 最大值( x) ? f (? ) ? 1 ，解得 a ? ? ? 0 （舍去） 2 3 2a ? 1 1 1 ? 即a ? ， 20 若 ? 2a 4 4 3 f 最大值 ( x) ? f (2) ? 1 ，解得 a ? 。 4 3? 2 2 3 综上，所求的实数 a 的值为 或 ? 。 2 4
（注：上述解法条理清晰。本题也可以利用“二次函数在闭区间上的最值，只可能在 二次函数图象的顶点或此闭区间的端点处达到”这一性质，通过计算和检验求解。 ） 2 7．由题意，设 y ? x ? px ? q ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) 。

y1 ? (a ? x1)(a ? x2 ) ? 0 ? x1 ? a ? x2 ； y2 ? (b ? x1)(b ? x2 ) ? 0 ? x1 ? b ? x2 ； 因此，有 x1 ? a ? b ? x2 ； （2）将 a ? 1 , y1 ? ?2005代入抛物线方程，得 (1 ? x1)(1 ? x2 ) ? ?2005 ? ?5 ? 401。 因为 x1 , x2 均为整数，于是 5; 1; ?1 ? x1 ? 2005 ; 401 ; ? ?1 ? x2 ? ? 1 ; ? 5 ; ? 401 ; ? 2005 .
（1）由 A, B 在抛物线上，得

? x ? ?2004 ; ? 400 ; ? ? 1 2; 6; ? x2 ?
所以，本题有四解。所求的二次函数的解析式为 2 2

?4; 402 ;

0; 2006 .

y ? x ? 2002 x ? 4008 ; y ? x 2 ? 398 x ? 1608 ;
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y ? x ? 394 x ? 2400 ;

y ? x 2 ? 2006 x .
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8．

1 2 1 (a ? 3) 2 2 f ( x) ? a ? (a ? 3) x ? x ? ? ( x ? a ? 3) ? ? a2 ， 2 2 2 由 x ?[?2 , 4] , a ? 0 , ? 2 ? 3? a ? 4 0?a?5 当 ， 即 时 2 2 (a ? 3) 3(a ? 1) ? 6 M (a) ? f 最 ( x) ? ? a2 ? ； 大 值 2 2 当 a ? 5 即 a ? 3 ? 2 时， M (a) ? f 最大值 ( x) ? f (?2) ? (a ? 1) 2 ? 9 。
2

，

? 3(a ? 1) 2 ? 6 , 0 ? a ? 5; ? 所以， M ( a ) ? ? 2 ?(a ? 1) 2 ? 9 , a ? 5. ? 因为， 0 ? a ? 5 时， M (a) ? 3 ; a ? 5 时， M (a) ? 27 . 所以， M (a) 的最
小值为 3。 习题 1

y 轴的负半轴上，两图象的位置关系为相交。应选 C 。 b 2． A 。由抛物线的顶点在第四象限，且与 x 轴相交，因此， a ? 0 且 ? ? 0即 b ? 0 。 2a 又抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标异号，得 c ? 0 。故应选 A 。 3． C 。由 a ? 0 ，可排除 A, D 。由二次函数解析式中常数项为 0，可排除 B 。应选 C 。 1 2 4．设二次函数为 f ( x) ? a( x ? ) ? 25 (a ? 0) 。 2 100 ? a f ( x) ? 0 ? ax2 ? ax ? ? 0， 4
1． C 。由抛物线的顶点在 由题意

2 2 x1 ? x2 ? 13 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1x2 ? 13 ? 1 ? 2 ?
学.科.网] 解得

100 ? a ? 13 。[来源: 4a

a ? ?4 。所求二次函数为 f ( x) ? ?4 x 2 ? 4 x ? 24 。

?a ? b ? c ? 2 5． （1）由题意， ? ?4a ? 2b ? c ? ?1
（2） 式

?b ? 1 ? a ，解得 ? ； ?c ? 1 ? 2a
， 得

y ? ax2 ? (1 ? a) x ? 1 ? 2a ，将 (m, m 2 ? 1) 代入原
2
2 2

am ? (1 ? a)m ? 1 ? 2a ? m ? 1 ? (m ? m ? 2) a ? m ? m 由题意，关于 a 的方程无非零实数解。
2

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?m 2 ? m ? 2 ? 0 ?m 2 ? m ? 2 ? 0 ? ? 由? ? m ? ?2 ; ? ?m?0 2 2 ?m ? m ? 0 ?m ? m ? 0 ? ? 所求的值为 m ? 0 或 m ? ?2 。 1 2 1 11 1 1 5 6． （1） f1 ( x) ? ? x ? x ? ; f 2 ( x) ? x 2 ? x ? ； 4 2 4 4 2 4 （2）当 x ? 1 时， f1 ( x ) |最大值 ? 3 ； 当 x ? 1 时， f 2 ( x ) |最大值 ? 1 .
7． y

。

8．

? x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) 2 ? 2 。 由 y最小值 ? 2 及 0 ? x ? a ，得 a ? 1 ； 由 y最大值 ? 3 得 x ? 0 或 x ? 2 ，又 0 ? x ? a ， a ? 2 。 综上，所求 a 的取值范围是1 ? a ? 2 。 ?x 2 ? 6x ? 8 , 1? x ? 2 或 4 ? x ? 8; ? 2 y ?| x ? 6 x ? 8 | ? ? ?? x 2 ? 6 x ? 8 , 2? x ? 4. ? 2 （1）当1 ? x ? 2 或 4 ? x ? 8 时，原函数为 y ? ( x ? 3) ? 1 。 当 x ? 2 或 x ? 4 时， y最小值 ? 0 ； 当 x ? 8 时， y最大值 ? 24 ；
（2）当 2 ?

x ? 4 时，原函数为 y ? ? ( x ? 3) 2 ? 1 。 当 x ? 2 或 x ? 4 时， y最小值 ? 0 ； 当 x ? 3 时， y最大值 ? 1 。

综上，所求函数的最大值为 24，最小值为 0。 9．原函数可化为

1 7 ? y1 ? ( x ? ) 2 ? a 2 ? a ? , x ? 1? a ; ? ? 2 4 y?? ? y ? ( x ? 1 ) 2 ? a 2 ? 3a ? 1 , x ?1? a . ? 2 ? 2 4 7 1 2 （1）当 a ? 时， y1 |最小值 ? a ? a ? , 2 4 y2 |最小值 ? f 2 (1 ? a) ? 2a 2 ? 2 . 7 1 2 2 2 由 (2a ? 2) ? (a ? a ? ) ? (a ? ) ? 0 ，得 4 2 7 ? 1 ? 14 y最小值 ? y1 |最小值 ? a 2 ? a ? ? 5 ? a ? ; 4 2

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（2）当

1 3 ? a ? 时， y1 |最小值 ? f1 (1 ? a) ? 2a 2 ? 2 , 2 2 y2 |最小值 ? f 2 (1 ? a) ? 2a 2 ? 2 .
由

2a 2 ? 2 ? 5 ?

6 3 ?a? ; 2 2

（3）当 a

10．

3 2 时， y1 |最小值 ? f1 (1 ? a) ? 2a ? 2 , 2 1 y2 |最小值 ? a 2 ? 3a ? . 4 1 3 2 2 2 由 (2a ? 2) ? (a ? 3a ? ) ? (a ? ) ? 0 ，得[来源:Zxxk.Com] 4 2 1 3 y最小值 ? y2 |最小值 ? a 2 ? 3a ? ? 5 ? a ? . 4 2 ? 1 ? 14 6 综上，所求 a 的取值范围是 a ? 或a ? 。 2 2 2 2 由 f ( x) ? x ? 2 x ? 8 ? ( x ? 1) ? 9 得原函数图象的对称轴是 x ? 1 ，且当 x ? 1时，函数值 y 随着自变量 x 的增加而减少；当 x ? 1 时，函数值 y 随着自变量 x ?
? 1 ? 1 即 t ? 0 时，函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 8 , x ? [ t , t ? 1] 的最小值是 f (t ? 1) ； ? 1 时，函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 8 , x ? [ t , t ? 1] 的最小值是 ? 9 ；

的增加而增加。 当t

当0 ? t 当t

? 1时，函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 8 , x ? [ t , t ? 1] 的最小值是 f (t ) 。

所以，函数

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 8 , x ? [ t , t ? 1] 的最小值是 ?t 2 ? 9 , t ?0; ? ? (t ) ? ?? 9 , 0 ? t ?1; ?2 t ? 1. ?t ? 2t ? 8 , 当 ? 5 ? t ? 0 时， ? 最大值 (t ) ? ? ( ?5) ? 16 ; 当 0 ? t ? 1 时， ? 最大值 (t ) ? ?9 ; 当1 ? t ? 5 时， ? 最大值 (t ) ? ? (5) ? 7 . 所以， ? (t ) 在闭区间 [?5 , 5] 上的最大值为16 。

[来源:学科网 ZXXK]

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