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2.1.1 椭圆的标准方程(上课用)


生 活 中 的 椭 圆

如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢?

星系中的椭圆

——仙女座星系

——“传说中的”飞碟

太阳系行星的运动

土星 金星 太阳 地球 月亮

p3

木星



数学实验
? (1)取一条细绳, ? (2)把它的两端固定在板 上的两个定点F1、F2 ? (3)用铅笔尖(M)把细 绳拉紧,在板上慢慢移 动看看画出的 图形

思 1.在椭圆形成的过程中,细绳的两端的位置是固定的还是运动 考 的?
2.在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么? 3.在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离大小有怎样的关 系?

请你归纳出椭圆的定义,它应该包含几个要素? (1)由于绳长固定,所以点M到两 个定点的距离和是个定值 (2)点M到两个定点的距离和要大 于两个定点之间的距离
F 1

M

F 2

1、椭圆的定义
椭圆定义的文字表述: ? 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数 (2a) (大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。 ? 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 ? 两焦点之间的距离叫做焦距(2C)。
椭圆定义的符号表述: M F1 F2

MF1 ? MF2 ? 2a
(2a>2c)

1. 改变两定点之间的距离,使其与 绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?

2.绳长能小于两定点之间的距离吗?

注:椭圆的定义需要注意以下几点 1)平面上----这是大前提 2)动点M到两定点F1,F2的距离之和是常数2a 3)常数2a要大于焦距2C
1.当2a>2c时,轨迹是( 椭圆 )

2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以F1、F2为端 点的线段. 3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在. 4.当c=0时,轨迹为圆.

练习:用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。 (1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。 因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4,故点M的轨迹为椭圆。 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。 因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4,故点M的轨迹不是椭圆

(是线段F1F2)。 (3)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。
因|MF1|+|MF2|=4<|F1F2|=4,故点M的轨迹不存在。

? 回忆在必修2中是如何求圆的方程的? 以圆心O为原点,建立直角坐标系 设圆上任意一点P(x,y) y
?

P( x, y)
x

r
O
?

?| OP |? r 2 2 ? x ? y ?r
两边平方,得

x ?y ?r
2 2

2

求曲线方程的方法步骤是什么? 建系

建立适当的直角坐标系;
设M(x,y)是曲线上任意一点; 由限制条件,列出几何 等 式,写出适 合条件P的点M的集合P={M|P(M)}

设点
列式

代换 化简

用坐标法表示条件P(M),列出方程 f(x,y)=0,化简方程f(x,y)=0.

? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O

y M
O F2

xxx

x

建立平面直角坐标系通常遵循的原则:对称、“简 洁”

2.椭圆的标准方程的推导
解:取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂 直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图). y 设M(x, y)是椭圆上任意一 M 点,椭圆的焦距2c(c>0),M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ,则F1、F2的坐 F2 F1 0 标分别是(?c,0)、(c,0) .
由椭圆的定义得,限制条件: MF 1 ? MF 2 ? 2a
代入坐标 MF1 ? ( x ? c) 2 ? y 2 , MF2 ? ( x ? c) 2 ? y 2

x

得方程 ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a
(问题:下面怎样化简?)

移项,再平方

( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2

a 2 ? cx ? a
两边再平方,得

( x ? c) 2 ? y 2

a 4 ? 2a 2cx ? c2 x 2 ? a 2 x2 ? 2a 2cx ? a 2c2 ? a 2 y 2
整理得 (a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )
由椭圆定义可知 2a ? 2c, 即a ? c, 所以

b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2
两边除以 a 2b 2 得

a 2 ? c 2 ? 0, 设 a 2 ? c 2 ? b 2 (b ? 0),

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

y
?

P( x, y)
F2
?

椭圆的标准方程:
2 2

?

F1

o

x

x y ( a > b > 0). ? ? 1 2 2 a b
它所表示的椭圆的焦点在x轴上,焦点
是F1(-c, 0)、F2(c, 0),且c2=a2-b2.

如果使点F1、F2在y轴上,点F1、F2 的坐标是F1(0,-c)、F2(0, c), 则椭圆方程为:

y x ? 2 ?1 2 a b
(a>b>0).

2

2

?椭圆的标准方程的特点:
Y
M M F1 (-c,0)
2 2

Y F2(0 , c)

O

F2 (c,0)

X
2

O
F1(0,-c)

X

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 (3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。

(4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一

个坐标轴上。

椭圆的标准方程
定义

|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|)
y y
M F2 x
F1
M

图形

F1

O

O
F2

x

方程 焦点 a 、 b、 c 之间的关 系

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

?a ? b ? 0?

(c,0)、(?c,0)

x2 y2 ? 2 ?1 2 b a

?a ? b ? 0?

(0,c)、(0,?c)

b2=a2?c2

分母哪个大,焦点就在哪一坐标轴上

练习: 1.口答:下列方程哪些表示椭圆?
x2 y2 (1) ? ?1 16 16
x2 y2 ( 2) ? ?1 25 16
x2 y2 (3) 2 ? 2 ?1 m m ?1

(4)9x 2 ? 25y 2 ? 225 ? 0

(5) ? 3x ? 2 y ? ?1
2 2

2.判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上,并指明a2,b2,写出 焦点坐标。

x y 1)  ? ? 1 答:在 x 轴上(-3,0)和(3,0) 25 16 2 2 x y 2)  ? ? 1 答:在 y 轴上(0,-5)和(0,5) 144 169 2 2 x y 3)  2 ? 2 ? 1 答:在y 轴上(0,-1)和(0,1) m m ?1
焦点在分母大的那个轴上。

2

2

x y 3.已知方程 + =1 表示焦点在x轴

2

2

4

m

上的椭圆,则m的取值范围是
2 2

(0,4)

.

x y 变式:已知方程 + =1 m- 1 3- m
表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范 围是 (1,2) .

例题
例1、填空:

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 准则: 焦点在分母大的那个轴上。

x2 y2 ? 1 ,则 (1)已知椭圆的方程为: ? 25 16 5 ,b=_______ 4 a=_____ ,c=_______ ,焦点坐标 3 6 (3,0)、(-3,0) 焦距等于______; 为:____________ 若CD为过 左焦点F1的弦,则?F2CD的周长为________ 20
C

|CF1|+|CF2|=2a
F1 D F2

|DF1|+|DF2|=2a

例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程

(1)已知a ? 6, b ? 2, 焦点在 x轴上
x y ? ?1 36 4
2 2

(2)已知a ? 5, c ? 3 2 2 2 2 x y x y ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25
小结:先定位(焦点)再定量(a,b,c) 椭圆的焦点位置不能确定时,椭圆的标准方程一般有 两种情形,必须分类求出

例3、两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2) 并且椭圆经过点(-3/2,5/2),求椭圆的方程。
解:已知焦点为(0,-2)(0,2).可知焦点在y轴上, 并且2C=4,可以设所求椭圆 M y

由椭圆的定义知:
2a ?

y x 椭圆方程为: ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

F
2

0

x

F
1 2

3 2 5 3 2 5 2 (- ) +( ? 2) ? (- ) +( -2)=2 10 2 2 2 2
2 2 2

? a ? 10  c ? 2 ?  b ? a -c ? 6
所以椭圆的方程为: y ? x ? 1 10 6
2 2

例4、椭圆的两个焦点的坐标分别是(-4, 0 )、( 4 , 0 ), 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10,求椭圆的标准方程。

解: ∵椭圆的焦点在x轴上
x2 y2 ∴设它的标准方程为: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b
y

∵ 2a=10, 2c=8

M
F1
2 2

∴ a=5, c=4
∴ b2=a2-c2=52-42=9

o

F2

x

x y ∴所求椭圆的标准方程为: 25 ? 9 ? 1

求轨迹(轨迹方程): 1、定义法 2、代入法(相关点法) 第一步,设所求动点的坐标为M(x, y); 第二步,设相关点A(x0, y0) ; 第三步,用x, y表示x0,y0; 第四步,将点A(x0, y0)代入满足的条件

第五步,化简.

例5、平面内两个定点的距离是8,写出到这两个定点 距离之和是10的点的轨迹方程。 解:这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点,用 F1、 F2表示,取过点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平 分线为y 轴建立直角坐标系。 ∵2a =10 2c =8 ∴a =5 c =4
y

b2= a2?c2=9,

b =3

P F1 o F2 x

因此这个椭圆的标准方程是:

x2 y2 x2 y2 ? 2 ?1 即 ? ?1 2 25 9 5 3

定义法求轨迹方程。

变题1:已知△ABC的一边BC固定,长为8,周长为 18,求顶点A的轨迹方程。
解:以BC的中点为原点,BC所在的直线为x轴建立

直角坐标系。 根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭
. 圆,且焦点在 x轴上,所以可设椭圆的标准方程为 : 注意:求出曲线的方程后,要注意检查一下 2 2 x y y 方程的曲线上的点是否都是符合题意。 ? ? 1( a ? b ? 0) 2 2 a b A

∵ 2a=10, 2c=8

∴ a=5, c=4
2 2

B o

C x

∴ b2=a2-c2=52-42=9
∴所求椭圆的标准方程为:

x y ?  ( ? 1  y 25 9

?  0)


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