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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第二章第5课时课后达标检测


[基础达标] 一、选择题 + 1.(2014· 武汉市部分学校高三联考)已知幂函数 f(x)=x2 m 是定义在区间[-1,m]上的奇 函数,则 f(m+1)=( ) A.8 B.4 C.2 D.1 解析:选 A.由题意,-1+m=0,解得 m=1,所以 f(x)=x3.所以 f(m+1)=f(2)=23=8. 故选 A. - 2.(2014· 湖北黄冈中学质检)幂函数 y=x

1,y=xm 与 y=xn 在第一象限内的图象如图所 示,则 m 与 n 的取值情况为( )

A.-1<m<0<n<1 B.-1<n<0<m C.-1<m<0<n D.-1<n<0<m<1 答案:D 3. (2013· 高考浙江卷)已知 a, b, c∈R, 函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1), 则( ) A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0 解析:选 A.因为 f(0)=f(4)>f(1),所以函数图象应开口向上,即 a>0,且其对称轴为 x b =2,即- =2,所以 4a+b=0,故选 A. 2a 4.(2014· 广东江门、佛山模拟)已知幂函数 f(x)=xα,当 x>1 时,恒有 f(x)<x,则 α 的 取值范围是( ) A.0<α<1 B.α<1 C.α>0 D.α<0 解析:选 B.当 x>1 时,恒有 f(x)<x,即当 x>1 时,函数 f(x)=xα 的图象在 y=x 的图 象的下方,作出幂函数 f(x)=xα 在第一象限的图象.由图象可知 α<1 时满足题意,故选 B. 5.(2014· 广东中山调研)若函数 f(x)=x2-ax-a 在区间[0,2]上的最大值为 1,则实数 a 等于( ) A.-1 B.1 C.2 D.-2 2 解析:选 B.∵函数 f(x)=x -ax-a 的图象为开口向上的抛物线, ∴函数的最大值在区间的端点取得,∵f(0)=-a,f(2)=4-3a, ?-a>4-3a ?-a≤4-3a ? ? ∴? 或? ,解得 a=1,故选 B. ? ? ?-a=1 ?4-3a=1 二、填空题 6. 二次函数的图象过点(0,1), 对称轴为 x=2, 最小值为-1, 则它的解析式为________. 解析:依题意可设 f(x)=a(x-2)2-1, 又其图象过点(0,1), 1 ∴4a-1=1,∴a= . 2

1 ∴f(x)= (x-2)2-1. 2 1 答案:f(x)= (x-2)2-1 2 7.(2014· 山东师大附中高三期中)“a=1”是“函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2,+∞) 上为增函数”的________条件. -4a 解析: 函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2, +∞)上为增函数, 则满足对称轴- =2a≤2, 2 即 a≤1, 所以“a=1”是“函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2, +∞)上为增函数”的充分不必 要条件. 答案:充分不必要 8.已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,则实数 m 的取值范围是________. 解析:∵0.71.3<0.70=1=1.30<1.30.7, ∴0.71.3<1.30.7,∴m>0. 答案:(0,+∞) 三、解答题 9.设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值 g(a). 解:∵函数 y=x2-2x=(x-1)2-1. ∴对称轴为直线 x=1,而 x=1 不一定在区间[-2,a]内,应进行讨论. 当-2<a<1 时,函数在[-2,a]上单调递减. 则当 x=a 时,ymin=a2-2a;当 a≥1 时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递 增,则当 x=1 时,ymin=-1. 2 ? ?a -2a,-2<a<1, ? 综上,g(a)= ?-1,a≥1. ? 10.是否存在实数 a,使函数 f(x)=x2-2ax+a 的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]? 若存在,求 a 的值;若不存在,说明理由. 解:f(x)=(x-a)2+a-a2. 当 a<-1 时,f(x)在[-1,1]上为增函数, ? ?f?-1?=1+3a=-2 ∴? ?a=-1(舍去); ?f?1?=1-a=2 ?
?f?a?=a-a2=-2 ? 当-1≤a≤0 时,? ?a=-1; ? ?f?1?=1-a=2
2 ? ?f?a?=a-a =-2 当 0<a≤1 时,? ?a 不存在; ?f?-1?=1+3a=2 ?

当 a>1 时,f(x)在[-1,1]上为减函数, ? ?f?-1?=1+3a=2 ∴? ?a 不存在. ?f?1?=1-a=-2 ? 综上可得,a=-1. ∴存在实数 a=-1 满足题设条件. [能力提升] 一、选择题 1? 1.已知 y=f(x)是偶函数, 当 x>0 时,f(x)=(x-1)2, 若当 x∈? ?-2,-2?时,n≤f(x)≤m 恒成立,则 m-n 的最小值为( ) 1 A. 3 3 C. 4 解析:选 D.当 x<0 时,-x>0, 1 B. 2 D.1

f(x)=f(-x)=(x+1)2. 1? ∵x∈? ?-2,-2?, ∴f(x)min=f(-1)=0,f(x)max=f(-2)=1, ∴m≥1,n≤0,m-n≥1. 2.已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若 x1<x2,x1+x2=1-a,则( ) A.f(x1)=f(x2) B.f(x1)<f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 解析:选 B.函数的对称轴为 x=-1, x1+x2 设 x0= , 2 1-a 1 由 0<a<3 得到-1< < . 2 2 又 x1<x2,用单调性和离对称轴的远近作判断,故选 B. 二、填空题 3. 已知函数 f(x)=x2-2ax+2a+4 的定义域为 R, 值域为[1, +∞), 则 a 的值为________. 解析:由于函数 f(x)的值域为[1,+∞), 所以 f(x)min=1. 又 f(x)=(x-a)2-a2+2a+4, 当 x∈R 时,f(x)min=f(a)=-a2+2a+4=1, 即 a2-2a-3=0, 解得 a=3 或 a=-1. 答案:-1 或 3 ?-x2+ax,x≤1, ? 4. (2014· 江苏扬州中学期中)已知函数 f(x)=? 若?x1, x2∈R, x1≠x2, ?ax-1,x>1, ? 使得 f(x1)=f(x2)成立,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由已知?x1,x2∈R,x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,则需 x≤1 时,f(x)不单调即 a 可,即对称轴 <1,解得 a<2. 2 答案:(-∞,2) 三、解答题 5.(2014· 辽宁五校联考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x2 +2x.现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象,如图所示,请根据图象:

(1)写出函数 f(x)(x∈R)的增区间; (2)写出函数 f(x)(x∈R)的解析式; (3)若函数 g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数 g(x)的最小值. 解:(1)f(x)在区间(-1,0),(1,+∞)上单调递增. (2)设 x>0,则-x<0,函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x2+2x, ∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0), ?x2-2x?x>0?, ? ∴f(x)=? 2 ?x +2x?x≤0?. ?

(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,对称轴方程为 x=a+1, 当 a+1≤1,即 a≤0 时,g(1)=1-2a 为最小值; 当 1<a+1≤2,即 0<a≤1 时,g(a+1)=-a2-2a+1 为最小值; 当 a+1>2,即 a>1 时,g(2)=2-4a 为最小值. 1-2a?a≤0?, ? ? 2 综上 g(x)min=?-a -2a+1?0<a≤1?, ? ?2-4a?a>1?. 6.(选做题)已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R). (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1, ? ?f?x?,x>0, F(x)=? 求 F(2)+F(-2)的值; ?-f?x?,x<0, ? (2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围. b 解:(1)由已知 c=1,a-b+c=0,且- =-1, 2a 解得 a=1,b=2,∴f(x)=(x+1)2. 2 ? ??x+1? ,x>0, ? ∴F(x)= 2 ?-?x+1? ,x<0. ? ∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8. (2)f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1 在(0,1]上恒成立, 1 1 即 b≤ -x 且 b≥- -x 在(0,1]上恒成立. x x 1 1 又 -x 的最小值为 0,- -x 的最大值为-2. x x ∴-2≤b≤0. 故 b 的取值范围是[-2,0].


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