tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

空间向量与立体几何.板块一.空间向量的基本定理与分解.学生版


板块一.空间向量的基本定理 与分解 典例分析
【例1】 关于空间向量的四个命题中正确的是( ) ??? 1 ??? 1 ??? ? ? ? A.若 OP ? OA ? OB ,则 P 、 A 、 B 三点共线 2 3 ???? ? ??? ??? ??? ? ? ? B.若 OM ? 2OA ? OB ? OC ,则 M 、 A 、 B 、 C 四点共面 ??? ???

? ? C. ?ABC 为直角三角形的充要条件是 AB ? AC ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? D.若 {a , ,} 为空间的一个基底,则 a ? b , ? c , ? a 构成空间的另一个基底 b c b c

?

?

??? ? ????? ? ???? ???? ? ? 【例2】 在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,下列四对向量:①AB 与 C1 D1 ;②AC1 与 BD1 ; ???? ???? ? ? ???? ???? ? ? ③ AD1 与 C1 B ;④A1 D 与 B1C .其中互为相反向量的有 n 对,则 n ? ( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

??? ? ???? ??? ???? ? ???? 1 ????? ? 【例3】 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, A1 E ? AC1 ,若 AE ? xAA1 ? y( AB ? AD) ,则 1 4 ,y? . x?
???? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? 【例4】 空间四边形 OABC 中,OA ? a , ? b , ? c , M 在 OA 上, 2OM ? MA ,N 点 且 OB OC ???? ? ? ? ? 为 BC 的中点,则 MN ? _______. (用向量 a , , 来表示.. ) b c

???? ???? ???? ???? ? ? ? 【例5】 棱长为 a 的正四面体 ABCD 中, AB ? BC ? AC ? BD 的值等于



??? ? ??? ? ? ? 【例6】 已知空间四边形 OABC ,点 M , N 分别为 OA , BC 的中点,且 OA ? a , OB ? b , ???? ? ? ? ? ???? ? ???? ? OC ? c ,用 a , b , c 表示 MN ,则 MN ? _______________.

【例7】 平 行 六 面 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , M 为 AC 和 BD 的 交 点 , 设 ???? ? ????? ? ???? ? ? A1B1 ? a , 1D1 ? b , 1 A ? c ,化简: A A

大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家...www.TopSage.com

1? 1? ? 1? 1? ? 1? 1? ? 1? 1? ? ①? a ? b ? c ;② a ? b ? c ;③ a ? b ? c ;④? a ? b ? c . 2 2 2 2 2 2 2 2
??? ???? ???? ???? ??? ???? ? ? B C D 【例8】 设 A , , , 是空间不共面的四点,且满足 AB ? AC ? AC ? AD ? AB ? AD ? 0 ,则
?BCD (

) B.直角三角形 D.三种都有可能

A.钝角三角形 C.锐角三角形
D C

A

B

【例9】 已知空间四边形 ABCD 中, AB ? CD , AC ? BD ,求证: AD ? BC .
A

B

D

C

【例10】 如图,在空间四面体 ABCD 中, P 、 Q 、 M 、 N 分别为边 AB 、 AD 、 BC 、 CD 的中点, 化简下列各表达式,并在图中标出化简结果的向量:
A

P

Q

B M C ??? ??? ??? ? ? ? ⑴BA ? CA ? CD ; N

D

??? 1 ??? ??? ? ? ? ⑵AB ? ( BC ? BD) ; 2 ???? ??? ??? ? ? 1 ⑶ ( AD ? BD) ? CD . 2
大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家...www.TopSage.com

? ? ? ? ? ? ? ? ? 【例11】 已知 a 和 b 是非零向量,且 | a | = | b | = | a ? b | ,求 a 与 a ? b 的夹角.

?? ?? ? ??? ?? ?? ??? ? ? ? ?? ?? ???? ?? ?? ? ? 【例12】 已知两个非零向量 e1 ,2 不共线, 如果 AB ? e1 ? e2 ,AC ? 2e1 ? 8e2 ,AD ? 3e1 ? 3e2 , e
B C D 求证: A , , , 共面;

??? 1 ??? 2 ??? 2 ???? ? ? ? B C 【例13】 已知 A , , 三点不共线,对空间中一点 P ,满足条件 OP ? OA ? OB ? OC , 5 5 5 B C 试判断:点 P 与 A , , 是否一定共面?

【例14】 设四面体 OABC 的对边 OA ,BC 的中点分别为 P ,Q ;OB ,CA 的中点分别为 R ,
S ;OC , AB 的中点分别为 U ,V 时,试证明三线段 PQ , RS ,UV 的中点重合.
O

P R A V B

U

S Q

C

??? ? ???? ? ???? ? ? ? 【例15】 已知斜三棱柱 ABC ? A?B ?C ? ,设 AB ? a , ? b,AA ? c,在面对角线 AC ? 和棱 AC ???? ? ???? ? ???? ??? ? ? ??? ? BC 上分别取点 M 和 N ,使得 AM ? k AC? , ? k BC(0 ≤ k ≤1) ,求证: MN 与 BN ? ? c 向量 a , 共面.

【例16】 如图所示,在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,P 是 CA1 的中点,M 是 CD1 的中点, ??? ? ???? ? ???? ? ? N 是 C1 D1 的中点,点 Q 在 CA1 上,且 CQ : QA1 ? 4 :1 ,设 AB ? a , ? b , ? c , AD AC ? ? ? 用基底 {a , ,} 表示以下向量: b c ??? ? ???? ? ???? ???? ⑴ AP ;⑵AM ;⑶AN ;⑷AQ .

BD G CD 【例17】 已知空间四边形 ABCD ,连结 AC , ,设 M , 分别是 BC , 的中点,化简下

列各表达式,并标出化简结果向量: ??? ??? ??? ? ? ? ⑴AB ? BC ? CD ; ??? 1 ??? ??? ? ? ? ⑵AB ? ( BD ? BC ) ; 2
大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家...www.TopSage.com

???? 1 ??? ???? ? ⑶AG ? ( AB ? AC) . 2
A

B M C G

D

【例18】 已 知 三 棱 锥 O ? A B C, OA ? 4 , OB ? 5 , OC ? 3 , ?AOB ? ?BOC ? 60? ,
?COA ? 90? , M 、 N 分别是棱 OA 、 BC 的中点,求:直线 MN 与 AC 所成角的

余弦值.

【例19】 已知 S 是边长为 1 的正三角形所在平面外一点,且 SA ? SB ? SC ? 1 , M , N 分别 是 AB , SC 的中点,求异面直线 SM 与 BN 所成角的余弦值.

【例20】 已知平行六面体 ABCD ? A?B?C ?D? ,如图,在面对角线 AD? , BD 上分别取点 M , ???? ? ???? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ? ???? ? ? N ,使 AM ? ? AD? , BN ? ? BD (0 ? ? ? 1) ,记 AB ? a , AD ? b , AA? ? c , ???? ???? ???? ???? ? ? ? ? ? ? ? 1 ⑴ ? ? ,用基底 {a , ,} 表示向量 AC ? 、 A?C 、 MC 、 C ?N . 若 b c 2 ???? ? ? ? ⑵ 求证:向量 MN 与向量 a , c 共面.
D' A' M B' C'

D A

C N B

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【例21】 已知三个非零向量 i , , 不共面,a ? i ? 2 j ? 3k ,b ? 3i ? 2 j ? k ,c ? 7i ? 8 j ? 9k , j k ? ? ? 求证: a , , 这三个向量共面; b c

B C 【例22】 设点 O 为空间任意一点,点 A , , 是空间不共线的三点,又点 P 满足等式: ??? ? ??? ? ??? ? ???? y z A B C OP ? xOA ? yOB ? zOC , 其中 x , , ? R , 求证: P , , , 四点共面的充要

大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家...www.TopSage.com

条件是 x ? y ? z ? 1 .

【例23】 如图, 在空间四边形 OABC 中,OA ? 8 ,AB ? 6 ,AC ? 4 ,BC ? 5 ,?OAC ? 45? ,
?OAB ? 60? ,求 OA 与 BC 的夹角的余弦值. O

A

C

B

N 【例24】 如图,已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直,点 M , 分别是对角线 BD , 的中点.求证: MN ∥ 平面 CDE . AE
F N A M B C E

D

??? 1 ??? 2 ??? 2 ???? ? ? ? B C 【例25】 已知 A , , 三点不共线,对空间中一点 P ,满足条件 OP ? OA ? OB ? OC , 5 5 5 B C 试判断:点 P 与 A , , 是否一定共面?

BC AC N 【例26】 如图,已知空间四边形 OABC ,其对角线 OB , , M , 分别是对边 OA , 的 ???? ??? ??? ???? ? ? 中点, G 在线段 MN 上, MG ? 2GN , 点 且 用基底向量 OA , , 表示向量 OG . OB OC
O

M C A G N

B

大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家...www.TopSage.com

Q M N AD BC CD 【例27】 如图, 在四面体 ABCD 中,P , , , 分别为边 AB , , , 的中点,G 为
?BCD 的重心.

???? 1 ??? ???? ???? ? ⑴ 求证: AG ? ( AB ? AC ? AD) . 3 ??? ? ???? ? ???? ? ? ???? ???? ???? ? ? ? ⑵ AB ? a , AC ? b , AD ? c ,用基底 {a , ,} 表示向量 BG 、 QG 、 PN . 记 b c
A

P

Q

B M C G N

D

B 【例28】 在 60? 的二面角的棱上,有 A , 两点,线段 AC 、 BD 分别在二面角的两个面内,

且都垂直于 AB ,已知 AB ? 4 , AC ? 6 , BD ? 8 . ⑴ CD 的长度; 求 ⑵ CD 与平面 ? 所成的角. 求
C B A E D?

?

大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家...www.TopSage.com


推荐相关:

高中数学完整讲义——空间向量与立体几何1.空间向量的基本定理与分解

高中数学完整讲义——空间向量与立体几何1.空间向量的基本定理与分解_数学_高中教育_教育专区。高中数学讲义 板块一.空间向量的基本定理 与分解 典例分析【例1】 ...


空间向量与立体几何.板块五.用空间向量解柱体问题(1).学生版

空间向量与立体几何.板块五.用空间向量解柱体问题(1).学生版 学而思高中数学讲义全部word版学而思高中数学讲义全部word版隐藏>> 板块五.用空间向量解柱体问 题(1...


高中数学选修2-1-空间向量与立体几何

高中数学选修2-1-空间向量与立体几何_数学_高中教育...空间向量基本定理 平行与垂直的条件 空间向量的坐标...掌握空间向量的正交分解及其坐标表 示; ③ 掌握空间...


【精题分解】空间向量与立体几何

空间向量与立体几何解答题... 7页 20财富值 空间向量与立体几何.板块一... ...B. C.1 D. 知识点: 知识点:复习:8.空间向量及其运算 题型:选择题纠错链接...


空间向量与立体几何知识点

空间向量与立体几何知识点 1空间向量的加法和减法: (1) 求两个向量和的...b ≤ a b . 12、空间向量基本定理:若三个向量 a , b , c 不共面,则...


空间向量与立体几何

1、本章教学目标: (1)空间向量及其运算①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. ②了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交 分解...


空间向量与立体几何知识总结(高考必备!)

学生签名: 教学步骤及内容 空间向量与立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标...有分解才有组合, 组合是分解的表现形式。 空间向量基本定理恰好说明, 用空间三...


空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)

空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)_数学_高中...a+?? b. (2)空间向量的基本定理: ①共线(平行...空间向量的一个基底{i,j,k} ,由空 间向量分解...


(强烈推荐!)空间向量与立体几何教案

空间向量与立体几何一、知识网络: 空间向量的加减...空间向量基本定理 平行与垂直的条件 空间向量的坐标...掌握空间向量的正交分解及其坐标 表示; ③ 掌握空间...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com