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成都市大弯中学高15级高一下期期中考试数学试题(含有答案)


大弯中学高 2015 级数学半期考试模拟
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求. )
1. cos 4 A.0 2.已知向量 为( A.﹣4 ) B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1

?
8

? sin 4

?
8

/>?( )
2 2
C.1 , D.

B.-

2 2
,若 ,则实数λ 的值

3.等比数列 {an } 的各项为正数, 且 a5a6 A.12 B.10 C.8

? a4a7 ? 18, 则log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ?(
D.2+ log3 5 )



4.在△ABC 中,a=2,A=30°,C=45°,则 S△ABC=( A. B. C. D.

5.已知点

、 B1 A (? 11) ,) , 2 ( )

、 C (?2, ?1) 、 D (3, 4) ,则向量 CD 在

??? ?

??? ? AB 方向上的投影( )

A.

3 2 2

B. 3

5

C. ?

3 2 2

D. ?3

5
,则角 C 的值为( )

6.在△ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,若 A. B. C. 或 D. 或

8.设等差数列 ( )

的前

项和为

且满足



中最大的项为

9. 已知向量

? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ??? AB 、AC 、 AD 满足 AC ? AB ? AD , AB ? 2 , AD ? 1 , E 、F 分别是线段 BC 、


???? ??? ? ??? ? ???? 5 CD 的中点.若 DE ? BF ? ? ,则向量 AB 与向量 AD 的夹角为( 4

A.

π 3

B.

2π 3

C.

π 6

D.

5π 6

10. 已知向量 m=(-1,cos ω x+ 3sin ω x),n=(f(x),cos ω x),其中ω >0,且 m⊥n,又函数 f(x) π sin?α + ? 4 3π 3 π 23 的图象任意两相邻对称轴的间距为 ,设α 是第一象限角, 且 f( α + )= , =( 2 2 2 26 cos?4π +2α ?

).

A. B. C. D. 11. 锐角三角形的内角分别是 A、B、C,并且 A>B.下面三个不等式成立的是( ①sin A>sin B; ②cos A<cos B; ③sin A+sin B>cos A+cos B. A. ①② B. ② C. ②③ D. ①②③

)

12.如题图,已知点 D 为 ?ABC 的边 BC 上一点, BD 满足

? 3DC , En (n ? N? ) 为边 AC 上的列点,


En A?

1 a ?( 3 a D其 中 实 数 列 ?an ? n ?1 E n B n? 2 ) E n , 4


an ? 0, a1 ? 1 ,则 ?an ? 的通项公式为(

A. 3 ? 2

n ?1

?2

B. 2

n

?1

C. 3

n

?2

D. 2 ? 3

n ?1

?1

二、填空题(本大题共 4 小题,每 题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上.)
13.已知△ABC 的面积为

3,A?

?
6

,则

??? ? ??? ? AB ? CA 的值为

.

14.已知 ? , ? ? ?

3 ? 12 ? ? 3? ? , ? ? , sin(? ? ? ) ? ? ,sin(? ? ) ? ,则 cos(? ? ) ? _____________. 5 4 13 4 ? 4 ?

15.数列

{an }

an ? n 2 (sin 2
的通项

n? n? ? cos 2 ), 3 3 其前 n 项和为 Sn ,则 S30 =______.

16.如图所示,位于东海某岛的雷达观测站 A,发现其北偏东

45? ,与观测站 A 距离

20 2 海里的 B 处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站 A
东偏北

? (0? ? ? ? 45? ) 的 C 处,且 cos? ?

4 , 已知 A、 C 两处的距离为 10 海里, 5

则该货船的船速为海里/小时___________.

三.解答题(17-21 每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.)

17.已知|a|=2,|b|=3,a 与 b 的夹角为 60° ,c=5a+3b,d=3a+kb,当实数 k 为何值时, (1)c∥d;(2)c⊥d.

18.已知 ?an ?是首项为 1,公差为 2 的等差数列.

? 1 ? (I)求 ?an ?的通项公式及 ? ? 的前 n 项和; ? an an ?1 ?
(II) 设 S n 表示 ?an ?的前 n 项和, 公比 q 满足 q 2 ? ?a4 ? 1?q ? S 4 ? 0 , ?bn ?是首项为 2 的等比数列, 求 ?bn ?的通项公式及其前 n 项和 Tn .

19. 已知函数 f(x)=2sin 2xsin φ+cos2xcos φ-2sin(2+φ)(0<φ<π),其图象过点(6,2).
(1)求 φ 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 , 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x)的图 2 π 象,求函数 g(x)在[0, ]上的最大值和最小值. 4

1

1

π

π 1

20. 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 中 , Sn 是 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 对 任 意 n ? N * , 有

2Sn ? a2 n ? an.
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 是首项和公比为 2 的等比数列,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Tn .

21. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? a ? b , 其中 a ? (2cos x, ? 3sin 2x) ,b ? (cos x,1) ,x ? R . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调递减区间; (Ⅱ) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,f ( A) ? ?1 , 且向量 m ? (3,sin B) a? 7, 与 n ? (2,sin C ) 共线,求边长 b 和 c 的值.

22.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 1 ? (1)求证:数列 ?bn ? 为等差数列;

1 1 , bn ? ,其中 n ? ?? . 4an 2an ? 1

(2)设 cn ? 2bn ,试问数列 ?cn ? 中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,求出 这三项;若不存在,说明理由.

m ? ?1? ? (3)已知当 n ? ? 且 n ? 6 时, ?1 ? ? ? ? ? ,其中 m ? 1 , 2 , ??? , n ,求满足 ? n?3? ? 2?
?

n

m

n n n 等式 3 ? 4 ? ??? ? ? n ? 2 ? ? ? bn ? 3? 的所有 n 的值. n b

参考答案: DBBCB ACDAC DD

-6

?

56 65

-470

12 . D 因 为 B D? 3 D C , 所 以 EnC ? ? En B ?

???? ? ???? ? ? 4 ???? ? 1 ???? En D . 设 mEnC ? En A , 则 由 3 3 ???? ? ???? ? 1 ???? ? 1 1 4 En A ? an ?1 En B - (3an ? 2) En D , 得 ? m ? an ?1 , m ? ?(3an ? 2) , 所 以 4 3 3 4 1 1 an ?1 ? (3an ? 2) ,所以 an?1 ? 1 ? 3(an ? 1) .因为 a1 ? 1 ? 2 ,所以数列 {an ? 1} 是以 2 4 4
? ? ?? ? ? ??
???? ?

为首项,3 为公比的等比数列,所以 an ? 1 ? 2 ? 3n ?1 ,所以 an ? 2 ? 3n ?1 ? 1 ,故选 D. 16. 4 85 由已知, sin ? ?

3 , ?BAC ? 450 ? ? , 5

所以, cos ?BAC ? cos(450 ? ?) =

2 7 2 , (cos? +sin?)= 2 10

由余弦定理得, BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos(450 ? ?)

=800+100-2 ? 20 2 ?10 ?

7 2 , ? 340 ,故 BC ? 2 85 (海里) 10

该货船的船速为 4 85 海里/小时. 1 17.解 由题意得 a· b=|a||b|cos 60° =2×3× =3. 2 (1)当 c∥d,c=λd,则 5a+3b=λ(3a+kb). 9 ∴3λ=5,且 kλ=3,∴k= . 5 (2)当 c⊥d 时,c· d=0,则(5a+3b)· (3a+kb)=0. 29 2 2 ∴15a +3kb +(9+5k)a· b=0,∴k=- . 14 18. (I) an ? 2n ? 1 (II) bn ? 22 n ?1 , T ? 2 ? 4n ? 1? n 3 (I)因为 ?an ?是首项 a1 ? 1 ,公差 d 所以 an ? a1 ? ?n ?1?d ? 2n ?1 故 有
? 2 的等差数列,

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, an an?1 ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1 1 1 1 ? 1? 1 ?1 1? 1? 1 1 ? 1? 1 ? n ? ?? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? a1a2 a2 a3 an an?1 2 ? 3 ? 2 ? 3 5 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1

(II)由(I)得,S n ? 1 ? 3 ? ? ? ?2n ? 1? ?

n?a1 ? an ? n?1 ? 2n ? 1? ? ? n 2 ,a4 ? 7, S4 ? 16. 2 2
2

因为 q 2 ? ?a4 ? 1?q ? S4 ? 0 ,即 q 2 ? 8q ? 16 ? 0 所以 ?q ? 4? ? 0 ,从而 q ? 4 又因 b1 ? 2 , 是 ?bn ?公比 q ? 4 的等比数列,所以 bn ? b1q n?1 ? 2 ? 4n?1 ? 22n?1

b1 1 ? q n 2 从而 ?bn ?得前 n 项和 Tn ? ? 4n ? 1 1? q 3

?

?

?

?

1 1 π 19.解 (1)因为 f(x)= sin 2xsin φ+cos2xcos φ- sin( +φ)(0<φ<π), 2 2 2 1+cos 2x 1 1 所以 f(x)= sin 2xsin φ+ cos φ- cos φ 2 2 2 1 1 = sin 2xsin φ+ cos 2xcos φ 2 2 1 = (sin 2xsin φ+cos 2xcos φ) 2 1 = cos(2x-φ). 2 π 1 又函数图象过点( , ), 6 2 1 1 π 所以 = cos(2× -φ), 2 2 6 π 即 cos( -φ)=1, 3 π 又 0<φ<π,所以 φ= . 3 1 π 1 (2)由(1)知 f(x)= cos(2x- ),将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标 2 3 2 1 π 不变,得到函数 y=g(x)的图象,可知 g(x)=f(2x)= cos(4x- ), 2 3 π 因为 x∈[0, ],所以 4x∈[0,π], 4 π π 2π 因此 4x- ∈[- , ], 3 3 3 1 π 故- ≤cos(4x- )≤1. 2 3 π 1 1 所以 y=g(x)在[0, ]上的最大值和最小值分别为 和- . 4 2 4

? ?? ? 21. (Ⅰ) ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? ; (Ⅱ) b ? 3, c ? 2 6 3? ? 【解析】 试 题 分 析 :( Ⅰ ) 由 向 量 数 量 积 定 义 及 三 角 变 换 公 式 可 得

? ? ? f ( x) ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos x? 2 3 ? 2 cos(2 ?k? ≤ ) ? 22cos( xsin ? 2 x)? 1, 令 x2 2 ? x ≤ 3 3 3

? ? 2k

可 ?



? ?? ? ? ? (Ⅱ)∵ k? ? ≤x≤k? ? , 故 f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 为 ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? ; 6 3? 6 3 ? ?? ? ? f ? A ? ? 1 ? 2 cos ? 2 A ? ? ? ?1 , 利 用 余 弦 定 理 可 得 ? A? 3? 3 ?
i nn ? ) (2,sin C ) a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? ?b ? c ? ? 3bc ? 7 , 又 m ? ( 3 ,B s 与
2

共 线

?2

s B i? n

C ? 3 2 sb ? i 3c n ,从而解得 b ? 3, c ? 2

? 试题解析: (Ⅰ)由题意知 f ( x) ? 2cos2 x ? 3sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 3sin 2 x ? 1 ? 2cos(2 x ? ) , 3 ∵ y ? cos x 在区间 [2k? , 2kπ ? ? ] (k∈Z)上单调递减,
≤2k? ? ? ,得 k? ? ≤x≤k? ? , 3 6 3 ? ?? ? ∴ f ( x) 的单调递减区间 ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? . 6 3? ? ?? ?? ? ? 7? ? ? (Ⅱ)∵ f ? A ? ? 1 ? 2 cos ? 2 A ? ? ? ?1 ,∴ cos ? 2 A ? ? ? ?1 ,又 ? 2 A ? ? , 3 3 3 3 3 ? ? ? ?

∴令 2k? ≤2 x ?

?

?

?

∴ 2A ?

?
3

? ? ,即 A ?

?
3


2

∵ a ? 7 ,由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? ?b ? c ? ? 3bc ? 7 . 因为向量 m ? (3,sin B) 与 n ? (2,sin C ) 共线,所以 2 sin B ? 3sin C , 由正弦定理得 2b ? 3c ,∴ b ? 3, c ? 2 . 22. (1)详见解析(2)不存在(3) n ? 2 , 3 【解析】 试题分析: ( 1 证明数列为等差数列,一般利用定义,即证明相邻两项的差为常数:

bn ?1 ? bn ?

1

2an ?1 ? 1 2an ? 1

?

1

?

1 1 ? ?1 1 2? ? 1 2an ? 1 ?b ? 2an , 本题数列 n 通项未知, 其变形

为消参数 (2) 先从三项构成等差数列出发, 得到等量关系, 再利用奇偶性否定存在: 设第 p ,

r , q ( p ? r ? q )构成等差数列,则有 2 ? 2r ? 2 p ? 2q , 2r ?1? p ? 1 ? 2q ? p ,又 2 r ?1? p 为偶

m ? ?1? ? ?1 ? ? ?? ? q? p n ? 3 ? ? ? 2 ? 的运用是本题难点,其结构是 1 ? 2 数, 为奇数.故不存在(3)条件
将一个数列放为等比数列,因此将等式

n

m

3n ? 4n ? ??? ? ? n ? 2? ? ? bn ? 3? n
n b

调整为满足条件




n


n



? 3 ? ? 4 ? ? n?2? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?1 ? n?3? ? n?3? ? n?3?
n

n

n

n



n ? ? n ?1 ? 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ??? ? ?1 ? ? ?1 ? n?3? ? n?3? ? n?3? ,这样就巧妙应用了条件,解出满足方程
解限制在为 n ? 1 , 2 , 3 , 4 , 5 这五种情况,经验算 n ? 2 , 3 时等号成立

bn ?1 ? bn ?
试题解析: (1)证明:

1

2an ?1 ? 1 2an ? 1

?

1

?

1 1 ? ?1 1 2? ? 1 2an ? 1 2an

?数列 ?bn ? 为等差数列
( 2 )解:假设数列

?cn ? 中存在三项,它们可以构成等差数列;不妨设为第 p , r , q

b ? n ,? cn ? 2n ,? 2 ? 2r ? 2 p ? 2q ,? 2r ?1? p ? 1 ? 2q ? p ( p ? r ? q )项,由(1)得 n
又2
r ?1? p

为偶数, 1 ? 2

q? p

为奇数.故不存在这样的三项,满足条件.
n b

(3)由(2)得等式

3n ? 4n ? ? ??? ? ? n ? 2 ? ? ? bn ? 3? n
n n

,可化为

3n ? 4n ? ??? ? ? n ? 2 ? ? ? n ? 3?
n n

? 3 ? ? 4 ? ?n?2? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?1 ? n?3? 即? n ?3? ? n ?3? ,
n ? ? n ?1 ? 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ??? ? ? 1 ? ? ?1 n?3? ? n?3? ? n?3? ??
m ? ?1? ? ?1 ? ? ?? ? n?3? ? 2? , ? 当 n ? 6 时, ?
n m

n

n

n

n

2 ? ?1? n ? ?1? ? 1 ? 1 ? ? 1? ?1 ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?1 ? ? ? n?3? 2 , ? n ? 3 ? ? 2 ? , ??? , ? n ? 3 ? ? 2 ? , ??
n ? ? n ?1 ? 1 ? 1 ?1? ? ? ?1? ?1? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ??? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 2 ? 2? ? n?3? ? 2? ? 2? ?? n ? 3 ? ? n ? 3?
n n ?当 n ? 6 时, 3 ? 4 ? ??? ? ? n ? 2 ? ? ? n ? 3? n n

n

n

2

n

n

n

n

n

2

n

n

当 n ? 1 , 2 , 3 , 4 , 5 时,经验算 n ? 2 , 3 时等号成立

n n ?满足等式 3 ? 4 ? ??? ? ? n ? 2 ? ? ? bn ? 3? n

bn

的所以 n ? 2 , 3


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