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2016届高考数学复习 第九章 第四节 双曲线 理(全国通用) (2)


第四节

双曲线

考点一 双曲线的定义及标准方程 1.(2015?福建,3)若双曲线 E: - =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线 E 9 16 上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( A.11 B.9 ) C.5 D.3

x2

y2

解析 由双曲线定

义||PF2|-|PF1||=2a,∵|PF1|=3,∴P 在左支上,∵a=3,∴|PF2| -|PF1|=6,∴|PF2|=9,故选 B. 答案 B 2.(2015?安徽,4)下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=±2x 的是( A.x - =1 4 C. -x =1 4
2

)

y2
2

B. -y =1 4 D.y - =1 4
2

x2

2

y2

x2

解析 由双曲线性质知 A、B 项双曲线焦点在 x 轴上,不合题意;C、D 项双曲线焦点均在

y 轴上,但 D 项渐近线为 y=± x,只有 C 符合,故选 C.
答案 C

1 2

x y 5 3.(2015?广东,7)已知双曲线 C: 2- 2=1 的离心率 e= ,且其右焦点为 F2(5,0),则 a b 4
双曲线 C 的方程为( A. - =1 4 3 C. - =1 9 16 ) B.

2

2

x

2

y

2

x2
16

- =1 9

y2

x2

y2

D. - =1 3 4

x2 y2

c 5 2 解析 因为所求双曲线的右焦点为 F2(5,0)且离心率为 e= = ,所以 c=5,a=4,b a 4
=c -a =9,所以所求双曲线方程为 - =1,故选 B. 16 9 答案 B
2 2

x2

y2

x2 y2 4.(2014?天津,5)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+ a b
10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( A. - =1 5 20 )

x2

y2

B.

- =1 20 5
1

x2

y2

C.

3x 3y - =1 25 100

2

2

3x 3y D. - =1 100 25

2

2

解析 由题意可知,双曲线的其中一条渐近线 y= x 与直线 y=2x+10 平行,所以 =2 且左焦点为(-5,0),所以 a +b =c =25,解得 a =5,b =20,故双曲线方程为 - 5 20 =1.选 A. 答案 A 3 5.(2013?广东,7)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于 ,则 C 2 的方程是( A. - =1 4 5 C. - =1 2 5 ) B. - =1 4 5 D. - =1 2 5
2 2 2 2 2

b a

b a

x2

y2

x2

y2

x2 y2 x2

x2 y2

y2

解析 由曲线 C 的右焦点为 F(3,0),知 c=3. 3 c 3 由离心率 e= ,知 = ,则 a=2, 2 a 2 故 b =c -a =9-4=5, 所以双曲线 C 的方程为 - =1. 4 5 答案 B 考点二 双曲线的几何性质 1.(2015?四川,5)过双曲线 x - =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条 3 渐近线于 A,B 两点,则|AB|=( A. 4 3 3 B.2 3 ) C.6 D.4 3
2 2 2 2 2

x2 y2

y2

解析 焦点 F(2,0),过 F 与 x 轴垂直的直线为 x=2,渐近线方程为 x - =0,将 x=2 3 代入渐近线方程得 y =12,y=±2 3,∴|AB|=2 3-(-2 3)=4 3.选 D. 答案 D 2.(2015?新课标全国Ⅱ,11)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为 等腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为( A. 5 B.2 C. 3 ) D. 2
2

y2

解析 如图,设双曲线 E 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则|AB|

x a

2

y b

2

2

=2a,由双曲线的对称性,可设点 M(x1,y1)在第一象限内,过 M 作 MN⊥x 轴于点 N(x1, 0),∵△ABM 为等腰三角形,且∠ABM=120°,∴|BM|=|AB|=2a,∠MBN=60°,∴y1 =|MN|=|BM|sin∠MBN=2asin 60°= 3a,x1=|OB|+|BN|=a+2acos 60°=2a.将点

x2 y2 c M(x1,y1)的坐标代入 2- 2=1,可得 a2=b2,∴e= = a b a
答案 D

a2+b2 = 2,选 D. a2

3.(2015?新课标全国Ⅰ,5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y =1 上的一点,F1,F2 是 C 2 → → 的两个焦点,若MF1?MF2<0,则 y0 的取值范围是( 3 3? ? , ? 3? ? 3 ? 2 2 2 2? C.?- , ? 3 ? ? 3 A.?-
2

x2

2

)

3 3? ? , ? 6 ? ? 6 ? 2 3 2 3? D.?- , ? 3 ? ? 3 B.?-
2

x ? ? -y2=1, x 2 2 2 解析 由题意知 M 在双曲线 C: -y =1 上,又在 x +y =3 内部,由? 2 得y 2 2 2 ? ?x +y =3,
=± 3 3 3 ,所以- <y0< . 3 3 3

答案 A 4. (2014?广东, 4)若实数 k 满足 0<k<9, 则曲线 - =1 与曲线 - =1 的( 25 9-k 25-k 9 A.离心率相等 C.虚半轴长相等 B.实半轴长相等 D.焦距相等

x2

y2

x2

y2

)

解析 由 0<k<9,易知两曲线均为双曲线且焦点都在 x 轴上,由 25+9-k= 25-k+9, 得两双曲线的焦距相等,选 D. 答案 D 5.(2014?新课标全国Ⅰ,4)已知 F 为双曲线 C:x -my =3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( A. 3 B.3 ) C. 3m D.3m
2 2

解析 ∵双曲线的方程为 - =1,焦点 F 到一条渐近线的距离为 3. 3m 3 答案 A 6.(2014?重庆,8)设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存 9 在一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|?|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为( 4 )

x2

y2

x2 y2 a b

3

A.

4 3

B.

5 3

C.

9 4

D.3
2

解析 由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,又|PF1|+|PF2|=3b,所以(|PF1|+|PF2|)
2 2 2 2 2

-(|PF1|-|PF2|) =9b -4a ,即 4|PF1|?|PF2|=9b -4a ,又 4|PF1|?|PF2|=9ab,因此 2 1 b 4? b ?b? 9b ? 3b ? ? 3b ? ? 2 2 9b -4a =9ab,即 9? ? - -4=0,则? +1?? -4?=0,解得 = ? =- 舍去?,则 3 a a 3? a ?a? ?a ?? a ? ? 2 ?b? 5 1+? ? = . ?a? 3

双曲线的离心率 e= 答案 B

7.(2014?山东,10)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 2- 2=1,

x2 y2 a b

x2 y2 a b

C1 与 C2 的离心率之积为
A.x± 2y=0 C.x±2y=0

3 ,则 C2 的渐近线方程为( 2 B. 2x±y=0 D.2x±y=0
2 2

)

a -b a2+b2 a2-b2 a2+b2 解析 椭圆 C1 的离心率为 ,双曲线 C2 的离心率为 ,所以 ? a a a a
3 3 4 4 4 4 4 ,所以 a -b = a ,即 a =4b ,所以 a= 2b,所以双曲线 C2 的渐近线方程是 y= 2 4 1 ± x,即 x± 2y=0. 2 = 答案 A 8.(2014?大纲全国,9)已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1、F2,点 A 在 C 上.若|F1A| =2|F2A|,则 cos∠AF2F1=( A. 1 4 B. 1 3 ) C. 2 4 D. 2 3

解析

由双曲线的定义知 |AF1| - |AF2| = 2a ,又 |AF1| = 2|AF2| ,∴ |AF1| = 4a , |AF2| =

2a.∵e= =2,∴c=2a,∴|F1F2|=4a. |AF2| +|F1F2| -|AF1| ∴cos∠AF2F1= 2|AF2|?|F1F2|
2 2 2 2 2 2

c a

(2a) +(4a) -(4a) 1 = = ,故选 A. 2?2a?4a 4 答案 A 9.(2013?四川,6)抛物线 y =4x 的焦点到双曲线 x - =1 的渐近线的距离是( 3
2 2

y2

)

4

A.

1 2

B.

3 2

C.1

D. 3

解析 由题意可得,抛物线的焦点为(1,0), 双曲线的渐近线方程为 y=± 3x,即± 3x-y=0, |± 3-0| 3 由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离 d= = . 2 2 答案 B π x y y 10 .(2013?湖北, 5) 已知 0<θ < ,则双曲线 C1 : - = 1 与 C2 : - 2 2 2 4 cos θ sin θ sin θ
2 2 2

x2
sin θ tan θ
2 2

=1 的(

)

A.实轴长相等 C.焦距相等

B.虚轴长相等 D.离心率相等

解析 对于双曲线 C1:

x2
cos θ
2



y2
sin θ
2

=1,a1=cos θ ,b1=sin θ ,c1=1;
2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

对于双曲线 C2: 2 - 2 =1,a2=sin θ ,b2=sin θ tan θ , 2 sin θ sin θ tan θ
2 2 2 2 2 2 c2 2=sin θ +sin θ tan θ =sin θ (1+tan θ )=sin θ (1+

y2

x2

sin θ sin θ )= 2 2 cos θ cos θ

2

2

=tan θ . π ∵只有当 θ =kπ + (k∈Z)时, 4
2 2 2 2 2 a2 1=a2或 b1=b2或 c1=c2,

2

π 而 0<θ < ,∴排除 A,B,C. 4 1 tan θ 1 2 设双曲线 C1,C2 的离心率分别为 e1,e2,则 e = 2 ,e2= = 2 . 2 cos θ sin θ cos θ
2 1 2

故 e1=e2,即两双曲线的离心率相等. 答案 D 11.(2015?浙江,9)双曲线 -y =1 的焦距是______,渐近线方程是______. 2 解析 由双曲线方程得 a =2,b =1,∴c =3,∴焦距为 2 3,渐近线方程为 y=± 答案 2 3
2 2 2

x2

2

2 x. 2

y=±

2 x 2

12 .(2015?北京, 10) 已知双曲线 2 - y = 1(a > 0) 的一条渐近线为 3 x + y = 0 ,则 a = ________.

x2 a

2

5

解析 双曲线渐近线方程为 y=± x, ∴ = 3,又 b=1,∴a= 答案 3 3

b a

b a

3 . 3

13.(2015?湖南,13)设 F 是双曲线 C: 2- 2=1 的一个焦点,若 C 上存在点 P,使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为________. 解析 不妨设 F(c,0),则由条件知 P(-c,±2b),代入 2- 2=1 得 2=5,∴e= 5. 答案 5
2 2

x2 y2 a b

x2 y2 a b

c2 a

14. (2015?江苏, 12)在平面直角坐标系 xOy 中, P 为双曲线 x -y =1 右支上的一个动点. 若 点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为________. 解析 双曲线 x -y =1 的渐近线为 x±y=0,直线 x-y+1=0 与渐近线 x-y=0 平行, 故两平行线的距离 d= |1-0| 1 +1
2 2 2

2



2 .由点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,得 2

c≤

2 2 ,故 c 的最大值为 . 2 2 2 2

答案

15.(2014?浙江,16)设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近 线分别交于点 A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________. 解析 联立直线方程与双曲线渐近线方程 y =± x 可解得交点为 ?

x2 y2 a b

b a

? am , bm ? , ? ?3b-a 3b-a?

? -am , bm ?,而 k =1,由|PA|=|PB|,可得 AB 的中点与点 P 连线的斜率为-3,即 ?3b+a 3b+a? AB 3 ? ?
+ 3b-a 3b+a -0 2 =-3, am -am + 3b-a 3b+a -m 2 化简得 4b =a ,所以 e= 答案 5 2
2 2

bm

bm

5 . 2

16.(2012?江苏,8)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 -

x2 y2 =1 的离心率为 5,则 2 m m +4
6

m 的值为________.
解析 由双曲线标准方程 -

x2 y2 =1 知 2 m m +4

a2=m>0,b2=m2+4,
∴c =a +b =m+m +4, 由 e= 5,得 2=5,
2 2 2 2

c2 a

m+m2+4 ∴m>0 且 =5, m
∴m=2. 答案 2 17.(2014?江西,20)如图,已知双曲线 C: 2-y =1(a>0)的右焦点 为 F,点 A,B 分别在 C 的两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥

x2 a

2

OA(O 为坐标原点).
(1)求双曲线 C 的方程; (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l: 3 = 相交于点 N. 2 |MF| 证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值. |NF| (1)解 设 F(c,0),因为 b=1,所以 c= a +1, 1 直线 OB 的方程为 y=- x,
2

x0x -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x a2

a

1 直线 BF 的方程为 y= (x-c),

a

? ? 解得 B? ,- ?. 2a? ?2
c c
1 又直线 OA 的方程为 y= x,则

a

c ? c? -?- ? a ? 2a? 3 c? ? A?c, ?,kAB= = . c a ? a? c-
2 3 ? 1? x2 2 2 - 又因为 AB⊥OB,所以 ?? ?=-1,解得 a =3,故双曲线 C 的方程为 -y =1. a ? a? 3 (2)证明 由(1)知 a= 3,则直线 l 的方程为

x0x
3

-y0y=1(y0≠0),即 y=

x0x-3 . 3y0

7

? 2x0-3?; 因为直线 AF 的方程为 x=2,所以直线 l 与 AF 的交点为 M?2, 3y0 ? ? ? ? 3x0-3? 3 ?. 直线 l 与直线 x= 的交点为 N?3 2 ? , ? 2 3y0 ? ?2
则 |MF| 2= |NF|
2

(2x0-3) 2 (3y0)

2

?3x0-3? ? ? 1 ?2 ?
2

2

+ 2 4 (3y0) (2x0-3) = 2 9y0 9 2 + (x0-2) 4 4 4 (2x0-3) = ? 2 2, 3 3y0+3(x0-2) 因为 P(x0,y0)是 C 上一点,则 -y0=1,代入上式得 3 |MF| 4 (2x0-3) 2= ? 2 2 |NF| 3 x0-3+3(x0-2) 4 (2x0-3) 4 = ? 2 = , 3 4x0-12x0+9 3 |MF| 2 2 3 所求定值为 = = . |NF| 3 3 18.(2013?大纲全国,21)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, 离心率为 3,直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为 6. (1)求 a,b; (2)设过 F2 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|, |AB|,|BF2|成等比数列. (1)解 由题设知 =3,即 故 b =8a . 所以 C 的方程为 8x -y =8a . 将 y=2 代入上式, 求得 x=± 由题设知,2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 0

2

x2 y2 a b

c a

a2+b2 =9, a2

a2+ . a2+ = 6,解得 a2=1.
1 2

1 2

所以 a=1,b=2 2.

8

(2)证明 由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C 的方程为 8x -y =8.① 由题意可设 l 的方程为 y=k(x-3),|k|<2 2, 代入①并化简得(k -8)x -6k x+9k +8=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则
2 6k x1≤-1,x2≥1,x1+x2= 2 , k -8 2 2 2 2

2

2

9k +8 x1?x2= 2 . k -8 于是|AF1|= (x1+3) +y1 = (x1+3) +8x1-8=-(3x1+1), |BF1|= (x2+3) +y2 = (x2+3) +8x2-8=3x2+1. 由|AF1|=|BF1|得 -(3x1+1)=3x2+1, 2 即 x1+x2=- . 3 故 6k 2 =- , 2 k -8 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

4 2 解得 k = , 5 19 从而 x1?x2=- . 9 由于|AF2|= (x1-3) +y1 = (x1-3) +8x1-8 =1-3x1, |BF2|= (x2-3) +y2 = (x2-3) +8x2-8 =3x2-1, 故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4, |AF2|?|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16. 因而|AF2|?|BF2|=|AB| , 所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

9


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